2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步11.1空間幾何體11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素學(xué)案新人教B版必修第四冊

PAGE11.1.2構(gòu)成空間幾何體的基本元素必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.構(gòu)成幾何體的基本元素是什么?2平面有哪些主要特點?怎樣表示一個平面?3.如何從運動的觀點理解空間幾何體的基本元素之間的關(guān)系?4.長方體中的點、線、面有怎樣的位置關(guān)系?1.空間中的點與直線、直線與直線的位置關(guān)系(1)空間中點與直線的關(guān)系點A在直線l上,記作A∈l;點A不在直線l上,記作A?l.(2)直線與直線的位置關(guān)系①直線a與直線b平行,記作a∥b;②直線a與直線b相交于點A,記作a∩b=A;③直線a與直線b異面.(3)異面直線的定義空間中的兩條直線,既不平行,也不相交,此時稱這兩條直線異面.(1)為何點與直線、平面的關(guān)系用“∈”或“?”表示?提示:因為直線與平面都看作是點構(gòu)成的集合,而點是元素,因此點與直線、平面的關(guān)系就是元素與集合間的關(guān)系,所以用“∈”或“?”表示.(2)如何從公共點個數(shù)的角度對空間兩條直線分類?提示:兩直線QUOTE(3)如何以是否共面的角度對空間兩條直線分類?提示:兩直線QUOTE2.空間中直線與平面的位置關(guān)系(1)直線l上的全部點都在平面α內(nèi),稱為直線l在平面α內(nèi)(或平面α過直線l),記作l?α.(2)直線m與平面α有且只有一個公共點B,稱為直線m與平面α相交,記作m∩α=B.(3)直線l與平面α沒有公共點,稱為直線l與平面α平行,記作l∥α.(1)假如l是空間中的一條直線,α是空間中的一個平面,l∩α=?表示什么?提示:l∩α=?表示直線l與平面α平行.(2)“直線與平面不相交”與“直線與平面沒有公共點”是相同的意義嗎?提示:不是.前者包括直線與平面平行及直線在平面內(nèi)這兩種狀況,而后者僅指直線與平面平行.(3)如何從直線與平面公共點的個數(shù)的角度,將直線與平面的位置關(guān)系分類?提示:當(dāng)直線與平面公共點的個數(shù)為0時,直線與平面平行;當(dāng)直線與平面公共點的個數(shù)為1時,直線與平面相交;當(dāng)直線與平面公共點的個數(shù)為多數(shù)個時,直線在平面內(nèi).3.空間中平面與平面的位置關(guān)系(1)平面α與平面β有公共點,稱為平面α與平面β相交,記作α∩β≠?.(2)假如α與β是空間中的兩個平面,當(dāng)α∩β=?時,稱平面α與平面β平行,記作α∥β.4.直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義一般地,假如直線l與平面α相交于一點A,且對平面α內(nèi)隨意一條過點A的直線m,都有l(wèi)⊥m,則稱直線l與平面α垂直(或l是平面α的一條垂線,α是直線l的一個垂面),記作l⊥α,其中點A稱為垂足.(2)點在平面內(nèi)的射影給定空間中一個平面α及一個點A,過A可以作而且只可以作平面α的一條垂線.假如記垂足為B,則稱B為A在平面α內(nèi)的射影(也稱為投影),線段AB為平面α的垂線段,AB的長為點A到平面α的距離.(3)直線到平面的距離當(dāng)直線與平面平行時,直線上隨意一點到平面的距離稱為這條直線到這個平面的距離.(4)平面到平面的距離當(dāng)平面與平面平行時,一個平面上隨意一點到另一個平面的距離稱為這兩平行平面之間的距離.(1)在什么條件下,才能求直線與平面的距離?提示:當(dāng)直線與平面平行時,才能求直線與平面的距離.(2)在什么條件下,才能求平面與平面的距離?提示:當(dāng)兩個平面平行時,才能求平面與平面的距離.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)若直線l上有多數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α. ()(2)若平面α內(nèi)的隨意直線與平面β均無交點,則α∥β. ()(3)若兩個平面都平行于同一條直線,則這兩個平面平行. ()提示:(1)×.若直線l上有多數(shù)個點不在平面α內(nèi),則l∥α或直線l與平面α相交.(2)√.由平面與平面平行的定義可知,此說法正確.(3)×.若兩個平面都平行于同一條直線,則這兩個平面平行或相交.2.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)若平面α和直線a,b滿意a∩α=A,b?α,則a與b的位置關(guān)系肯定是 ()A.相交 B.平行C.異面 D.相交或異面【解析】選D.當(dāng)A∈b時a與b相交,當(dāng)A?b時a與b異面.3.如圖,在正四棱柱(側(cè)面為矩形,底面為正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB1,BC1的中點,則以下結(jié)論中不成立的是(1)EF與BB1垂直;(2)EF與BD垂直;(3)EF與CD異面;(4)EF與A1C1【解析】連接A1B(圖略),因為E,F分別是AB1,BC1的中點,所以EF是△A1BC1的中位線,所以EF∥A1C1答案:(4)4.已知如圖,試用適當(dāng)?shù)姆柋硎鞠铝悬c、直線和平面之間的關(guān)系:(1)點C與平面β:.

(2)點A與平面α:

.(3)直線AB與平面α:

.(4)直線CD與平面α:

.(5)平面α與平面β:

.【解析】(1)C?β.(2)A?α.(3)AB∩α=B.(4)CD?α.(5)α∩β=BD.答案:(1)C?β(2)A?α(3)AB∩α=B(4)CD?α(5)α∩β=BD關(guān)鍵實力·合作學(xué)習(xí)類型一文字語言、數(shù)學(xué)語言、圖形語言間的相互轉(zhuǎn)化(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)1.點P在直線a上,直線a在平面α內(nèi)可記為 ()A.P∈a,a?α B.P?a,a?αC.P?a,a∈α D.P∈a,a∈α2.如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1(1)AC∩BD=.

(2)平面AB1∩平面A1C1=(3)A1B1∩B1B∩B1C1=【解析】1.選A.由點與直線的位置關(guān)系的表示方法及直線與平面之間位置關(guān)系的表示方法可知點P在直線a上表示為P∈a,直線a在平面α內(nèi)可表示為a?α,故A正確.2.由圖形可知,AC∩BD=O,平面AB1∩平面A1C1=A1B1A1B1∩B1B∩B1C1=B1答案:(1)O(2)A1B1(3)B1三種語言的轉(zhuǎn)換方法(1)用文字語言、符號語言表示一個圖形時,首先細(xì)致視察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何,試著用文字語言表示,再用符號語言表示.(2)要留意符號語言的意義.如點與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”表示,直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”表示.【補償訓(xùn)練】如圖所示,平面ABEF記作平面α,平面ABCD記作平面β,依據(jù)圖形填寫:(1)A∈α,Bα,Eα,Cα,Dα.

(2)α∩β=.

(3)A∈β,Bβ,Cβ,Dβ,

Eβ,Fβ.

(4)ABα,ABβ,CDα,

CDβ,BFα,BFβ.

【解析】依據(jù)圖形以及數(shù)學(xué)符號可知:(1)B∈α,E∈α,C?α,D?α;(2)α∩β=AB;(3)B∈β,C∈β,D∈β,E?β,F?β;(4)AB?α,AB?β,CD?α,CD?β,BF?α,BF?β.答案:(1)∈∈??(2)AB(3)∈∈∈??(4)??????類型二空間兩條直線位置關(guān)系的推斷(直觀想象)【典例】如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,CC1①直線DM與CC1是相交直線;②直線AM與NB是平行直線;③直線BN與MB1是異面直線;④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的為(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上).

【思路導(dǎo)引】利用平行直線、相交直線、異面直線的定義推斷.【解析】①中直線DM與直線CC1在同一平面內(nèi),它們不平行,必相交.故結(jié)論正確.③④中的兩條直線既不相交也不平行,即均為異面直線,故結(jié)論正確.②中AM與BN是異面直線,故②不正確.故填①③④.答案:①③④空間兩條直線位置關(guān)系的推斷方法兩直線位置關(guān)系分為共面(平行和相交)和異面,其中共面時用平面幾何學(xué)問處理即可,現(xiàn)在關(guān)鍵是把握異面的理解與直觀想象,兩直線不同在任何一個平面內(nèi),既不平行也不相交.1.若a和b是異面直線,b和c是異面直線,則a和c的位置關(guān)系是 ()A.a∥c B.a和c異面C.a和c相交 D.a和c平行、相交或異面【解析】選D.如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,令A(yù)′D′所在直線為a,AB所在直線為b,由題意,a和b是異面直線,b和c是異面直線.若令B′C′所在直線為c,則a和c平行.若令C′C所在直線為c,則a和c異面.若令D′D所在直線為c,則a和c相交.2.兩條直線沒有公共點,則兩條直線的位置關(guān)系為.

【解析】依據(jù)兩條直線的位置關(guān)系知:當(dāng)兩條直線沒有公共點時,這兩條直線可能平行,也可能異面.答案:平行或異面類型三直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的推斷(直觀想象)角度1直線與平面的位置關(guān)系

【典例】1.下列說法錯誤的是 ()A.若直線l平行于平面α,則平面α內(nèi)存在直線與l平行B.若直線l平行于平面α,則平面α內(nèi)存在直線與l異面C.若直線l平行于平面α,則平面α內(nèi)存在直線與l垂直D.若直線l平行于平面α,則平面α內(nèi)存在直線與l相交2.下列說法中,正確的個數(shù)是 ()①假如兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條直線也和這個平面相交;②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線有一個平面與另一條直線平行;③兩條相交直線,其中一條與一個平面平行,則另一條肯定與這個平面平行.A.0 B.1 C.2 D.33.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1和BB1(1)AM所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系.(2)CN所在的直線與平面ABCD的位置關(guān)系.(3)AM所在的直線與平面CDD1C1(4)CN所在的直線與平面CDD1C1【思路導(dǎo)引】1.由直線l平行于平面α知直線l與平面α無公共點,據(jù)此逐項推斷.2.依據(jù)直線與平面的三種位置關(guān)系的定義逐項推斷.3.依據(jù)直線與平面的三種位置關(guān)系的定義和正方體的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行推斷.【解析】1.選D.若直線l平行于平面α,則平面α內(nèi)的直線與l平行或異面,故A,B正確;在C中,若直線l平行于平面α,則平面α內(nèi)存在直線與l異面垂直,故C正確;在D中,若直線l平行于平面α,則平面α內(nèi)的直線與l平行或異面,故D錯誤.2.選C.易知①正確,②正確.③中兩條相交直線中一條與平面平行,另一條可能平行于平面,也可能與平面相交,故③錯誤.3.(1)AM所在的直線與平面ABCD相交.(2)CN所在的直線與平面ABCD相交.(3)AM所在的直線與平面CDD1C1(4)CN所在的直線與平面CDD1C1角度2平面與平面的位置關(guān)系

【典例】已知a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,α∩β=a,a∥b,則下面結(jié)論不行能成立的是 ()A.b?β,且b∥α B.b?αC.b∥α,且b∥β D.b與α,β都相交【思路導(dǎo)引】借助正方體模型舉反例說明有關(guān)結(jié)論不成立,用解除法選出正確答案.【解析】選D.由a,b為兩條不同的直線,α,β為兩個不同的平面,α∩β=a,a∥b,知:對于選項A,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1?平面ABCD,C1D1∥AB,此時有C1D1?平面ABB1A1,C1對于選項B,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b?α有可能成立,故解除B;對于選項C,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b∥α,且b1.直線與平面位置關(guān)系的推斷(1)以正方體為模型,將線面化歸成正方體中的線面進(jìn)行推斷.(2)以身邊的物體作為模型推斷,如筆,墻角作為直線,桌面,墻面,地面作為平面.提示:在推斷直線與平面的位置關(guān)系時,三種情形都要考慮到,避開疏忽或遺漏.2.平面與平面的位置關(guān)系的推斷方法(1)平面與平面相交的推斷,主要是找出一個交點.(2)平面與平面平行的推斷,主要是說明兩個平面沒有公共點.1.在長方體ABCD-A1B1C1D1的六個表面與六個對角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1BA.2個 B.3個 C.4個 D.5個【解析】選B.如圖所示,結(jié)合圖形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA2.在長方體ABCD-A1B1C1D1(1)與直線AB平行的直線,并用“∥”表示;(2)與直線AA1異面的直線;(3)與直線AD垂直的平面,并用合適的符號表示.【解析】如圖.(1)與直線AB平行的直線有A1B1,CD,C1D1,用符號表示為:AB∥A1B1,AB∥CD,AB∥C1D1;(2)與直線AA1異面的直線有CD,C1D1,BC,B1C1(3)與直線AD垂直的平面有平面ABB1A1,平面DCC1D1,用符號表示為:AD⊥平面ABB1A1,AD⊥平面DCC1D課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若α,β是兩個不同的平面,則它們的公共點有 ()A.0個 B.0個或1個C.多數(shù)個 D.0個或多數(shù)個【解析】選D.若兩個平面有公共點,則公共點有多數(shù)個;若兩個平面平行,則它們的公共點有0個.2.若直線a不平行于平面α,則下列結(jié)論成立的是 ()A.α內(nèi)的全部直線均與a異面B.α內(nèi)不存在與a平行的直線C.α內(nèi)直線均與a相交D.直線a與平面α有公共點【解析】選D.由于直線a不平行于平面α,則a在α內(nèi)或a與α相交,故A錯;當(dāng)a?α?xí)r,在平面α內(nèi)存在與a平行的直線,故B錯;因為α內(nèi)的直線也可能與a平行或異面,故C錯;由線面平行的定義知D正確.3.(教材二次開發(fā):練習(xí)改編)能正確表示點A在直線l上且直線l在平面α內(nèi)的是 ()【解析】選C.選項A只表示點A在直線l上;選項D表示直線l與平面α相交于點A;選項B中的直線l有部分在平行四邊形的外面,所以不能表示直線在平面α內(nèi).4.如圖所示,用符號語言表示以下各概念:①點A,B在直線a上;

②直線a在平面α內(nèi);

③點D在直線b上,點C在平面α內(nèi).

【解析】依據(jù)點、線、面位置關(guān)系及其表示方法可知:①A∈a,B∈a,②a?α,③D∈b,C∈α.答案:①A∈a,B∈a②a?α③D∈b,C∈α5.假如在兩個平面內(nèi)分別有一條直線,這兩條直線相互平行,則這兩個平面位置關(guān)系如何?試畫圖分析.【解析】這兩個平面平行(如圖①)或相交(如圖②).九構(gòu)成空間幾何體的基本元素(15分鐘30分)1.已知直線m?平面α,P?m,Q∈m,則 ()A.P?α,Q∈α B.P∈α,Q?αC.P?α,Q?α D.Q∈α【解析】選D.由點、線、面之間的位置關(guān)系可推斷P與α的關(guān)系不確定,Q∈α.2.直線a在平面γ外,則 ()A.a∥γ B.a與γ至少有一個公共點C.a∩γ=A D.a與γ至多有一個公共點【解析】選D.直線a在平面γ外,其包括直線a與平面γ相交或平行兩層含義,故a與γ至多有一個公共點.3.假如兩條直線a∥b,且a∥平面α,那么b和平面α的位置關(guān)系是 ()A.相交 B.b∥αC.b?α D.b∥α或b?α【解析】選D.當(dāng)直線b?α?xí)r,b∥α;b?α也有可能成立.4.過三棱柱ABC-A1B1C1的隨意兩條棱的中點作直線,其中與平面ABB1A1平行的直線共有【解析】如圖所示,與平面ABB1A1平行的直線有6條:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1答案:65.下列說法:①若直線a不與平面α相交,則a∥α;②若直線a∥b,直線b?α,則a∥α;③若直線a∥b,b?α,那么直線a就平行于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線.其中說法正確的為.(填序號)

【解析】對于①,直線a不與平面α相交包括兩種狀況:a∥α或a?α,所以a和α不肯定平行,所以①說法錯誤.對于②,因為直線a∥b,b?α,則只能說明a和b無公共點,但a可能在平面α內(nèi),所以a不肯定平行于α,所以②說法錯誤.對于③,因為a∥b,b?α,所以a?α或a∥α,所以a與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線平行,所以③說法正確.答案:③6.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1(1)與直線B1C1(2)與直線B1C1(3)與直線B1C1(4)與平面BCC1B1平行的平面有哪幾個?(5)與平面BCC1B1垂直的平面有哪幾個?【解析】(1)與直線B1C1不平行也不相交的直線:直線AA1、直線DD1(2)與直線B1C1平行的平面:平面ADD1A(3)與直線B1C1垂直的平面:平面ABB1A1、平面CC1D(4)與平面BCC1B1平行的平面:平面ADD1A1(5)與平面BCC1B1垂直的平面:平面ABB1A1、平面A1B1C1D1、平面CDD1(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.假如一條直線與兩條異面直線中的一條相交,那么它與另一條直線之間的位置關(guān)系是 ()A.平行B.相交C.異面D.可能平行、可能相交、可能異面【解析】選D.可以利用長方體的棱所在的直線找到平行,相交,異面的狀況.2.過直線l外兩點可以作l的平行線條數(shù)為 ()A.1條 B.2條 C.3條 D.0條或1條【解析】選D.以如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1令A(yù)1B1所在直線為直線l,過l外的兩點A、B可以作一條直線與l平行,過l外的兩點B、C不能作直線與l平行.3.如圖,模塊①～⑤均由4個棱長為1的小正方體構(gòu)成,模塊⑥由15個棱長為1的小正方體構(gòu)成.現(xiàn)從模塊①～⑤中選出三個放到模塊⑥上,使得模塊⑥成為一個棱長為3的大正方體,則下列選擇方案中,能夠完成任務(wù)的為 ()A.模塊①,②,⑤ B.模塊①,③,⑤C.模塊②,④,⑤ D.模塊③,④,⑤【解析】選A.先將⑤放入⑥中的空缺部分,然后在上層放入①②可得棱長為3的大正方體.4.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿意l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論肯定正確的是 ()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關(guān)系不確定【解析】選D.如圖,構(gòu)建長方體ABCD-A1B1C1D1記l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若取l4=AA1,滿意l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此時l1∥l4,則解除選項A和C.若l4=C1D,則l1與l4相交;若取l4=BA,則l1與l4異面;若取l4=C1D1,則l1與l4相交且垂直,因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.關(guān)于直線與平面,下列說法中,正確的是 ()A.若一個平面內(nèi)的任何直線都與另一個平面無公共點,則這兩個平面平行B.過平面外一點有且僅有一個平面和已知平面平行C.過平面外兩點不能作平面與已知平面平行D.若一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的任何平面都與已知平面平行【解析】AB.明顯AB選項正確;對于選項C中,兩點所在直線與平面平行時可以;對于選項D中,經(jīng)過這條直線的平面與已知平面可能相交.6.平面α與平面β平行,且a?α,下列四種說法中正確的是 ()A.a與β內(nèi)的全部直線都平行B.a與β內(nèi)多數(shù)條直線平行C.a與β內(nèi)的隨意一條直線都不垂直D.a與β無公共點【解析】選BD.如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,平面ABCD∥平面A′B′C′D′,A′D′?平面A′B′C′D′,AB?平面ABCD,A′D′與AB不平行,且A′D′與AB垂直,所以A、C錯.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知下列說法:(1)若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a∥b;(2)若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b是異面直線;(3)若兩個平面α∥β,a?α,b?β,則a與b平行或異面;(4)若兩個平面α∩β=b,a?α,則a與β肯定相交.其中正確的序號是.(將你認(rèn)為正確的序號都填上)

【解析】因為在兩個平行平面內(nèi)的兩條直線沒有公共點,所以可能平行,也可能異面,所以(3)正確;(4)中a與β也可能平行.答案:(3)8.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AB=3,BC=2,AA1=1,則點B到面ADD1A1的距離為,直線AC與面A1B1C1D1的距離為,面ABB1A1與面DCC1D【解析】在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥面ADD1A所以點B到面ADD1A1即點B到面ADD1A1的距離為3.AC∥面A1B1C1D則直線AC上隨意一點到面A1B1C1D1由AA1⊥面A1B1C1D1,所以點A到面A1B1C1D1的距離為AA1=1,所以直線AC與面A1B1C1面ABB1A1與面DCC1D1平行,且BC與面ABB1A1、面DCC1D所以線段BC為面ABB1A1與面DCC1D1故面ABB1A1與面DCC1D1答案:312四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖,在正方體ABCD-A′B′C′D′中,P是A′D的中點,Q是B′D′的中