2024屆福建省云霄立人學校高三下-（期中）數(shù)學試題試卷

2023屆福建省云霄立人學校高三下-（期中）數(shù)學試題試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)滿足，設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知a＞b＞0，c＞1，則下列各式成立的是（）A．sina＞sinb B．ca＞cb C．a(chǎn)c＜bc D．3．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知向量，，則與共線的單位向量為()A． B．C．或 D．或5．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．6．命題“”的否定為（）A． B．C． D．7．復(fù)數(shù)，是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是A． B．的共軛復(fù)數(shù)為C．的實部與虛部之和為1 D．在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于第一象限8．金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié)，“……洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（）A．20 B．24 C．25 D．269．設(shè)雙曲線（，）的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點，且橢圓的焦距為2，則雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．10．已知直線：過雙曲線的一個焦點且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．11．等差數(shù)列的前項和為，若，，則數(shù)列的公差為（）A．-2 B．2 C．4 D．712．閱讀如圖的程序框圖，運行相應(yīng)的程序，則輸出的的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知中，點是邊的中點，的面積為，則線段的取值范圍是__________.14．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為_______.15．學校藝術(shù)節(jié)對同一類的，，，四件參賽作品，只評一件一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預(yù)測如下：甲說：“或作品獲得一等獎”；乙說：“作品獲得一等獎”；丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；丁說：“作品獲得一等獎”．若這四位同學中有且只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是______.16．設(shè)滿足約束條件且的最小值為7，則＝_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，當時，函數(shù)，求函數(shù)的最小值．18．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列的前項和，，求證：數(shù)列的前項和.19．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最大值為3，其中．（1）求的值；（2）若，，，求證：20．（12分）設(shè)，，，.（1）若的最小值為4，求的值；（2）若，證明：或.21．（12分）已知向量，函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在中，三內(nèi)角的對邊分別為，已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，成等差數(shù)列，且，求a的值．22．（10分）如圖，在三棱柱中，已知四邊形為矩形，，，，的角平分線交于.（1）求證:平面平面；（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：若，則，即成立，若，則由，得，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合函數(shù)的對應(yīng)性是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．B【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性逐項判斷即可【詳解】對A,由正弦函數(shù)的單調(diào)性知sina與sinb大小不確定，故錯誤；對B,因為y＝cx為增函數(shù)，且a＞b，所以ca＞cb，正確對C,因為y＝xc為增函數(shù),故，錯誤；對D,因為在為減函數(shù)，故，錯誤故選B．【點睛】本題考查了不等式的基本性質(zhì)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．3．B【解析】

求出復(fù)數(shù)，得出其對應(yīng)點的坐標，確定所在象限．【詳解】由題意,對應(yīng)點坐標為，在第二象限．故選：B．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查復(fù)數(shù)的除法運算，屬于基礎(chǔ)題．4．D【解析】

根據(jù)題意得，設(shè)與共線的單位向量為，利用向量共線和單位向量模為1，列式求出即可得出答案.【詳解】因為，，則，所以，設(shè)與共線的單位向量為，則，解得或所以與共線的單位向量為或.故選：D.【點睛】本題考查向量的坐標運算以及共線定理和單位向量的定義.5．A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項，再求時的函數(shù)值，再排除一個，得正確選項．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對稱，排除B，C，當時，，排除D，故選：A．【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負，以及函數(shù)值的變化趨勢，排除錯誤選項，得正確結(jié)論．6．C【解析】

套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”，所以命題“”的否定為“”.故選：C【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題.7．D【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運算，求得，在根據(jù)復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)與共軛復(fù)數(shù)的概念等即可得到結(jié)論．【詳解】由題意，則，的共軛復(fù)數(shù)為，復(fù)數(shù)的實部與虛部之和為，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于第一象限，故選D．【點睛】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減乘除運算的法則是進行復(fù)數(shù)運算的理論依據(jù),加減運算類似于多項式的合并同類項,乘法法則類似于多項式乘法法則，除法運算則先將除式寫成分式的形式,再將分母實數(shù)化，其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)的實部為、虛部為、模為、對應(yīng)點為、共軛為．8．D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為，再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為（種），故選：D.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用，此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化，本題屬于容易題.9．B【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用，求出的值，得到的值，求出關(guān)系，進而判斷大小，結(jié)合橢圓的焦距為2，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為，代入拋物線方程得，依題意，，橢圓的焦距，，雙曲線的標準方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，要注意雙曲線焦點位置，屬于中檔題.10．A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個焦點，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因為直線：過雙曲線的一個焦點，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.11．B【解析】

在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標和的性質(zhì)求得，再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為，則則故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

根據(jù)給定的程序框圖，計算前幾次的運算規(guī)律，得出運算的周期性，確定跳出循環(huán)時的n的值，進而求解的值，得到答案.【詳解】由題意，，第1次循環(huán)，，滿足判斷條件；第2次循環(huán)，，滿足判斷條件；第3次循環(huán)，，滿足判斷條件；可得的值滿足以3項為周期的計算規(guī)律，所以當時，跳出循環(huán)，此時和時的值對應(yīng)的相同，即.故選：C.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題，其中解答中認真審題，得出程序運行時的計算規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.14．【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其一條漸近線經(jīng)過點，即，則，由此可得.故答案為：.【點睛】本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.15．B【解析】

首先根據(jù)“學校藝術(shù)節(jié)對四件參賽作品只評一件一等獎”，故假設(shè)分別為一等獎，然后判斷甲、乙、丙、丁四位同學的說法的正確性，即可得出結(jié)果．【詳解】若A為一等獎，則甲、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；若B為一等獎，則乙、丙的說法正確，甲、丁的說法錯誤，滿足題意；若C為一等獎，則甲、丙、丁的說法均正確，不滿足題意；若D為一等獎，則乙、丙、丁的說法均錯誤，不滿足題意；綜上所述，故B獲得一等獎．【點睛】本題屬于信息題，可根據(jù)題目所給信息來找出解題所需要的條件并得出答案，在做本題的時候，可以采用依次假設(shè)為一等獎并通過是否滿足題目條件來判斷其是否正確．16．3【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，對參數(shù)a分類討論，當時顯然不滿足題意；當時，直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，再由最小值為7，得出結(jié)果；當時，的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當時，的截距沒有最大值，即z沒有最小值，綜上可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由，可得出交點，由可得，當時顯然不滿足題意；當即時，由可行域可知當直線經(jīng)過可行域中的點A時，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）；當即時，由可行域可知的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當即時，根據(jù)可行域可知的截距沒有最大值，即z沒有最小值.綜上可知滿足條件時.故答案為：3.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標函數(shù)中都有參數(shù)，要對參數(shù)進行討論.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析（2）的最小值為【解析】

（1）由題可得函數(shù)的定義域為，，當時，，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）方法一：當時，，，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當且僅當時取等號．當時，設(shè)，則，所以，設(shè)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，所以存在，使得，所以當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以，所以，當且僅當時取等號．所以當時，函數(shù)取得最小值，且，故函數(shù)的最小值為．方法二：當時，，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為．18．(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.【解析】試題分析：將，求出切線方程求導后討論當時和時的單調(diào)性證明，求出實數(shù)的取值范圍先求出、的通項公式，利用當時，得，下面證明：解析：（Ⅰ）因為，所以，，切點為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）由，令，則（當且僅當取等號）.故在上為增函數(shù).①當時，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當時，由于，，根據(jù)零點存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當時，,故在上為減函數(shù)，所以當時，,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為（III）證明：由由（Ⅱ）知當時，，故當時，，故，故.下面證明：因為而，所以，，即：點睛：本題考查了利用導數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立，借助第二問的證明過程，利用導數(shù)的單調(diào)性證明數(shù)列的不等式，在求解的過程中還要求出數(shù)列的和，計算較為復(fù)雜，本題屬于難題．19．（1）（2）見解析【解析】

（1）分三種情況去絕對值，求出最大值與已知最大值相等列式可解得；（2）將所證不等式轉(zhuǎn)化為2ab≥1，再構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)判斷單調(diào)性求出最小值可證．【詳解】（1）∵，∴.∴當時，取得最大值.∴.（2）由（Ⅰ），得，.∵，當且僅當時等號成立，∴.令，.則在上單調(diào)遞減.∴.∴當時，.∴.【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，屬中檔題．本題主要考查了絕對值不等式的求解，以及不等式的恒成立問題，其中解答中根據(jù)絕對值的定義，合理去掉絕對值號，及合理轉(zhuǎn)化恒成立問題是解答本題的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.20．（1）2；（2）見解析【解析】

（1）將化簡為，再利用基本不等式即可求出最小值為4，便可得出的值；（2）根據(jù)，即，得出，利用基本不等式求出最