【上海54】第一次月考B卷（考試版+解析）

2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考B卷·重點(diǎn)難點(diǎn)過(guò)關(guān)測(cè)（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．測(cè)試范圍：第24章、第25章（滬教版）5．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，選擇正確項(xiàng)的代號(hào)并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則下列比例式能成立的是（）A． B． C． D．2．（2021秋?沈河區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．3．（2023春?靜安區(qū)期末）下列判斷中，不正確的是（）A．＝ B．＝ C．如果||＝||，那么 D．+（）＝（）4．（2020秋?嵐山區(qū)月考）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：255．（2023?楊浦區(qū)一模）已知點(diǎn)A（1，2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα的值為（）A． B．2 C． D．6．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝2，BD＝3，能判斷DE∥BC的是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請(qǐng)將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（2023春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知梯形ABCD，AB∥DC，點(diǎn)E在底邊AB上，EC∥AD．如果設(shè)那么＝.（用向量的式子表示）．8．（2023春?普陀區(qū)期中）如圖，在平地上種植樹(shù)木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）為4m，如果在坡比為的山坡上種樹(shù)，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為米．9．（2019秋?普陀區(qū)期末）如圖，斜坡AB長(zhǎng)為100米，坡角∠ABC＝30°，現(xiàn)因“改小坡度”工程的需要，將斜坡AB改造成坡度i＝1：5的斜坡BD（A、D、C三點(diǎn)在地面的同一條垂線上），那么由點(diǎn)A到點(diǎn)D下降了米．（結(jié)果保留根號(hào)）10．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，AB＝6，那么AP＝．11．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知AD、BE是△ABC的中線，AD和BE交于點(diǎn)G，當(dāng)∠AEG＝∠ADC時(shí)，那么的值等于．12．（2023?奉賢區(qū)一模）已知一斜坡的坡度i＝1：3，高度為20米，那么這一斜坡的坡長(zhǎng)約米．13．（2023春?楊浦區(qū)期末）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，如果AD＝2，EF＝3，那么BC＝．14．（2023?松江區(qū)一模）如果＝，那么＝．15．（2023?徐匯區(qū)模擬）如果把兩條鄰邊中較短邊與較長(zhǎng)邊的比值為的矩形稱作黃金矩形．現(xiàn)將長(zhǎng)度為20cm的鐵絲折成一個(gè)黃金矩形，這個(gè)黃金矩形較短的邊長(zhǎng)是cm．16．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，在由正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，A、B、C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為．17．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝10，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，那么EF的長(zhǎng)為．18．（2023?崇明區(qū)二模）如圖，已知在兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，BC＝3，CE＝2，將△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)BE，那么BE＝．三、解答題：（本大題共7題，19-22題每題10分，23-24題每題12分，25題14分，滿分78分）19．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知a+b+c≠0，，求的值．20．（2023春?閔行區(qū)期末）已知：如圖矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)，．（1）填空：＝；（用a、b的式子表示）（2）在圖中求作．（不要求寫(xiě)出作法，只需寫(xiě)出結(jié)論即可．）21．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．22．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）每年的11月9日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車(chē)上的云梯AB可伸縮（最長(zhǎng)可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為9m．（1）若∠ABD＝53°，求此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)．（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）23．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF＝∠ABE．求證：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG?DF＝DB?EF．24．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)A（6，0），B（0，8），C（﹣4，0），點(diǎn)M、N分別為線段AC和射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自C向A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自A向B方向做勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P．（1）求證：MN：NP為定值；（2）若△BNP與△MNA相似，求CM的長(zhǎng)；（3）若△BNP是等腰三角形，求CM的長(zhǎng)．25．（2022秋?松江區(qū)月考）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝4，P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PD⊥AB，交邊AC于點(diǎn)D（點(diǎn)D與點(diǎn)A、C都不重合），E是射線DC上一點(diǎn)，且∠EPD＝∠A．設(shè)A、P兩點(diǎn)的距離為x，△BEP的面積為y．（1）求證：AE＝2PE；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（3）當(dāng)△BEP與△ABC相似時(shí)，求△BEP的面積．

2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期第一次月考A卷·重點(diǎn)難點(diǎn)過(guò)關(guān)測(cè)（考試時(shí)間：100分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一．選擇題（共6小題）1．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）已知P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AP＞BP，則下列比例式能成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)黃金分割的定義：把線段AB分成兩條線段AP和BP（AP＞BP），且使AP是AB和BP的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)【解答】解：根據(jù)黃金分割定義可知：AP是AB和BP的比例中項(xiàng)，即AP2＝AB?BP，∴＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義．2．（2021秋?沈河區(qū)期末）如圖，△ABC中，∠A＝76°，AB＝8，AC＝6．將△ABC沿圖示中的虛線剪開(kāi)，剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判定即可．【解答】解：A、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；B、陰影三角形與原三角形有兩個(gè)角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C、兩三角形的對(duì)應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項(xiàng)符合題意；D、陰影三角形中，∠A的兩邊分別為6﹣2＝4，8﹣5＝3，則兩三角形對(duì)應(yīng)邊成比例且?jiàn)A角相等，故兩三角形相似，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵．3．（2023春?靜安區(qū)期末）下列判斷中，不正確的是（）A．＝ B．＝ C．如果||＝||，那么 D．+（）＝（）【分析】根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【解答】解：∵＝，，，∴A、B、D正確，∵||＝||，∴或，故C錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的加減運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2020秋?嵐山區(qū)月考）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，且DE∥AC，AE、CD相交于點(diǎn)O，若S△DOE：S△COA＝1：25，則S△BDE與S△CDE的比是（）A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25【分析】由DE∥AC，推出△DEO∽△CAO，可得＝（）2＝，推出DE：AC＝BE+BC＝1：5，推出BE：EC＝1：4，根據(jù)等高模型即可解決問(wèn)題．【解答】解：∵DE∥AC，∴△DEO∽△CAO，∴＝（）2＝，∴DE：AC＝BE：BC＝1：5，∴BE：EC＝1：4，∴S△BED：S△DEC＝1：4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方，掌握等高模型解決問(wèn)題．5．（2023?楊浦區(qū)一模）已知點(diǎn)A（1，2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，射線OA與x軸正半軸的夾角為α，那么cosα的值為（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)題意，畫(huà)出相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)勾股定理可以得到OA的長(zhǎng)，從而可以計(jì)算出cosα的值．【解答】解：連接OA，作AB⊥x軸于點(diǎn)B，則∠ABO＝90°，∵點(diǎn)A（1，2）∴OB＝1，AB＝2，∴OA＝＝＝，∵射線OA與x軸正半軸的夾角為α，∴cosα＝＝＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出OA的長(zhǎng)．6．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD＝2，BD＝3，能判斷DE∥BC的是（）A． B． C． D．【分析】先求出比例式，再根據(jù)相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似推出∠ADE＝∠B，根據(jù)平行線的判定得出即可．【解答】解：只有選項(xiàng)D正確，理由是：∵AD＝2，BD＝3，＝，∴＝＝，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，根據(jù)選項(xiàng)A、B、C的條件都不能推出DE∥BC．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）7．（2023春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知梯形ABCD，AB∥DC，點(diǎn)E在底邊AB上，EC∥AD．如果設(shè)那么＝.（用向量的式子表示）．?【分析】先證明四邊形ADCE是平行四邊形，得出，再根據(jù)平面向量三角形運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：∵AB∥DC，AD∥CE，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴CE＝AD，∵，∴，又∵，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握平面向量的三角形運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2023春?普陀區(qū)期中）如圖，在平地上種植樹(shù)木時(shí)，要求株距（相鄰兩樹(shù)間的水平距離）為4m，如果在坡比為的山坡上種樹(shù)，也要求株距為4m，那么相鄰兩樹(shù)間的坡面距離為5米．【分析】根據(jù)坡度為0.75求得豎直高度，再根據(jù)勾股定理求出相鄰兩樹(shù)間的坡面距離即可．【解答】解：水平距離為4m，坡比為，∴豎直高度＝4×＝3（米），∴由勾股定理得：＝5（米）．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查了解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問(wèn)題，以及勾股定理的運(yùn)用．9．（2019秋?普陀區(qū)期末）如圖，斜坡AB長(zhǎng)為100米，坡角∠ABC＝30°，現(xiàn)因“改小坡度”工程的需要，將斜坡AB改造成坡度i＝1：5的斜坡BD（A、D、C三點(diǎn)在地面的同一條垂線上），那么由點(diǎn)A到點(diǎn)D下降了（50﹣10）米．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)余弦的定義求出BC，根據(jù)坡度的概念求出CD，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AC＝AB＝50，BC＝AB?cos∠ABC＝50，∵斜坡BD的坡度i＝1：5，∴DC：BC＝1：5，∴DC＝10，則AD＝50﹣10，故答案為：（50﹣10）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．10．（2023春?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，AB＝6，那么AP＝3﹣3．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)P是線段AB上的黃金分割點(diǎn)，AP＞BP，AB＝6，∴AP＝AB＝×6＝3﹣3，故答案為：3﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．11．（2023?金山區(qū)二模）如圖，已知AD、BE是△ABC的中線，AD和BE交于點(diǎn)G，當(dāng)∠AEG＝∠ADC時(shí)，那么的值等于．【分析】根據(jù)三角形的重心的性質(zhì)得到AG＝AD，證明△AGE∽△ACD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中線，∴點(diǎn)G是△ABC的重心，AE＝AC，∴AG＝AD，∵∠AEG＝∠ADC，∠EAG＝∠DAC，∴△AGE∽△ACD，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理、三角形的重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2023?奉賢區(qū)一模）已知一斜坡的坡度i＝1：3，高度為20米，那么這一斜坡的坡長(zhǎng)約20米．【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜坡與高的比，再列方程求解．【解答】解：設(shè)斜坡的坡長(zhǎng)為x米，∵i＝1：3，∴斜坡占＝份，∴x：20＝：1，解得：x＝20，故答案為：20．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．（2023春?楊浦區(qū)期末）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E、F分別是對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，如果AD＝2，EF＝3，那么BC＝8．【分析】連接DF，并延長(zhǎng)交BC于G，由△AFD≌△CFG（AAS），推出DF＝FG，CG＝AD＝2，得到EF是△DBG的中位線，即可求出BG的長(zhǎng)，于是得到BC的長(zhǎng)．【解答】解：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于G，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF，∵AF＝CF，∴△AFD≌△CFG（AAS），∴DF＝FG，CG＝AD＝2，∵DE＝BE，∴EF是△DBG的中位線，∴EF＝BG，∵EF＝3，∴BG＝6，∴CB＝BG+CG＝6+2＝8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查梯形，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形，從而推出EF是△DBG的中位線．14．（2023?松江區(qū)一模）如果＝，那么＝．【分析】直接利用已知得出x，y的關(guān)系，進(jìn)而代入原式化簡(jiǎn)即可．【解答】解：∵＝，則x＝y(tǒng)，∴＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確用y表示出x的值是解題關(guān)鍵．15．（2023?徐匯區(qū)模擬）如果把兩條鄰邊中較短邊與較長(zhǎng)邊的比值為的矩形稱作黃金矩形．現(xiàn)將長(zhǎng)度為20cm的鐵絲折成一個(gè)黃金矩形，這個(gè)黃金矩形較短的邊長(zhǎng)是（15﹣5）cm．【分析】設(shè)這個(gè)黃金矩形較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)公式列出算式求出x的值，再根據(jù)黃金分割的定義即可得出這個(gè)黃金矩形較短的邊長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)這個(gè)黃金矩形較長(zhǎng)的邊長(zhǎng)是xcm，根據(jù)題意得：2（x+x）＝20，解得：x＝5﹣5，則這個(gè)黃金矩形較短的邊長(zhǎng)是×（5﹣5）＝（15﹣5）cm．故答案為：（15﹣5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的定義：把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值（）叫做黃金比．同時(shí)考查了矩形的周長(zhǎng)公式．16．（2023?徐匯區(qū)一模）如圖，在由正三角形構(gòu)成的網(wǎng)格圖中，A、B、C三點(diǎn)均在格點(diǎn)上，則sin∠BAC的值為．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)，求出BC長(zhǎng)，由勾股定理求出AB長(zhǎng)，由銳角的正弦定義即可計(jì)算．【解答】解：令正三角形的邊長(zhǎng)是“1”，∴AC＝2，BC＝×1＝，∴AB＝＝＝，∴sin∠BAC＝＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)定義．17．（2023春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝4，BC＝10，點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，那么EF的長(zhǎng)為7．【分析】根據(jù)梯形中位線定理得到EF＝（AD+BC），然后把AD＝4，BC＝10代入可求出EF的長(zhǎng)．【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點(diǎn)，∴EF為梯形ABCD的中位線，∴EF＝（AD+BC）＝（4+10）＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．18．（2023?崇明區(qū)二模）如圖，已知在兩個(gè)直角頂點(diǎn)重合的Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，BC＝3，CE＝2，將△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上時(shí)，聯(lián)結(jié)BE，那么BE＝．【分析】證明△ACD∽△BCE，推出＝＝，∠A＝∠CBE，再證明∠DBE＝90°，設(shè)BE＝x，則AD＝x，在Rt△DBE中，DE2＝BD2+BE2，構(gòu)建方程求出x即可．【解答】解：Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CAB＝∠CDE＝30°，BC＝3，CE＝2，∴＝＝，AB＝2BC＝6，DE＝2CE＝4，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝，∠A＝∠CBE，∵∠A+∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABC＝90°，∴∠DBE＝90°，設(shè)BE＝x，則AD＝x，在Rt△DBE中，DE2＝BD2+BE2，∴（6﹣x）2+x2＝42，∴x＝（負(fù)根已經(jīng)舍去），∴BE＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共7小題）19．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知a+b+c≠0，，求的值．【分析】直接利用已知用同一未知數(shù)表示出a，b，c的值，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：∵a+b+c≠0，，∴設(shè)a＝2x，b＝3x，c＝4x，∴原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示各數(shù)是解題關(guān)鍵．20．（2023春?閔行區(qū)期末）已知：如圖矩形ABCD中，AC和BD相交于點(diǎn)O，設(shè)，．（1）填空：＝；（用a、b的式子表示）（2）在圖中求作．（不要求寫(xiě)出作法，只需寫(xiě)出結(jié)論即可．）【分析】（1）先將用，表示后，即可得出結(jié)果；（2）延長(zhǎng)CD到E，使CD＝DE，由，，得出．【解答】解：（1）∵，，，∴＝，故答案為：；（2）如圖所示，即為所求；【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量三角形計(jì)算法則．21．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點(diǎn)A、B、C，截直線l5于點(diǎn)D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的長(zhǎng)．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）由平行線分線段成比例定理得出比例式，即可得出DE的長(zhǎng)；（2）由平行線分線段成比例定理得出比例式，求出BC的長(zhǎng)，即可得出AC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵l1∥l2∥l3．∴＝＝，∴DE＝EF＝6；（2）∵l1∥l2∥l3．∴＝，∴BC＝AB＝×6＝9，∴AC＝AB+BC＝6+9＝15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理；熟練掌握平行線分線段成比例定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．22．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）每年的11月9日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車(chē)上的云梯AB可伸縮（最長(zhǎng)可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為9m．（1）若∠ABD＝53°，求此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)．（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）【分析】（1）在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，即可解答；（2）根據(jù)題意可得DE＝BC＝2m，從而求出AD＝17m，然后在Rt△ABD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)行比較即可解答．【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠ABD＝53°，BD＝9m，∴AB＝≈＝15（m），∴此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)為15m；（2）在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能伸到險(xiǎn)情處，理由：由題意得：DE＝BC＝2m，∵AE＝19m，∴AD＝AE﹣DE＝19﹣2＝17（m），在Rt△ABD中，BD＝9m，∴AB＝＝＝（m），∵m＜20m，∴在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能伸到險(xiǎn)情處．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?青浦區(qū)校級(jí)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，點(diǎn)F在邊AC上，DF與BE相交于點(diǎn)G，且∠EDF＝∠ABE．求證：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG?DF＝DB?EF．【分析】（1）由AB＝AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，即可證得：∠ABC＝∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°，則可證得：∠BDE＝∠CED，又由已知∠EDF＝∠ABE，則可根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似，證得△DEF∽△BDE；（2）由（1）易證得DE2＝DB?EF，又由∠BED＝∠DFE與∠GDE＝∠EDF證得：△GDE∽△EDF，則可得：DE2＝DG?DF，則證得：DG?DF＝DB?EF．【解答】證明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ABC+∠BDE＝180°，∠ACB+∠CED＝180°．∴∠BDE＝∠CED，∵∠EDF＝∠ABE，∴△DEF∽△BDE；（2）由△DEF∽△BDE，得．∴DE2＝DB?EF，由△DEF∽△BDE，得∠BED＝∠DFE．∵∠GDE＝∠EDF，∴△GDE∽△EDF．∴，∴DE2＝DG?DF，∴DG?DF＝DB?EF．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定．注意有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似以及相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例定理的應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．24．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有點(diǎn)A（6，0），B（0，8），C（﹣4，0），點(diǎn)M、N分別為線段AC和射線AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自C向A方向做勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以5個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度自A向B方向做勻速運(yùn)動(dòng)，MN交OB于點(diǎn)P．（1）求證：MN：NP為定值；（2）若△BNP與△MNA相似，求CM的長(zhǎng)；（3）若△BNP是等腰三角形，求CM的長(zhǎng)．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，然后分兩種情況進(jìn)行討論，綜合兩種情況，求得MN：NP為定值．（2）當(dāng)△BNP與△MNA相似時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M在CO上時(shí)，只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，所以△BNP∽△MNA∽△BOA，所以，所以，，即；當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，只可能是∠NBP＝∠NMA，所以∠PBA＝∠PMO，根據(jù)題意可以判定不成立，所以．（3）由于等腰三角形的特殊性質(zhì)，應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，即BP＝BN，PB＝PN，NB＝NP三種情況進(jìn)行討論．【解答】證明：（1）過(guò)點(diǎn)N作NH⊥x軸于點(diǎn)H，設(shè)AN＝5k，得：AH＝3k，CM＝2k，①當(dāng)點(diǎn)M在CO上時(shí)，點(diǎn)N在線段AB上時(shí)：∴OH＝6﹣3k，OM＝4﹣2k，∴MH＝10﹣5k，∵PO∥NH，∴，②當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，點(diǎn)N在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)：∴OH＝3k﹣6，OM＝2k﹣4，∴MH＝5k﹣10，∵PO∥NH，∴；解：（2）當(dāng)△BNP與△MNA相似時(shí)：①當(dāng)點(diǎn)M在CO上時(shí)，只可能是∠MNB＝∠MNA＝90°，∴△BNP∽△MNA∽△BOA，∴，∴，，，②當(dāng)點(diǎn)M在OA上時(shí)，只可能是∠NBP＝∠NMA，∴∠PBA＝∠PMO，∵∴∠PBA≠∠PMO，矛盾∴不成立；（3）∵，，∴，，①當(dāng)點(diǎn)M在CO上時(shí)，BN＝10﹣5k，（ⅰ）BP＝BN，，，；（ⅱ）PB＝PN，則∠PNB＝∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾，∴不成立；（ⅲ）NB＝NP，則∠NBP＝∠NPB∵∠NPB＝∠MNH，∠NBP＝∠ANH，∴∠MNH＝∠ANH又∵NH⊥MA，可證△MNA為等腰三角形，∴MH＝A