2025《金版教程•高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)創(chuàng)新方案》第1節(jié) 隨機(jī)抽樣、常用統(tǒng)計(jì)圖表

第一節(jié)隨機(jī)抽樣、常用統(tǒng)計(jì)圖表課標(biāo)解讀考向預(yù)測(cè)1.了解簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的含義及其解決問題的過程，掌握兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.2.通過實(shí)例，了解分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)和適用范圍，了解分層隨機(jī)抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法.3.在簡(jiǎn)單的實(shí)際情境中，能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題.4.能根據(jù)實(shí)際問題的特點(diǎn)，選擇恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)圖表對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行可視化描述，體會(huì)合理使用統(tǒng)計(jì)圖表的重要性.在近幾年的高考中，抽樣方法、頻率分布直方圖考查的較多，常結(jié)合樣本的數(shù)字特征出題，這部分出題比較靈活，多結(jié)合實(shí)際問題出題，考查分析問題的能力，以及處理數(shù)據(jù)的能力．預(yù)計(jì)2025年的高考仍以此形式呈現(xiàn)，可以是選擇題、填空題，也可以是解答題，在解答題中常與概率等聯(lián)合出題.必備知識(shí)——強(qiáng)基礎(chǔ)1．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(1)定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N(N為正整數(shù))個(gè)個(gè)體，從中eq\x(\s\up1(01))逐個(gè)抽取n(1≤n＜N)個(gè)個(gè)體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都eq\x(\s\up1(02))相等，我們把這樣的抽樣方法叫做eq\x(\s\up1(03))放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣；如果抽取是不放回的，且每次抽取時(shí)總體內(nèi)未進(jìn)入樣本的各個(gè)個(gè)體被抽到的概率都eq\x(\s\up1(04))相等，我們把這樣的抽樣方法叫做eq\x(\s\up1(05))不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣統(tǒng)稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣．(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣獲得的樣本稱為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本．(3)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的常用方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法有很多，eq\x(\s\up1(06))抽簽法和eq\x(\s\up1(07))隨機(jī)數(shù)法是比較常用的兩種方法．2．分層隨機(jī)抽樣一般地，按一個(gè)或多個(gè)變量把總體劃分成若干個(gè)子總體，每個(gè)個(gè)體屬于且僅屬于一個(gè)子總體，在每個(gè)子總體中獨(dú)立地進(jìn)行eq\x(\s\up1(08))簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為eq\x(\s\up1(09))分層隨機(jī)抽樣，每一個(gè)子總體稱為eq\x(\s\up1(10))層．在分層隨機(jī)抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．3．統(tǒng)計(jì)圖表(1)常見的統(tǒng)計(jì)圖表有條形圖、扇形圖、折線圖、頻率分布直方圖等．(2)作頻率分布直方圖的步驟①求eq\x(\s\up1(11))極差；②決定eq\x(\s\up1(12))組距與eq\x(\s\up1(13))組數(shù)；③將eq\x(\s\up1(14))數(shù)據(jù)分組；④列頻率分布表；⑤畫頻率分布直方圖．1．在比例分配的分層隨機(jī)抽樣中，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘以抽樣比．2．頻率分布直方圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距，不要和條形圖混淆．1．概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣．()(2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)．()(3)分層隨機(jī)抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性與層數(shù)及分層有關(guān)．()(4)頻率分布直方圖中，小長(zhǎng)方形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越大．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)從某市參加升學(xué)考試的學(xué)生中隨機(jī)抽查1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問題中，下列說法正確的是()A．總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生B．樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)C．樣本量指的是1000名學(xué)生D．個(gè)體指的是1000名學(xué)生中的每一名學(xué)生答案B解析對(duì)于A，總體指的是該市參加升學(xué)考試的全體學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，樣本是指1000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故B正確；對(duì)于C，樣本量是1000，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，個(gè)體指的是每名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，故D錯(cuò)誤．(2)(人教A必修第二冊(cè)習(xí)題9.1T5改編)為了了解高一、高二、高三學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽出一個(gè)容量為1200的樣本，三個(gè)年級(jí)學(xué)生數(shù)之比依次為k∶5∶3，已知高一年級(jí)共抽取了240人，則高三年級(jí)抽取的人數(shù)為()A．240 B．300C．360 D．400答案C解析依題意可得eq\f(k,k＋5＋3)＝eq\f(240,1200)，解得k＝2，所以高三年級(jí)抽取的人數(shù)為eq\f(3,2＋5＋3)×1200＝360.(3)(人教B必修第二冊(cè)5.1.1練習(xí)AT2改編)從某班50名同學(xué)中選出5人參加戶外活動(dòng)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將50名同學(xué)按01，02，…，50進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始從左往右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()注：表為隨機(jī)數(shù)表的第1行與第2行0347437386369647366146986371629774246792428114572042533237321676A．24 B．36C．46 D．47答案A解析由題意知，從隨機(jī)數(shù)表的第1行第5列和第6列數(shù)字開始，由表可知依次選取43，36，47，46，24.(4)從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間，頻率分布直方圖如圖．①直方圖中x的值為________；②在這些用戶中，月用電量落在區(qū)間[100，250)內(nèi)的戶數(shù)為________．答案①0.0044②70解析①由頻率分布直方圖知數(shù)據(jù)落在[200，250)內(nèi)的頻率為1－(0.0024＋0.0036＋0.0060＋0.0024＋0.0012)×50＝0.22，于是x＝eq\f(0.22,50)＝0.0044.②因?yàn)閿?shù)據(jù)落在[100，250)內(nèi)的頻率為(0.0036＋0.0060＋0.0044)×50＝0.7，所以所求戶數(shù)為0.7×100＝70.考點(diǎn)探究——提素養(yǎng)考點(diǎn)一簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣例1(2024·河南部分中學(xué)高三聯(lián)考)已知某班共有學(xué)生46人，該班語(yǔ)文老師為了了解學(xué)生每天閱讀課外書籍的時(shí)長(zhǎng)情況，決定利用隨機(jī)數(shù)表法從全班學(xué)生中抽取10人進(jìn)行調(diào)查．將46名學(xué)生按01，02，…，46進(jìn)行編號(hào)．現(xiàn)提供隨機(jī)數(shù)表的第7行至第9行：844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556571998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954若從表中第7行第41列開始向右依次讀取2個(gè)數(shù)據(jù)，每行結(jié)束后，下一行依然向右讀數(shù)，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是()A．07 B．12C．39 D．44答案D解析由題意可知，得到的樣本編號(hào)依次為12，06，01，16，19，10，07，44，39，38，則得到的第8個(gè)樣本編號(hào)是44.【通性通法】(1)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需滿足：總體的個(gè)體數(shù)有限；逐個(gè)抽?。坏瓤赡艹槿。?2)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用抽簽法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的情況)、隨機(jī)數(shù)法(適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的情況)．【鞏固遷移】1．用不放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從含有10個(gè)個(gè)體的總體中，抽取一個(gè)樣本量為3的樣本，其中某一個(gè)體a“第一次被抽到”的可能性與“第二次被抽到”的可能性分別是()A．eq\f(1,10)，eq\f(1,10) B．eq\f(3,10)，eq\f(1,5)C．eq\f(1,5)，eq\f(3,10) D．eq\f(3,10)，eq\f(3,10)答案A解析第一次被抽到，顯然為eq\f(1,10)；第二次被抽到，首先第一次不能被抽到，第二次才被抽到，可能性為eq\f(9,10)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,10).考點(diǎn)二比例分配的分層隨機(jī)抽樣例2(1)(2024·河南襄城三模)現(xiàn)有300名老年人、500名中年人、400名青年人，從中按比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取n人，若抽取的老年人與青年人共21名，則n的值為()A．15 B．30 C．32 D．36答案D解析由題意可知eq\f(n,1200)＝eq\f(21,700)，解得n＝36.(2)(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有()A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)種 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)種C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)種 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種答案D解析根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣的定義知，初中部共抽取60×eq\f(400,600)＝40名，高中部共抽取60×eq\f(200,600)＝20名，根據(jù)組合數(shù)概念和分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的抽樣結(jié)果共有Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)種．故選D.【通性通法】(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算．(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體數(shù)量或反之求解：根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算．【鞏固遷移】2．某區(qū)域大型城市、中型城市、小型城市的數(shù)量之比為2∶m∶1，為了解該區(qū)域城市的空氣質(zhì)量情況，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為n的樣本．在樣本中，中型城市比大型城市多4個(gè)，比小型城市多8個(gè)，則n＝()A．24 B．28C．32 D．36答案A解析根據(jù)比例分配的分層隨機(jī)抽樣可設(shè)抽取的大、中、小型城市的數(shù)量分別為2x，mx，x，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(mx－2x＝4，,mx－x＝8，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,m＝3，))所以n＝2x＋mx＋x＝24.考點(diǎn)三統(tǒng)計(jì)圖表(多考向探究)考向1扇形圖、條形圖例3(多選)某中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行黨史知識(shí)競(jìng)賽．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖(如圖)和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖(如圖)，則下列說法正確的是()A．成績(jī)前200名的200人中，高一學(xué)生人數(shù)比高二學(xué)生人數(shù)多30B．成績(jī)第1～100名的100人中，高一學(xué)生人數(shù)不超過一半C．成績(jī)第1～50名的50人中，高三最多有32人D．成績(jī)第51～100名的50人中，高二學(xué)生人數(shù)比高一的多答案ABC解析由餅狀圖知，成績(jī)前200名的200人中，高一學(xué)生人數(shù)比高二學(xué)生人數(shù)多200×(45%－30%)＝30，A正確；由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100名的和后100名的人數(shù)相等，因此成績(jī)第1～100名的100人中，高一學(xué)生人數(shù)為200×45%×0.5＝45＜50，B正確；成績(jī)第1～50名的50人中，高一學(xué)生人數(shù)為200×45%×0.2＝18，因此高三最多有32人，C正確；第51～100名的50人中，高一學(xué)生人數(shù)為200×45%×0.3＝27，高二最多有23人，因此高二學(xué)生人數(shù)比高一的少，D錯(cuò)誤．【通性通法】(1)通過扇形圖可以很清楚地表示出各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系．(2)條形圖直觀描述不同類別或分組數(shù)據(jù)的頻數(shù)．【鞏固遷移】3．(多選)(2024·廣東梅州三模)某公司經(jīng)營(yíng)五種產(chǎn)業(yè)，為應(yīng)對(duì)市場(chǎng)變化，在五年前進(jìn)行了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整，優(yōu)化后的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)使公司總利潤(rùn)不斷增長(zhǎng)，今年總利潤(rùn)比五年前增加了一倍，調(diào)整前后各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)占總利潤(rùn)的比例如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量小于雜志B．調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)有所下降C．調(diào)整后試卷的利潤(rùn)增加不到一倍D．調(diào)整后圖書的利潤(rùn)增長(zhǎng)了一倍以上答案ABC解析設(shè)調(diào)整前的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為a，則調(diào)整后的各產(chǎn)業(yè)利潤(rùn)的總和為2a.對(duì)于A，調(diào)整前傳媒的利潤(rùn)為0.1a，雜志的利潤(rùn)為0.05a，調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)為0.24a，雜志的利潤(rùn)為0.16a，則調(diào)整后傳媒的利潤(rùn)增量為0.14a，雜志的利潤(rùn)增量為0.11a，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，調(diào)整前房地產(chǎn)的利潤(rùn)為0.45a，調(diào)整后房地產(chǎn)的利潤(rùn)為0.5a，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，調(diào)整前試卷的利潤(rùn)為0.15a，調(diào)整后試卷的利潤(rùn)為0.46a，且eq\f(0.46a,0.15a)>3，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，調(diào)整前圖書的利潤(rùn)為0.25a，調(diào)整后圖書的利潤(rùn)為0.64a，且eq\f(0.64a,0.25a)>2，故D正確．考向2折線圖例4(多選)(2024·河北唐山二模)2023年的夏季，全國(guó)多地迎來罕見極端高溫天氣．某課外小組通過當(dāng)?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)計(jì)了當(dāng)?shù)仄咴路萸?0天每天的最高氣溫與最低氣溫，得到如下圖表，根據(jù)圖表，下列判斷正確的是()A．七月份前20天最低氣溫的中位數(shù)低于25℃B．七月份前20天中最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差C．七月份前20天最高氣溫的平均數(shù)高于40℃D．七月份前10天(1～10日)最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差答案BD解析七月份前20天中，最低氣溫低于25℃的天數(shù)不超過9天，故中位數(shù)不可能低于25℃，故A錯(cuò)誤；最高氣溫的最大值大于40℃，最小值低于35℃，而最低氣溫的最大值小于30℃，最小值接近25℃，故最高氣溫的極差大于最低氣溫的極差，故B正確；最高氣溫超過40℃的天數(shù)不超過5天，且最大值不超過45℃，故平均數(shù)不可能高于40℃，故C錯(cuò)誤；前10天中，最低氣溫的分布更集中，故最高氣溫的方差大于最低氣溫的方差，故D正確．【通性通法】折線圖可以顯示隨時(shí)間(根據(jù)常用比例放置)而變化的連續(xù)數(shù)據(jù)，因此非常適用于顯示在相等時(shí)間間隔下數(shù)據(jù)的趨勢(shì)．【鞏固遷移】4．(2024·安徽滁州教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))某品牌為了研究旗下某產(chǎn)品在甲、乙兩個(gè)平臺(tái)的銷售狀況，統(tǒng)計(jì)了2023年7月到12月甲、乙官方平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額(單位：萬元)，得到如圖所示的折線圖．下列說法錯(cuò)誤的是()A．乙平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額的平均值在[31，32]內(nèi)B．甲平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額總體呈上升趨勢(shì)C．乙平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額極差比甲平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額極差小D．10、11、12月份的總營(yíng)業(yè)額甲平臺(tái)比乙平臺(tái)少答案D解析對(duì)于A，乙平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額的平均值＝eq\f(14＋21＋26＋30＋52＋47,6)≈31.7∈[31，32]，A正確；對(duì)于B，由題圖可知正確；對(duì)于C，乙平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額極差為52－14＝38，甲平臺(tái)的月營(yíng)業(yè)額極差為53－7＝46，C正確；對(duì)于D，甲平臺(tái)10、11、12月份的總營(yíng)業(yè)額為33＋44＋53＝130，乙平臺(tái)10、11、12月份的總營(yíng)業(yè)額為30＋52＋47＝129，D錯(cuò)誤．考向3頻率分布直方圖例5某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的效果，進(jìn)行了一次摸底考試，從中選取60名學(xué)生的成績(jī)，分成[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]六組后，得到不完整的頻率分布直方圖如圖所示，則分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為________；根據(jù)評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則，排名在前10%的學(xué)生可以獲獎(jiǎng)，則估計(jì)獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要________分．答案0.2588解析設(shè)分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為x，根據(jù)頻率分布直方圖，可得(0.010＋0.015＋0.020＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.25，所以分?jǐn)?shù)在[70，80)內(nèi)的頻率為0.25，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在[80，90)內(nèi)的頻率為0.25，在[90，100]內(nèi)的頻率為0.05，而0.05<10%<0.25＋0.05，所以設(shè)排名前10%的分界點(diǎn)為90－a，則0.025a＋0.005×10＝10%，解得a＝2，所以排名前10%的分界點(diǎn)為88分，即獲獎(jiǎng)的學(xué)生至少需要88分．【通性通法】頻率分布直方圖的相關(guān)結(jié)論(1)頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形的面積之和為1.(2)頻率分布直方圖中縱軸表示eq\f(頻率,組距)，故每組樣本的頻率為組距×eq\f(頻率,組距)，即矩形的面積．(3)頻率分布直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率×總數(shù)．【鞏固遷移】5．(2021·全國(guó)甲卷)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是()A．該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B．該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C．估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間答案C解析由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02＋0.04)×1×100%＝6%，故A正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正確；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值約為3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68(萬元)，故C錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖，知該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的農(nóng)戶比率約為(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正確．故選C.考向4雷達(dá)圖例6(多選)為比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值(滿分為5分)．繪制了如圖所示的六維能力雷達(dá)圖．例如，圖中甲的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象能力指標(biāo)值為5，則下列說法正確的是()A．甲的邏輯推理能力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值B．甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值高于乙的直觀想象能力指標(biāo)值C．甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值高于甲的直觀想象能力指標(biāo)值D．甲的六維能力整體水平低于乙的六維能力整體水平答案AD解析對(duì)于A，甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4，乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3，所以甲的邏輯推理能力指標(biāo)值高于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值，故A正確；對(duì)于B，甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值低于乙的直觀想象能力指標(biāo)值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值低于甲的直觀想象能力指標(biāo)值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為eq\f(4＋3＋4＋5＋3＋4,6)＝eq\f(23,6)，乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為eq\f(5＋4＋3＋5＋4＋3,6)＝4>eq\f(23,6)，所以甲的六維能力整體水平低于乙的六維能力整體水平，所以D正確．【通性通法】雷達(dá)圖可以在同一坐標(biāo)系內(nèi)展示多指標(biāo)的分析比較情況，它是由一組坐標(biāo)和多個(gè)同心圓組成的圖表．雷達(dá)圖分析法是綜合評(píng)價(jià)中常用的一種方法，尤其適用于對(duì)多屬性體系結(jié)構(gòu)描述的對(duì)象作出全局性、整體性評(píng)價(jià)，在數(shù)據(jù)可視化中經(jīng)常會(huì)用到．【鞏固遷移】6．(多選)某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中A點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為5℃，下面敘述正確的是()A．各月的平均最低氣溫都在0℃以上B．八月的平均溫差比十一月的平均溫差大C．平均最高氣溫高于20℃的月份有4個(gè)D．四月和十一月的平均最低氣溫基本相同答案ABD解析對(duì)于A，由題圖可知，各月的平均最低氣溫都在0℃以上，故A正確；對(duì)于B，由題圖可知，八月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)之間的距離大于十一月的平均最高氣溫點(diǎn)與平均最低氣溫點(diǎn)之間的距離，故B正確；對(duì)于C，由題圖可知，平均最高氣溫高于20℃的月份有七月和八月，只有兩個(gè)月份，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題圖可知，四月和十一月的平均最低氣溫均為5℃，D正確．課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．下列抽樣方法是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的是()A．質(zhì)檢員從50個(gè)零件中一次性抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn)B．課堂上，李老師對(duì)全班45名學(xué)生中點(diǎn)名表?yè)P(yáng)了3名發(fā)言積極的C．老師要求學(xué)生從實(shí)數(shù)集中逐個(gè)抽取10個(gè)分析奇偶性D．某運(yùn)動(dòng)員從8條跑道中隨機(jī)抽取一條跑道試跑答案D解析對(duì)于A，錯(cuò)在“一次性”抽取；對(duì)于B，老師表?yè)P(yáng)的是發(fā)言積極的，對(duì)每一個(gè)個(gè)體而言，不具備“等可能性”；對(duì)于C，錯(cuò)在總體個(gè)數(shù)是無限的．2．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2∶3∶5，現(xiàn)用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取一個(gè)容量為n的樣本，樣本中甲型號(hào)產(chǎn)品有12件，則此樣本的容量為()A．40 B．60C．80 D．120答案B解析由題意得，總體中甲型號(hào)產(chǎn)品所占的比例是eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(1,5).因?yàn)闃颖局屑仔吞?hào)產(chǎn)品有12件，樣本量為n，所以eq\f(1,5)×n＝12，解得n＝60.3．某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)001，002，…，599，600.從中抽取60個(gè)樣本，根據(jù)提供隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是()332118342978645607325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345A．457 B．328C．253 D．072答案D解析由題設(shè)，從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，依次為253，313，457，860，736，253，007，328，623，457，889，072，…，∵將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)001，002，…，599，600，∴前6個(gè)編號(hào)分別為253，313，457，007，328，072，∴第6個(gè)樣本編號(hào)是072.4．(2022·天津高考)為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：kPa)的分組區(qū)間為[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，下圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為()A．8 B．12C．16 D．18答案B解析志愿者的總?cè)藬?shù)為eq\f(20,（0.24＋0.16）×1)＝50，所以第三組的人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12.故選B.5．如圖為2018～2021年中國(guó)貨物進(jìn)出口總額的條形統(tǒng)計(jì)圖，則下列對(duì)于進(jìn)出口貿(mào)易額描述錯(cuò)誤的是()A．從2018年開始，2021年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最大B．從2018年開始，進(jìn)出口總額逐年增大C．從2018年開始，進(jìn)口總額逐年增大D．從2018年開始，2020年的進(jìn)出口總額增長(zhǎng)率最小答案C解析顯然2021年相對(duì)于2020年進(jìn)出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長(zhǎng)率最大，A正確；統(tǒng)計(jì)圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故B正確；2020年相對(duì)于2019年的進(jìn)口總額是減少的，故C錯(cuò)誤；顯然進(jìn)出口總額2021年的增長(zhǎng)率最大，而2020年相對(duì)于2019年的增量比2019年相對(duì)于2018年的增量小，且計(jì)算增長(zhǎng)率時(shí)前者的分母還大，故2020年的增長(zhǎng)率一定最小，D正確．故選C.6．(2023·鐵嶺模擬)某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到扇形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則下列結(jié)論中不正確的是()A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入增加B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入不變D．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入在經(jīng)濟(jì)收入中所占比重下降答案C解析因?yàn)樵摰貐^(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，不妨設(shè)建設(shè)前的經(jīng)濟(jì)收入為m，則建設(shè)后的經(jīng)濟(jì)收入為2m.對(duì)于A，從扇形統(tǒng)計(jì)圖中可以看到，新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入比建設(shè)前增加2m×37%－m×60%＝m×14%，故A正確；對(duì)于B，新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入比建設(shè)前增加2m×5%－m×4%＝m×6%>m×4%，即增加了一倍以上，故B正確；對(duì)于C，養(yǎng)殖收入的比重在新農(nóng)村建設(shè)前與建設(shè)后相同，但建設(shè)后總收入為之前的2倍，所以建設(shè)后的養(yǎng)殖收入也是建設(shè)前的2倍，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入在經(jīng)濟(jì)收入中所占比重由建設(shè)前的60%降為37%，故D正確．7．(2023·寧夏石嘴山模擬)某企業(yè)不斷自主創(chuàng)新提升技術(shù)水平，積極調(diào)整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊5種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，近年來取得了顯著效果．據(jù)悉該企業(yè)2023年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍，其中5種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例如圖所示．則下列說法錯(cuò)誤的是()A．2023年甲系列產(chǎn)品收入比2020年的多B．2023年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多C．2023年丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的eq\f(1,3)D．2023年戊系列產(chǎn)品收入是2020年戊系列產(chǎn)品收入的2倍答案C解析對(duì)于A，2023年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的20%，2020年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的30%，而該企業(yè)2023年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍，故2023年甲系列產(chǎn)品收入比2020年的多，故A正確；對(duì)于B，2023年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和占了總收入的55%，該企業(yè)2023年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍，故2023年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比2020年的企業(yè)年總收入還多，故B正確；對(duì)于C，2023年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的5%，2020年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的20%，而該企業(yè)2023年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍，故2023年丁系列產(chǎn)品收入是2020年丁系列產(chǎn)品收入的eq\f(1,2)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，2023年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的20%，2020年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的20%，而該企業(yè)2023年5種系列產(chǎn)品年總收入是2020年的2倍，故2023年戊系列產(chǎn)品收入是2020年戊系列產(chǎn)品收入的2倍，故D正確．故選C.8．(2024·河南洛陽(yáng)摸底)世界人口變化情況的三幅統(tǒng)計(jì)圖如圖所示．下列四個(gè)結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．從折線圖能看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加B．1957年到2050年各洲中北美洲人口增長(zhǎng)速度最慢C．2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多D．2050年歐洲人口與南美洲及大洋洲人口之和基本持平答案B解析由折線圖可以看出世界人口的總量隨著年份的增加而增加，故A正確；三幅統(tǒng)計(jì)圖并不能得到各個(gè)洲人口增長(zhǎng)速度的快慢，故B錯(cuò)誤；由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年亞洲人口比其他各洲人口的總和還要多，故C正確；由條形統(tǒng)計(jì)圖可知2050年歐洲人口與南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正確．二、多項(xiàng)選擇題9．某學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在一周生活方面的支出情況，抽出了一個(gè)樣本量為n的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在[50，60)內(nèi)的學(xué)生有60人，則下列說法正確的是()A．樣本中支出在[50，60)內(nèi)的頻率為0.03B．樣本中支出不少于40元的人數(shù)為132C．n的值為200D．若該校有2000名學(xué)生，則一定有600人的支出在[50，60)內(nèi)答案BC解析對(duì)于A，樣本中支出在[50，60)內(nèi)的頻率為1－(0.010＋0.024＋0.036)×10＝0.3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，n＝eq\f(60,0.3)＝200，故n的值為200，故C正確；對(duì)于B，樣本中支出不少于40元的人數(shù)為200×(0.036×10＋0.3)＝132，故B正確；對(duì)于D，若該校有2000名學(xué)生，則可能有600人的支出在[50，60)內(nèi)，故D錯(cuò)誤．10．(2024·湖北九師聯(lián)盟模擬)某企業(yè)2023年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖．已知：利潤(rùn)＝收入－支出，根據(jù)該折線圖，下列說法正確的是()A．該企業(yè)2023年1月至6月的總利潤(rùn)低于2023年7月至12月的總利潤(rùn)B．該企業(yè)2023年1月至6月的平均收入低于2023年7月至12月的平均收入C．該企業(yè)2023年8月至12月的支出持續(xù)增長(zhǎng)D．該企業(yè)2023年11月的月利潤(rùn)最大答案ABC解析因?yàn)閳D中的實(shí)線與虛線的相對(duì)高度表示當(dāng)月利潤(rùn)．由折線圖可知1月至6月的相對(duì)高度的總量要比7月至12月的相對(duì)高度總量少，故A正確；由折線圖可知1月至6月的收入都普遍低于7月至12月的收入，故B正確；由折線圖可知2023年8月至12月的虛線是上升的，所以支出持續(xù)增長(zhǎng)，故C正確；由折線圖可知11月的相對(duì)高度比7月、8月都要小，故D錯(cuò)誤．三、填空題11．某學(xué)校有高中學(xué)生1000人，其中高一年級(jí)、高二年級(jí)、高三年級(jí)的人數(shù)分別為320，300，380，為了調(diào)查學(xué)生參加“社區(qū)志愿服務(wù)”的意向，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取一個(gè)樣本量為200的樣本，那么應(yīng)抽取高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為________．答案60解析因?yàn)閷W(xué)校有高中學(xué)生1000人，抽取一個(gè)樣本量為200的樣本，所以應(yīng)抽取高二年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為eq\f(200,1000)×300＝60.12．某單位招聘員工，有250名應(yīng)聘者參加筆試，隨機(jī)抽查了其中20名應(yīng)聘者的筆試試卷，統(tǒng)計(jì)他們的成績(jī)(單位：分)如下表：分?jǐn)?shù)段[60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)[85，90)[90，95]人數(shù)1345322若按筆試成績(jī)擇優(yōu)錄取50名參加面試，可預(yù)測(cè)參加面試的分?jǐn)?shù)線為________．答案85分解析因?yàn)橛?50名應(yīng)聘者參加筆試，按筆試成績(jī)擇優(yōu)錄取50名參加面試，所以錄取的比例為1∶5.隨機(jī)抽查的20名應(yīng)聘者被錄取的人數(shù)為20×eq\f(1,5)＝4.由20名應(yīng)聘者的成績(jī)表可知，被錄取的4人成績(jī)不低于85分，故可預(yù)測(cè)參加面試的分?jǐn)?shù)線為85分．13．將一個(gè)總體分為A，B，C三層，其個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2.若用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取容量為100的樣本，則應(yīng)從C中抽取________個(gè)個(gè)體；若A，B，C三層的樣本的平均數(shù)分別為15，30，20，則樣本的平均數(shù)為________．答案2020.5解析∵A，B，C三層個(gè)體數(shù)之比為5∶3∶2，又有總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，∴應(yīng)從C中抽取100×eq\f(2,5＋3＋2)＝20個(gè)個(gè)體．樣本的平均數(shù)為eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(5,5＋3＋2)×15＋eq\f(3,5＋3＋2)×30＋eq\f(2,5＋3＋2)×20＝20.5.14．(2023·吉林長(zhǎng)春監(jiān)測(cè))我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a(單位：t)，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi)．如果當(dāng)?shù)卣Ｍ?0%以上的居民每月的用水量不超出該標(biāo)準(zhǔn)，為了科學(xué)合理確定出a的數(shù)值，政府采用抽樣調(diào)查的方式，繪制出100位居民全年的月均用水量(單位：t)頻率分布直方圖如圖，通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)全市居民用水量的分布情況，可推斷標(biāo)準(zhǔn)a大約為________．答案2.6解析前5組的頻率之和為(0.12＋0.20＋0.30＋0.44＋0.50)