2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)與方程（學(xué)生版+解析）

第08講函數(shù)與方程

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................3

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷..............................3

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷..................................3

高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)....................4

高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系....................................5

高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和............................................5

高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù).............................26

高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn)........................................6

第四部分：新定義題(解答題).......................................7

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于一般函數(shù)y=/(x),xe￡>,我們把使/(x)=O成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(x),無(wú)eD的零點(diǎn).注

意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).

2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)y=于(X)的零點(diǎn)就是方程/(%)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=于(x)的圖象與%軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

即方程/(X)=0有實(shí)數(shù)根O函數(shù)y=/(X)的圖象與X軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=于(x)有零點(diǎn).

3、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[a,切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有/(a)?/(?<(),那么，函數(shù)

丁=/(均在區(qū)間(。力)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,?,使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4、二分法

對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且于(a)?于電<0的函數(shù)y=/(%),通過(guò)不斷地把函數(shù)/(%)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.求方程/(x)=0的

近似解就是求函數(shù)/(x)零點(diǎn)的近似值.

5、高頻考點(diǎn)技巧

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/(幻是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則/(%)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；

③函數(shù)/(X)=f(x)-g(x)有零點(diǎn)0方程/(X)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)M=/(%)與%=g(x)的圖象有交

點(diǎn)；

④函數(shù)尸(x)=/(x)-a有零點(diǎn)=方程歹(x)=。有實(shí)數(shù)根=函數(shù)X=/(x)與%=a的圖象有交點(diǎn)=

ae{y|y=/(%)},其中a為常數(shù).

第二部分：高考真題回顧

1.(2023,天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)aeR,函數(shù)〃同=加-2彳-卜2-6+1],若〃尤)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，貝心的取

值范圍為.

2.(2022?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)aeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記/(x)=min{國(guó)-2,尤?-依+3。-5}.若/(x)至

少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

典型例題

例題1.（2024上?安徽六安?高一六安一中?？计谀┖瘮?shù)/（x）=x+log2尤的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

例題2.（2024上?貴州黔東南,高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃X）=19+5%-11的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（3,4）D.（2,3）

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)〃x）=ln（x-2）+尤-4的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

2.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/00=￡_2-，-1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

典型例題

例題1.（2024下?河南?高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)〃幻=打沙-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

e"+無(wú),x<0

例題2.（2024下?河北保定?高一河北安國(guó)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)/（x）=一x+2,M。的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為（）

A.1B.2C.3D.4

例題3.（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xeR,都有

/（x）=f（6-x）,當(dāng)xe[0,3]時(shí)，/（x）=|log2（x+l）-l|,則函數(shù)尸（x）=，3+坨國(guó)一1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.6B.8C.10D.12

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?全國(guó)?高三統(tǒng)考競(jìng)賽）方程log.,（x+2024）=2的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.（2024下?重慶?高三重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試）函數(shù)〃力=3+工2—2的零點(diǎn)有（）

A.4個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)

典型例題

已知函數(shù)=，若函數(shù)y=//］所有零點(diǎn)

例題1.（2024上?山東日照,高一統(tǒng)考期末）

的乘積為1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（2,3）B.（O,2]U（3,y）C.（3,+s）D.[L2]U（3,y）

例題2.（2024上?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)”了）=/-2x-a-a（a>0）有兩個(gè)零點(diǎn)，則

7

實(shí)數(shù)”的取值范圍是

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?北京大興?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=x+log2X-4的零點(diǎn)為天，

g（x）=x+log“（x-l）-5（a>l）的零點(diǎn)為巧,若馬-玉>1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（1,V2）B.（V2,2）C.（1,2）D.（2,+功

2.（2024上?上海?高二曹楊二中?？计谀┮阎╡R,若關(guān)于x的方程廬壽=x+6有兩個(gè)不相等的實(shí)

根，則b的取值范圍是.

高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系

典型例題

例題1.(2024下?河南?高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)

〃x)=2"+3x+l,g(%)=log2X+3x+l,秋％)=三+3%+1的零點(diǎn)分別是〃，仇c,則〃，瓦。的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

例題2.(多選)(2024上?云南德宏?高三統(tǒng)考期末)已知曲線(xiàn)/(x)=e，+x、g。)=lnx+x與直線(xiàn)y=2交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為毛、巧，則()

A.%1+工2=2B.%-玉>1

D_Inx2

C.=x2Inx2

玉X2

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?湖南株洲?高一統(tǒng)考期末).已知函數(shù)/(x)=2"+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x3+x的零點(diǎn)分別

為a,b,c,則〃也c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

2.(2024上廣東?高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末)若(l-c)e"=(l-。3=1,則a/,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<a<b

C.c<b<aD.b<a<c

高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和

典型例題

例題L(2024?廣東?珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)"X)滿(mǎn)足：

f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=罷’,則方程，(x)=g(x)在區(qū)間［一5』上的所有實(shí)根

之和為()

A.-8B.-7C.—6D.0

2.（2024上?安徽亳州?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)，。）=2，-工+°在區(qū)間（1,2）上存在零點(diǎn)，則常數(shù)。的取值范圍

X

為.

高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn)

典型例題

例題1.（2024上?吉林延邊?高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，不能用二分法求零點(diǎn)的是（）

A.f^x）=2xB./（X）=%2+2A/2X+2

C./（x）=x-\-----3D./（x）=lnx+3

例題2.（多選）（2024上?浙江溫州?高一統(tǒng)考期末）設(shè)/z（x）=2x+log2（x+l）-2,某同學(xué)用二分法求方程

〃（元）=0的近似解（精確度為0.5）,列出了對(duì)應(yīng)值表如下：

-0.50.1250.43750.752

/z(x)-1.73-0.84-0.420.032.69

依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，方程的近似解與不可能為（）

=_

A.0-125B.=0-375C.%=0.525D.x0=1.5

例題3.（2024上?湖南株洲?高一株洲二中?？计谀┯枚址ㄇ蠛瘮?shù)在區(qū)間［1,3］的零點(diǎn)，若要求精確度＜0.01,

則至少進(jìn)行次二分.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?湖南株洲?高一校考期末）已知函數(shù)/（力=丁-3彳-1,現(xiàn)用二分法求函數(shù)/（尤）在（L3）內(nèi)的零

點(diǎn)的近似值，則使用兩次二分法后，零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

2.（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=lnx+2x-6在區(qū)間（2,3）內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，用二分法求方程

近似解時(shí)，至少需要求（）次中點(diǎn)值可以求得近似解（精確度為0.01）.

A.5B.6C.7D.8

3.(2024上?上海?高一上海市育才中學(xué)?？计谀?若函數(shù)〃x)=x3-x—l在區(qū)間的一個(gè)零點(diǎn)的近似

值用二分法逐次計(jì)算列表如下：

/(1)<0f(l-5)>0

/(1.25)<0f(1.375)>0

“1.3125)<0/(1.34375)>0

那么方程/一%-1=0的一個(gè)近似解為工=(精確到0.1)

第四部分：新定義題(解答題)

例題1.(2024上?山東濱州?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)%和非零實(shí)數(shù)使得

/(%+0=/(%)+/(D)成立，則稱(chēng)函數(shù)“力為D"伴和函數(shù)”.

(1)判斷是否存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)/(k=工為伴和函數(shù)"？若存在，請(qǐng)求出D的范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

X

明理由；

(2)證明：函數(shù)/(x)=x2+sinx+l在［0,+8)上為"兀伴和函數(shù)”；

⑶若函數(shù)〃x)=lg］言］在(0,+。)上為"1伴和函數(shù)"，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

例題2.(2024上?湖南郴州?高一統(tǒng)考期末)對(duì)于滿(mǎn)足一定條件的連續(xù)函數(shù)g(x),存在實(shí)數(shù)與，使得8(毛)=%,

我們就稱(chēng)該函數(shù)為"不動(dòng)點(diǎn)"函數(shù)，實(shí)數(shù)與為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).若函數(shù)y=f(x)，xel,若存在與乙，使得

/(/(尤o))=尤0，則稱(chēng)/為函數(shù)y=的穩(wěn)定點(diǎn).

⑴證明：函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)一定是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).

(2)已知函數(shù)/(力=雙2+(。-2)X—1,

(I)當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)；

(口)若存在加＞0,使函數(shù)y=f(|x|)+x+3-機(jī)-■^有三個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)，求優(yōu)的值和實(shí)數(shù)。的取值范圍.

第08講函數(shù)與方程

目錄

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)..................................................1

第二部分：高考真題回顧.............................................2

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)...........................................3

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷..............................3

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷..................................3

高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)....................4

高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系....................................5

高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和............................................5

高頻考點(diǎn)六：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù).............................26

高頻考點(diǎn)七：二分法求零點(diǎn)........................................6

第四部分：新定義題(解答題).......................................7

第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)

1、函數(shù)的零點(diǎn)

對(duì)于一般函數(shù)y=/(%),xeD,我們把使/(%)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(%),x&D的零點(diǎn).注

意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).

2、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程/(%)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

即方程/(x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=于(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)。函數(shù)y=/(%)有零點(diǎn).

3、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)，=/(%)在區(qū)間切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有/(a>/S)<0,那么，函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間3,力內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a力)，使得/(c)=0,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

4,二分法

對(duì)于在區(qū)間上連續(xù)不斷且<0的函數(shù)y=/(%),通過(guò)不斷地把函數(shù)/(%)的零點(diǎn)所在的區(qū)間

一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.求方程/(%)=。的

近似解就是求函數(shù)/(x)零點(diǎn)的近似值.

5,高頻考點(diǎn)技巧

①若連續(xù)不斷的函數(shù)/(%)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則/(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號(hào)；

③函數(shù)R(x)=/(x)-g(x)有零點(diǎn)=方程尸(x)=0有實(shí)數(shù)根=函數(shù)%=/(%)與%=g(x)的圖象有交

點(diǎn)；

④函數(shù)尸(%)=/(%)-。有零點(diǎn)=方程歹(x)=。有實(shí)數(shù)根<=>函數(shù)％=/(x)與％的圖象有交點(diǎn)=

ae{yl，=/(%)}，其中a為常數(shù).

第二部分：高考真題回顧

1.(2023?天津?統(tǒng)考高考真題)設(shè)aeR,函數(shù)/■(*)=/-2工-卜2一6+1］,若〃無(wú))恰有兩個(gè)零點(diǎn)，貝壯的取

值范圍為.

【答案】(―8,0)u(0,l)u(L+e)

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的意義，去掉絕對(duì)值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷。的取值范圍.

【詳解】(1)當(dāng)/一“無(wú)+120時(shí)，f(x)=0?(a-l)x2+(a-2)x-l=0,

即［(a-l)x-l］(x+l)=0,

若a=l時(shí)，x--1,止匕時(shí)12一狽+120成立；

若awl時(shí)，％一或

a-1

若方程有一根為x=—1,則1+〃+120,即々之一2且awl；

若方程有一根為％貝lj［」一］-ax-一+120,解得：且awl；

a-1\a-l)a-1

若x=^—=—1時(shí)，a=0,此時(shí)l+a+120成立.

a-1

(2)當(dāng)/—依+i<o時(shí)，/(%)=0。(a+1)九之一(〃+2)%+1=。,

即[(6Z+l)x-l](x-l)=0,

若。=一1時(shí)，X=1,顯然/一公+1<0不成立；

若QW-1時(shí)，％=1或%=」一

4+1

若方程有一根為x=l,則1一〃+1<0,即々>2；

2

若方程有一根為.占，則1(2X-^—+1<0,解得：。<-2；

〃+1〃+1

若兀=--—=1時(shí)，4=0,顯然/一辦+1<0不成立;

Q+1

綜上,

當(dāng)"一2時(shí)，零點(diǎn)為W1

CL-\

當(dāng)一2<av0時(shí)，零點(diǎn)為----，-1；

a-L

當(dāng)。=0時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)-1；

當(dāng)。時(shí)，零點(diǎn)為工，-1;

a-1

當(dāng)。=1時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)-1;

當(dāng)1<〃K2時(shí)，零點(diǎn)為,-1；

a-1

當(dāng)。>2時(shí)，零點(diǎn)為1,一L

所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且awl.

故答案為：（一8,0）。（0,1）口（1,+8）.

【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，

然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出.

2.（2022?天津?統(tǒng)考高考真題）設(shè)aeR,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,記=疝11{同-2,/-ax+3a-5}.若至

少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

【答案】a>10

【分析】設(shè)g（x）=x，-辦+3。-5,網(wǎng)司=國(guó)-2,分析可知函數(shù)g（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出-0,求出。

的取值范圍，然后對(duì)實(shí)數(shù)。的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式，綜合可求得實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

［詳解］設(shè)g（x）=d-辦+3a-5,〃（力=國(guó)一2,由國(guó)一2=0可得x=±2.

要使得函數(shù)〃尤)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(無(wú))至少有一個(gè)零點(diǎn)，則公=6一12〃+2()川,

解得或a210.

①當(dāng)a=2時(shí)，g(x)=d-2x+l,作出函數(shù)g(x)、人⑴的圖象如下圖所示：

此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；

②當(dāng)a<2時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為巧、菁</)，

要使得函數(shù)/(元)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)4-2,

a

一<-2

所以，2,解得4W0;

g(-2)=4+5a-5>0

③當(dāng)a=10時(shí)，g(x)=d—lOx+25,作出函數(shù)g(x)、〃(x)的圖象如下圖所示:

由圖可知，函數(shù)“X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,合乎題意；

④當(dāng)a>10時(shí)，設(shè)函數(shù)g(無(wú))的兩個(gè)零點(diǎn)分別為退、x4(x,<x4),

要使得函數(shù)/(元)至少有3個(gè)零點(diǎn)，則$22,

->2/

可得,2,解得。>4,此時(shí)a>10.

g(2)=4+a-5>0

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍是［10,—).

故答案為：［10,收).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象,

利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)

高頻考點(diǎn)一：函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷

典型例題

例題L（2024上?安徽六安,高一六安一中?？计谀┖瘮?shù)/（x）=x+log2x的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)/（尤）的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷和選擇.

【詳解】>=羽丁=。2》在（0,—）上都是單調(diào)增函數(shù)，故y=在（0,"）上是單調(diào)增函數(shù)；

又/出=>04=13<0,（力=51嗎4：-2<0,

/[1]=；+1嗚；=；-1<。，/（l）=l+log2l=l>0；

故/'（X）的零點(diǎn)所在區(qū)間為&』].

故選：C.

例題2.（2024上?貴州黔東南,高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/■（尤）=lgr+5Ali的零點(diǎn)所在區(qū)間是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（3,4）D.（2,3）

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，即可判斷選項(xiàng).

【詳解】y=坨》在（0,+。）上單調(diào)遞增，y=5x-ii也是單調(diào)遞增函數(shù)，所以〃尤）在（0,+功上單調(diào)遞增,

當(dāng)0vx<l時(shí)，lgx<0,5x-ll<0,所以〃x）<0,則在（0,1）上無(wú)零點(diǎn).

因?yàn)椤?）=-6<0,J（2）=lg2-l<0,/（3）=lg3+4>0,f（4）=lg4+9>0,

所以〃2）/⑶<0,則根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，“力在（2,3）上有零點(diǎn).

故選：D

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?安徽安慶?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（x）=ln（x-2）+x-4的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.（2,3）B.（3,4）C.（4,5）D.（5,6）

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在原理進(jìn)行求解即可.

【詳解】由條件知函數(shù)/（無(wú)）在（2,+8）上單調(diào)遞增，

又〃3）=-1<0,/（4）=ln2>0,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理知該函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為（3,4）,

故選：B

2.（2024上?河北滄州?高一統(tǒng)考期末）函數(shù)/（口二/一？^一的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【分析】由零點(diǎn)的存在定理，判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.

【詳解】函數(shù)/（x）=x；-2f-1的定義域?yàn)椋邸悖?8），

函數(shù)y=%在［°，+"）上單調(diào)遞增，函數(shù)）=2r在［0,+e）上單調(diào)遞減，

所以，（x）在［0,+8）上單調(diào)遞增.

由/⑴=l_g_l=_g<0,〃2）=0_；_1=近一1.25>0,

所以函數(shù)/（x）=/_2--1的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（L2）.

故選：B.

高頻考點(diǎn)二：函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷

典型例題

例題L（2024下?河南?高一校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)/（無(wú)）=北改-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】將函數(shù)/。）=X1股-1的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)>=3》與〉=」的交點(diǎn)問(wèn)題，畫(huà)圖可解.

X

【詳解】令F（x）=xlgxT=0,得lgx=L

X

畫(huà)出函數(shù)〉=想工與〉=’的圖象，

X

可得這兩個(gè)函數(shù)在（0,內(nèi)）上的圖象有唯一公共點(diǎn)，

故/（X）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為L(zhǎng)

故選：B

例題2.（2。24下?河北保定,高一河北安國(guó)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】當(dāng)無(wú)20時(shí)，解二次方程得函數(shù)零點(diǎn)，當(dāng)x＜0時(shí)，把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=e'與函數(shù)丁=一%的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可求解.

【詳解】當(dāng)時(shí)，令％2_3工+2=0，解得x=l或*=2；

當(dāng)無(wú)＜0時(shí)，令e，+x=0,則/=一巧畫(huà)出函數(shù)＞=0、與函數(shù)》=一%的圖象，

可知在（F,0]上有一個(gè)公共點(diǎn).故元）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

故選：C

例題3.（2024?全國(guó)?高一專(zhuān)題練習(xí)）己知函數(shù)y=〃x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對(duì)任意的xeR,都有

/（x）=/（6-x）,當(dāng)xe[0,3]時(shí)，/（x）=|log2（x+l）-l|,則函數(shù)尸（x）="x）+lg|x|—1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】C

【分析】由函數(shù)偶函數(shù)性質(zhì)及結(jié)合/（x）=〃6-x）得到函數(shù)的周期T=6,然后求出F（x）的在xe[0,3]

上的解析式〃x）=j[og二有：13《則求人尤）的零點(diǎn)就等價(jià)于函數(shù)y=〃x）與函數(shù)y=l-lg|x|圖

象的交點(diǎn)，作出相關(guān)圖形，從而可求解.

【詳解】由函數(shù)“X）為偶函數(shù)，所以F（X）="T）,

因?yàn)閷?duì)任意xeR,都有〃x）=〃6-x）,即〃—x）=〃6—%）,

所以函數(shù)的周期7=6,

當(dāng)xe［0,3］時(shí),心降4+1)』則力牒甯］:羽

對(duì)于函數(shù)尸(x)=〃x)+lg國(guó)-1的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=〃x)與函數(shù)y=l-lgM圖象的交點(diǎn),

如圖所示，一共有10個(gè)交點(diǎn)，故C正確.

1.(2024上?全國(guó)?高三統(tǒng)考競(jìng)賽)方程log,(x+2024)=2的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義＞0，。#1)n〃=log“b即可求解.

【詳解】依題意，

原方程等價(jià)于r=x+2024(x＞0,x21)

即f-%-2024=0,顯然只有一個(gè)正實(shí)根.

故選：B.

2.(2024下?重慶?高三重慶八中?？奸_(kāi)學(xué)考試)函數(shù)/(x)=e'+*-2的零點(diǎn)有()

A.4個(gè)B.2個(gè)C.1個(gè)D.0個(gè)

【答案】B

【分析】結(jié)合函數(shù)〉=二與y=2-x?的圖象可得正確的選項(xiàng).

【詳解】令f(x)=e"-2=0,即1=2—尤2,

可知函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為丫=^與y=2-x2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

結(jié)合函數(shù)的圖像，可知y=e'與＞=2-爐的函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，

所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)/（》）=3+/一2的零點(diǎn)有2個(gè).

故選：C.

高頻考點(diǎn)三：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求函數(shù)解析式中的參數(shù)

典型例題

例題1.（2024上?山東日照?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)=若函數(shù)y=所有零點(diǎn)

的乘積為L(zhǎng)則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.（2,3）B.（0,2]U（3，HC.（3,+8）D.[1,2]U（3,收）

【答案】B

【分析】作出函數(shù)=八的圖象，利用換元，令?=,,（"（））,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為〃x）=a的

[e+2,x<0a

所有解的乘積為1,結(jié)合函數(shù)圖象，分類(lèi)討論，即可求得答案.

【詳解】由題意，作出函數(shù)〃尤）的圖象如圖：

Ie+2,x<0

令/H=t,（"0）,貝I函數(shù)y=/■叢。=0,即/⑺=0,即t=l,

aIaJ

即〃x）=a,由題意函數(shù)y=所有零點(diǎn)的乘積為1,

可知〃無(wú)）=。的所有解的乘積為1,

而/（X）=。的解可看作函數(shù)y=/（x）的圖象與直線(xiàn)y=”的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);

結(jié)合/（x）=（?；>°的圖象可知，

|e"+2,尤W0

當(dāng)0<。42時(shí)，函數(shù)>=/（尤）的圖象與直線(xiàn)>有2個(gè)交點(diǎn)，

不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為占,々,（x<%），則。<不<1,%>1，

且=|1噸|,即-1叫=1噸,二1叫+1咤=0,；.X]/=1,符合題意；

當(dāng)2<aW3時(shí)，函數(shù)y=/（x）的圖象與直線(xiàn)y=。有3個(gè)交點(diǎn)，

其中最左側(cè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于等于0,則/（力=。的所有解的乘積小于等于0,不合題意;

當(dāng)。>3時(shí)，函數(shù)y=/（x）的圖象與直線(xiàn)y=a有2個(gè)交點(diǎn)，

不妨設(shè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為了3，斗（無(wú)3<弱），貝1]0<彳3<1，%>1，

JL|1IU-3|=|lnx4|,即-Inx,=ln9,;.lnx3+lm：4=0,.,.尤3元4=1，符合題意；

綜合以上可知實(shí)數(shù)。的取值范圍為（。,2]口（3,+“），

故選：B

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）轉(zhuǎn)化法：利用換元法，令""=f,（a/0）,將函數(shù)>所有零點(diǎn)的乘積

a（〃J

為1,轉(zhuǎn)化為/（x）=。的所有解的乘積為1；

（2）數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)/（無(wú)）的圖象，數(shù)形結(jié)合，分類(lèi)討論，解決問(wèn)題.

例題2.（2024上?浙江嘉興?高一統(tǒng)考期末）若函數(shù)/（x）=x2-2x-aa（a>0）有兩個(gè)零點(diǎn)，則

I）

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】0<"9

2

【分析】令r=|x-l|,則g（/）=產(chǎn)-1-。（占-，只有一個(gè)零點(diǎn)，即d=告一“2+1,據(jù)此即可求解.

【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽,令f=

則g（。=/T-a（Aj-a）只有一個(gè)零點(diǎn)，

且該零點(diǎn)為正數(shù)，g⑺=0=/=3―/+1,

根據(jù)函數(shù)"。）=產(chǎn)（后0）和為⑺=￡-/+1（拈0）的圖象及凹凸性可知，

只需滿(mǎn)足4（。）〈飽（0）即可，艮j0<-a2+a+ln/一0-1<0-土/<4<上黃，

又因?yàn)閍>0,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是0<。<上苗.

2

故答案為：0<a<匕蟲(chóng).

2

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題令/=卜-1|,則g（f）=/T-a|j1p4只有一個(gè)零點(diǎn)，即-=合一片+i的分

析.

練透核心考點(diǎn)

1.（2024上?北京大興?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=x+log/-4的零點(diǎn)為七，

g（x）=x+log“（x-l）-5（a>l）的零點(diǎn)為巧，若％>1,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是C）

A.(1,V2)B.(V2,2)C.(1,2)D.(2,+oo)

【答案】D

【分析】首先由函數(shù)零點(diǎn)的定義得到/G)=g(X2)=0,再結(jié)合條件進(jìn)行變形，log2^>loga(^-l),再根

據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解。取值范圍.

【詳解】由題意可知，

西+log2%-4=x,+loga(x,-l)-5=0,

X+log2x,-4=x2—1+loga—1)—4,

即芯+log2%l+log/w-1),

因?yàn)椋?無(wú)i>l,所以占<%T，

則log?%>log”(w-l),a>l,當(dāng)改<%-1時(shí)，

解得：a>2.

故選：D

2.(2024上?上海?高二曹楊二中?？计谀?已知6eR,若關(guān)于x的方程廬斗=尤+6有兩個(gè)不相等的實(shí)

根，則b的取值范圍是.

【答案】m

【分析】方程口7=x+6有兩個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于y=Q?與>=彳+6有兩個(gè)交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合

即可求.

【詳解】由題意，y=表示交點(diǎn)在V軸上的橢圓的上半部分，且左頂點(diǎn)為［手,0),

>=尤+6表示斜率為1的一組平行線(xiàn)，

所以△=462-4x3x^2-1)=。，解得6=手(負(fù)根舍去)，

當(dāng)兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圖象,

縱截距b的取值范圍為:

夜>/6

故答案為:

高頻考點(diǎn)四：比較零點(diǎn)大小關(guān)系

典型例題

例題L(2024下?河南?高一信陽(yáng)高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)

/(x)=2*+3x+l,g(x)=log2x+3x+l,〃(x)=x3+3x+l的零點(diǎn)分別是則a,4c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.b>c>a

C.b>a>cD.a>b>c

【答案】B

【分析】令〃x)=0,g(x)=0,〃(x)=0,從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=2'、曰嗝無(wú)、y=/與y=-3x-l交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.

【詳解】令/(x)=0,g(x)=0,/z(x)=0,得2,=一3x-l,log2x=-3x-l,無(wú)3=_3工一1,

則。為函數(shù)y=2￡與丫=-3》-1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

b為函數(shù)y=iog2x與y=-3x-i交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

C為函數(shù)y=/與y=-3x-l交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出y=2￡,y=log2X,y=9和y=-3x-l的圖象，如圖所示，

y=-3x-l\y~x3y=lx

由圖可知，b>c>a.

故選：B

例題2.(多選)(2024上?云南德宏?高三統(tǒng)考期末)已知曲線(xiàn)/(尤)=e'+尤、g。)=lnx+x與直線(xiàn)y=2交

點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為毛、巧，則()

A.玉+9=2B.%2一%>1

X{

C.xfi=x2Inx2

【答案】ABC

【分析】根據(jù)題意4是〉=片與y=-x+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，々是y=lnx與y=-x+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，作出圖象,

利用圖象對(duì)稱(chēng)性依次求解判斷.

【詳解】由/(x)=e'+x=2,得^=一*+2,即4是y=e，與y=-x+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

由g(尤)=lnx+x=2,得lnx=-x+2,即4是y=lnx與y=-x+2交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

畫(huà)出>=&]y=x,y=ln尤，y=—x+2的圖象，如下圖所示，

>=-尤+2與它們的交點(diǎn)依次為428,

>=^與〉=111天關(guān)于直線(xiàn)丫=%對(duì)稱(chēng)，

1

所以4(占戶(hù))，3(%,In%)關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，則為=111%2，e^=x2,

[y=x,、

由c，解得x=y=i，，P1,1

[y=-x+2

所以玉+%=2,故A正確；

對(duì)于B,由9=%,且無(wú)I+%2=2,貝1]0<無(wú)1<1,1<%2<2,

所以X?=e*'—玉，令0(x)=e*_x,0<x<l,貝i]0'(x)=e、'_]>0,

所以函數(shù)火力在(0,1)上單調(diào)遞增，

.,.0(x)>0(o)=l,即%-玉=爐-X]>1,故B正確；

X|

對(duì)于C,由e=x2,所以xg"=%山/，故C正確；

e'x

對(duì)于D,由％=In%,e"=x2,貝lj—=-~,

玉Inx2

當(dāng)％=TnW口寸與1<尤2<2矛盾，又％=In%顯然不成立，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

p/y=\nx

練透核心考點(diǎn)

1.(2024上?湖南株洲?高一統(tǒng)考期末).已知函數(shù)/(%)=2、+羽g(%)=log2%+x,h(x)=x3+x的零點(diǎn)分別

為a,b,c,則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=2'+無(wú)，g(x)=logzx+x,h{x)=x3+x的零點(diǎn)分別為a,6,c,

可轉(zhuǎn)化為丁=-》與三個(gè)函數(shù)V=2工<=log2=丁的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a,b,c,

在同一坐標(biāo)系下，畫(huà)出函數(shù)y=-x與函數(shù)y=2",y=log2X,y=/的圖象，

如圖所示，

結(jié)合圖象可得：a<c<b.

故選：B.

2.(2024上廣東?高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末)若(l-c)e"=(l-。地=1,則a,6,c的大小關(guān)系為()

A.c<a<bB.c<a<b

C.c<b<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】由題意可得e"=lnb=占，構(gòu)造函數(shù)〃x)=(l-x)e*(x<l),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，作

出函數(shù)了=//=10%,丫=1匚的圖象，結(jié)合圖象即可得解.

1-X

【詳解】由(l—c)e"=(l—c)lnb=l,

可得e">0,所以1一。>0,故c<l,

所以6"=皿=占，

令/(X)=(l-x)e"(%<1),貝[]/,(x)=-xeY,

當(dāng)x<0時(shí)，/,(x)>0,當(dāng)0<x<l時(shí)，/'(無(wú))<0,

所以/(元)在(-8,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，

所以/(x)4〃0)=l,即￡wi(x<l),

1-X

所以(尤<1),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào),

1-X

如圖,作出函數(shù)y=ex,y=lax,y=---的圖象,

l-x

由圖可知，可知cVa<6.

故選：A.

高頻考點(diǎn)五：求零點(diǎn)和

典型例題

例題1.(2024?廣東?珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/⑺滿(mǎn)足：

且〃尤+2)"⑺，g(x)=生;，貝I方程/(x)=g(x)在區(qū)間［-5,1］上的所有實(shí)根

之和為()

A.—8B.—7C.—6D.0

【答案】B

【分析】首先利用函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性求所有實(shí)數(shù)根的和.

【詳解】由題意知g(x)=m^=2(x+2)+l=2+-t_,關(guān)于點(diǎn)(一2,2)對(duì)稱(chēng)，

函數(shù)的周期為2,則函數(shù)〃力，g(x)在區(qū)間［-5』上的圖象如下圖所示：

由圖形可知函數(shù)“X),g(無(wú))在區(qū)間上的交點(diǎn)為A,B,C,

易知點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為-3,

若設(shè)C的橫坐標(biāo)為"0<r<l),則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-4-f,

所以方程〃x)=g(x)在區(qū)間［-5』上的所有實(shí)數(shù)根之和為-3+(TT)+f=-7.

故選：B

例題2.(2024下?湖南長(zhǎng)沙?高二長(zhǎng)沙一中校考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃x)=sin(2*+工，則直線(xiàn)y=尤-2

x-2

與/(尤)的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.

【答案】12

【分析】由/(x)=x-2可得sin(2?w)=x-2——二，令g(x)=sin(2nx),h(x)=x-2——二，分析可知g(無(wú))

x-2x-2

與〃(無(wú))圖象都關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱(chēng)，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.

【詳解】由/(尤)=尤-2可得sin(2m)=x-2-