平行線四大模型與動(dòng)態(tài)角度問(wèn)題-2021-2022學(xué)年北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)突破（原卷版）

專題03平行線四大模型與動(dòng)態(tài)角度問(wèn)題專題講練

平行線與動(dòng)態(tài)角度問(wèn)題在初中數(shù)學(xué)幾何模塊中屬于基礎(chǔ)工具類(lèi)問(wèn)題，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容,

該份資料就平行線的四大模型（鉛筆模型、豬蹄模型、拐彎模型、“5”字模型）和動(dòng)態(tài)角度問(wèn)題（翻折、

旋轉(zhuǎn)、動(dòng)點(diǎn)）進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1：豬蹄模型（M型）

【解題技巧】如圖，①已知：AB//CD,結(jié)論：ZAPC=ZA+ZC；

②已知：ZAPC=ZA+ZC,結(jié)論：AB//CD.

圖①、圖②圖③

③已知：AB//CD,結(jié)論：ZA+ZP2+ZC=ZPl+ZPi.

例1、（2022.廣東省初一月考）如圖所示，已知：AB//CD,求證:ZAPC=ZA+ZC；

變式1.（2021?山東青島期末）如圖，AB//CD,有、E在AC上,44=110°,ND=15°,則下列結(jié)論正

確的個(gè)數(shù)是（）

⑴AE=EC；(2)ZAED=85°；(3)ZA=ZCED+ZD；(4)/BED=45°

A.1個(gè)8.2個(gè)C.3個(gè)D4個(gè)

變式2.（2021.湖北七年級(jí)期中）如圖，ABIIEF,ZC=90°,則Na,"，之間的關(guān)系是（

A.N，=Na+N/B.Z?+Z^+Z/=180°c.Na+一Ny=9。°D.Z^+Zy-Za=90°

變式3.(2021?渝中區(qū)期末)如圖，AB1/CD,ZBAE=120°,ZDCE=40°,則N/￡C=()

A.70°B.80°C.90°D.100°

例2.（2021?浙江杭州七年級(jí)期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過(guò)，木尺折斷后

的斷口一般是參差不齊的，那么請(qǐng)你深入考慮一下其中所包含的一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，我們不妨取名叫“木尺斷口

問(wèn)題”.（1）如圖（2）所示，已知Z5//CD,請(qǐng)問(wèn)DB,ND,NE有何關(guān)系并說(shuō)明理由；

（2）如圖（3）所示，已知45//CD,請(qǐng)問(wèn)D8,ZE，又有何關(guān)系并說(shuō)明理由；

（3）如圖（4）所示，已知48//CD,請(qǐng)問(wèn)N￡+NG與N8+N/+N。有何關(guān)系并說(shuō)明理由.

變式4.（2021?山西八年級(jí)期末）綜合與探究

問(wèn)題情境：綜合實(shí)踐課上，王老師組織同學(xué)們開(kāi)展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng).

（1）如圖1,EF//MN,點(diǎn)43分別為直線上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)且

ZPAF=130°,ZPBN^120°,求N4P8度數(shù)；

問(wèn)題遷移：（2）如圖2,射線。河與射線ON交于點(diǎn)。，直線冽〃〃，直線加分別交。ON于點(diǎn)/,￡>,

直線〃分別交。/,ON于點(diǎn)民。，點(diǎn)p在射線上運(yùn)動(dòng).①當(dāng)點(diǎn)尸在43（不與48重合）兩點(diǎn)之間

運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)ZADP=/a,ZBCP=ZJ3.則ZCPD,Za,//3之間有何數(shù)量關(guān)系？②若點(diǎn)P不在線段AB上

運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)尸與點(diǎn)4瓦。三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你直接寫(xiě)出NCP。,Na,/尸間的數(shù)量關(guān)系.

變式5.（2021?河南七年級(jí)期末）把一塊含60。角的直角三角尺EEG（NEEG=90°,NEGR=60°）放在兩條

平行線48,CD之間.⑴如圖1,若三角形的60。角的頂點(diǎn)G放在CD上，且N2=2N1,求/I的度數(shù);

（2）如圖2,若把三角尺的兩個(gè)銳角的頂點(diǎn)及G分別放在4s和上，請(qǐng)你探索并說(shuō)明N/E廠與NFGC

間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3,若把三角尺的直角頂點(diǎn)/放在3上，30。角的頂點(diǎn)￡落在4s上，請(qǐng)直接寫(xiě)

出ZAEG與ZCFG的數(shù)量關(guān)系.

E

模型2：鉛筆頭模型

【解題技巧】如圖，①已知：AB//CD,結(jié)論：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°；

②己知：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°,結(jié)論：AB//CD.

例1、（2021.河北七年級(jí)月考）如圖，已知：AB//CD,求證：ZPAB+ZAPB+ZPCD=360°；

變式1.（2021?陜西咸陽(yáng)市期末）如圖，ZABC+ZC+ZCDE=360°,直線尸G分別交N8、于點(diǎn)區(qū)

G.若Nl=110。，則N2=.

變式2.（2021?黑龍江?七年級(jí)期中）如圖所示，若AB〃EF,用含。、P、7的式子表示x,應(yīng)為（）

A.a+/3+yB.P+y-aC.180°-e-/+￡D.180°+e+￡-y

例2.（2021?福建泉州七年級(jí)期末）問(wèn)題情境：我市某中學(xué)班級(jí)數(shù)學(xué)活動(dòng)小組遇到問(wèn)題：如圖1,AB//CD,

ZPAB=130°,ZPO）=120°,求/4PC的度數(shù).

經(jīng)過(guò)討論形成的思路是：如圖2,過(guò)尸作PE〃/瓦通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得//PC的度數(shù).

（1）按該數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的思路，請(qǐng)你幫忙求出N/PC的度數(shù)；（2）問(wèn)題遷移：如圖3,AD〃BC,點(diǎn)、P在

/、8兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，N4DP=a,N8CP=尸.請(qǐng)你判斷NCPD、a、￡之間有何數(shù)量關(guān)系？

并說(shuō)明理由；（3）拓展應(yīng)用：如圖4,已知兩條直線點(diǎn)P在兩平行線之間，且N3EP的平分

線與/。燈的平分線相交于點(diǎn)0,求NP+2NQ的度數(shù).

Q

D

圖4

變式3.（2021?佛山順德區(qū)月考）問(wèn)題情境1:如圖1,AB//CD,P是內(nèi)部一點(diǎn)，尸在AD的右側(cè)，

探究ZP,ND之間的關(guān)系？

小明的思路是：如圖2,過(guò)P作PE〃AB,通過(guò)平行線性質(zhì)，可得ZP,/￡＞之間滿足關(guān)系.（直

接寫(xiě)出結(jié)論）

問(wèn)題情境2：如圖3,AB//CD,P是AB,CD內(nèi)部一點(diǎn)，P在3。的左側(cè)，可得/B,/P,之間滿足.

關(guān)系.（直接寫(xiě)出結(jié)論）

問(wèn)題遷移：請(qǐng)合理的利用上面的結(jié)論解決以下問(wèn)題：已知NB〃CD,//BE與NCDE兩個(gè)角的角平分線相

交于點(diǎn)/（1）如圖4,若/E=80。，求/3ED的度數(shù)；

（2）如圖5中，ZABM=-ZABF,ZCDM=-ZCDF,寫(xiě)出與NE之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論.

33

（3）若NABM=-ZABF,ZCDM=-ACDF,設(shè)/￡=機(jī)。，用含有n,小。的代數(shù)式直接寫(xiě)出.

nn

變式4.（2021?湖北七年級(jí)月考）如圖1,CE平分/ACD,AE平分NBAC,ZEAC+ZACE=90°.

（1）請(qǐng)判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2,在（1）的結(jié)論下，當(dāng)NE=90。保持不變，移動(dòng)直角頂點(diǎn)E,使NMCE=/ECD.當(dāng)直角頂點(diǎn)E

點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，問(wèn)NBAE與/MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

（3）如圖3,在（1）的結(jié)論下，P為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)Q為直線CD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)Q在射線CD上

運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)C除外），/CPQ+NCQP與/BAC有何數(shù)量關(guān)系？直接寫(xiě)出結(jié)論，其數(shù)量關(guān)系

為_(kāi)___________________.

圖1圖2圖3

例3.（2021?西安七年級(jí)月考）下列各圖中的M4i與AM“平行.

（1）圖①中的/a+/也=度，圖②中的N/I+/4I+//3=度，

圖③中的+度，圖④中的/4+/也+/在+//4+//5=度，…，

第⑩個(gè)圖中的N/1+N/2+//3+…+N/10=度（2）第"個(gè)圖中的//1+N/2+N/3+…+N4=

變式5.（2021?山東七年級(jí)月考）如圖，兩直線期、⑦平行，則/1+/2+/3+/4+/5+/6=（).

A.630°B.720°C.800°D.900°

變式6.（2021?貴州遵義市?七年級(jí)期末）［問(wèn)題解決］（1）如圖1,4B〃CD,點(diǎn)、E、尸分別是48、CD上的

點(diǎn)，連接。￡、OF,探求Nl、N2、/3之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

［拓展延伸］（2）如圖2,上述結(jié)論還成立嗎？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)寫(xiě)出它們的關(guān)系.

［拓展應(yīng)用］（3）如圖3,已知48〃CD,//昂瓦的角平分線與/C瓦段一1的角平分線交于點(diǎn)。.若NEiOE”

=m°,直接寫(xiě)出N2+/3+/4+…+N（?-2）+/Cn-1）的度數(shù).（用含〃的代數(shù)式表不）

模型3：拐彎模型

【解題技巧】類(lèi)型1（鳥(niǎo)嘴形）：如圖，已知48〃CD,結(jié)論：Z1=Z2+Z3.

類(lèi)型2（骨折形）：如圖，AB//CD,結(jié)論：Z2=Z1+Z3.

例L（2021.廣東省七年級(jí)期中）如圖，已知45〃CQ,求證：Z1=Z2+Z3.

P

3

A1/

B/

2/

-D

變式1.（2021?余干縣期末）如圖1,4D〃3C,NB4D的平分線交3c于點(diǎn)G,ZBCD=90°.

（1）求證：ZBAG=ZBGA；（2）如圖2,若N45C=50。，N8C。的平分線交4D于點(diǎn)E,交射線

G4于點(diǎn)RN4FC的度數(shù).

變式2.（2021?保定市期中）（1）已知：如圖1,AEHCF,易知//尸。=.

（2）如圖2,AEIICF,4,鳥(niǎo)是直線班上的兩點(diǎn)，猜想，乙4,乙4K旦,NPRC,NC這四個(gè)角

之間的關(guān)系，寫(xiě)出以下三種情況中這四個(gè)角之間的關(guān)系，并選擇其中之一進(jìn)行說(shuō)明.

①圖中四個(gè)角的關(guān)系：②圖中四個(gè)角的關(guān)系：③圖中四個(gè)角的關(guān)系:

例2.（2021?忠縣七年級(jí)月考）如圖，已知直線/1/〃2,13、和/1、/2分別交于點(diǎn)4B、C、D,點(diǎn)P在直線

/3或上且不與點(diǎn)/、B、C、。重合.記//￡尸=/1,NPFB=/2,ZEPF=Z3.

Cl）若點(diǎn)尸在圖（1）位置時(shí)，求證：Z3=Z1+Z2；

（2）若點(diǎn)尸在圖（2）位置時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出/I、N2、/3之間的關(guān)系；

（3）若點(diǎn)尸在圖（3）位置時(shí)，寫(xiě)出N1、/2、N3之間的關(guān)系并給予證明；

（4）若點(diǎn)尸在線段。。延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出/I、/2、N3之間的關(guān)系.

變式3.（2021?余干縣期末）已知直線AB〃CD,（1）如圖1,直接寫(xiě)出/BME、/E、/END的數(shù)量關(guān)系

為；（2）如圖2,/BME與NCNE的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P,試探究/P與/E之間的數(shù)

量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3,ZABM=-ZMBE,ZCDN=-ZNDE,直線MB、ND交于點(diǎn)F,

nn

變式4.（2021?湖南株洲市期末）已知直線a〃6,直線跖分別與直線a,b相交于點(diǎn)E,尸，點(diǎn)/,3分別

在直線a,6上，且在直線所的左側(cè)，點(diǎn)P是直線￡尸上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)￡,歹重合），設(shè)/為￡=N1,Z

APB=N2,ZPBF=Z3.

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段的上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說(shuō)明/1+/3=/2；（提示：過(guò)點(diǎn)P作

（2）當(dāng)點(diǎn)尸在線段即外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況，①如圖2寫(xiě)出N1,Z2,N3之間的關(guān)系并給出證明.

②如圖3所示，猜想/I,Z2,N3之間的關(guān)系（不要求證明）.

模型4：“5”字模型

基本模型：如圖，AB//CD,結(jié)論：Zl+Z3-Z2=180°.

B

P

2

CD

例1.（2021.浙江七年級(jí)期中）如圖，AB//CD,求證：Zl+Z3-Z2=180°.

變式1.（2021.北京七年級(jí)期中）如圖，已知AB〃CD,EF〃CD,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

A.ZBCD=ZDCE;B.ZABC+ZBCE+ZCEF=360°;

C.ZBCE+ZDCE=ZABC+ZBCD;D.ZABC+ZBCEZCEF=180°.

變式2.（2021?江蘇七年級(jí)期末）如圖，AB//CD,則/1+/3—N2的度數(shù)等于

變式3.（2021?河北七年級(jí)月考）珠江流域某江段江水流向經(jīng)過(guò)以C、。三點(diǎn)拐彎后與原來(lái)相同，如圖，若

ZABC=120°,/BCD=80°,則NCDE=度.

例2.（2021?湖北洪山?七年級(jí)期中）如圖，已知P為直線48,CD外一點(diǎn)，BF平分/ABP,DE

平分/CDP2下的反向延長(zhǎng)線交?！暧邳c(diǎn)E,若試用。表示/尸為

E

D

變式4.（2021?黑龍江?七年級(jí)月考）如圖，48//CD,￡是C。上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF//。尸，若ZPEF=ZPEH,

EG平分NDEH,23=152°,ZPEG=65°，貝UNBPD=.

變式5.（2021?江蘇七年級(jí)期中）如圖所示，已知AB〃CD,ZA=50°,ZC=ZE.則/C等于（）

A.20°B.25°C.30°D.40°

例3.（2021?河南駐馬店七年級(jí)期中）如圖1,已知Z5=20°,ZZ）=110°.

（1）若/E=50。，請(qǐng)直接寫(xiě)出/尸的度數(shù)；（2）探索/￡與/廠之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由;

（3）如圖2,EP平分NBEF,FG平分/EFD,尸G的反向延長(zhǎng)線交EP于點(diǎn)尸，求NP的度數(shù).

變式6.（2021糊北咸寧市期末）（感知）如圖①，/5〃CD,點(diǎn)￡在直線48與CO之間，連結(jié)/￡、BE,

試說(shuō)明

（探究）當(dāng)點(diǎn)￡在如圖②的位置時(shí)，其他條件不變，試說(shuō)明//￡C+/R4￡+/OCE=360。；

（應(yīng)用）點(diǎn)￡、八G在直線與CD之間，連結(jié)NE、ERFG和CG,其他條件不變，如圖③，若/￡FG=36。,

貝（IZBAE+ZAEF+ZFGC+ZDCG=

圖①圖③

動(dòng)態(tài)角度1:折疊問(wèn)題

例1.（2021?江蘇鎮(zhèn)江七年級(jí)期中）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示折疊，如果/1=55。，那么/2=

變式1.（2021?宜興市北郊中學(xué)初二期中）如圖a是長(zhǎng)方形紙帶，NDEF=26°,將紙帶沿EF折疊成圖b,

A.102°B.108°C.124°D.128°

變式2.（2021?廣東佛山市七年級(jí)期中）如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D,C分別落在。，C

例2.（2021?全國(guó)?八年級(jí)單元測(cè)試）在△/8C中，將/8、NC按如圖方式折疊，點(diǎn)從。均落于邊8c上一

點(diǎn)G處，線段即為折痕.若N/=80。，則°.

變式3.（2021?浙江杭州?七年級(jí)期中）在“妙折生平——折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個(gè)任務(wù):

如圖，有一張三角形紙片ABC,48=30。，NC=50。，點(diǎn)。是48邊上的固定點(diǎn)請(qǐng)?jiān)?c

上找一點(diǎn)E,將紙片沿DE折疊（DE為折痕），點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，使EF與三角形/2C的一邊平行，則NBDE

為度.

變式4.（2021?重慶南開(kāi)中學(xué)八年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，在瓦A48C中，ZABC=90°,在/C邊上取點(diǎn)D,使

得AD=4B,連接AD.點(diǎn)E、尸分別為4。、8。邊上的點(diǎn)，且/0所=48。，將△￡>￡尸沿直線的翻折,

使點(diǎn)。落在邊上的點(diǎn)G處，若GF//BC,則NC的度數(shù)為

例3.（2021?河南襄城?七年級(jí)月考）（1）學(xué)習(xí)了平行線以后，香橙同學(xué)想出了過(guò)一點(diǎn)畫(huà)一條直線的平行線的

圖1

圖2圖3

①請(qǐng)你仿照以上過(guò)程，在圖2中畫(huà)出一條直線6,使直線b經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸，且6〃0,要求保留折紙痕跡，畫(huà)出所

用到的直線，指明結(jié)果.無(wú)需寫(xiě)畫(huà)法:

②在（1）中的步驟S中，折紙實(shí)際上是在尋找過(guò)點(diǎn)尸的直線。的線.

（2）已知，如圖3,ABHCD,BE平分NABC,CF平分NBCD.求證：BE//CF（寫(xiě)出每步的依據(jù)）.

變式5.（2021?廣東深圳市七年級(jí)期末）如圖①，在長(zhǎng)方形/BCD中，￡點(diǎn)在4。上，并且N/B￡=30°,

分別以8￡、CE為折痕進(jìn)行折疊并壓平，如圖②，若圖②中NNEZ>=〃。，則NQEC的度數(shù)為度.

變式6.（2021?上海市七年級(jí)月考）已知，如圖1,四邊形/BCD,/D=NC=90。，點(diǎn)￡在8c邊上，

尸為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。，尸￡,交直線。。于點(diǎn)0.（1）當(dāng)NP￡C=70。時(shí)，求NDPQ；

（2）當(dāng)NPEC=4N￡>P。時(shí)，求/*>￡；（3）如圖3,將A?。。沿尸。翻折使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。，落在8C

邊上，當(dāng)NQD'C=40。時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出NPEC的度數(shù)，答：.

BEBE

動(dòng)態(tài)角度2:旋轉(zhuǎn)問(wèn)題

例1.（2021?湖南岳陽(yáng)?七年級(jí)期末）如圖，將一副三角板按如圖所示放置，NCAB=ND4E=90。,ZC=45°,

ZE=30°,且4D</C,則下列結(jié)論中：①/1=/3=45。；②若4D平分NC4B,則有③將三角

形NDE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)。落在線段/C上，則此時(shí)N4=15。；④若/3=2N2,則/C=/4.其中結(jié)論

正確的選項(xiàng)有______.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

D

變式1.（2021?遼寧建昌?七年級(jí)期末）一副三角板按如圖所示疊放在一起，其中點(diǎn)2、。重合，若固定三角

形/05,改變?nèi)前錘CD的位置（其中/點(diǎn)位置始終不變），下列條件①/胡。=30。；②/B4D=60。；

③/9。=120。；④NA4￡>=150。中，能得到的CD〃/8的有.（填序號(hào)）

變式2.（2021?重慶?西南大學(xué)附中七年級(jí)期中）如圖，△0/5為等腰直角三角形（/4=48=45。，ZAOB

=90°）,△OCO為等邊三角形（/C=ND=/COD=60。）,滿足0c>04,△0CD繞點(diǎn)。從射線0c與射

線ON重合的位置開(kāi)始，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)的角度為a（0。<01<360。），下列說(shuō)法正確的是（）

A.當(dāng)a=15。時(shí)，DC//AB

B.當(dāng)。C_LA8時(shí)，a=45。

C.當(dāng)邊與邊在同一直線上時(shí)，直線。C與直線相交形成的銳角為15。

D.整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程，共有10個(gè)位置使得AO/B與AOCD有一條邊平行

例2.（2021?浙江七年級(jí)期中）已知直線AB〃CD,點(diǎn)P、Q分別在AB、CD上，如圖所示，射線PB按順

時(shí)針?lè)较蛞悦棵?。的速度旋轉(zhuǎn)至PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；射線QC按順時(shí)針?lè)较蛎棵?。旋轉(zhuǎn)至

QD停止，此時(shí)射線PB也停止旋轉(zhuǎn).（1）若射線PB、QC同時(shí)開(kāi)始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)間30秒時(shí)，PB與QC

的位置關(guān)系為;（2）若射線QC先轉(zhuǎn)45秒，射線PB才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)射線PB旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒時(shí),

PB'〃QC'.

變式3.（2021?江蘇泰興市月考）某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，主道路是平行，即尸?！ㄈ?/p>

圖所示，燈/射線從開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至/N便立即回轉(zhuǎn)，燈2射線從3P開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至2。便立即

回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈/轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈3轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度.若燈3射線

先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)8。之前，N燈轉(zhuǎn)動(dòng)秒，兩燈的光束互相平行.

變式4（2021.江蘇鎮(zhèn)江七年級(jí)期中）鎮(zhèn)江市旅游局為了亮化某景點(diǎn)，在兩條筆直且互相平行的景觀道MN、

QP上分別放置/、5兩盞激光燈，如圖所示./燈發(fā)出的光束自4W逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至/N便立即回轉(zhuǎn)；5燈發(fā)

出的光束自8尸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至30便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不間斷照射，N燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12。，8燈每秒轉(zhuǎn)動(dòng)4。.B

燈先轉(zhuǎn)動(dòng)12秒，/燈才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng).當(dāng)3燈光束第一次到達(dá)2。之前，兩燈的光束互相平行時(shí)/燈旋轉(zhuǎn)的時(shí)

間是.

P'

M___________________

Q---------7^--------------------------------------------------------------------p

例3.（2021.綿陽(yáng)市七年級(jí)期中）“一帶一路”讓中國(guó)和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見(jiàn)在某段鐵路兩

旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈.如圖1所示，燈A射線從AM開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線

從BP開(kāi)始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒2度，燈B

轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即PQ〃MN,且/BAM：ZBAN=2：1.

（1）填空：ZBAN=°；（2）若燈B射線先轉(zhuǎn)動(dòng)30秒，燈A射線才開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈B射線到達(dá)BQ

之前，A燈轉(zhuǎn)動(dòng)幾秒，兩燈的光束互相平行？（3）如圖2,若兩燈同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，在燈A射線到達(dá)AN之前.若

射出的光束交于點(diǎn)C,過(guò)C作/ACD交PQ于點(diǎn)D,且NACD=120。，則在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄?BAC與

/BCD的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化？若不變，請(qǐng)求出其數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式5.（2021?山東德州市七年級(jí)期中）如圖，PQ//MN,/、3分別為直線MMPQ上兩點(diǎn)，且/R4N=45。,

若射線繞點(diǎn)/順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至NN后立即回轉(zhuǎn)，射線8。繞點(diǎn)3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至8P后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分

別繞點(diǎn)N、點(diǎn)8不停地旋轉(zhuǎn)，若射線4W轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是廢/秒，射線8。轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是6。/秒，且a、b滿足

-5|+（b-1）2=0.（友情提醒：鐘表指針走動(dòng)的方向?yàn)轫槙r(shí)針?lè)较颍?/p>

（1）a=,b=；（2）若射線/M、射線3。同時(shí)旋轉(zhuǎn)，問(wèn)至少旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí)，射線/M、射

線3?；ハ啻怪?（3）若射線繞點(diǎn)/順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線3。才開(kāi)始繞點(diǎn)8逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線

動(dòng)態(tài)角度3：動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

例1.（2021?山西七年級(jí)期中）如圖，射線AB〃CD,P為一動(dòng)點(diǎn)，/BAP與/DCP的平分線AE與CE交

于點(diǎn)E.⑴當(dāng)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖1），即/APC=180,則/AEC=；

（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到圖2的位置時(shí)，猜想NAEC與NAPC的關(guān)系，并說(shuō)