20.4 解直角三角形 同步練習

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.4解直角三角形基礎過關全練知識點1解直角三角形1.(2023江蘇太倉一中月考)在Rt△ABC中，斜邊AB的長為m，∠A=35°，則直角邊AC的長是()A.m·sin35° B.mcos35° C.msin35° D.m2.(2022陜西中考)如圖，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6，tanC=2，則邊AB的長為()A.32 B.35 C.37 D.623.如圖所示的是某航母的示意圖，已知該航母長BD約為306m，航母前端點E到水平甲板BD的距離DE為6m，艦島頂端A到BD的距離是AC的長，經(jīng)測量，∠BAC=71.6°，∠EAC=80.6°，則艦島AC的長是多少?(結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04)4.(2023北京順義期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=2，請你添加一個條件：，設計一道解直角三角形的題目(不用計算器計算)，并畫出圖形，解這個直角三角形.

5.如圖，線段BC長為13，以C為頂點，射線CB為一邊的∠α滿足cosα=513.銳角△ABC的頂點A落在∠α的另一邊l上，且滿足sinA=45.求△ABC的高BD及AB邊的長，并結(jié)合你的計算過程畫出高BD及AB邊知識點2解非直角三角形6.(2021廣西玉林中考)如圖，△ABC的底邊BC上的高為h1，△PQR的底邊QR上的高為h2，則有()A.h1=h2 B.h1<h2 C.h1>h2 D.以上都有可能7.(2023山東淄博張店期中)如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，BC=66，AD平分∠BAC交BC于點D，則線段AD的長為()A.66 B.12 C.63 D.68.(2023河北邯鄲永年期中)如圖，在△ABC中，BC=3+1，∠B=45°，∠C=30°，則△ABC的面積為()A.3+12 B.32+1 C.3?19.(2023山東萊陽期中)如圖所示的衣架可近似看成一個等腰三角形，若AB=AC=18cm，∠ABC=27°，則衣架寬BC約為cm.(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)

10.(2023上海楊浦期末)如圖，已知tanO=43，點P在邊OA上，OP=5，點M、N在邊OB上，PM=PN，如果MN=2，那么PM=11.在直角三角形中，除直角外的5個元素中，已知2個元素(其中至少有1個是邊)，就可以求出其余的3個未知元素，對于任意三角形，我們需要知道幾個元素才可以求出其余的未知元素呢?思考并解答下列問題：(1)觀察圖1～圖4，根據(jù)圖中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的是；

(2)如圖5，在△ABC中，已知∠A=37°，AB=12，AC=10，能否求出BC的長度?如果能，請求出BC的長度；如果不能，請說明理由.(參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)能力提升全練12.(2022四川樂山中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，點D是AC上一點，連接BD.若tan∠A=12，tan∠ABD=13，則A.25 B.3 C.5 D.213.(2022四川瀘州中考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B的坐標為(10，4)，四邊形ABEF是菱形，且tan∠ABE=43.若直線l把矩形OABC和菱形ABEF組成的圖形的面積分成相等的兩部分，則直線lA.y=3x B.y=-34x+152 C.y=-2x+11 D.y=-214.(2022黑龍江齊齊哈爾中考)在△ABC中，AB=36，AC=6，∠B=45°，則BC=.

15.(2023北京石景山期末)如圖，在△ABC中，∠C=60°，tanB=34，BC=10，求AC的長16.(2021北京十二中期中)一副直角三角板按如圖所示的方式放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，試求CD的長.素養(yǎng)探究全練17.(2023江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學月考)我們給出定義：如果兩個銳角的和為45°，那么稱這兩個角互為半余角，如圖，在△ABC中，∠A，∠B互為半余角，且BCAC=223，求∠

第二十章解直角三角形二解直角三角形20.4解直角三角形答案全解全析基礎過關全練1.D由題意知∠C=90°，∵∠A=35°，∴AC=m·cos35°，故選D.2.D∵2CD=6，∴CD=3，∵tanC=ADCD=2，∴AD=2CD=6在Rt△ABD中，AB=AD2+BD3.答案38解析如圖，過E作EH⊥AC于H，則四邊形EHCD是矩形.∴DE=CH=6m，CD=EH.設艦島AC的長為xm，則CD=EH=AH·tan80.6°≈6.04(x-6)m，BC=AC·tan71.6°≈3.01xm，∵BD≈306m，∴3.01x+6.04(x-6)≈306，解得x≈38.故艦島AC的長約為38m.4.解析答案不唯一，如添加條件：BC=1，如圖：∵∠C=90°，AB=2，BC=1，∴AC=AB2?BC2=22?12∴∠A=30°，∴∠B=90°-∠A=60°，∴AC=3，∠A=30°，∠B=60°.5.解析如圖，作BD⊥l于點D，在Rt△CBD中，∠CDB=90°，BC=13，∴cosC=cosα=CDBC=513，∴CD=BC·cosC=13×5∴BD=BC2在Rt△ABD中，BD=12，sin∠BAD=BDAB=4∴AB=BDsin∠BAD=15，∴AD=A作圖，以點D為圓心，9為半徑作弧與射線l交于點A，連接AB.6.A如圖，分別作出△ABC的底邊BC上的高AD，即h1，△PQR的底邊QR上的高PE，即h2，在Rt△ADC中，h1=AD=5×sin55°，在Rt△PER中，h2=PE=5×sin55°，∴h1=h2，故選A.7.B如圖，過點C作CE⊥AB，垂足為E，在Rt△BCE中，∠B=45°，BC=66，∴CE=BC·sin45°=66×22=63在Rt△ACE中，∠BAC=60°，∴AC=CEsin60°=6332=12，∵∴∠DAB=12∠CAB=30°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=75°∵∠ACD=180°-∠CAB-∠B=75°，∴∠ACD=∠ADC，∴AD=AC=12，故選B.8.A如圖，過A點作AD⊥BC于點D，∵∠B=45°，∴∠BAD=45°=∠B，∴AD=BD，設BD=x(x>0)，則AD=x，∵∠C=30°，∴tanC=ADCD=3∴CD=3AD=3x，∵BC=3+1，∴x+3x=3+1，∴x=1，即AD=1，∴S△ABC=12BC·AD=12×(3+1)×1=3+19.答案32解析如圖，過點A作AH⊥BC于點H.∵AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH，∴BH=AB·cos∠ABC=AB·cos27°≈18×0.89=16.02(cm)，∴BC=2BH=32.04≈32(cm).10.答案17解析如圖，過P作PD⊥OB于點D，∵tanO=PDOD=4∴設PD=4x(x>0)，則OD=3x，∵OP=5，∴由勾股定理得(3x)2+(4x)2=52，∴x=1，∴PD=4，∵PM=PN，PD⊥OB，MN=2，∴MD=ND=12MN=1，在Rt△PMD中，由勾股定理得PM=MD211.解析(1)題圖1已知一個角及其所對的邊，而另外兩個角可以任意變動，故題圖1不能求出其余未知元素，題圖2已知三個角，而三條邊可以任意變動，故題圖2不能求出其余未知元素，題圖3已知兩個角及其夾邊，那么第三個角是固定的，然后作出三角形的一條高，即可求出題圖3中其余未知元素，題圖4已知兩角及其中一個角的對邊，那么第三個角是固定的，然后作出三角形的一條高，即可求出題圖4中其余未知元素.故答案為圖3、圖4.(2)能.如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ADC中，sinA=CDAC，cosA=AD∴CD=10×sin37°≈6，AD=10×cos37°≈8，∵AB=12，∴BD=AB-AD=12-8=4，∴BC=CD2+能力提升全練12.C如圖，過D點作DE⊥AB于E，∵tan∠A=DEAE=12，tan∠ABD=DEBE∴AE=2DE，BE=3DE，∴AB=AE+BE=2DE+3DE=5DE，在Rt△ABC中，tan∠A=12，BC=5∴BCAC=5AC=12，解得AC∴AB=AC2+BC2∴AE=2，∴AD=AE2+DE∴CD=AC-AD=5，故選C.13.D如圖，連接OB，AC，OB與AC交于點M，連接AE，BF，AE與BF交于點N，作直線MN，則直線MN為符合條件的直線l，如圖，∵四邊形OABC是矩形，∴OM=BM.∵B的坐標為(10，4)，∴M(5，2)，AB=10，BC=4.∵四邊形ABEF為菱形，∴BE=AB=10.過點E作EG⊥AB于點G，在Rt△BEG中，∵tan∠ABE=43，∴EGBG=∴設EG=4k(k>0)，則BG=3k，∴BE=EG2+BG2=5k，∴5k=10，∴k=2，∴EG=8，BG=6，∴AG=4.∵B的坐標為(10，4)，AB∥x軸，∴A(0，4).∵N為AE的中點，∴N(2，8).設直線l的解析式為y=ax+b(a≠0)，∴5解得a=?2,b=12,∴直線l的解析式為y=-2故選D.14.答案33+3或33-3解析①當△ABC為銳角三角形時，如圖，過點A作AD⊥BC于點D，∵AB=36，∠B=45°，∴AD=BD=AB·sin45°=33，∴CD=AC2?AD2=3，∴BC=BD②當△ABC為鈍角三角形時，如圖，過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，∵AB=36，∠B=45°，∴AD=BD=AB·sin45°=33，∴CD=AC2?AD2=3，∴BC=BD綜上，BC的長為33+3或33-3.15.解析如圖，過點A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ABD中，tanB=ADBD=3∴設AD=3x(x>0)，則BD=4x，在Rt△ADC中，∠C=60°，∴CD=ADtanC=3x∵BC=BD+CD=10，∴4x+x=10，解得x=2，∴CD=2，在Rt△ADC中，AC=CDcos60°=21∴AC的長為4.16.解析如圖，過點B作BM⊥FD于點M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=AC·tan60°=103，∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC·sin30°=103×12=53，CM=BC·cos30°=15在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45