22基本不等式（精講）-2022年新高一數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)(人教A版2019)

2.2基本不等式【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】1.兩個(gè)不等式重要不等式：當(dāng)a、b是任意實(shí)數(shù)時(shí)，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．基本不等式：當(dāng)a>0，b>0時(shí)有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．基本不等式表明：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．“當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立”是指若a≠b，則a2＋b2≠2ab，eq\r(ab)≠eq\f(a＋b,2)，即只能有a2＋b2>2ab，eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2).2．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.從上面可以看出，利用基本不等式求最值時(shí)，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號(hào)的條件．【題型精講】【題型一對(duì)基本不等式的理解】方法技巧對(duì)基本不等式的理解(1)不等式成立的條件：a，b都是正數(shù)．(2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：①當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；②僅當(dāng)a＝b時(shí)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等號(hào)成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.例1（2022·黑龍江·哈爾濱三中高一月考）下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．不等式a+b≥2ab恒成立 B．若a，b∈R+，則ba+C．若a，b∈R+，滿足a+2b＝1，則2a+D．存在a∈R，使得a+1a【答案】A【解析】解：對(duì)于A，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，不等式a+b≥2ab不成立，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閍，b∈R+，則ba+ab≥2ba對(duì)于C，因?yàn)閍＞0，b＞0且a+2b＝1，所以2a+1b=(2a+對(duì)于D，當(dāng)a＝1時(shí)，a+1a≤2故選：A．例2（多選）（2022·衡水市第十三中學(xué)高一月考）已知正數(shù)，，則下列不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】對(duì)A，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)B，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B正確；對(duì)C，，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB.【題型精練】1.（2022·寧夏·銀川一中期中）下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，成立的條件為，故錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式顯然不成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，由于，故，正確.故選：D2．（多選題）（2022?海南高一期末）下列說法中正確的有（）A．不等式a+b≥2ab恒成立B．存在a，使得不等式a+1aC．若a，b∈（0，+∞），則baD．若正實(shí)數(shù)x，y滿足x+2y＝1，則2【答案】BCD【解析】解：不等式a+b≥2ab恒成立的條件是a≥0，b≥0，故A當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí)，不等式a+1a≤2由基本不等式可知C正確；對(duì)于2x當(dāng)且僅當(dāng)4yx=xy，即x=1故選：BCD．【題型二直接法求最值】例3（2022·甘肅酒泉·高一期中）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則ab的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】D【解析】∵，，∴，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴．故選：D．例4（2022·河北·高一期末）已知，，，且，，則的最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】由知，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值為4故選：B【題型精練】1．（2022·湖北十堰期末）設(shè)x＞0，y＞0，則x+4y+1xy的最小值為【答案】4【解析】解：x+4y≥2x?4y=4xy（當(dāng)且僅當(dāng)x＝4y4xy+1xy≥24=故x+4y+1xy≥4（當(dāng)且僅當(dāng)4xy=1xy且x＝4y，即x故x+4y+1xy的最小值為故答案為：4．2.（多選）（2022·河北石家莊期中）設(shè)正實(shí)數(shù)m，n滿足，則下列說法正確的是（

）A．上的最小值為2 B．的最大值為1C．的最大值為4 D．的最小值為【答案】AB【解析】∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，最大值為2，故C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤．故選：AB【題型三湊配法求最值】必備技巧通過配湊法利用基本不等式求最值的策略拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面的問題：(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價(jià)變形；(2)代數(shù)式的變形以配湊出和或積的定值為目標(biāo)；(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提．例5（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校月考）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則函數(shù)的最小值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．因此函數(shù)的最小值為3．故選：A．例6（2022·上海虹口·高一期末）已知，則的最大值為______．【答案】4【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最大值為4.故答案為：4【題型精練】1．（2022·北京大興·高一期末）當(dāng)時(shí)，的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為故選：B2.（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（1）求函數(shù)的最小值及此時(shí)的值；（2）已知函數(shù)，，求此函數(shù)的最小值及此時(shí)的值.【答案】（1）函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）函數(shù)的最小值為5，此時(shí).【解析】（1）∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí)；（2）令，將代入得：，∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)，等號(hào)成立.故函數(shù)的最小值為5，此時(shí).【題型四“1”的代換法求最值】必備技巧“1”的代換法求最值(1)根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù))；(2)把確定的定值(常數(shù))變形為1；(3)把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘或相除，進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式；(4)利用基本不等式求解最值．例7（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高一期末）已知,則的最小值是()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）的最小值為故選：例8（2022·安徽·南陵中學(xué)高一月考）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，所以，又所以?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)，取等號(hào)所以故選：A【題型精練】1．（2022·安徽·高三階段練習(xí)）已知，，，則的最小值是（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】解：因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)；故選：C2.（2022·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知，，則的最小值為_______________；【答案】【解析】采用常數(shù)1的替換，，當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以答案為．【題型五二次商式求最值】例9（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的最小值（1）；（2）.【答案】（1）3；（2）10.【解析】（1）∵（當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)）的最小值為3；（2）令，則，當(dāng)且僅當(dāng)即t=3時(shí)取等號(hào)y的最小值為10例10（2022·江西·寧岡中學(xué)高一月考）的最大值為______.【答案】【解析】令，則，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故答案為：.【題型精練】1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的最大值為（

）A．3 B．2 C．1 D．1【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng),即等號(hào)成立.故選：D.2.（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，有最大值.故選：A【題型六基本不等式求參】例11（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則使不等式有解，只需滿足即可，解得故選：C例12（2022?南開區(qū)校級(jí)月考）設(shè)x＞0，y＞0，且不等式（ax+y）（1x+1y）≥A．0＜a≤4 B．0＜a≤2 C．a(chǎn)≥4 D．a(chǎn)≥2【答案】C【解析】解：∵x＞0，y＞0，a＞0，∴（ax+y）（1x+1y）＝a+1+yx+axy≥a+1+2y又∵（ax+y）（1x+1y）≥9恒成立，∴（a+1）2≥9，解得：a【題型精練】1．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（

）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等所以．故選：D．2.（2022·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)，，在上恒成立，需，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，.故選：D.【題型七基本不等式的實(shí)際應(yīng)用】例13（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）將一根鐵絲切割成三段，做一個(gè)面積為，形狀為直角三角形的框架，在下列4種長(zhǎng)度的鐵絲中，選用最合理共用且浪費(fèi)最少的是()A．6.5m B．6.8m C．7m D．7.2m【答案】C【解析】設(shè)直角三角形的框架的兩條直角邊為x，y（x＞0，y＞0）則xy＝4，此時(shí)三角形框架的周長(zhǎng)C為：x+y+＝x+y+∵x+y≥2＝4∴C＝x+y+≥4+2≈6.83故用7米的鐵絲最合適．故選C．【題型精練】1．（2022·北京市十一學(xué)校高一期末）某公