高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：平面向量的運(yùn)算 專項(xiàng)訓(xùn)練

高三數(shù)學(xué)必修二第六章復(fù)習(xí)配套訓(xùn)練

平面向量的運(yùn)算

一、單選題

1.（2024?四川資陽(yáng)?二模）已知向量入B的夾角為150°,且同=2,慟=2,貝川2-如同=

（）

A.1B.2->/3C.2+石D.2s

2.（2024?江蘇南京?二模）2E分別是等邊VABC的邊AB,AC的中點(diǎn)，DE=1,點(diǎn)、P在

線段QE上的移動(dòng)（含端點(diǎn)），則麗.就一定不可能是（）

842

A.-B.2C.—D.一

333

3.（2024?山東青島?二模）已知向量2=（-1,2）,石=（-3,1）,則％在B上的投影向量為

C.昌圖3^/10而、

D.

10，15-/

4.（2024?內(nèi)蒙古赤峰?二模）在AASC中，角4B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知

02=2,。?+爐=10,BC,AC邊上的中線AM,8N相交于點(diǎn)P,則直線AM,8N的夾角為

()

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.（2024?貴州遵義?二模）已知單位向量遍滿足,一同=若，則￡與％+石的夾角為

)

7171

A.D.

2

6.（2024?青海西寧?一模）已知平面向量￡,B滿足。=%=2.若（。+?〃=0,則向

量Z,區(qū)的夾角為（）

A.30°B.45°C.60°D.135°

7.（2024?山西太原?二模）已知忖=忖=1,口=6,a+b+c=6,則￡與B的夾角為

()

A.30°B.45°C.60°D.120°

8.（2024?河北衡水?三模）已知?，區(qū)是單位向量，=則與貳的夾角為

（）

.兀f萬(wàn)c兀271

A.-B.-C.-D.—

6433

9.（2024?江蘇鹽城?一模）已知向量Z,B滿足k=,+q=|24-囚，則忖=

（）

A.1B.aC.2D.陋

10.（2024?云南昆明?一模）已知單位向量加滿足|[—Bl=g,則￡與B的夾角為

（）

71e?！?11—571

A.-B.-C.——D.——

6336

11.（2024?山東煙臺(tái)?三模）已知向量〃，B滿足卜1=4,B在Q方向上的投影向量為—a,

且Z_L（2Q—@,貝布+囚的值為（）

A.4B.4GC.16D.48

12.（2024?浙江紹興?三模）若非零向量B滿足同=M=|。+q，則五+2。在5方向上的投

影向量為（）

3-一1r

A.2bB.—bC.bD.—b

13.（2024?福建福州?三模）已知線段AB是圓。的一條長(zhǎng)為2的弦，則南.麗=（）

A.1B.2C.3D.4

14.（2024?福建泉州?一模）已知向量1,5滿足但-B）?B=0,則（）

A.（M+5）_L（萬(wàn)一5）B.\a-2b\=\a\

C.{a-2b,a）=（a,b）D.B在M方向上的投影向量為M

15.（2024?江蘇蘇州?三模）已知14—Z?|=|2a—b\=2,且2萬(wàn)—b在M方向上的投影向量為

單位向量，則|5|=（）

A.4B.2后C.473D.6

16.（2024?廣東佛山?一模）在VABC中，設(shè)六,一而°=2麗/（才仁-通），那么動(dòng)點(diǎn)"

的軌跡必通過VABC的（）

A.垂心B.內(nèi)心C.重心D.外心

17.（2024?安徽蕪湖?三模）已知。C：x2+y2_]0x+9=o與直線/交于兩點(diǎn)，且。。被

/截得兩段圓弧的長(zhǎng)度之比為1:3,若。為。C上一點(diǎn)，則方.麗的最大值為（）

A.1872+12B.160+16C.12忘+20D.10加+24

18.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）在平行四邊形ABCZ）中，&。=23￡>=4,點(diǎn)尸為該平行四邊

形所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則|西『+|而F+|而『+|兩『的最小值為（）

A.6B.8C.10D.12

19.（2024?云南曲靖?二模）已知。是VABC的外心，荏+*=2正，口可=|通|,則向

量正在向量配上的投影向量為（)

B.一包反3UlmD.^-BC

A.--BCC.-BC

4444

20.（2024?湖南長(zhǎng)沙?二模）已知向量a>b>c中，a是單位向量，同=3，a與5的

夾角為三，c=b-a,貝4c-a=()

D.-1

二、多選題

21.（2024?安徽安慶?三模）已知單位向量a,區(qū)的夾角為。，則下列結(jié)論正確的有

()

A.+B.￡在方方向上的投影向量為（無

0.若%+*有，則6=年

D.若（。+孫萬(wàn)=（6-5）?萬(wàn)，則

22.（2024?江蘇鹽城?一模）定義平面斜坐標(biāo)系xQy,i^ZxOy=0,"分別為x軸、

p軸正方向上的單位向量，若平面上任意一點(diǎn)戶的坐標(biāo)滿足：OP=xex+ye2,則記向量而

的坐標(biāo)為（x,y）,給出下列四個(gè)命題，正確的選項(xiàng)是（）

A.若加=（%,%）,OQ=（x2,y2）,則。P+OQ=（玉+/,%+%）

B.若赤=（%,%）,。。=（工2，%）,則0。。。=%/+%%

C.若。(無2，%),則|尸=J(%2—%)2+(%—

D.若6=60°,以0為圓心、半徑為1的圓的斜坐標(biāo)方程為寸+；/+孫_1=0

23.（2024?遼寧?二模）VABC的重心為點(diǎn)G,點(diǎn)0,0是VABC所在平面內(nèi)兩個(gè)不同的

點(diǎn)，^^OP=OA+OB+OC,則（）

A.O,P,G三點(diǎn)共線B.OP=2OG

C.2OP=~AP+BP+CPD.點(diǎn)P在VABC的內(nèi)部

24.（2024?浙江寧波?二模）若平面向量。，及1滿足同=1,可=1,同=3且方=5],貝”

（）

A.卜+5+W的最小值為2

B.卜+石+目的最大值為5

c.卜-5+W的最小值為2

D.卜一5+目的最大值為JIi

25.（2024?遼寧沈陽(yáng)?二模）如圖，在4x4方格中，向量方，加0的始點(diǎn)和終點(diǎn)均為小正方

形的頂點(diǎn)，則（）

A.a=bB.|a-5|=|c|C.aD.a-c^bc

三、填空題

26.（2024?四川涼山?三模）在VABC中，已知AB=1,AC=3,點(diǎn)G為VA3C的夕卜。，點(diǎn)

。為VABC重心，則礪.覺=.

27.（2024?四川樂山?三模）已知"，是夾角為60°的單位向量，若（走'+力（2『-了）=1,

則實(shí)數(shù)4的值是.

28.（2024?天津河西?二模）在四邊形ABCD中，ABLAD,CB1CD,ZABC=60°,45=2,

AD=6,E、尸分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，若設(shè)詬=2,BC=b,則方可用Z,B表示

為；EFCD=

29.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）平面向量a,b,c滿足：a±c,?耕=三,（瓦。）=看，且

問第=3,9=2,貝I]Q+B+C=

30.（2024?天津和平?三模）已知VA3C中，點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，點(diǎn)M滿足兩=2碇，記

BA=a,BD=b,請(qǐng)用苕，B表示俞=;若麗.麗=-5,向量而在向量而上的

投影向量的模的最小值為.

參考答案：

1.D

【分析】借助向量模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系與數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算即可得.

[詳解]因?yàn)椴芬环鹹=B「_2615+3時(shí)=4_26X2X2X1_#）+3X4=28,

所以忖_6?=2/.

故選：D

2.D

【分析】利用平面向量數(shù)量積的幾何意義計(jì)算即可.

【詳解】由題意，BP-BC=|B?||BC|-cosZPBC,

易知DE為VABC的中位線，且￡>E=1,所以VA3C的邊長(zhǎng)為2,

結(jié)合投影可知，|研yos/PBCe,故而.前e[1,3].

故選:D.

3.A

【分析】根據(jù)投影向量的公式求解.

【詳解】根據(jù)題意，￡在辦上的投影向量為：

a-bb5b17（31^

\b\|5rV10加一2一l2'27

故選：A

4.D

【分析】由余弦定理得afcosC=4,即國(guó)=4,則

瘋?麗=（函_m）?（由一國(guó)）=[g麗一瓦回一區(qū)]進(jìn)行求解.

【詳解】由余弦定理得，。2=6+從—2Q》COSC,得2=10-2&fcosC\

^abcosC=4,

得G4.C3=1CAH詞cosC=〃bcosC=4,

如圖：

貝I加■.就=（麗-西.（國(guó)-詞

得謝_1_的，

則直線AM,BN的夾角為90。，

故選：D

5.B

【分析】由口-司=6求出再求出Z與Z+B數(shù)量積和模長(zhǎng)，由向量的夾角公式可得出

答案.

【詳解】由卜-可=6平方可得2-22%=3,即

則,+囚=2+2a-b=\,則歸+可=1,

又小,+石）=1+無5=1,

1

“_a\a+b\

1

所以cosa,a+b=：胃--2--—_—,

同.。+在1x1---2

qr

故Z與￡+3的夾角為

故選：B

6.D

【分析】根據(jù)數(shù)量積公式及運(yùn)算律計(jì)算求出夾角余弦進(jìn)而求出夾角即可.

【詳解】因?yàn)?+岳）々=。，設(shè)2B夾角為6

所以卜+血石）3=a2+&=22+V2x2x2xcos^=0,

所以cos。=

2

所以6=135°.

故選：D.

7.C

【分析】依題意可得）=-伍+6）,將兩邊平方，由數(shù)量積的運(yùn)算求出7B,再由夾角公式

計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)椴凡穡=i,,=若,a+b+c=6,

所以2=一,+6），貝噎=7+2￡石+片，即（@2=12+27石+匕

——1

解得。1=5,

八a^b1

設(shè)Z與5的夾角為d,則c°s6=W^=S，又0°<84180。，

1aHz12

所以6=60°,即辦與刃的夾角為60。.

故選：0

8.A

【分析】先計(jì)算向量，+2w的模，再計(jì)算］+2區(qū)與團(tuán)的數(shù)量積，進(jìn)而可得夾角的余弦值,

可得答案.

【詳解】（4+2寸=丁+4冢句+4/=1-2+4=3,故國(guó)+2司=6

（e1+2e2）-^=e1-e2+2e/=-^-+2=-|,設(shè)錄+2■'與1的夾角為夕，

則cos<9=（烏+25）.與=2=走,又6e［0,兀］,故。=巴，

"E+2司同「2‘L」’6，

故選：A.

9.D

【分析】把給出的兩個(gè)等式兩邊平方化簡(jiǎn)后，解方程組即可求解.

【詳解】解：由卜力卜有，可得/_20+4=3,①

7lI'rli2rrrrrrr

由卜+4二|2"—可付a+2a*b+b2=4a2-4a?b+b2,

整理得藍(lán)-2￡Z=O,

代入①得^=3,

解得根=若

故選：D.

10.C

【分析】將卜一2=6兩邊平方求得萬(wàn)石，再利用向量夾角公式即可求解.

【詳解】根據(jù)題意得卜-可2=樂-2拓+52=，得&石=一；，

所以cos伍％而=一；,所以(哂

故選：0

11.B

【分析】根據(jù)題意結(jié)合投影向量可得￡3=8,再根據(jù)垂直關(guān)系可得忖=4,進(jìn)而可求模長(zhǎng).

【詳解】由題意可知：忖=4,即Zw。，

rr、

a-b]ra-b]r

因?yàn)锽在z方向上的投影向量為可得7石=8,

a

又因?yàn)閎J_2a—b,則/7?2。一。=2a-b-b=16-b=0,可得W=4,

|i1|2121112Hr-

則a+b=a+2a-b+b=48,所以|。+4=4,3.

故選：B.

12.B

—1I—12

【分析】利用向量的模長(zhǎng)關(guān)系可得無6=-]網(wǎng),再由投影向量的定義即可求出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意向=*k+同可得同2=好小+5『，

所以2同~cosR,B)+同2=0,則cos(a,b]=~—

-1?|71I-|2

所以M%=一]同=一耳網(wǎng)，

則M+2B在B方向上的投影向量為A24.6=晨“2|5|方=[\+2卅1目=3目?

l<l<K2

故選：B

13.B

【分析】取AB中點(diǎn)C,連接OC,根據(jù)向量的相關(guān)計(jì)算性質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】取AB中點(diǎn)C,連接OC,

易知OC_LAB,所以而通=（元+函）?陽(yáng)=lx2xl+0=2.

故選：B.

14.B

【分析】根據(jù)題意，由平面向量的垂直關(guān)系，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，然后對(duì)選項(xiàng)逐一

判斷，即可得到結(jié)果.

—?—?—?—?—?2I—*|2

【詳解】（a-b）-b=0,即〃=忖,

――?—*2—?2-?2―?—?—?/―?―?'

因?yàn)椋?+力）?（笈?b）=Q-b=a-a-b=a\a-b

所以①+B）與0-B）不一定垂直，故A錯(cuò)誤;

由2%上可得H4.I+4片,所以同二陌—2川，故B正確;

--ralb

由數(shù)量積的定義可得，a?B=MW?cos<Q,5>所以cos<a,b>=?i.I=

HWa

cos<a,b>與cos<1一2瓦萬(wàn)>不一定相等，故C錯(cuò)誤;

ISlcos<a,b>_Ifel_

方在雙方向上的投影向量為U——曰-----〃=0?〃，故D錯(cuò)誤;

H|?|

故選：B

15.B

【分析】根據(jù)題意，分別將|2@-5|=2與*?=2平方，然后作差可得3問2=27方，再由條

\2a-bYa2\^-a-b

即可求得M

件可得'「Jnr',從而得到a-b即可得到結(jié)果.

【詳解】由題意可得|2@-5|=2,所以（2Z-石『=4,即47一47B+片=4,

所以4問2_4￡3+麻=4①，

因?yàn)?耳=2,所以（【可=4,即/一2￡啰+片=4,

所以.-2°出+可=4②，

①—②可得3M=2a-b,即4%="1忖

又2。-B在不方向上的投影向量為單位向量，

（2a-b）-a2^-a-b21才一3而

則—=1,即=i,解得卜=2,

,『MJ1?1“一忖2二11

則日不=引￡『=6,代入②中可得4_2x6+W2=4,解得%=2道.

故選：B

16.D

【分析】將等式化簡(jiǎn)整理得（ZS+麗-2麗?）?而=0,作出中線A。，進(jìn)一步將其化成

MDBC=0,可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為BC的垂直平分線，即得D項(xiàng).

［詳解］由衣2—而2=2麗'?（正—通）可得，（AC+AB）.（AC-AB）=2W-（AC-AB）,

即（衣+荏-2戒）?前=0,（*）

A

如圖，取3C的中點(diǎn)為。，連AD,則礪=濕+而，苞=工+也，

因而+團(tuán)=6,故得，2通=通+/，

代入（*）得，2（而-汨）?命=0,即礪.元=0,

故聞。垂直且平分線段2C,即動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是BC的垂直平分線，必通過VABC的外心.

故選：D.

17.B

冗

【分析】根據(jù)題意，得到NAC3=5，所以百.函=0,設(shè)M為A3邊的中點(diǎn)，根據(jù)向量的

運(yùn)算法則，求得而.歷=|明）2兩?反明？+2|兩■,回，結(jié)合圓的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由0c:V+y2-i0x+9=0,可得圓心C（5,0）,半徑r=4,

因?yàn)橹本€/交圓C于AB兩點(diǎn)，且圓C被/截得兩段弧的長(zhǎng)度比為1:3,

7T

所以NACB=5，可得CA.CB=O,

設(shè)M為AB邊的中點(diǎn)，可得刀+。=2?，

則次?麗=（成+團(tuán)）?（配+麗）=|配『+（回+函）?配+瓦?瓦

=|Dc|2+2CM-DC<|oc|2+2|cMl-|Dd,

當(dāng)且僅當(dāng)面與就方向相同時(shí)，等號(hào)成立，

因?yàn)閨比卜廠=4,|鮑=曰廠=2百，所以次?麗曰反1+2］國(guó)覺卜16+16后.

所以方晨麗的最大值為160+16.

故選：B.

18.C

【分析】設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為0,由西=河+兩，兩邊平方可表示出|可「，同理可表

示|PB|2,|PC|2,|PD|2,四個(gè)式子相加化簡(jiǎn)可求得結(jié)果.

【詳解】設(shè)AC與8。的交點(diǎn)為0,由麗=而+函，

得|再『=|而『+而|2+2POOA,

同理可得而『=|而

IF+LF+2POOB,

|PC|2=|W|2+|OC|2+2POOC,

|PO|2=|Pd|2+|OD|2+2,POOD,

所以I而『+|而F+|無『+|而『=

4|PO|2+|CM|2+|OB|2+|OC|2+|OD|2+2,PO(OA+OB+OC+OD)

=4|PO|2+10>10,當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，等號(hào)成立.

故選：C

【分析】依題意可知。是8C的中點(diǎn)，從而得到ZB4C=90。，ZACB=3ff,解法一：過點(diǎn)A

3

作AD2BC,垂足為。，即可得到CO=—BC,結(jié)合投影向量的定義即可得解；解法二：

4

,ACjC—

設(shè)忸。=2,根據(jù)向量衣在向量就上的投影向量等于|.2BC計(jì)算可得.

【詳解】由通+近=2與J,所以。是BC的中點(diǎn)，又。是VABC的夕卜心,

則ZBAC=90°,再由|礪|=|麗J,

則AABO為正三角形，ZACB=30,

、113

角度一,:如圖，過點(diǎn)A作AZ）,垂足為。，則3。=-30=—3C,CD=—BC,

244

__.3__k

所以向量就在向量前上的投影向量等于。。=：BC.

4

角度二：設(shè)畫=2,則網(wǎng)=1,所以即卜萬(wàn)了=為,

Gx2xcos30°—.3--

所以向量尼在向量前上的投影向量等于下/8C=BC=-BC

224

故選：0.

20.B

【分析】根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求解.

-713

【詳解】^,b=lx3xCOSy=—,

所以3.五二（/?-彳）?萬(wàn)=Z??萬(wàn)一方=5-]=5.

故選：B

21.AB

【分析】對(duì)于A,只需驗(yàn)證,+B）和k-的數(shù)量積是否為0即可；對(duì)于B,d在B方向上的投

影向量表示為同cosej；對(duì)于c,先求平方，再利用數(shù)量積即可求夾角；對(duì)于D,對(duì)式子進(jìn)行化

簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)椤?B是單位向量，

所以（M+Z?）.（4-Z?）=萬(wàn)2_/?2=]_]=0,

所以5）,故A正確；

對(duì)于B,因?yàn)閦,B是單位向量,

所以￡在B方向上的投影向量為同35。忖=（萬(wàn),故B正確；

對(duì)于C,因?yàn)椋?+B）=a2+2a-b+b2=l+2cos^+l=3,

所以cos。=5，

TT

又因?yàn)镺WOWTI,所以。=1，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)椋?+與0=（萬(wàn)一5）0,所以二+以日=7_.￡,

所以D=0,

所以￡_LB,故D錯(cuò)誤；

故選：AB.

22.AD

【分析】根據(jù)題目的新定義，結(jié)合向量的線性運(yùn)算與向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算等對(duì)選項(xiàng)逐一判

斷即可.

【詳解】對(duì)于A,歷=（冷yj,麗=（無2，%），則而+而=（無￡+%可+121+%可，

=（4+%）q+（必+%）%=（占+/，%+%），A正確;

對(duì)于B,而=（%,%）,而=（程％），則"-詼=（再冢+丫肩）?（%1+%￡）,

=x,x2+Jj_y2++x,yj）Cj-e2,顯然則9?詼/外超+%%，B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,痂=（西,必），OQ=（x2,y2）,由選項(xiàng)A同理得因一詼=（%—石,%-%），

即理=（%-可,為-M），PQ=（x2-x1）e1+（y2-yje2,

|PQ|二?。娨徽肌?（%一%）2+2（4一'）（必一%”05。,0錯(cuò)誤；

對(duì)于D,設(shè)以。為圓心、半徑為1的圓上任意一點(diǎn)為尸（x,y）,

由|OP|=1,得kq+ye?）=1,于是f+J?+2孫。?一1=0,

由6=60°,得令-02=：,即Y+y?+孫-1=0,D正確.

故選:AD

23.AC

【分析】根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，向量共線的判定及向量的線性運(yùn)算即可判斷.

【詳解】OP=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC

=3OG+GA+GB+GC,

因?yàn)辄c(diǎn)G為VA3C的重心，

所以GX+GS+交=0,所以9=3而，

所以O(shè),P,G三點(diǎn)共線，故A正確，B錯(cuò)誤；

AP+BP+CP=Ad+OP+BO+OP+CO+OP

=（AO+BO+W）+3OP,

因?yàn)樘K=K+而+無，

所以須+而+函）+3麗=-麗+3麗=2而，^?2OP=AP+BP+CP,故C正確；

因?yàn)槌?3旃，

所以點(diǎn)尸的位置隨著點(diǎn)0位置的變化而變化，故點(diǎn)尸不一定在VABC的內(nèi)部，故D錯(cuò)誤；

故選：AC.

24.BD

【分析】由向量日石方向間的關(guān)系，判斷卜+B+目的最大值和最小值；由（汗-5），不，通

過k一方|的最值,計(jì)算,一方+目的最值.

【詳解】當(dāng)向量色B方向相同，與1方向相反時(shí)，滿足日.^=凡己

此時(shí)卜+6+W有最小值同一（同+W）=1,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)向量花,5,不方向相同時(shí)，滿足無^=幾乙,

此時(shí),+B+W有最大值同+問+同=5,B選項(xiàng)正確；

a-c=b-c,有伍-方"=0,即（濟(jì)-5）_L:,則卜_3+目=/卜_5j+同2,

向量。石方向相同時(shí)，忖-8的最小值為0,卜-B+W的最小值為3,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

向量2石方向相反時(shí)，,-可的最大值為2,卜-B+W的最大值為a，D選項(xiàng)正確.

故選：BD

25.BC

【分析】結(jié)合向量的線性運(yùn)算法則及數(shù)量積的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】如圖所示，向量）與向量B方向不同，所以1片5,故A錯(cuò)誤，

將向量5平移至向量日的起點(diǎn)，可得a/方，且同=忖，以向量萬(wàn)④為鄰邊的平行四邊形為

正方形，對(duì)角線垂直且相等，所以卜-4=同，故B與C正確，

由以上可知，同=W，且向量6,B與向量］的夾角相等，所以7"=九"，故D錯(cuò)誤.

故選：BC

26.-

3

【分析】設(shè)2C的中點(diǎn)為。，根據(jù)三角形外心性質(zhì)，得GDLBC,由重心性質(zhì)得

uum1UUBuum

OD=-(AB+AC),再根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算即可求解.

6

【詳解】設(shè)BC的中點(diǎn)為。，連接ARGD,

由點(diǎn)G為VABC的外心，可得GD_L3C,

―?1-.1—■—.

由點(diǎn)。為VABC重心，可得OD=-AD=—(AB+AC),

36

故礪灰=(礪+研?冊(cè)

=ODBC+0

=-(AB+AC)-(AC-AB)

6

1-2——.21、4

=~(AC-AB)=-xz(9-l)=-.

o63

【分析】由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】由『，亍是夾角為60。的單位向量，則了?]=『MJ|COS60。=g,

由（萬(wàn)+辦（2、力=1,則2常卜下.了+2f.了_同=22—1+1—1=1,

2

解得，A=-.

2

故答案為：一.

3

“1~1y3

28.—a+—b——

228

【分析】利用向量的加法可以求出第一個(gè)空；通過轉(zhuǎn)化確定及而與而，灰的夾角,

代入數(shù)量積的計(jì)算公式即可求出第二個(gè)空.

【詳解】

由題意得，EF=EA+AD+DF,EF=EB+BC+CF,

由E、尸分別為線段AB、CD的中點(diǎn)，知麗+礪=0,DF+CF=Q,

因“匕，2EF=EA+AD+DF+EB+BC+CF=AD+BC

―.11_

:.EF=-a+-b；

22

延長(zhǎng)AD、3C交一點(diǎn)G,由AB_LAD,