2024-2025學年內蒙古鄂爾多斯市西四旗高二（上）期中數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年內蒙古鄂爾多斯市西四旗高二（上）期中數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線x=sin2024π的傾斜角為(

)A.2024π B.π2 C.π3 2.設向量a=(1,2,m)，b=(2,0,?1)，若a⊥b，則A.?2 B.?1 C.1 D.23.過點(?1,2)且與直線x?y?1=0垂直的直線l的方程為(

)A.x+y?3=0 B.x?y+3=0 C.x+y?1=0 D.x?y+1=04.如圖，在四面體ABCD中，E是棱AB上一點，且AE=13AB，F(xiàn)是棱CD的中點，則EF=A.?13AB?12AC+15.兩平行直線mx?3y?2=0與4x?6y?7=0之間的距離為(

)A.1326 B.1313 C.6.用2，3，4這3個數(shù)組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，則事件“這個三位數(shù)是偶數(shù)”發(fā)生的概率為(

)A.13 B.12 C.237.正四面體ABCD的棱長為3，點E為棱AB靠近點A的三等分點，點F為△ACD的重心，則線段EF的長為(

)A.2 B.3 C.2 8.如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2，P為棱AD的中點，且SP⊥AB，AM=λAS(0≤λ≤1)，若點M到平面SBC的距離為33，則實數(shù)λA.13 B.12 C.23二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設M，N是兩個隨機事件，若P(M)=13,P(N)=1A.若N?M，則P(M∪N)=13

B.若M∩N=?，則P(M+N)=0

C.若P(M∩N)=118，則M，N相互獨立

D.若M10.已知直線l過點(1,3)，若l與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積為S，則S的值可以是(

)A.3 B.5 C.7 D.911.在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=2，∠DAB=∠AA.若點Q在平面A1B1C1D1內，則p=1

B.若CQ⊥DB，則m=n

C.當p=12時，三棱錐Q?ABD的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面α的法向量為p=(1,2,?1)，平面β的法向量為r=(m,1,?m)，若α//β，則m=______．13.在正方體ABCD?A1B1C14.在△ABC中，頂點A(2,3)，點B在直線l：3x?y+1=0上，點C在x軸上，則△ABC周長的最小值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2．

(1)用空間向量方法證明：A1C1//平面16.(本小題15分)

已知直線l：(2a+3)x+(1?a)y+7+3a=0，a∈R．

(1)求l恒過的定點的坐標；

(2)若l經(jīng)過第一、二、三象限，求實數(shù)a的取值范圍．17.(本小題15分)

如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AA1=2，P，Q分別為A1B1，BC的中點．

(1)18.(本小題17分)

為培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)，協(xié)同發(fā)展學科綜合能力，促進學生全面發(fā)展，某校數(shù)學組舉行了數(shù)學學科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關形式.現(xiàn)有甲、乙兩人參加數(shù)學學科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是23和12.假設兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響．

(1)若乙回答了4個問題，求乙至少有1個回答正確的概率；

(2)若甲、乙兩人各回答了3個問題，求甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的概率；

(3)假設某人連續(xù)2次未回答正確，則退出比賽，求甲恰好回答519.(本小題17分)

在空間直角坐標系Oxyz中，定義：過點A(x0,y0,z0)，且方向向量為m=(a,b,c)(abc≠0)的直線的點方向式方程為x?x0a=y?y0b=z?z0c；過點A(x0,y0,z0)，且法向量為m=(a,b,c)(a2+b2+c2≠0)的平面的點法向式方程為a(x?x0)+b(y?y0)+c(z?z0)=0，將其整理為一般式方程為ax+by+cz?d=0，其中d=ax0+by0+cz0．

(1)求經(jīng)過參考答案1.B

2.D

3.C

4.D

5.C

6.C

7.A

8.A

9.AC

10.CD

11.ABD

12.1213.32814.215.(1)證明：由題，以D為原點，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

∵正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，

∴A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，

則A1C1=(?2,2,0),AC=(?2,2,0),CD1=(0,?2,2)，

設平面ACD1的一個法向量為n=(x,y,z)，

則n?AC=?2x+2y=0n?CD1=?2y+2z=0，令z=1，則可得x=1，y=1，即n=(1,1,1)；

∴n?A1C1=?2+2+0=0，

∴n16.解：(1)已知直線l：(2a+3)x+(1?a)y+7+3a=0，a∈R，

整理直線l的方程，得(2x?y+3)a+3x+y+7=0，

聯(lián)立方程組2x?y+3=0,3x+y+7=0,

解得x=?2,y=?1,所以直線l恒過的定點的坐標為(?2,?1)；

(2)當a=1時，直線l的方程為x=?2，經(jīng)過二、三象限，不符合題意；

當a≠1時，y=2a+3a?1x+3a+7a?1，

因為l經(jīng)過第一、二、三象限，所以2a+3a?1>03a+7a?1>0?(2a+3)(a?1)>017.解：(1)取B1C1的中點G，連接QG，顯然QG//BB1，

由正三棱柱的特征可知BB1⊥底面ABC，所以GQ⊥底面ABC，

又AQ、BQ?底面ABC，所以GQ⊥AQ，GQ⊥BQ，

因為Q是BC中點，易得AQ⊥BQ，

則以Q為原點，QA，QB，QG所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則Q(0,0,0),C1(0,?1,2),A(3,0,0),A1(3,0,2),B1(0,1,2)，

所以P(32,12,2),AP=(?32,12,2),QC1=(0,?1,2)，

則|cos<AP,QC1>|=|AP?QC1||AP||QC1|=18.解：(1)某校數(shù)學組舉行了數(shù)學學科素養(yǎng)大賽，素養(yǎng)大賽采用回答問題闖關形式，

甲、乙兩人參加數(shù)學學科素養(yǎng)大賽，甲、乙兩人能正確回答問題的概率分別是23和12．

假設兩人是否回答出問題，相互之間沒有影響；每次回答是否正確，也沒有影響，乙回答了4個問題，

記“乙至少有1個回答正確”為事件M，

∴乙至少有1個回答正確的概率為P(M)=1?P(M?)=1?(1?12)×(1?12)×(1?12)×(1?12)=1516．

(2)甲、乙兩人各回答了3個問題，記“乙答對i個問題”為事件Bi(i=1,2,3)，“甲答對i個問題”為事件Ai(i=1,2,3)，

則甲回答正確的個數(shù)比乙回答正確的個數(shù)恰好多2個的事件為：

A1A2A3B1B2?B3?+19.解：(1)∵A(?1,2,4)，B(2,0,1)，

∴直線AB的方向向量為m=AB=(3,?2,?3)，

∴直線AB的點方向式方程為x+13=y?2?2=z?4?3；

(2)證明：由平面α1為：2x?3y+z?1=0，

∴平面α1的法向量為m1=(2,?3,1)，

由平面β1為：x+y?2z+4=0，

∴平面β1的法向量為m2=(1,1,?2)，

設交線l的方向向量為n=(x0,y0,z0)，

則根據(jù)