專(zhuān)項(xiàng)22-二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題-八大題型

二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題-八大題型【題型1二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題】【例1】（柳州）已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(yíng)（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，作y軸的平行線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1-1】（桐梓縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y=?36x2+233x+23與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)L的函數(shù)表達(dá)式；（2）探索直線(xiàn)L上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【變式1-2】（日喀則市月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△MBC的面積；（3）坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使得以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式1-3】（平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型2二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題】【例2】（沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A）．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，連接PG．求△PEG面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32個(gè)單位，得到新拋物線(xiàn)y1，在y1的對(duì)稱(chēng)軸上確定一點(diǎn)M，使得△BDM是以BD為腰的等腰三角形，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M【變式2-1】（湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線(xiàn)所圍成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“月牙線(xiàn)”，如圖①，拋物線(xiàn)C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線(xiàn)C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線(xiàn)”，拋物線(xiàn)C1和拋物線(xiàn)C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線(xiàn)C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線(xiàn)C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線(xiàn)C2于點(diǎn)D，求線(xiàn)段MN與線(xiàn)段DM的長(zhǎng)度的比值．（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式2-2】（永嘉縣校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別是y軸正半軸，x軸正半軸上兩動(dòng)點(diǎn)，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO為鄰邊構(gòu)造矩形AOBC，拋物線(xiàn)y=?34x2+3x+k交y軸于點(diǎn)D，P為頂點(diǎn)，PM（1）求OD，PM的長(zhǎng)（結(jié)果均用含k的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)PM＝BM時(shí)，求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式．（3）在點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在△ADP是等腰三角形，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的k的值．【變式2-3】（杭州校級(jí)自主招生）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC＝BC．（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；（2）求A點(diǎn)坐標(biāo)并求拋物線(xiàn)的解析式；（3）若點(diǎn)P在x軸下方且在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型3二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題】【例3】（順城區(qū)模擬）如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-1】（碑林區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線(xiàn)C1：y=14x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為（1）求拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將拋物線(xiàn)C1沿x軸平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得新的拋物線(xiàn)記作C2，C2的頂點(diǎn)為D′，與拋物線(xiàn)C1交于點(diǎn)E，在平移過(guò)程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)C2的表達(dá)式，并寫(xiě)出平移過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-2】（瓊海二模）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為x軸上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，AF．（1）求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式3-3】（棗莊）如圖①，已知拋物線(xiàn)L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（1，0），過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，∠AOB的平分線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的關(guān)系式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OE下方的拋物線(xiàn)上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將拋物線(xiàn)L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型4二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題】【例4】（墾利區(qū)二模）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，AB＝4，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）連接AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是；（3）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式4-1】（澄邁縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①在圖1中，當(dāng)﹣3＜t＜0時(shí)，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且以A，O，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式4-2】（福山區(qū)一模）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OA，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q，試探究是否存在以點(diǎn)E，D，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式4-3】（青羊區(qū)校級(jí)模擬）拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【題型5二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題】【例5】（齊齊哈爾三模）綜合與實(shí)踐如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+c的圖象交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），過(guò)點(diǎn)A、C的直線(xiàn)交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)和直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接DB，則△DAB的面積為6；（3）在y軸上確定點(diǎn)Q，使得∠AQB＝135°，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為；（4）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以AD為邊的矩形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-1】（博山區(qū)一模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直線(xiàn)BC的解析式為y=12（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR．求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，將拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)C′A的方向平移25個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線(xiàn)y′，新拋物線(xiàn)y′與原拋物線(xiàn)交于點(diǎn)M，原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)N，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)是否存在一點(diǎn)K，使得以D，M，N，K為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-2】（綏化）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c交y軸于點(diǎn)A（0，﹣4），并經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（6，0），過(guò)點(diǎn)A作AB⊥y軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)B，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），連接AD，BC，BD．點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線(xiàn)AD運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為m秒，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB于F，以EF為對(duì)角線(xiàn)作正方形EGFH．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)G隨著E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到達(dá)BC上時(shí)，求此時(shí)m的值和點(diǎn)G的坐標(biāo)；（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在以B，G，C和平面內(nèi)的另一點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，如果存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式5-3】（黔東南州）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+2x+c的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x＝1，與x軸交于點(diǎn)A，B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC．（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）已知點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸，垂足為點(diǎn)M，DM交直線(xiàn)BC于點(diǎn)N，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以A，C，N為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）已知點(diǎn)E是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使以點(diǎn)B、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為矩形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型6二次函數(shù)中菱形的存在性問(wèn)題】【例6】（煙臺(tái)一模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B在x軸上，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A，C（4，﹣5）兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)DC交于另一點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）P為y軸上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為Q，連接EQ，AP．試求EQ+PQ+AP的最小值；（3）N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M，N，E，A為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-1】（邵陽(yáng)縣模擬）如圖，直線(xiàn)l：y＝﹣3x﹣6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、C；經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C的拋物線(xiàn)C：y=12x2+bx+c與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為點(diǎn)D（1）求拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸．（2）將直線(xiàn)l向右平移得到直線(xiàn)l1．①如圖①，直線(xiàn)l1與拋物線(xiàn)C的對(duì)稱(chēng)軸DE相交于點(diǎn)P，要使PB+PC的值最小，求直線(xiàn)l1的解析式．②如圖②，直線(xiàn)l1與直線(xiàn)BC相交于點(diǎn)F，直線(xiàn)l1上是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)A、C、F、M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-2】（嘉定區(qū)二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖）中，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）、B（4，1）兩點(diǎn)，與y軸的交點(diǎn)為C點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）求四邊形OABC的面積；（3）設(shè)拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)l，點(diǎn)D與點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，在線(xiàn)段BC上是否存在一點(diǎn)E，使四邊形ADCE是菱形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式6-3】（山西模擬）綜合與探究如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸分別交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（4，0），點(diǎn)E是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作直線(xiàn)PE⊥x軸，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)F．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)O，B重合），恰有線(xiàn)段PF=12EF，求此時(shí)點(diǎn)（3）試探究：若點(diǎn)Q是y軸上一點(diǎn)，在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)C，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型7二次函數(shù)中正方形的存在性問(wèn)題】【例7】（鐵鋒區(qū)二模）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)y＝x+b與x軸交于點(diǎn)A（4，0），與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)交x軸于另一點(diǎn)C，且OA＝20C，點(diǎn)F是直線(xiàn)AB下方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，連接FA，F(xiàn)B．（1）求拋物線(xiàn)解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)F與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)重合時(shí)，△ABF的面積為；（3）求四邊形FAOB面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)．（4）在（3）的條件下，點(diǎn)Q為平面內(nèi)y軸右側(cè)的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q及平面內(nèi)另一點(diǎn)M，使得以A，F(xiàn)，Q，M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【變式7-1】（隴縣二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)L1：y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B(1，?94（1）求拋物線(xiàn)L1的表達(dá)式；（2）將L1平移后得到拋物線(xiàn)L2，點(diǎn)D，E在L2上（點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方），若以點(diǎn)A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求拋物線(xiàn)L2的解析式．【變式7-2】（南寧期中）如圖，拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（3，0），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）Q是拋物線(xiàn)上第一象限除點(diǎn)P外一點(diǎn)，△BCQ與△BCP的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（3）若M、N為拋物線(xiàn)上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)段，垂足分別為D、E．是否存在點(diǎn)M、N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式7-3】（南充）如圖，拋物線(xiàn)頂點(diǎn)P（1，4），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，B．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）Q是拋物線(xiàn)上除點(diǎn)P外一點(diǎn)，△BCQ與△BCP的面積相等，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．（3）若M，N為拋物線(xiàn)上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線(xiàn)BC的垂線(xiàn)段，垂足分別為D，E．是否存在點(diǎn)M，N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型8二次函數(shù)中角度問(wèn)題的存在性問(wèn)題】【例8】（西寧）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線(xiàn)AB上，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D（1，0），將△ACD沿CD所在直線(xiàn)翻折，使點(diǎn)A恰好落在拋物線(xiàn)上的點(diǎn)E處．（1）求拋物線(xiàn)解析式；（2）連接BE，求△BCE的面積；（3）拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-1】（鄂爾多斯）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2經(jīng)過(guò)A（?12，0），B（3，72）兩點(diǎn)，與y（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)上，過(guò)P作PD⊥x軸，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，若以P、D、O、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；（3）拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)Q，使∠QCB＝45°？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-2】（運(yùn)城二模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣8與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（8，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)PE∥y軸，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)F，以PD為斜邊，在PD的右側(cè)作等腰直角△PDF．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式，并直接寫(xiě)出直線(xiàn)BC的表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜3），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)?shù)妊苯恰鱌DF的面積為9時(shí)，請(qǐng)求出m的值；（3）連接AC，該拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)M，使∠ACO+∠BCM＝∠ABC，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-3】（羅湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，已知拋物線(xiàn)y=?13x2+bx+c交x軸于A(yíng)（﹣3，0），B（4，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接AC、（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）連接OP，BP，若S△BOP＝2S△AOC，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得∠QBA＝75°？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題-八大題型（解析版）【題型1二次函數(shù)中直角三角形的存在性問(wèn)題】【例1】（柳州）已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A(yíng)（﹣1，0），B（m，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求b，c，m的值；（2）如圖1，點(diǎn)D是拋物線(xiàn)上位于對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，作y軸的平行線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，垂足為點(diǎn)F，當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，將△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB與y軸交于點(diǎn)Q，在對(duì)稱(chēng)軸上找一點(diǎn)P，使得△PQB是以QB為直角邊的直角三角形，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【分析】（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，解二元一次方程組即可得b，c的值，令y＝0即可得m的值；（2）設(shè)D（x，﹣x2+4x+5），則E（4﹣x，﹣x2+4x+5），表示出四邊形DEFG的周長(zhǎng)，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸于H，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥y軸于K，證明△MCH≌△NCK，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，則N（﹣4，3），利用待定系數(shù)法可得直線(xiàn)BN的解析式為y=?13x+53，可得Q（0，53），設(shè)P（2，p），利用勾股定理表示出PQ2、BP2、BQ2【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c，得?1?b+c=0c=5解得b=4c=5∴這個(gè)拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，則﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），∴m＝5；（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，設(shè)D（x，﹣x2+4x+5），∵DE∥x軸，∴E（4﹣x，﹣x2+4x+5），∵過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，作y軸的平行線(xiàn)交x軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸，∴四邊形DEFG是矩形，∴四邊形DEFG的周長(zhǎng)＝2（﹣x2+4x+5）+2（x﹣4+x）＝﹣2x2+12x+2＝﹣2（x﹣3）2+20，∴當(dāng)x＝3時(shí)，四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大，∴當(dāng)四邊形DEFG的周長(zhǎng)最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，8）；（3）過(guò)點(diǎn)C作CH⊥對(duì)稱(chēng)軸于H，過(guò)點(diǎn)N作NK⊥y軸于K，∴∠NKC＝∠MHC＝90°，由翻折得CN＝CM，∠BCN＝∠BCM，∵B（5，0），C（0，5）．∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵CH⊥對(duì)稱(chēng)軸于H，∴CH∥x軸，∴∠BCH＝45°，∴∠BCH＝∠OCB，∴∠NCK＝∠MCH，∴△MCH≌△NCK（AAS），∴NK＝MH，CK＝CH，∵拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，M（2，9），∴MH＝9﹣5＝4，CH＝2，∴NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，∴N（﹣4，3），設(shè)直線(xiàn)BN的解析式為y＝mx+n，∴?4m+n=35m+n=0，解得m=?∴直線(xiàn)BN的解析式為y=?13x∴Q（0，53設(shè)P（2，p），∴PQ2＝22+（p?53）2＝p2?10BP2＝（5﹣2）2p2＝9+p2，BQ2＝52+（53）2＝25+分兩種情況：①當(dāng)∠BQP＝90°時(shí)，BP2＝PQ2+BQ2，∴9+p2＝p2?103p+619+25∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，233②當(dāng)∠QBP＝90°時(shí)，P′Q2＝BP′2+BQ2，∴p2?103p+619=9+p2∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（2，﹣9）．綜上，所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，233【變式1-1】（桐梓縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線(xiàn)y=?36x2+233x+23與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，它的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線(xiàn)L的函數(shù)表達(dá)式；（2）探索直線(xiàn)L上是否存在點(diǎn)E，使△ACE為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）令x＝0，y＝0，可分別求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)，在求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸即可求D點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)解析式即可；（2）設(shè)E（t，?3t+23），分三種情況討論：①當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，AC2+AE2＝CE2，②當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，AC2+CE2＝AE2，③當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，AE2+CE2＝AC2【解答】解：（1）令y＝0，則?3解得x＝﹣2或x＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），令x＝0，則y＝23，∴C（0，23），∵y=?36x2+2∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，∴D（2，0），設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y＝kx+b，∴b=23解得k=?3∴y=?3x+23（2）在點(diǎn)E，使△ACE為直角三角形，理由如下：設(shè)E（t，?3t+23∴AC2＝16，AE2＝4t2﹣8t+16，CE2＝4t2，①當(dāng)∠CAE＝90°時(shí)，AC2+AE2＝CE2，∴16+4t2﹣8t+16＝4t2，∴t＝4，∴E（4，23）；②當(dāng)∠ACE＝90°時(shí)，AC2+CE2＝AE2，∴16+4t2＝4t2﹣8t+16，∴t＝0（舍）；③當(dāng)∠AEC＝90°時(shí)，AE2+CE2＝AC2，∴4t2﹣8t+16+4t2＝16，∴t＝0（舍）或t＝1，∴E（1，3）；綜上所述：E點(diǎn)坐標(biāo)為（4，23）或（1，3）．【變式1-2】（日喀則市月考）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+5的圖象與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，M為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．（1）求M點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△MBC的面積；（3）坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)N，使得以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，即可求頂點(diǎn)M；（2）過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，由S△MBC＝S四邊形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC求解即可；（3）分三種情況討論：①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，作CN1⊥BC交坐標(biāo)軸為N1，OB＝ON1＝5，則N1（﹣5，0）；②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，作BN2⊥BC交坐標(biāo)軸為N2，OC＝ON2＝5，則N1（0，﹣5）；③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O與N3重合，則N3（0，0）．【解答】解：（1）y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，∴M（2，9）；（2）令y＝0，得﹣x2+4x+5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），令x＝0，得y＝﹣x2+4x+5＝5，∴C（0，5），過(guò)點(diǎn)M作ME⊥y軸于點(diǎn)E，∴S△MBC＝S四邊形MBOE﹣S△MCE﹣S△BOC=1（3）存在點(diǎn)N，使得以B，C，N為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由如下：∵OB＝OC＝5，∠COB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴△BOC是等腰直角三角形，①當(dāng)C為直角頂點(diǎn)時(shí)，作CN1⊥BC交坐標(biāo)軸為N1，∠CN1B＝∠CBN1＝45°，∴OB＝ON1＝5，∴N1（﹣5，0）；②當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，作BN2⊥BC交坐標(biāo)軸為N2，∠CN2B＝∠BCN2＝45°，∴OC＝ON2＝5，∴N1（0，﹣5）；③當(dāng)N為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O與N3重合，∴N3（0，0）．綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．【變式1-3】（平南縣二模）如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且A（﹣1，0），對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2．（1）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)P，當(dāng)∠PAB＝45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）設(shè)y＝（x﹣2）2+k，用待定系數(shù)法可得拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，設(shè)P（m，m2﹣4m﹣5），根據(jù)∠PAB＝45°知AM＝PM，即|m2﹣4m﹣5|＝m+1，解得m的值，即可得P的坐標(biāo)是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）由y＝x2﹣4x﹣5求出B（5，0），C（0，﹣5），設(shè)Q（2，t），有BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，分三種情況：當(dāng)BC為斜邊時(shí)，9+t2+4+（t+5）2＝50，當(dāng)BQ為斜邊時(shí)，50+4+（t+5）2＝9+t2，當(dāng)CQ為斜邊時(shí)，50+9+t2＝4+（t+5）2，分別解得t的值，即可求出相應(yīng)Q的坐標(biāo)．【解答】解：（1）設(shè)y＝（x﹣2）2+k，把A（﹣1，0）代入得：（﹣1﹣2）2+k＝0，解得：k＝﹣9，∴y＝（x﹣2）2﹣9＝x2﹣4x﹣5，答：拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣4x﹣5；（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，如圖：設(shè)P（m，m2﹣4m﹣5），則PM＝|m2﹣4m﹣5|，∵A（﹣1，0），∴AM＝m+1∵∠PAB＝45°∴AM＝PM，∴|m2﹣4m﹣5|＝m+1，即m2﹣4m﹣5＝m+1或m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），當(dāng)m2﹣4m﹣5＝m+1時(shí)，解得：m1＝6，m2＝﹣1（不合題意，舍去），當(dāng)m2﹣4m﹣5＝﹣（m+1），解得m3＝4，m4＝﹣1（不合題意，舍去），∴P的坐標(biāo)是（6，7）或P（4，﹣5）；（3）在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)Q，使得△BCQ是直角三角形，理由如下：在y＝x2﹣4x﹣5中，令x＝0得y＝﹣5，令y＝0得x＝﹣1或x＝5，∴B（5，0），C（0，﹣5），由拋物線(xiàn)y＝x2﹣4x﹣5的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，設(shè)Q（2，t），∴BC2＝50，BQ2＝9+t2，CQ2＝4+（t+5）2，當(dāng)BC為斜邊時(shí)，BQ2+CQ2＝BC2，∴9+t2+4+（t+5）2＝50，解得t＝﹣6或t＝1，∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，﹣6）或（2，1）；當(dāng)BQ為斜邊時(shí)，BC2+CQ2＝BQ2，∴50+4+（t+5）2＝9+t2，解得t＝﹣7，∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，﹣7）；當(dāng)CQ為斜邊時(shí)，BC2+BQ2＝CQ2，∴50+9+t2＝4+（t+5）2，解得t＝3，∴此時(shí)Q坐標(biāo)為（2，3）；綜上所述，Q的坐標(biāo)為（2，3）或（2，﹣7）或（2，1）或（2，﹣6）．【題型2二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問(wèn)題】【例2】（沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C．連接BC，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A）．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)P是直線(xiàn)BC上方拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥y軸，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥BC于點(diǎn)G，連接PG．求△PEG面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，將拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2（a≠0）水平向右平移32個(gè)單位，得到新拋物線(xiàn)y1，在y1的對(duì)稱(chēng)軸上確定一點(diǎn)M，使得△BDM是以BD為腰的等腰三角形，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)M【分析】（1）用待定系數(shù)法直接可得拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥PE于H，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，則AC⊥BC，由EG⊥BC得AC＝BG，根據(jù)等角的余角相等得∠ACO＝∠GEH，證明△ACO≌△GEH，可得GH＝AO＝1，用待定系數(shù)法求出直線(xiàn)BC為y=?12x+2，根據(jù)AD∥BC得直線(xiàn)AD為y=?12x?12，設(shè)P（m，?12m2+32m+2），則E（m，?12m?12），從而得PE=?12m2+2（3）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)D（5，﹣3），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，t），可得BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，分兩種情況：①當(dāng)BD＝BM時(shí)，②當(dāng)BD＝MD時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+2得：16a+4b+2=0a?b+2=0，解得a=?∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y=?12x2+（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥PE于H，∵拋物線(xiàn)y=?12x2+32x+2交∴C（0，2），∵A（﹣1，0），B（4，0），∴AB＝5，AC=12+22=∴AB2＝AC2+BC2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AD∥BC，EG⊥BC，∴AC＝BG=5∵PE∥y軸，∴∠OCG＝∠EFG，∵∠ACO+∠OCG＝90°，∠GEH+∠EFG＝90°，∴∠ACO＝∠GEH，∵∠AOC＝∠GHE＝90°，∴△ACO≌△GEH（AAS），∴GH＝AO＝1，設(shè)直線(xiàn)BC為y＝kx+n，將C（0，2），B（4，0）代入得：4k+n=0n=2，解得k=?∴直線(xiàn)BC為y=?12∵AD∥BC，A（﹣1，0），∴直線(xiàn)AD為y=?12x設(shè)P（m，?12m2+32m+2），則E（m，∴PE=?12m2+2m∴△PEG面積為12PE?GH=?14m2+m+54=?∵?1∴m＝2時(shí)，△PEG面積的最大值為94此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）；（3）∵拋物線(xiàn)y=?12x2+32x+2=?12（x?32）2+258水平向右平移3∴y1的對(duì)稱(chēng)軸為x＝3，聯(lián)立直線(xiàn)AD為y=?12x?12，拋物線(xiàn)y=?12x2+∴D（5，﹣3），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，t），∴BD2＝（5﹣4）2+32＝10，BM2＝（4﹣3）2+t2＝1+t2，MD2＝（5﹣3）2+（t+3）2＝t2+6t+13，①當(dāng)BD＝BM時(shí)，∴BD2＝BM2，∴1+t2＝10，∴t＝±3，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，3）或（3，﹣3），∵點(diǎn)（3，3）與B，D共線(xiàn)，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣3）；②當(dāng)BD＝MD時(shí)，∴BD2＝MD2，∴t2+6t+13＝10，∴t＝﹣3±6，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣3+6）或（3，﹣3?綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣3）或（3，﹣3+6）或（3，﹣3?【變式2-1】（湘西州）定義：由兩條與x軸有著相同的交點(diǎn)，并且開(kāi)口方向相同的拋物線(xiàn)所圍成的封閉曲線(xiàn)稱(chēng)為“月牙線(xiàn)”，如圖①，拋物線(xiàn)C1：y＝x2+2x﹣3與拋物線(xiàn)C2：y＝ax2+2ax+c組成一個(gè)開(kāi)口向上的“月牙線(xiàn)”，拋物線(xiàn)C1和拋物線(xiàn)C2與x軸有著相同的交點(diǎn)A（﹣3，0）、B（點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)），與y軸的交點(diǎn)分別為G、H（0，﹣1）．（1）求拋物線(xiàn)C2的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)．（2）點(diǎn)M是x軸下方拋物線(xiàn)C1上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線(xiàn)C2于點(diǎn)D，求線(xiàn)段MN與線(xiàn)段DM的長(zhǎng)度的比值．（3）如圖②，點(diǎn)E是點(diǎn)H關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接EG，在x軸上是否存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，13t2+23t﹣1），N（t，0），分別求出MN（3）先求出E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），分來(lái)兩種情況討論：①當(dāng)EG＝EF時(shí)，22=(x+2)2+1，可得F（7?2，0）或（?7?2，0）；②當(dāng)【解答】解：（1）將A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴9a?6a+c=0c=?1解得a=1∴y=13x2+在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，則y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）設(shè)M（t，t2+2t﹣3），則D（t，13t2+23t﹣1），N∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM=13t2+23t﹣1﹣（t2+2t﹣3）=?2∴MNDM（3）存在點(diǎn)F，使得△EFG是以EG為腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，∵E點(diǎn)與H點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝﹣1對(duì)稱(chēng)，∴E（﹣2，﹣1），設(shè)F（x，0），①當(dāng)EG＝EF時(shí)，∵G（0，﹣3），∴EG＝22，∴22=解得x=7?2或x∴F（7?2，0）或（?②當(dāng)EG＝FG時(shí)，22=此時(shí)x無(wú)解；綜上所述：F點(diǎn)坐標(biāo)為（7?2，0）或（?【變式2-2】（永嘉縣校級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別是y軸正半軸，x軸正半軸上兩動(dòng)點(diǎn)，OA＝2k，OB＝2k+3，以AO，BO為鄰邊構(gòu)造矩形AOBC，拋物線(xiàn)y=?34x2+3x+k交y軸于點(diǎn)D，P為頂點(diǎn)，PM（1）求OD，PM的長(zhǎng)（結(jié)果均用含k的代數(shù)式表示）．（2）當(dāng)PM＝BM時(shí)，求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式．（3）在點(diǎn)A在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若存在△ADP是等腰三角形，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足條件的k的值．【分析】（1）點(diǎn)D在y=?34x2+3x+k上，且在y軸上，即y＝0求出點(diǎn)（2）先用k表示出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)PM＝BM建立方程即可；（3）先用k表示出相關(guān)的點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)△ADP是等腰三角形，分三種情況，AD＝AP，DA＝DP，PA＝PD計(jì)算；【解答】解：（1）把x＝0，代入y=?34x2+∴y＝k．∴OD＝k．∵4ac?b2∴PM＝k+3；（2）由拋物線(xiàn)的表達(dá)式知，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝2，∴OM＝2，BM＝OB﹣OM＝2k+3﹣2＝2k+1．又∵PM＝k+3，PM＝BM，∴k+3＝2k+1，解得k＝2．∴該拋物線(xiàn)的表達(dá)式為y=?34x（3）①當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC外部時(shí)，如圖1，過(guò)P作PK⊥OA于點(diǎn)K，當(dāng)AD＝AP時(shí)，∵AD＝AO﹣DO＝2k﹣k＝k，∴AD＝AP＝k，KA＝KO﹣AO＝PM﹣AO＝k+3﹣2k＝3﹣kKP＝OM＝2，在Rt△KAP中，KA2+KP2＝AP2∴（3﹣k）2+22＝k2，解得k=13②當(dāng)點(diǎn)P在矩形AOBC內(nèi)部時(shí)，當(dāng)AP＝AD時(shí)，同法可得（k﹣3）2+22＝k2，解得k=13當(dāng)PD＝AP時(shí)，過(guò)P作PH⊥OA于H，AD＝k，HD=12k，HO＝DO+HD又∵HO＝PM＝k+3，∴3k2=解得k＝6．當(dāng)DP＝DA時(shí)，過(guò)D作PQ⊥PM于Q，PQ＝PM﹣QM＝PM﹣OD＝k+3﹣k＝3DQ＝OM＝2，DP＝DA＝k，在Rt△DQP中，DP=D∴k＝PD=13故k=136或6或【變式2-3】（杭州校級(jí)自主招生）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2﹣5ax+4經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸上，且AC＝BC．（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸；（2）求A點(diǎn)坐標(biāo)并求拋物線(xiàn)的解析式；（3）若點(diǎn)P在x軸下方且在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在△PAB是等腰三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）本題須根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式即可求出結(jié)果．（2）本題須先求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)BC兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=52對(duì)稱(chēng)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），求出m即可得出點(diǎn)（3）本題須先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再分別根據(jù)圖形求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）y＝ax2﹣5ax+4，對(duì)稱(chēng)軸：x=??5a（2）經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，已知BC∥x軸，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y上，且AC＝BC，令x＝0，y＝4，可知C點(diǎn)坐標(biāo)（0，4），BC∥x軸，所以B點(diǎn)縱坐標(biāo)也為4，又∵BC兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=5即：xB+02xB＝5，∴B點(diǎn)坐標(biāo)（5，4）．A點(diǎn)在x軸上，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)（m，0），AC＝BC，即AC2＝BC2，AC2＝42+m2，BC＝5，∴42+m2＝52，∴m＝±3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)（﹣3，0），將A點(diǎn)坐標(biāo)之一（﹣3，0）代入y＝ax2﹣5ax+4，0＝9a+15a+4，a=?1y=?16x2+將A點(diǎn)坐標(biāo)是（3，0），則與A在x軸的負(fù)半軸矛盾，故舍去．故函數(shù)關(guān)系式為：y=?16x2+（3）存在符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)．以下分三類(lèi)情形探索．設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于N，與CB交于M．過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥x軸于Q，易得BQ＝4，AQ＝8，AN＝5.5，BM=5①以AB為腰且頂角為角A的△PAB有1個(gè)：△P1AB．∴AB2＝AQ2+BQ2＝82+42＝80（8分）在Rt△ANP1中，P1N=A∴P1（52，?②以AB為腰且頂角為角B的△PAB有1個(gè)：△P2AB．在Rt△BMP2中MP2==80?=295∴P2＝（52，8?③以AB為底，頂角為角P的△PAB有1個(gè)，即△P3AB．畫(huà)AB的垂直平分線(xiàn)交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于P3，此時(shí)平分線(xiàn)必過(guò)等腰△ABC的頂點(diǎn)C．過(guò)點(diǎn)P3作P3K垂直y軸，垂足為K，顯然Rt△P3CK∽R(shí)t△BAQ．∴P3∵P3K＝2.5∴CK＝5于是OK＝1，∴P3（2.5，﹣1）．④以B為頂點(diǎn)時(shí)，交于x軸上方，求得P（52，8+【題型3二次函數(shù)中等腰直角三角形的存在性問(wèn)題】【例3】（順城區(qū)模擬）如圖，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B（5，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，5）．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D是對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E在拋物線(xiàn)上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，點(diǎn)Q在直線(xiàn)BC上方的拋物線(xiàn)上，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法，將B，C的坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，即可求得二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M′，連接MM′，BM′，則直線(xiàn)FM′為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)，xM=?b2a=2，可得△OBC是等腰直角三角形，求得點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（5，3），由﹣（3）設(shè)Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），分三種情況討論，O，P，Q分別為等腰直角三角形的頂點(diǎn)，分別作出圖形，構(gòu)造全等三角形，利用全等的性質(zhì)，建立方程，解方程求解即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（5，0），C（0，5）在拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c上，∴?52+5b+c=0∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2+4x+5；（2）設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M′，連接MM′，BM′，則直線(xiàn)FM′為拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)，∵點(diǎn)E是點(diǎn)D關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，點(diǎn)E落在拋物線(xiàn)上，∴直線(xiàn)FM′與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)E1，E2為D1，D2落在拋物線(xiàn)上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∵對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)F，∴xM∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0），∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），∴OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OBC＝45°，∴△MBF是等腰直角三角形，∴MB＝MF，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為F（2，3），∵點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)BC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)M′，∴BM′＝BM，∠MBM′＝90°，∴△MBM′是等腰直角三角形，∴BM′＝BM＝3，∴點(diǎn)M′的坐標(biāo)為（5，3），∴FM′∥x軸，∴﹣x2+4x+5＝3，解得，x1=2+6，x2=2?∴E1（2+6，3），E2（2?∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+6，3）或（2?（3）存在，Q1（3+372，?1+372），Q2（3+352，?5+3設(shè)Q（m，﹣m2+4m+5），P（2，p），①當(dāng)OP＝PQ，∠OPQ＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過(guò)Q作QK⊥x軸，交PL于K，∴∠LPO＝90°﹣∠LOP＝90°﹣KPQ，∠PLO＝∠QKP＝90°，∴∠LOP＝∠KPQ，∵OP＝PQ，∴△LOP≌△KPQ（AAS），∴LO＝PK，LP＝QK，∴p?(?m解得m1=3+352，m當(dāng)m1=3+352時(shí)，﹣m2+4m∴Q（3+352，②當(dāng)QO＝PQ，∠PQO＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過(guò)Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，同理可得△PKQ≌△QTO（AAS），∴QT＝PK，TO＝QK，∴m?2=?m解得m1=3+372，m當(dāng)m1=3+372時(shí)，﹣m2+4m∴Q（3+372，③當(dāng)QO＝OP，∠POQ＝90°時(shí)，作PL⊥y軸于L，過(guò)Q作QK⊥x軸于T，交PL于K，同理可得△OLP≌△QSO（AAS），∴SQ＝OL，SO＝LP，∴?m解得m1＝2+7，m2＝2?當(dāng)m1＝2+7時(shí)，﹣m2+4m∴Q（2+7綜上，Q1（3+372，?1+372），Q2（3+352，?5+3【變式3-1】（碑林區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線(xiàn)C1：y=14x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），頂點(diǎn)為（1）求拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）將拋物線(xiàn)C1沿x軸平移m（m＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度，所得新的拋物線(xiàn)記作C2，C2的頂點(diǎn)為D′，與拋物線(xiàn)C1交于點(diǎn)E，在平移過(guò)程中，是否存在△DED′是等腰直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出滿(mǎn)足條件的拋物線(xiàn)C2的表達(dá)式，并寫(xiě)出平移過(guò)程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）由題意可以把A（﹣2，0），C（0．﹣3）代入y=14x2+bx+c，可得C1的解析式，從而可以求的頂點(diǎn)（2）求出拋物線(xiàn)C2的頂點(diǎn)D′，兩個(gè)拋物線(xiàn)交點(diǎn)為點(diǎn)E，且△DED′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形性質(zhì)，用m分別表示出點(diǎn)E的橫縱坐標(biāo)，然后代入到C1的解析式中求出m．【解答】解：（1）由題意知：拋物線(xiàn)C1過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），點(diǎn)C（0，﹣3），將A、C的坐標(biāo)代入y=14x2+bx+可得：14解得：b=?1c=?3∴拋物線(xiàn)C1的解析式為：y=14x2﹣∴拋物線(xiàn)C1的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣4）；（2）存在，將拋物線(xiàn)C1向左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2：y=14x2+3將拋物線(xiàn)C1向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2：y=14x2﹣5理由如下：∵沿著x軸向右平移，D′坐標(biāo)為（2+m，﹣4），過(guò)E作DD′的垂線(xiàn)，交DD′垂足為M，兩個(gè)圖象總關(guān)于EM對(duì)稱(chēng)，∴DE＝D′E，∴要使得△DED′是等腰直角三角形，只要再滿(mǎn)足∠DED′＝90°即可，∵△DED′是等腰直角三角形，且EM⊥DD′，∴DD′＝2EM，M為DD′中點(diǎn)∵點(diǎn)M為DD′中點(diǎn)，所以M（2+12∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2+12設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+12m，則EM＝y(tǒng)﹣（﹣4）＝y(tǒng)+4，DD′＝m，∴m＝2（y+4），即y=12∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2+12m，1又點(diǎn)E在拋物線(xiàn)C1上，∴12m﹣4=14（2+12m）解得m＝0或8，又∵m＞0，∴m＝8，∴拋物線(xiàn)C2的解析式為：y=14（x﹣8）2﹣（x﹣8）﹣3=14x即將拋物線(xiàn)C1向右平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2：y=14x2﹣5同法可得，將拋物線(xiàn)C1向左平移8個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線(xiàn)C2：y=14x2+3【變式3-2】（瓊海二模）如圖1，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為x軸上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為y軸上的動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PF，AF．（1）求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣4），求出此時(shí)△AFP面積的最大值；（3）如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線(xiàn)AF于點(diǎn)Q，運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線(xiàn)AF的解析式為y=43x﹣4，設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），則Q（t，43t﹣4），利用三角形面積公式可得S△AFP=12PQ?OA=12（﹣t2+23t（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F(xiàn)（0，n），分兩種情況：①當(dāng)AP＝AF，∠PAF＝90°時(shí)，②當(dāng)AP＝PF，∠APF＝90°時(shí)，分別討論計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（3，0）、B（﹣1，0），∴9a+3b+3=0a?b+3=0解得：a=?1b=2∴該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸交直線(xiàn)AF于點(diǎn)Q，設(shè)直線(xiàn)AF的解析式為y＝kx+d，∵A（3，0），F(xiàn)（0，﹣4），∴3k+d=0d=?4解得：k=4∴直線(xiàn)AF的解析式為y=43設(shè)P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），則Q（t，43t∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（43t﹣4）＝﹣t2+2∴S△AFP=12PQ?OA=12（﹣t2+23t+7）×3=?3∵?32＜∴當(dāng)t=13時(shí)，△AFP面積的最大值為（3）設(shè)P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F(xiàn)（0，n），∵A（3，0），∴OA＝3，OF＝|n|，①當(dāng)AP＝AF，∠PAF＝90°時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADP＝90°＝∠AOF，∴∠PAD+∠APD＝90°，∵∠PAD+∠FAO＝90°，∴∠APD＝∠FAO，在△APD和△FAO中，∠ADP=∠AOF∠APD=∠FAO∴△APD≌△FAO（AAS），∴PD＝OA，AD＝OF，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，∴﹣m2+2m+3＝3，解得：m＝0或2，當(dāng)m＝0時(shí)，P（0，3），AD＝3，∴OF＝3，即|n|＝3，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴n＝﹣3，∴F（0，﹣3）；當(dāng)m＝2時(shí)，P（2，3），AD＝1，∴OF＝1，即|n|＝1，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴n＝﹣1，∴F（0，﹣1）；②當(dāng)AP＝PF，∠APF＝90°時(shí)，如圖3，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，PG⊥y軸于點(diǎn)G，則∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，∴四邊形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD＝90°，∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，∴∠FPG＝∠APD，在△FPG和△APD中，∠PGF=∠PDA∠FPG=∠APD∴△FPG≌△APD（AAS），∴PG＝PD，F(xiàn)G＝AD，∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，∴﹣m2+2m+3＝m，解得：m=1?132（舍去）或當(dāng)m=1+132時(shí)，P（1+∴FG＝AD＝3﹣m＝3?1+∴F（0，13?綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，13?【變式3-3】（棗莊）如圖①，已知拋物線(xiàn)L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（1，0），過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C，∠AOB的平分線(xiàn)交線(xiàn)段AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的關(guān)系式；（2）若動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)OE下方的拋物線(xiàn)上，連結(jié)PE、PO，當(dāng)△OPE面積最大時(shí)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；（3）將拋物線(xiàn)L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度，使平移后所得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)落在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），求h的取值范圍；（4）如圖②，F(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)P，使△POF成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得拋物線(xiàn)的解析式；（2）過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），根據(jù)OE的解析式表示點(diǎn)G的坐標(biāo)，表示PG的長(zhǎng)，根據(jù)面積和可得△OPE的面積，利用二次函數(shù)的最值可得其最大值；（3）求出原拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱(chēng)軸與OE的交點(diǎn)坐標(biāo)、與AE的交點(diǎn)坐標(biāo)，用含h的代數(shù)式表示平移后的拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，列出不等式組求出h的取值范圍；（4）存在四種情況：作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，證明△OMP≌△PNF，根據(jù)|OM|＝|PN|，列方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；同理可得其他圖形中點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)L：y＝x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（1，0），∴1+b+c=0c=3，解得b=?4∴拋物線(xiàn)的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）如圖，過(guò)P作PG∥y軸，交OE于點(diǎn)G，設(shè)P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直線(xiàn)OE的解析式為：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG=12PG=12×3×（﹣m2=?32（m2﹣5=?32（m?52∵?3∴當(dāng)m=52時(shí)，△此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（52，?（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得拋物線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，頂點(diǎn)為（2，﹣1），拋物線(xiàn)L向上平移h個(gè)單位長(zhǎng)度后頂點(diǎn)為F（2，﹣1+h）．設(shè)直線(xiàn)x＝2交OE于點(diǎn)DM，交AE于點(diǎn)N，則E（2，3），∵直線(xiàn)OE的解析式為：y＝x，∴M（2，2），∵點(diǎn)F在△OAE內(nèi)（包括△OAE的邊界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）設(shè)P（m，m2﹣4m+3），分四種情況：①當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過(guò)P作MN⊥y軸，交y軸于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），則﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m=5+52∴P的坐標(biāo)為（5?52，②當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的左邊，且在x軸上方時(shí)，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1=3+52（舍）或m∴P的坐標(biāo)為（3?52，③當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸下方時(shí)，如圖，過(guò)P作MN⊥x軸于N，過(guò)F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，則﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m=3+52或mP的坐標(biāo)為（3+52，④當(dāng)P在對(duì)稱(chēng)軸的右邊，且在x軸上方時(shí)，如圖，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m=5+52P的坐標(biāo)為：（5+52，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（5?52，1?52）或（3?52，5+12）或（【題型4二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問(wèn)題】【例4】（墾利區(qū)二模）已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線(xiàn)段AC上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，AB＝4，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線(xiàn)的解析式；（2）連接AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（?32，3（3）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將B（1.0），A（﹣3.0）代入y＝ax2+bx+3，即可求解析式；（2）求出直線(xiàn)AC的解析式，即可知D（m．m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），再求S△ACE=12×3×（﹣m2﹣3m）=?32（m（3）設(shè)Q（n，t），分①當(dāng)BC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，②當(dāng)BE為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，③當(dāng)BQ為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)三種情況求解即可．【解答】解：（1）∵點(diǎn)B（1，0），，AB＝4，∴A（﹣3，0），將A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，∴z+b+3=09a?3b+3=0解得：a=?1b=?2∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）由（1）知，C（0，3），設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+b′（k≠0），則?3k+b′=0b′=3解得：k=1b′=3∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝x+3，∴D（m，m+3），E（m，﹣m2﹣2m+3），∴DE＝﹣m2﹣3m，∴S△ACE==12×3×（﹣m2﹣3m）=?32（m∴當(dāng)x=?32時(shí)，S△∴D（?32，故答案為：（?32，（3）解：存在，理由如下：∵m＝﹣2，∴E（﹣2.3），設(shè)Q（n．t），如圖：①當(dāng)BC為平行四邊形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，1+0=?2+n0+3=3+t解得：n=3t=0∴Q1（3，0）；②當(dāng)BE為平行四邊形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，則1?2=0+n0+3=3+t解得：n=?1t=0∴Q2（﹣1，0）；③當(dāng)BQ為平行四邊形對(duì)角線(xiàn)時(shí)，則1+n=0?20+t=3+3解得：n=?3t=6∴Q3（﹣3，6）．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)Q為（3，0）或（﹣1，0）或（﹣3，6）時(shí)，以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形．【變式4-1】（澄邁縣模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．（1）求該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)該拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．①在圖1中，當(dāng)﹣3＜t＜0時(shí)，求△PBO的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值；②在圖2中，若點(diǎn)P在該拋物線(xiàn)上，點(diǎn)E在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，且以A，O，P，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【分析】（1）由待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）①求出直線(xiàn)BO的解析式，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交BO于點(diǎn)G，可得E（t，﹣t）再由S=?32（t+32②設(shè)E（﹣1，m），根據(jù)平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的情況，分三種情況討論：當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)；利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可；【解答】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y＝ax2+bx，將A（﹣2，0），B（﹣3，3）代入，∴4a?2b=09a?3b=3解得a=1b=2∴y＝x2+2x，∴C（﹣1，﹣1）；（2）①∵P的橫坐標(biāo)為t，∴P（t，t2+2t），設(shè)直線(xiàn)BO的解析式為y＝kx，∴﹣3k＝3，∴k＝﹣1，∴y＝﹣x，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交BO于點(diǎn)G，∴E（t，﹣t）∴PG＝﹣t﹣t2﹣2t＝﹣t2﹣3t，∴S=12×3×（﹣t2﹣3t）=?32（t∵﹣3＜t＜0，∴t=?32時(shí)，S有最大值②∵y＝x2+2x，∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，設(shè)E（﹣1，m），當(dāng)AO為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，?2=t?10=解得t=?1m=1∴P（﹣1，﹣1）；當(dāng)AP為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，t?2=?1t解得t=1m=3∴P（1，3）；當(dāng)AE為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，?2?1=tm=解得t=?3m=3∴P（﹣3，3）；綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）或（1，3）或（﹣3，3）；【變式4-2】（福山區(qū)一模）如圖，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，且OC＝3OA，拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）若點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥x軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q，試探究是否存在以點(diǎn)E，D，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形．若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）先求得C（0，3），再利用待定系數(shù)法求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式，再利用待定系數(shù)法求解即可；（3）設(shè)p（a，a2﹣2a﹣3），因?yàn)镻Q⊥x軸交直線(xiàn)BC于點(diǎn)Q，所以Q（a，a﹣3），因?yàn)镻Q∥ED，所以當(dāng)PQ＝ED時(shí)，E、D、P、Q為平行四邊形，據(jù)此即可解答．【解答】解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，0），OC＝3OA，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），把點(diǎn)A（﹣1，0）、C（0，﹣3）和B（3，0）代入拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c中，a?b+c=09a+3b+c=0解得：a=1b=?2∴拋物線(xiàn)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）設(shè)直線(xiàn)BC解析式為：y＝kx+b，把B（3，0）、C（0，﹣3）代入得：3k+b=0b=?3解得：k=1b=?3∴y＝x﹣3；（3）存在，設(shè)p（a，a2﹣2a﹣3），∴Q（a，a﹣3），∵拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為D，∴D（1，﹣4），∵E（1，0），∴|PQ|＝|yQ﹣yP|＝|a2﹣3a|，PQ∥ED，若E、D、P、Q為平行四邊形，∴PQ＝ED，∵D（1，﹣4），E（1，0），∴ED＝4，PQ＝4，∴|a2﹣3a|＝4，∴a2﹣3a＝4或a2﹣3a＝﹣4，當(dāng)a2﹣3a＝4時(shí)，解得：a1＝4，a2＝﹣1；當(dāng)a2﹣3a＝﹣4，時(shí)，Δ＜0，無(wú)解，∴P1（4，5），P2（﹣1，0），∴存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，5）或（﹣1，0）．【變式4-3】（青羊區(qū)校級(jí)模擬）拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖1，點(diǎn)P在線(xiàn)段AC上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB，垂足為D，PD交AC于點(diǎn)E．作PF⊥AC，垂足為F，求△PEF的面積的最大值；（3）如圖2，點(diǎn)Q是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線(xiàn)上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A，P，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）由PD∥OC，可得∠PEF＝∠ACO＝45°，故△PEF是等腰直角三角形，如圖1，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，則FH=12PE，可得：S△PEF=12×PE×FH=14PE2，當(dāng)PE最大時(shí)，S△PEF最大，利用待定系數(shù)法求得直線(xiàn)AC的解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則E（t，t+3），可得PE＝﹣（t（3）分兩種情形：①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有PQ∥AC，且PQ＝AC，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為G，設(shè)AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H，證得△PQG≌△ACO（AAS），根據(jù)點(diǎn)P到對(duì)稱(chēng)軸的距離為3，建立方程求解即可；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，則M（?32，32），設(shè)點(diǎn)P【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，∴設(shè)y＝a（x+3）（x﹣1），把C（0，3）代入，得：3＝a×（0+3）×（0﹣1），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，∴該拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A（﹣3，0），C（0，3），∴OA＝OC＝3，∴∠ACO＝45°，∵PD⊥AB，OC⊥AB，∴PD∥OC，∴∠PEF＝∠ACO＝45°，∵PF⊥AC，∴△PEF是等腰直角三角形，如圖1，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥PE于點(diǎn)H，則FH=12∴S△PEF=12×PE×FH=當(dāng)PE最大時(shí)，S△PEF最大，設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y＝kx+d，則?3k+d=0d=3解得：k=1d=3∴直線(xiàn)AC的解析式為y＝x+3，設(shè)P（t，﹣t2﹣2t+3），則E（t，t+3），∴PE＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+32）2∵﹣1＜0，∴當(dāng)t=?32時(shí)，PE取得最大值∴S△PEF=14PE2=14×（∴△PEF的面積的最大值為8164（3）①當(dāng)AC為平行四邊形的邊時(shí)，則有PQ∥AC，且PQ＝AC，如圖2，過(guò)點(diǎn)P作對(duì)稱(chēng)軸的垂線(xiàn)，垂足為G，設(shè)AC交對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)H，則∠AHG＝∠ACO＝∠PQG，在△PQG和△ACO中，∠PGQ=∠AOC∠PQG=∠ACO∴△PQG≌△ACO（AAS），∴PG＝AO＝3，∴點(diǎn)P到對(duì)稱(chēng)軸的距離為3，又∵y＝﹣（x+1）2+4，∴拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝﹣1，設(shè)點(diǎn)P（x，y），則|x+1|＝3，解得：x＝2或x＝﹣4，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝﹣5，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y＝﹣5，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）；②當(dāng)AC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，如圖3，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴M（?32，∵點(diǎn)Q在對(duì)稱(chēng)軸上，∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為﹣1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，根據(jù)中點(diǎn)公式得：x+（﹣1）＝2×（?3∴x＝﹣2，此時(shí)y＝3，∴P（﹣2，3）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）或（﹣2，3）．【題型5二次函數(shù)中矩形的存在性問(wèn)題】【例5】（齊齊哈爾三模）綜合與實(shí)踐如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+c的圖象交x軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），過(guò)點(diǎn)A、C的直線(xiàn)交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)D．（1）求二次函數(shù)和直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接DB，則△DAB的面積為6；（3）在y軸上確定點(diǎn)Q，使得∠AQB＝135°，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，22?2）或（0，2﹣22）（4）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以AD為邊的矩形？若存在，請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求出c的值，進(jìn)而可得出二次函數(shù)的表達(dá)式，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再由點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式；（2）聯(lián)立直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再結(jié)合點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用三角形的面積計(jì)算公式，即可求出△DAB的面積；（3）當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)各角之間的關(guān)系可得出AQ平分∠OAC，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)及面積法，可求出OQ的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸時(shí)，利用對(duì)稱(chēng)性可得出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）連接BC，則AD⊥BC，分四邊形ADMN為矩形及四邊形ADNM為矩形兩種情況考慮：①當(dāng)四邊形ADMN為矩形時(shí)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)及待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)DM的函數(shù)表達(dá)式，聯(lián)立后可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用矩形的性質(zhì)可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；②當(dāng)四邊形ADNM為矩形時(shí)，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)及待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)AM的函數(shù)表達(dá)式，聯(lián)立后可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用矩形的性質(zhì)可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將B（2，0）代入y＝﹣x2+c得：0＝﹣4+c，解得：c＝4，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+4．當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）．設(shè)直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b（k≠0），將A（﹣2，0），C（0，2）代入y＝kx+b得：?2k+b=00+b=2解得：k=1b=2∴直線(xiàn)AC的函數(shù)表達(dá)式為y＝x+2．（2）聯(lián)立直線(xiàn)AC和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式得：y=x+2y=?解得：x1=?2y∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），∴S△ABD=1故答案為：6．（3）當(dāng)點(diǎn)Q在y軸正半軸軸時(shí)，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，如圖1所示．∵點(diǎn)A，B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∴AQ＝BQ，∵∠AQB＝135°，∴∠BAQ=1∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∴OA＝OC＝2，∴∠OAC=12（180°﹣90°）＝45°，AC=2OA∴∠CAQ＝∠OAC﹣∠BAQ＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BAQ，∴AQ平分∠OAC，∴OQ＝EQ．∵S△ACQ=12CQ?OA=12AC?EQ=∴（2﹣OQ）?2＝22?OQ，∴OQ＝22?∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，22?當(dāng)點(diǎn)Q在y軸負(fù)半軸時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，2﹣22）.故答案為：（0，22?2）或（0，2﹣22（4）連接BC，則AC⊥BC，即AD⊥BC，利用待定系數(shù)法可求出直線(xiàn)BC的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝﹣x+2．分兩種情況考慮，如圖2所示．①當(dāng)四邊形ADMN為矩形時(shí)，設(shè)直線(xiàn)DM的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+m，將D（1，3）代入y＝﹣x+m得：﹣1+m＝3，解得：m＝4，∴直線(xiàn)DM的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x+4．聯(lián)立直線(xiàn)DM和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式得：y=?x+4y=?解得：x1=0y∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，4），又∵四邊形ADMN為矩形，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2+0﹣1，0+4﹣3），即（﹣3，1）；②當(dāng)四邊形ADNM為矩形時(shí)，同理可得出直線(xiàn)AM的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣x﹣2，聯(lián)立直線(xiàn)AM和拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式得：y=?x?2y=?解得：x1=?2y∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，﹣5），又∵四邊形ADNM為矩形，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1+3﹣（﹣2），3﹣5﹣0），即（6，﹣2）．綜上所述，存在這樣的點(diǎn)N，使得以點(diǎn)A、點(diǎn)D、點(diǎn)M、點(diǎn)N為頂點(diǎn)的四邊形是以AD為邊的矩形，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣3，1）或（6，﹣2）．【變式5-1】（博山區(qū)一模）如圖，已知拋物線(xiàn)y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），直線(xiàn)BC的解析式為y=12（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D（異于點(diǎn)A），P是直線(xiàn)BC下方拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QR⊥BC于點(diǎn)R，連接PR．求△PQR面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖2，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，將拋物線(xiàn)沿射線(xiàn)C′A的方向平移25個(gè)單位長(zhǎng)度得到新的拋物線(xiàn)y′，新拋