山東省濟南市歷城區(qū)2023-2024學年八年級上學期12月月考數(shù)學試題（解析版）

歷城三中初二級部12月數(shù)學作業(yè)質量反饋

一、選擇題

1.已知?45c的三邊為0,b,c,下列條件不能判定"SC為直角三角形的是()

A.ZANB"C=3:4:5B.9=(a+c)(a-c)

c.Z/-Z5=ZCD.a：b:c=l:也:后

【答案】A

【解析】

【分析】根據勾股定理的逆定理及三角形內角和定理對各選項進行逐一判斷即可.

【詳解】解：A、設乙4=3x,則NB=4x,ZC=5x,

...Zi4+Z5+ZC=180°,

...3.T+4.V+5.V=ISO0,解得x=15°,

最大角47=5x15。=75。，

此三角形不是直角三角形，故本選項符號題意；

/=(a+c)(a-c)

D>.'八7,

.b=(a+c)(a-c)=a-c

，

即=J,

此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

c,vZ^+Z5+ZC=180°,ZZ-Z5=ZC,

.?.4=90°,

???此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

D、/:b:c=\:也:后,設a=x>0,則6=Tlx,c=氐,

即有2?+/=1,

???此三角形是直角三角形，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查勾股定理及三角形內角和定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵.

2.下列計算正確的是()

r彳

1

A.瓜=4B,T8=2C.A=±5D.耐

【答案】B

【解析】

【分析】根據平方根、算術平方根和立方根的意義逐個判斷即可求得答案.

【詳解】解：A、716=4,反樂,故A選項錯誤；

B、二,故B選項正確;

c、4=5,故C選項錯誤；

D、=小=1,故D選項錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查了平方根、算術平方根和立方根的意義，熟練掌握平方根、算術平方根和立方根的意義

是解決本題的關鍵，注意平方根與算術平方根的區(qū)別.

3.下列命題中，是真命題的是（）

A.對頂角相等B.三角形的三個內角一定都是銳角

C.如果磁=匕2,那么a=6D.如果兩直線平行，那么同旁內角相等

【答案】A

【解析】

【分析】利用對頂角的性質、三角形的內角和及平行線的性質分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、對頂角相等，正確，是真命題，符合題意；

B、三角形的三個內角可以有一個鈍角或直角，故原命題錯誤，不符合題意；

C、如果。2=加，那么0=±6,故原命題錯誤，不符合題意；

D、如果兩直線平行，那么同旁內角互補，故原命題錯誤，不符合題意.

故選：A.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解對頂角的性質、三角形的內角和及平行線的性

質.

4.如圖，直線a”,將含有45°的三角板幺5c的直角頂點c放在直線6上，若Nl=25°,則N2的度

數(shù)是（）

A

b

A.10°B」5。C.25°D.X。

【答案】D

【解析】

【分析】過8作推出根據平行線性質得出=Z1=ZCB￡=25°,

根據-430=45。，求出Z48E,即可得出答案.

【詳解】解：過B作BE"。，

則：/.2=ZABE,

?：b//a,

:.BE//b,

.-.Z1=ZC5￡=250,

?.?ZZ5C=45°,

.-.Z2=AABE=ZABC-ACBE=45°-25°=20°.

故選：D.

【點睛】本題考查了平行線性質的應用，解此題的關鍵是正確作出輔助線.

5.某校對部分參加研學活動的中學生的年齡（單位：歲）進行統(tǒng)計，結果如表:

年齡13141516

人數(shù)1342

則這些學生年齡的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）

A.15,15B.15,13C.15,14D14,15

【答案】A

【解析】

【分析】根據眾數(shù)和中位數(shù)的定義計算判斷即可.

【詳解】：數(shù)據15出現(xiàn)的次數(shù)最多，為4次，

該組數(shù)據的眾數(shù)是15；

:該組共有1+3+4+2=10個數(shù)據，

該組數(shù)據的中位數(shù)是第五個，第六個數(shù)據的平均數(shù)，

Vl+3<5<l+3+4,1+3<6<1+3+4,

.?.第五個，第六個數(shù)據都在15這一組中，

15+15

該組數(shù)據的中位數(shù)是第五個，第六個數(shù)據的平均數(shù)為-=15,

故選A.

【點睛】本題考查了數(shù)據的眾數(shù)，中位數(shù)，熟練掌握眾數(shù)的定義，中位數(shù)的定義，并能靈活確定數(shù)據，準

確計算中位數(shù)是解題的關鍵.

6.已知（匕'）為第四象限內的點，則一次函數(shù)】'=后」A的圖象大致是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根據（*6）為第四象限內的點，可得上＞°力＜°,從而得到-6＞0,進而得到一次函數(shù)

丁二匕-6的圖象經過第一、二、三象限，即可求解.

【詳解】解：：（無力）為第四象限內的點，

?.?k＞0,6＜0，

-b＞Q,

...一次函數(shù)】'二6-6的圖象經過第一、二、三象限.

故選：A

【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，一次函數(shù)的圖象，熟練掌握一次函數(shù)丁=h+"kH°）,當

片＞°力＞°時，一次函數(shù)圖象經過第一、二、三象限；當上＞°上＜°時，一次函數(shù)圖象經過第一、三、

四象限；當斤＜°力＞°時，一次函數(shù)圖象經過第一、二、四象限；當上＜0朽＜°時，一次函數(shù)圖象經過

第二、三、四象限是解題的關鍵.

7.如圖，A/BC的頂點A、R、C在邊長為1的正方形網格的格點上，3Z）_L4c于點D.則3D的長為

C.5D.5

【答案】c

【解析】

【分析】利用勾股定理求4c的長度，然后由面積法求得的長度，即可求解.

【詳解】解：如圖，由勾股定理得月。二桿工^二指,

1111f-

46

..BD=~.

故選：c.

【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，利用面積法求得線段3Q的長度是解題的關鍵.

8.如圖，在△ABC中，AB=AC,A/N是A8的垂直平分線，△BNC的周長是24cm,BC=10cm,則45的

長是（）

A.17cmB.12cmC.14cmD.34cm

【答案】C

【解析】

【分析】根據垂直平分線的性質可得：AN=BN,根據ABEC的周長和8C的長度得出AC=14cm,再利用

AB=AC,貝UA8=AC=14cm.

【詳解】解：:MN是AB的垂直平分線，

:.AN=BN,

「△BNC的周長是24cm,BC=10cm,

：.BN+NC+BC=AN+NC+BC=AC+BC=24（cm）,

.,.AC=14cm,

'：AB=AC,

.*.AB=14cm,

故選：C

【點睛】本題考查垂直平分線的性質以及等腰三角形的性質，解題的關鍵是掌握垂直平分線的性質，求出

AC=14cm.

9.如圖，等腰RtAQM的斜邊。4在I軸的正半軸上，。為坐標原點，以點。為圓心，的長為半徑畫

LBC

弧，交C4于點C,再分別以點a,c為圓心，以大于2的長為半徑畫弧，兩弧交于點E,作射線

CE交AB于點、D,若點B的坐標為則點。的坐標為（）

【答案】C

【解析】

【分析】連接￡1°,過點B作3尸,04,根據P-tAQM是等腰直角三角形得到0。=月。即可求解.

【詳解】解：連接工,過點2作月斤_1_。力，如圖所示，

由題意得：°E是/30C的角平分線，RtAOAS是等腰直角三角形，

DCLOA,乙4=45。，

.-.DC=AC,

1/RtAO/43是等腰直角三角形，點R的坐標為（U1,

.?.Q4=2,AF=\,

OB=>/0F'+BF'=Ji'+l'=季,

由題意得：OB=OC=R,

AC=OA-OC=2-->/2=DC,

.?.點。的坐標為

故選：C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和角平分線的性質，靈活運用所學知識是解題關鍵.

10.已知A,2兩地間有汽車站C,客車由A地駛向C站，貨車由8地經過C站去A地（客貨車在A,C

兩地間沿同一條路行駛），兩車同時出發(fā)，勻速行駛（中間不停留），貨車的速度是客車速度的4.如

圖所示是客、貨車離c站的路程與行駛時間之間的函數(shù)關系圖象，小明由圖象信息得出如下結論：

①貨車速度為60千米/時②B、C兩地相距120千米

③貨車由8地到A地用12小時④客車行駛240千米時與貨車相遇.

你認為正確的結論有（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】c

【解析】

【分析】①根據客車由A地駛向C站判斷出函數(shù)圖象，然后根據速度=路程+時間列式計算即可得解；

②根據貨車與客車的速度的關系求出貨車的速度，然后求出間的距離，③求出月3間的距離，再根據

時間=路程+速度計算即可求出貨車到達A地的時間；④設兩車:v小時后相遇，然后根據相遇問題的等量

關系列方程求解即可.

【詳解】解：由題意得，客車由A地駛向C站共需要9小時，行駛路程為720千米，

---80

所以，客車速度9千米/小時，

5

?.?貨車的速度是客車速度的；，

-80x2-60,

.貨車的速度4千米/時；故①正確；

B、C間的距離為60x2=120千米，故②正確；

A、E兩地間的距離為1尤+720?840千米，

840_14

/貨車由B地到A地用時為：而.小時，故③錯誤；

設兩車X小時后相遇，

由題意得，(80+60)1=840；

解得x=6,

此時，客車行駛路程為6xS0=480千米，故④錯誤；

綜上所述，正確的結論有2個.

故選：C.

【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的應用，主要利用了路程、時間、速度三者之間的關系，從圖象準確獲取信

息并判斷出客車的函數(shù)圖象是解題的關鍵.

二、填空題

11.當時，點在y軸上.

【答案】2

【解析】

【分析】直接根據坐標軸上點的特征計算即可.

【詳解】?.?點火在y軸上，

即。=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查了平面直角坐標系中點的坐標特征，龍軸上的點縱坐標為0,y軸上的點橫坐標為0.

12.若一組數(shù)據1,2,x,4的眾數(shù)是1,則這組數(shù)據的方差為.

【答案】1'5

【解析】

【詳解】試題分析：眾數(shù)是這組數(shù)據出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，由此判斷x為1,這組數(shù)據的平均數(shù)是

2-(1--+(2-2)3+(4-2

(1+2+1+4)+4=2,所以方差為，4=1.5,

故這組數(shù)據的方差為15

【點睛】考點：方差計算.

13.若(°小/,L'n)為直線丁=一1一5上的兩個點，則Ji,的大小關系是Ji(填

“=”或)

【答案】＜

【解析】

【分析】根據一次函數(shù)的增減性，即可求解.

【詳解】解：

.?.y隨x的增大而減小，

...(0仍)，(-2,必)為直線y=-X-5上的兩個點，°＞一2,

故答案為：＜

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質，求函數(shù)值，熟練掌握對于一次函數(shù)°I當

左＞0時，T隨T的增大而增大，當k＜0時，J隨T的增大而減小是解題的關鍵.

"y=x+2

14.如圖，直線y=x+2與直線y=fcv+6交于點尸(3,“)，則方程組I】'=看+6的解—.

【答案】［y=5

【解析】

【分析】首先求出尸點坐標，再根據兩函數(shù)圖象的交點坐標即為兩函數(shù)組成的方程組的解.

【詳解】解：：直線產尤+2過點尸(3,〃)，

行3+2=5,

：.P(3,5),

直線y=x+2與直線y=kx+6父于點P,

rv=x+2fx=3

<

，方程組［y=ax+c的解為［y=5.

x=3

（

故答案為：I】'=5.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程組，關鍵是掌握二元一次方程（組）與一次函數(shù)圖象的

關系.

15.某校規(guī)定：學生的平時測試、期中測試、期末測試三項成績分別按20%,40%,40%的比例計入學期總

評成績.小明的平時測試、期中測試、期末測試的體育成績依次為90分，90分，95分，則小明這學期的

體育總評成績?yōu)榉?

【答案】92

【解析】

【分析】小明這學期的體育總評成績?yōu)槠綍r測試、期中測試、期末測試的成績與其對應百分比的乘積之

和.

【詳解】解：小明這學期的體育總評成績?yōu)椋?0X20%+90X40%+95X40%=92（分）.

故答案為：92

【點睛】本題考查了加權平均數(shù)的計算，熟練掌握加權平均數(shù)的計算公式是解本題的關鍵.

16.如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形°嵋的直角邊在x軸上，點A在第一象限，且

OA=\,以點4為直角頂點，為一直角邊作等腰直角三角形,再以點4為直角頂點，%為

直角邊作等腰直角三角形。44…依此規(guī)律，則點4o”的坐標是.

-T2

-T4

-6

fclOll70n

【答案】?

【解析】

【分析】首先根據圖形的變化得出的變化規(guī)律，判斷出點4023的所在象限，再求出其坐標即可.

竺二g

【詳解】解：由已知，點4每次旋轉轉動45°,則轉動一周需轉動45°（次），

而。4=&+1，=￡

=,（可+（可=2=（可

333

0A3=V2+2=2>/2=（V2）

'f,

...,

以=（閭］為正整數(shù)）,

即每次轉動點A到原點的距離變?yōu)檗D動前的W倍,

2023=252x8+7,

二點4”的在第四象限的角平分線上，

..%23=（W嚴］

設點4S3（X，-X）,其中:f>0,

/+（-*『=I"陽叫

v2_182

jr/,^1011_^1011

.?.點的坐標是I-

故答案為：L>.

【點睛】本題是平面直角坐標系下的規(guī)律探究題，除了研究動點變化的相關數(shù)據規(guī)律，還應該注意各個象

限內點的坐標符號.

三、解答題

17.計算

V32-3.9"

(Vs+V21(Vs—V5")+y/sx

【答案】⑴2

②3

【解析】

【分析】（1）先化簡二次根式，再計算加減即可;

(2)先計算平方差及二次根式的乘法，再相加減即可.

【小問1詳解】

=4#一監(jiān)右

_7里

【小問2詳解】

(Vs+V?)(后-^x

=(4-(^)+

=3-2+2

=3.

【點睛】此題考查了二次根式的混合運算，涉及的知識有：平方差公式，二次根式的化簡，合并同類二次

根式，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵.

18.解方程組：

y=2x-4

⑴[3x+j，=l

?[x-y=-1

⑵"+丁=7.

\=1

【答案】⑴[y=--

<x=2

⑵[y=5

【解析】

【分析】本題考查解二元一次方程組.

(1)代入法解方程組；

(2)加減消元法解方程組即可.

掌握消元法解方程組，是解題的關鍵.

【小問1詳解】

v=2x-4(D

解:t3x+j，=@,

把①代入②，得：3.T+2T-4=1,解得：x=l,

把X=1代入①，得：尸一2,

X=1

?..方程組的解為：u、=-1

【小問2詳解】

2x-j=-l：1)

x+y=7?

?,得：3>=d,解得：，.

把x?1代入②，得：「=5,

x=2

《

...方程組的解為：U'=5.

(1)在如圖所示的平面直角坐標系中描出點AB，。，并畫出~45C；

(2)畫出關于J軸對稱的A43'。'；

(3)點2在\軸上，并且使得擊+尸。的值最小，請寫出點P坐標(—,—)及Q+PC的最小值

【答案】(1)圖見解析

(2)圖見解析(3)3

【解析】

【分析】本題考查坐標與圖形變換一軸對稱，一次函數(shù)與坐標軸的交點問題.

(1)根據點在的坐標直接在坐標系中描點即可，再將三個點依次連接，得到?45c即可；

(2)根據軸對稱的性質，畫出即可；

(3)作A點關于X軸的對稱點4,連接4°,與X軸的交點即為點尸，最小值即為4c的長，即可得出

結果.

掌握軸對稱的性質，是解題的關鍵.

【小問1詳解】

解：描出點畫出如圖所示;

【小問2詳解】

如圖所示，即為所求；

【小問3詳解】

作A點關于t軸的對稱點4,連接40,與x軸的交點即為點P,如圖所示;

VA

設直線4c的解析式為：J=n+b,把點（5二I/LY）代入，得:

k=—o

’2=5k+6~11

,7工b=-—

[-4=左+“解得：I

311

一J'=K-k

11

X=一

當J=on時，3,

AP+PC的最小值為4c的長=次+6,=2y/13.

故答案為：?。二相

20.如圖，點B,c分別在/A的兩邊上，點D是/A內一點，DE1AB,DF1AC,垂足分別為

E,F,且AB=AC,DE=DF.求證：BD=CD.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】連接AD,先利用條件證明AABD0AACD,即可證明BD=CD.

【詳解】連接AD,

■.■DE1AB,DF1AC,DE=DF,

在AABD和AACD中

'AB=AC

,NBAD=4CAD

AD=AD

AABD絲AACD,（AQj,

..BD=CD.

【點睛】本題考查了證明三角形全等的方法，熟練掌握即可解題.

21.2023年，國內文化和旅游行業(yè)復蘇勢頭強勁.某社團對30個地區(qū)“五一”假期的出游人數(shù)進行了調

查，獲得了它們“五一”假期出游人數(shù)（出游人數(shù)用力表示，單位：百萬）的數(shù)據，并對數(shù)據進行統(tǒng)計

整理.數(shù)據分成5組：

A組：<12；B組：c組：23s加<34；D組：34s加<45；E組：

45<w<56.

下面給出了部分信息：

a.8組的數(shù)據：12,13,15,16,17,17,18,20.

b.不完整的“五一”假期出游人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖如下:

地區(qū)個數(shù)（頻數(shù)）

請根據以上信息完成下列問題：

（1）統(tǒng)計圖中E組對應扇形的圓心角為度；

（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；

（3）這30個地區(qū)“五一”假期出游人數(shù)的中位數(shù)是百萬;

（4）各組“五一”假期的平均出游人數(shù)如下表：

ABCDE

組別

l<m<1212<w<2323<w<3434<m<45450加<56

平均出游人數(shù)（百萬）5.51632.54250

求這30個地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù).

【答案】（1）36（2）詳見解析

（3）15.5（4）20百萬

【解析】

【分析】（1）由E組的個數(shù)除以總個數(shù)，再乘以360°即可；

（2）先用。組所占百分比乘以總個數(shù)得出其個數(shù)，再用總個數(shù)減去A、B、D、E組的個數(shù)得出C組個

數(shù)，最后畫圖即可；

（3）根據中位數(shù)的定義可得出中位數(shù)為第15和16個數(shù)的平均數(shù)，第15和16個數(shù)均在8組，求解即

可；

（4）根據加權平均數(shù)的求解方法計算即可.

【小問1詳解】

—X360°=36°

30,

故答案為：36；

【小問2詳解】

。組個數(shù)：30TO%=3個，

c組個數(shù)：30-12-8-3-3=4^,

補全頻數(shù)分布直方圖如下：

地區(qū)個數(shù)（頻數(shù)）

12

10

1

°'1223344556吳數(shù)/百萬【小問3詳解】

共30個數(shù)，中位數(shù)為第15和16個數(shù)的平均數(shù)，第15和16個數(shù)均在8組,

----=15.5

???中位數(shù)為2百萬，

故答案為：15.5；

【小問4詳解】

5.5x12+16x8+32.5x4+42x3+50x3”

---------------------------------------------=20

30（百萬），

答：這30個地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù)是20百萬.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖的相關知識，涉及求扇形所對的圓心角的度數(shù)，畫頻數(shù)

分布直方圖，求中位數(shù)，求加權平均數(shù)，熟練掌握知識點，并能夠從題目中獲取信息是解題的關鍵.

22.某商場計劃購進A、8兩種新型節(jié)能臺燈共100臺，這兩種臺燈的進價、售價如下表所示：

類型進價（元/盞）售價（元/盞）

A型3045

B型5070

（1）若商場預計進貨款為3500元，則這兩種臺燈各購進多少盞？

（2）若商場規(guī)定A型臺燈的進貨數(shù)量35WxW40臺，應怎樣進貨才能使商場在銷售完這批臺燈時獲利最

多？此時利潤為多少元？

【答案】（1）應購進A型臺燈75盞，8型臺燈25盞；

（2）商場購進A型臺燈35盞，8型臺燈65盞，銷售完這批臺燈時獲利最多，此時利潤為1825元.

【解析】

【分析】（1）設商場應購進A型臺燈x盞，表示出B型臺燈為（100-x）盞，然后根據進貨款=4型臺燈

的進貨款+B型臺燈的進貨款列出方程求解即可；

（2）設商場銷售完這批臺燈可獲利y元，根據獲利等于兩種臺燈的獲利總和列式整理，再求出尤的取值

范圍，然后根據一次函數(shù)的增減性求出獲利的最大值.

【小問1詳解】

設商場應購進A型臺燈x盞，則8型臺燈為（100-x）盞，

根據題意得，30x+50（100-x）=3500,

解得尸75,

所以，100-75=25,

答：應購進A型臺燈75盞，8型臺燈25盞；

【小問2詳解】

設商場銷售完這批臺燈可獲利y元，

貝i]y=（45-30）x+（70-50）（100-x）,

=15x+2000-20x,

=-5尤+2000,

即y=-5x+2000,

?：k=-5<0,y隨尤的增大而減小，35<x<40,

???x=35時，y取得最大值，此時利潤為-5x35+2000=1825元.

答：商場購進A型臺燈35盞，B型臺燈65盞，銷售完這批臺燈時獲利最多，此時利潤為1825元.

【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，一元一次方程等知識，解題的關鍵是學會根據一次函數(shù)，利用一次

函數(shù)的性質解決最值問題，屬于中考常考題型.

23.甲、乙兩車分別從8A兩地同時出發(fā)，甲車勻速前往A地，乙車勻速前往8地，到達8地立即以另一

速度按原路勻速返回到A地，設甲、乙兩車離A地的路程為y（千米），乙車行駛的時間為M時），y與無之

間的函數(shù)圖象如圖所示.

（1）乙車從A地到達B地的速度是千米/時；

（2）乙車到達8地時甲車距A地的路程是千米；

（3）求乙車返回途中，甲、乙兩車相距180千米時，乙車總共行駛的時間.

【答案】23.120

24.10025.3.5小時

【解析】

【分析】（1）根據題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據，可以計算出乙車從A地到達B地的速度；

（2）根據圖形中的數(shù)據，可以先求出m的值和甲車的速度，然后即可計算出乙車到達B地時甲車距A地

的路程；

（3）根據圖象中的數(shù)據，先計算出乙車從B地返回A地的速度，然后分兩種情況計算，即可得到乙車返

回途中，甲、乙兩車相距180千米時，乙車總共行駛的時間.

【小問1詳解】

解：由圖象可得，

乙車從A地到B地的速度為：180+1.5=120（千米/時），

故答案為：120；

【小問2詳解】

由圖象可得，

m=300-120=2.5,

甲車的速度為：（300-180）7.5=80（千米/時），

則乙車到達B地時甲車距A地的路程是300-80x2.5=300-200=100（千米），

故答案為：100；

【小問3詳解】

由圖象可得，

乙車從B地返回A地的速度為：300+（5.5-2.5）=300-3=100（千米/時），

乙車返回途中，甲、乙兩車相距180千米時，乙車總共行駛的時間為a小時，

80a-100（a-2.5）=180或300-180=100（a-2.5）,

解得a=3.5或a=3.7,

甲車從B地到A地的時間為300+80=3.75,

300-100X（3.75-2.5）=175<180,

；.a=3.7不成立,

答：乙車返回途中，甲、乙兩車相距180千米時，乙車總共行駛的時間為3.5小時.

【點睛】本題考查一次函數(shù)的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答.

24.如圖1,已知?超C,以43,4。為邊分別向?45c外作等邊2280和等邊△月CE,連接

BE、CD,則有HE=CD.

（1）如圖2,已知?45C,以為邊分別向外作等腰直角三角形4應）和等腰直角三角形閨以，

連接BE、CD,猜想BE與o。有什么數(shù)量關系？并說明理由.

（2）如圖2,連接0E,若4B=4,2C=5,30=6,302+0^2的值為.

（3）運用圖.（1）,圖（2）中所積累的經驗和知識，完成下題：如圖（3）,要測量池塘兩岸相對的兩

點2、E的距離，已經測得乙鉆。=45。,/強=90。,9=犯=100米，/=第BE的長為

（結果保留根號）.

【答案】（1）BE=CD,理由見解析

（2）82（3）100鳥

【解析】

【分析】（1）由三角形與三角形SCE都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到兩對邊相等，

兩三角形的內角都為60°,利用等式的性質得到乙Q4C=/a4R,可得出二。'。且‘取后仃人③，根

據全等三角形的性質即可得解；

（2）根據全等三角形的性質及三角形內角和定理求出4C0E=90°,進而得出

ZB0C=ZB0D=ZD0E=ZC0E=9Q°,結合等腰直角三角形的性質及勾股定理求解即可；

(3)在45的外側作,使忿)=48,連接CD.BD,就可以得出

△4Z)Cg&4BE(SAS),就有。。=BE,由勾股定理就可以求出。。的值，進而得出結論.

【小問1詳解】

解：BE=CD,理由如下：

v一，物和△月CE都為等腰直角三角形，

?.?AD=AB,AE=AC,ZDAB=ZEAC=90°，

；,ADyiB+ABAC=ZEAC+ZBAC,即皿C=SE,

.-DAC^-BAE^AS),

；.BE=CD.

【小問2詳解】

解：如圖2,連接QE，曲交c。于點。

圖2

—DAC^-BAE(Sk-b),

-,ZDCA=ZBEA,

.-ZCAE=90°,

-.^AEC+ZACE=/BEA+/BEC+ZACE=90°,

?./DCA+/ACE+4RC=ZOCE+^OEC=90°,

?.NCOE=90。，

?.ZBOC=/BOD=NDOE=NCOE=90°,

22222222

.?DE=OD+OE\BC=OB+OC\BEr=OB+OD,CE=OC+。爐，

..BC2+DE2=OD2+OE2+OB2+OC2,BD2+CE2=OB2+OD2+OC2+OE2

\BC:+DE:=BD:+CE:,

和△ZCE是等腰直角三角形，AB=4.AC=5

..BD2=2AB1=32,CE1=2AC2=50,

-.5C3+D￡:=32+50=82；

【小問3詳解】

解：在45的外側作4CUH3,使4)=45,連接8.30,

BC

圖3

:.ADAB=90°,

■：AD=AB,

.-.AABD=ZADB=45°,

■；^ABC=45°,

.?.乙43。+乙45c=90。，

即ZD2C=90。，

■：ZCAE=90°,

:"DAB=ZCAE,

:"DAB+ABAC=^CAE+ABAC,

即皿C=Z^￡,

...△ADC刈△ASE(SAS),

:CD=BE,

在RtZiARD中，HS=100米，

由勾股定理，得BD=100桓,

?.?3。=100米，

33

...CD=7100+(100>/2)=10073；

:.BE=CD=\OQ6

【點睛】本題是三角形綜合題，考查全等三角形的判定和性質，本題要利用正方形的特殊性，巧妙地借助

兩個三角形全等，尋找三角形面積之間的等量關系是解決問題的關鍵.

25.如圖，在平面直角坐標系中，直線48：J'=h-b與X軸交于點乂(&0),與y軸交于點"10,6),

與直線°。交于點E.已知點。的坐標為,點C在A的左側且力。=12.

y

B

I)

(1)分別求出直線月3和直線°。的表達式;

(2)在直線CQ