中考數(shù)學一輪復習突破：概率（原卷版+解析）

專題38概率

【考查題型】

列舉法求概率判斷事件類型

列表法求概率判斷事件發(fā)生可能性的大小

樹狀圖法求概率根據(jù)概率公式計算概率

游戲公平性根據(jù)概率求數(shù)量

用頻率估計概率幾何概率

【知識要點】

知識點一確定事件與隨機事件

事件類型的種類：

①必然事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生,這些事情稱為必然事件。

②不可能事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件。

③隨機事件：在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為隨機事件。

【備注】必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機事件發(fā)生的可能

性有大有小,不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小可能不同。

知識點二頻率與概率

概率的概念：某種事件在某一條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但可以知道它發(fā)生的可能性的大小，我們把描述

事件發(fā)生的可能性的大小的量叫做概率。

概率的計算：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A

包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為（04蟲閆）,

其中P（必然事件）=LP（不可能事件）=。，0＜P（隨機事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（隨機事件）＜P（必然事件）o

利用列舉法求概率

1）直接列舉法求概率

當一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個,并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時，通常采用直接列舉法。

2）列表法求概率

當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常

米用列表法。

3）樹狀圖法求概率

當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通

常采用樹狀圖法求概率。

利用頻率估計概率

實際上，我們可以通過大量的重復試驗，用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。用頻率估計概

率，雖然不像列舉法能確切地計算出隨機事件的概率，但由于不受“各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等”的條件

限制，使得可求概率的隨機事件的范圍擴大。

通常，在多次重復實驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動,并且隨著試驗次數(shù)

增多，擺動的幅度會減小,這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.

【注意事項】概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值。

考查題型一判斷事件類型

典例1（2022?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）彩民李大叔購買1張彩票，中獎.這個事件是（）

A.必然事件B.確定性事件C.不可能事件D.隨機事件

變式LL（2022.江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水漲船高C.水滴石穿D.水中撈月

變式1-2（2022?四川德陽?統(tǒng)考中考真題）下列事件中，屬于必然事件的是（）

A.拋擲硬幣時，正面朝上

B.明天太陽從東方升起

C.經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈

D.玩“石頭、剪刀、布”游戲時，對方出“剪刀”

變式1-3（2022.江西?統(tǒng)考中考真題）某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4

名護士積極報名參加，其中甲是共青團員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨機抽取的方式確定人選.

（1）“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；A.不可能B.必然C.隨機

（2）若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的

概

率.

考查題型二判斷事件發(fā)生可能性的大小

典例2（2022.江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）如圖，一張圓桌共有3個座位，甲、乙，丙3人隨機坐到這3個座

位上，則甲和乙相鄰的概率為（）

□

變式2-1（2021?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，這些除顏色外

無其他差別，從中任意摸出3個球，下列事件是確定事件的為（）

A.至少有1個球是黑球B.至少有1個球是白球

C.至少有2個球是黑球D.至少有2個球是白球

變式2-2.（2022?貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題）某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和安全知識競

賽”.比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的數(shù)字1,2,3分別寫在3張

同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列

說法中正確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大D.小星抽到每個數(shù)的可能性相同

考查題型三根據(jù)概率公式計算概率

典例3（2022.廣東.統(tǒng)考中考真題）書架上有2本數(shù)學書、1本物理書.從中任取1本書是物理書的概率為

（）

A.-B.-C.1D.-

4323

變式3-1（2022?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題）從下列一組數(shù)-2,兀，--0.12,0,-布中隨機抽取一個數(shù)，

這個數(shù)是負數(shù)的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

6323

變式3-2（2022?內(nèi)蒙古呼和浩特?統(tǒng)考中考真題）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的。個白球、b個紅球,

則任意摸出一個球是紅球的概率是（）

b_b_a_a

A.------B.-C.-------D.一

a+baa+bb

變式3-3（2022.甘肅蘭州.統(tǒng)考中考真題）無色酚麟溶液是一中常見常用酸堿指示劑，廣泛應用于檢驗溶液

酸堿性，通常情況下酚麟溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色.現(xiàn)有5瓶缺失標

簽的無色液體：蒸儲水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、火堿溶液，將酚酰試劑滴入任意一瓶液體

后呈現(xiàn)紅色的概率是（）

A.1B.2C.3D,1

5555

變式3-4（2022.山東東營.統(tǒng)考中考真題）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)

成的圖形是軸對稱圖形的概率是（）

考查題型四根據(jù)概率求數(shù)量

典例4（2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它

差別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為:，則這個箱子中黃球的個數(shù)為______個.

4

變式4-1（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）一個不透明的口袋中裝有5個紅球和加個黃球，這些球除顏色外

都相同，某同學進行了如下試驗：從袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后，放回搖勻，為一次摸球試驗.根

據(jù)記錄在下表中的摸球試驗數(shù)據(jù)，可以估計出力的值為.

摸球的總次數(shù)。10050010002000

摸出紅球的次數(shù)人19101199400

b

0.1900.2020.1990.200

摸出紅球的頻率〃

變式4-2（2022?四川廣元?統(tǒng)考中考真題）一個袋中裝有機個紅球，10個黃球，"個白球，每個球除顏色外

都相同，任意摸出一個球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么，"與”的關系是.

考查題型五幾何概率

典例5（2022?江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在5x6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外

都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形的圓心及弧的兩端均為格點.假設飛鏢擊中每一塊小正方形

是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形0AB（陰

影部分）的概率是（）

1

乖:兀

rXM-->i-------

60~60~

變式5-1（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，假設可以隨意

在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）

變式5-2（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，若飛鏢落在

鏢盤上各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）

A.；B-|c-ID-T

變式5-3（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）以下轉(zhuǎn)盤分別被分成2個、4個、5個、6個面積相等的扇形，任

意轉(zhuǎn)動這4個轉(zhuǎn)盤各1次.已知某轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影區(qū)域的概率是g,則對應的轉(zhuǎn)盤是（）

AOB?c?D?

變式5-4（2021?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成棱

長為1的小正方體，將它們?nèi)糠湃胍粋€不透明盒子中搖勻，隨機取出一個小正方體，只有一個面被涂色

的概率為（）

428

20

一

-一

A.B.9-D.

272727

變式5-5（2022?四川成都.統(tǒng)考中考真題）如圖，己知。。是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)

假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是.

考查題型六列舉法求概率

典例6（2022?安徽?統(tǒng)考中考真題）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、

白兩種小正方形組成.現(xiàn)對由三個小正方形組成的」I"進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色

或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

3823

變式6-1（2022?廣西貴港?中考真題）從-3,-2,2這三個數(shù)中任取兩個不同的數(shù)，作為點的坐標，則該點

落在第三象限的概率是—.

考查題型七列表法求概率

典例7（2022?山西?中考真題）“二十四節(jié)氣”是中華上古農(nóng)耕文明的智慧結(jié)晶，被國際氣象界普為“中國第五

大發(fā)明”，小文購買了“二十四節(jié)氣”主題郵票，他要將“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四張郵票中的兩張送給好朋

友小樂.小文將它們背面朝上放在桌面上（郵票背面完全相同），讓小樂從中隨機抽取一張（不放回），再

從中隨機抽取一張，貝!I小樂抽到的兩張郵票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（）

變式7-1（2022.山東臨沂.統(tǒng)考中考真題）為做好疫情防控工作，某學校門口設置了A,B兩條體溫快速檢

測通道，該校同學王明和李強均從A通道入校的概率是（）

A.-B.-C.；D.-

4324

變式7-2（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）某社區(qū)組織A,B,C,。四個小區(qū)的居民進行核酸檢測，有很多

志愿者參與此項檢測工作，志愿者王明和李麗分別被隨機安排到這四個小區(qū)中的一個小區(qū)組織居民排隊等

候.

（1）王明被安排到A小區(qū)進行服務的概率是.

（2）請用列表法或畫樹狀圖法求出王明和李麗被安排到同一個小區(qū)工作的概率.

變式7-3（2022.江蘇宿遷.統(tǒng)考中考真題）從甲、乙、丙、丁4名學生中選2名學生參加一次乒乓球單打比

賽，求下列事件發(fā)生的概率.

（1）甲一定參加比賽，再從其余3名學生中任意選取1名，恰好選中丙的概率是一；

（2）任意選取2名學生參加比賽，求一定有乙的概率.（用樹狀圖或列表的方法求解）.

變式7-4（2022?山東青島?統(tǒng)考中考真題）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、

王亞平、葉光富相互配合進行授課，激發(fā)了同學們學習航天知識的熱情.小冰和小雪參加航天知識競賽時，

均獲得了一等獎，學校想請一位同學作為代表分享獲獎心得.小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做

游戲，誰獲勝誰分享，游戲規(guī)則如下：甲口袋裝有編號為1,2的兩個球，乙口袋裝有編號為1,2,3,4,

5的五個球，兩口袋中的球除編號外都相同.小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸

出一個球，若兩球編號之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數(shù)，則小雪獲勝.

請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平.

考查題型八樹狀圖法求概率

典例8（2022?北京.統(tǒng)考中考真題）不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個，除顏色外兩個小球無其他差別，

從中隨機摸出一個小球，放回并搖勻，再從中隨機摸出一個小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球

的概率是（）

A.-B.-C.gD.-

4324

變式8-1（2022?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）班長邀請A,B,C,。四位同學參加圓桌會議.如圖，班長坐

在⑤號座位，四位同學隨機坐在①②③④四個座位，則A,B兩位同學座位相鄰的概率是（）

變式8-2（2022?山東煙臺?統(tǒng)考中考真題）如圖所示的電路圖，同時閉合兩個開關能形成閉合電路的概率是

)

12i

A.jB.-C.-D.1

變式8-3(2022?江蘇淮安?統(tǒng)考中考真題)一只不透明的袋子中裝有3個大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球

面上分別標有數(shù)字1、2、3,攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意

摸出1個球，記下數(shù)字.

(1)第一次摸到標有偶數(shù)的乒乓球的概率是;

(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標有奇數(shù)的乒乓球的概率.

變式8-4(2022.江蘇連云港.統(tǒng)考中考真題)“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩

人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相

同不分輸贏.假設甲、乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種.

(1)甲每次做出“石頭”手勢的概率為;

(2)用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕?

考查題型九游戲公平性

典例9(2021?山東青島?統(tǒng)考中考真題)為踐行青島市中小學生“十個一”行動，某校舉行文藝表演，小靜和

小麗想合唱一首歌.小靜想唱《紅旗飄飄》，而小麗想唱《大海啊，故鄉(xiāng)》.她們想通過做游戲的方式來決

定合唱哪一首歌，于是一起設計了一個游戲：下面是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤被分成面積相等

的幾個扇形.同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，若兩個指針指向的數(shù)字之積小于4,則合唱《大海啊，故鄉(xiāng)》，否則合唱

《紅旗飄飄》；若指針剛好落在分割線上，則需要重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤.請用列表或畫樹狀圖的方法說明這個游戲

是否公平.

變式9-1(2021.貴州遵義.統(tǒng)考中考真題)現(xiàn)有A,B兩個不透明的袋子，A袋的4個小球分別標有數(shù)字1,2,

3,4；8袋的3個小球分別標有數(shù)字1,2,3.（每個袋中的小球除數(shù)字外，其它完全相同.）

（1）從48兩個袋中各隨機摸出一個小球，則兩個小球上數(shù)字相同的概率是；

（2）甲、乙兩人玩摸球游戲，規(guī)則是：甲從A袋中隨機摸出一個小球，乙從B袋中隨機摸出一個小球，若

甲、乙兩人摸到小球的數(shù)字之和為奇數(shù)時，則甲勝；否則乙勝，用列表或樹狀圖的方法說明這個規(guī)則對甲、

乙兩人是否公平.

變式9-（2021?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）一個不透明的袋子中裝有4個只有顏色不同的小球，其中2個紅球，

2個白球，搖勻后從中一次性摸出兩個小球.

（1）請用列表格或畫樹狀圖的方法列出所有可能性；

（2）若摸到兩個小球的顏色相同，甲獲勝；摸到兩個小球顏色不同，乙獲勝.這個游戲?qū)住⒁译p方公平

嗎？請說明理由.

考查題型十用頻率估計概率

典例10（2021?四川樂山?統(tǒng)考中考真題）在一次心理健康教育活動中，張老師隨機抽取了40名學生進行了

心理健康測試，并將測試結(jié)果按“健康、亞健康、不健康”繪制成下列表格，其中測試結(jié)果為“健康”的頻率是

().

類型健康亞健康不健康

數(shù)據(jù)（人）3271

-74

A.32B.7C.—D.一

105

變式10-1（2021?山東青島?統(tǒng)考中考真題）在一個不透明的袋中裝有若干個紅球和4個黑球，每個球除顏色

外完全相同.搖勻后從中摸出一個球，記下顏色后再放回袋中.不斷重復這一過程，共摸球100次.其中

有40次摸到黑球，估計袋中紅球的個數(shù)是.

變式10-2（2021?湖北宜昌?統(tǒng)考中考真題）社團課上，同學們進行了“摸球游戲”：在一個不透明的盒子里裝

有幾十個除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，

再把它放回盒子中，不斷重復上述過程.整理數(shù)據(jù)后，制作了“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關系圖

象如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里個數(shù)比較多的是（填“黑球”或“白球”）.

摸出黑球的頻率

1.0-

0.8-

0.6■

0.4-

0.2-----*----v——-------?——?----?-----?——?-----?-----?—

IIIIII||I|W-

O50100150200250300350400450500摸球的總次數(shù)

變式10-3（2021?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）一個口袋中有紅球、白球共20個，這些球除顏色外都相同，將

口袋中的球攪勻，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸了300

次球，發(fā)現(xiàn)有120次摸到紅球，則這個口袋中紅球的個數(shù)約為—.

變式10-4（2021?湖南長沙?統(tǒng)考中考真題）“網(wǎng)紅”長沙入選2021年“五一”假期熱門旅游城市.本市某景點為

吸引游客，設置了一種游戲，其規(guī)則如下：凡參與游戲的游客從一個裝有12個紅球和若干個白球（每個球

除顏色外，其他都相同）的不透明紙箱中，隨機摸出一個球，摸到紅球就可免費得到一個景點吉祥物.據(jù)

統(tǒng)計參與這種游戲的游客共有60000人，景點一共為參與該游戲的游客免費發(fā)放了景點吉祥物15000個.

（1）求參與該游戲可免費得到景點吉祥物的頻率；

（2）請你估計紙箱中白球的數(shù)量接近多少？

變式10-5（2021?甘肅武威?統(tǒng)考中考真題）一個不透明的箱子里裝有3個紅色小球和若干個白色小球，每個

小球除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，

通過大量重復實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

（1）請你估計箱子里白色小球的個數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個小球，求兩次摸出的小球

顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

變式10-6（2021?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）國務院教育督導委員會辦公室印發(fā)的《關于組織責任督學進行“五

項管理，，督導的通知》指出，要加強中小學生作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)管理.某校數(shù)學社團成員采用

隨機抽樣的方法，抽取了八年級部分學生，對他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時間/（單位：h）進行了調(diào)查，

將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：

Cl<t<810a

D8<t<9210.42

Et>9b0.14

請根據(jù)圖表信息回答下列問題：

（1）頻數(shù)分布表中，a=,b=；

（2）扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)是。；

（3）請估算該校600名八年級學生中睡眠不足7小時的人數(shù)；

（4）研究表明，初中生每天睡眠時長低于7小時，會嚴重影響學習效率.請你根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，向

學校提出一條合理化的建議.

專題38概率

【考查題型】

列舉法求概率判斷事件類型

列表法求概率判斷事件發(fā)生可能性的大小

根據(jù)概率公式計算概率

游戲公平性一根據(jù)概率求數(shù)量

用頻率估計概率—幾何概率

【知識要點】

知識點一確定事件與隨機事件

事件類型的種類：

①必然事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事

件。

②不可能事件：在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可

能事件。

③隨機事件:在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為隨機事件。

【備注】必然發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最大，不可能發(fā)生的事件發(fā)生的可能性最小，隨機事

件發(fā)生的可能性有大有小,不同的隨機事件發(fā)生的可能性的大小可能不同。

知識點二頻率與概率

概率的概念：某種事件在某一條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但可以知道它發(fā)生的可能性的大

小，我們把描述事件發(fā)生的可能性的大小的量叫做概率。

概率的計算：一般地，如果在一次試驗中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都

相等，事件A包含其中的m中結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為（O"Q）S1）,

其中P（必然事件）=1，P（不可能事件）=。，9＜P（隨機事件）＜1.

所以有：P（不可能事件）＜P（隨機事件）＜P（必然事件）o

利用列舉法求概率

1）直接列舉法求概率

當一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個,并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時,通常采用直接

列舉法。

2）列表法求概率

當一次試驗要設計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可

能的結(jié)果，通常采用列表法。

3）樹狀圖法求概率

當一次試驗要設計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可

能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。

利用頻率估計概率

實際上,我們可以通過大量的重復試驗,用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率。

用頻率估計概率，雖然不像列舉法能確切地計算出隨機事件的概率，但由于不受“各種結(jié)

果出現(xiàn)的可能性相等”的條件限制，使得可求概率的隨機事件的范圍擴大。

通常，在多次重復實驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率會在某一個常數(shù)附近擺動,并且

隨著試驗次數(shù)增多，擺動的幅度會減小,這個性質(zhì)稱為頻率的穩(wěn)定性.

【注意事項】概率是頻率的穩(wěn)定值，而頻率是概率的近似值。

考查題型一判斷事件類型

典例1（2022?湖北武漢?統(tǒng)考中考真題）彩民李大叔購買1張彩票，中獎.這個事件是（）

A.必然事件B.確定性事件C.不可能事件D.隨機事件

【答案】D

【分析】直接根據(jù)隨機事件的概念即可得出結(jié)論.

【詳解】購買一張彩票，結(jié)果可能為中獎，也可能為不中獎，中獎與否是隨機的，即這個事

件為隨機事件.

故選：D.

【點睛】本題考查了隨機事件的概念，解題的關鍵是熟練掌握隨機事件發(fā)生的條件，能夠靈

活作出判斷.

變式1-1.（2022.江蘇揚州?統(tǒng)考中考真題）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（）

A.水落石出B.水漲船高C.水滴石穿D.水中撈月

【答案】D

【分析】根據(jù)不可能事件的定義：在一定條件下一定不會發(fā)生的事件是不可能事件，進行逐

一判斷即可

【詳解】解：A、水落石出是必然事件，不符合題意；

B、水漲船高是必然事件，不符合題意；

C、水滴石穿是必然事件，不符合題意；

D、水中撈月是不可能事件，符合題意；

故選D

【點睛】本題主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定義是解題的關鍵.

變式1-2(2022.四川德陽?統(tǒng)考中考真題)下列事件中，屬于必然事件的是()

A.拋擲硬幣時，正面朝上

B.明天太陽從東方升起

C.經(jīng)過紅綠燈路口，遇到紅燈

D.玩“石頭、剪刀、布”游戲時，對方出“剪刀”

【答案】B

【分析】根據(jù)隨機事件、必然事件的概念即可作答.

【詳解】A.拋硬幣時，正面有可能朝上也有可能朝下，故正面朝上是隨機事件；

B.太陽從東方升起是固定的自然規(guī)律，是不變的，故此事件是必然事件；

C.經(jīng)過路口，有可能出現(xiàn)紅燈，也有可能出現(xiàn)綠燈、黃燈，故遇到紅燈是隨機事件；

D.對方有可能出“剪刀”，也有可能出“石頭”、“布”，出現(xiàn)對方出“剪刀”是隨機事件.

故選：B.

【點睛】本題考查了隨機事件、必然事件的概念，充分理解隨機事件的概念是解答本題的關

鍵.

變式1-3(2022.江西?統(tǒng)考中考真題)某醫(yī)院計劃選派護士支援某地的防疫工作，甲、乙、

丙、丁4名護士積極報名參加，其中甲是共青團員，其余3人均是共產(chǎn)黨員.醫(yī)院決定用隨

機抽取的方式確定人選.

(1)“隨機抽取1人，甲恰好被抽中”是事件；

A.不可能B.必然C.隨機

(2)若需從這4名護士中隨機抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名護士都

是共產(chǎn)黨員的概率.

【答案】⑴C

【分析】(1)根據(jù)隨機事件的定義即可解決問題；

(2)從甲、乙、丙、丁名護士積極報名參加，設甲是共青團員用T表示，其余3人均是

共產(chǎn)黨員用G表示，從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，然后

利用樹狀圖即可解決問題.

(1)

解：“隨機抽取1人，甲恰好被抽中“是隨機事件；

故答案為：C；

(2)

從甲、乙、丙、丁4名護士積極報名參加，設甲是共青團員用T表示，其余3人均是共產(chǎn)黨

員用G表示.從這4名護士中隨機抽取2人，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，如圖所示:

第一名TGGG

第二名G線GG公

它們出現(xiàn)的可能性相同，所有的結(jié)果中，被抽到的兩名護士都（記為事件A）

的結(jié)果有6種，貝ljP（A）=t=；，

則被抽到的兩名護士都是共產(chǎn)黨員的概率為

【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率，隨機事件.解決本題的關鍵是掌握列

表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適合于兩步完成的事件.用到

的知識點為：概率所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

考查題型二判斷事件發(fā)生可能性的大小

典例2（2022.江蘇泰州?統(tǒng)考中考真題）如圖，一張圓桌共有3個座位，甲、乙，丙3人隨

機坐到這3個座位上，則甲和乙相鄰的概率為（）

□

【答案】D

【分析】由圖可知，甲乙丙是彼此相鄰的，所以甲的旁邊是乙是必然事件，從而得出正確的

選項.

【詳解】解：這張圓桌的3個座位是彼此相鄰的，甲乙相鄰是必然事件，所以甲和乙相鄰的

概率為1.

故選：D.

【點睛】此題考查了求概率，解題的關鍵是判斷出該事件是必然事件.

變式2-1（2021?貴州黔東南?統(tǒng)考中考真題）一只不透明的袋子中裝有3個黑球和2個白球，

這些除顏色外無其他差別，從中任意摸出3個球，下列事件是確定事件的為（）

A.至少有1個球是黑球B.至少有1個球是白球

C.至少有2個球是黑球D.至少有2個球是白球

【答案】A

【分析】列出摸出的三個球的顏色的所有可能情況即可.

【詳解】根據(jù)題意可得，摸出的三個球的顏色可能為：兩個白球，一個黑球；一個白球，兩

個黑球；三個黑球，

則可知摸出的三個球中，至少有一個黑球，

故必然事件是至少有一個黑球，

故選：A.

【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念.必然事件指在一定條件下，

一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事

件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

變式2-2.（2022.貴州貴陽?統(tǒng)考中考真題）某校九年級選出三名同學參加學校組織的“法治和

安全知識競賽”.比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的

數(shù)字1,2,3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后

從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（）

A.小星抽到數(shù)字1的可能性最小B.小星抽到數(shù)字2的可能性最大

C.小星抽到數(shù)字3的可能性最大D.小星抽到每個數(shù)的可能性相同

【答案】D

【分析】算出每種情況的概率，即可判斷事件可能性的大小.

【詳解】解：每個數(shù)字抽到的概率都為：；，

故小星抽到每個數(shù)的可能性相同.

故選：D.

【點睛】本題主要考查利用概率公式求概率，正確應用公式是解題的關鍵.

考查題型三根據(jù)概率公式計算概率

典例3（2022.廣東.統(tǒng)考中考真題）書架上有2本數(shù)學書、1本物理書.從中任取1本書是物

理書的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

4323

【答案】B

【分析】根據(jù)概率公式直接求概率即可；

【詳解】解：一共有3本書，從中任取1本書共有3種結(jié)果，

選中的書是物理書的結(jié)果有1種，

...從中任取1本書是物理書的概率=g.

故選：B.

【點睛】本題考查了概率的計算，掌握概率=所求事件的結(jié)果數(shù)?總的結(jié)果數(shù)是解題關鍵.

變式3-1（2022?湖南懷化?統(tǒng)考中考真題）從下列一組數(shù)-2,7i,--0.12,0,-正中

隨機抽取一個數(shù)，這個數(shù)是負數(shù)的概率為（）

A.-B.-C.1D.-

6323

【答案】B

【分析】找出題目給的數(shù)中的負數(shù)，用負數(shù)的個數(shù)除以總的個數(shù)，求出概率即可.

【詳解】：數(shù)-2,7T,--0.12,0,-石中，一共有6個數(shù)，

其中-2,--0.12,-若為負數(shù)，有4個，

???這個數(shù)是負數(shù)的概率為尸=；4=：2，

63

故答案選：B.

【點睛】本題考查負數(shù)的認識，概率計算公式，正確找出負數(shù)的個數(shù)是解答本題的關鍵.

變式3-2（2022.內(nèi)蒙古呼和浩特.統(tǒng)考中考真題）不透明袋中裝有除顏色外完全相同的〃個白

球、〃個紅球，則任意摸出一個球是紅球的概率是（）

bnba-〃

A#.------B.—C.------D.一

a+baa+bb

【答案】A

【分析】根據(jù)概率公式直接求解即可.

【詳解】???共有個球，其中紅球b個

???從中任意摸出一球，摸出紅球的概率是二b.

a+b

故選A.

【點睛】本題考查了簡單概率公式的計算，熟悉概率公式是解題的關鍵.

變式3-3（2022?甘肅蘭州?統(tǒng)考中考真題）無色酚獻溶液是一中常見常用酸堿指示劑，廣泛

應用于檢驗溶液酸堿性，通常情況下酚醐溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿

溶液變紅色.現(xiàn)有5瓶缺失標簽的無色液體：蒸儲水、白醋溶液、食用堿溶液、檸檬水溶液、

火堿溶液，將酚酰試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是（）

A.1B.2C.3D,1

5555

【答案】B

【分析】根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：：酚醐溶液遇酸溶液不變色，遇中性溶液也不變色，遇堿溶液變紅色，

:總共有5種溶液，其中堿性溶液有2種，

2

，將酚隙試劑滴入任意一瓶液體后呈現(xiàn)紅色的概率是：j.

故選：B.

【點睛】此題考查了概率的知識，解題的關鍵是熟練掌握概率的求解方法.

變式3-4（2022.山東東營.統(tǒng)考中考真題）如圖，任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使

所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是（）

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，結(jié)合概率計算公式求解即可.

【詳解】解：如圖所示，由軸對稱圖形的定義可知當選取編號為1,3,5,6其中一個白色

區(qū)域涂黑后，能使黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，

???任意將圖中的某一白色方塊涂黑后，能使所有黑色方塊構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形的概率是

4_2

6"3,

故選A.

【點睛】本題主要考查了軸對稱圖形的定義，簡單的概率計算，熟知軸對稱圖形的定義是解

題的關鍵.

考查題型四根據(jù)概率求數(shù)量

典例4（2022?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，

除顏色外無其它差別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為J,則這個箱子中黃球的個數(shù)

4

為個.

【答案】15

【分析】設黃球的個數(shù)為尤個，根據(jù)概率計算公式列出方程，解出尤即可.

【詳解】解：設黃球的個數(shù)為x個，

5_1

x+54

解得：x=15,

檢驗：將x=15代入x+5=20,值不為零，

；.尤=15是方程的解，

???黃球的個數(shù)為15個，

故答案為：15.

【點睛】本題考查概率計算公式，根據(jù)題意列出分式方程并檢驗是解答本題的關鍵.

變式4-1（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考中考真題）一個不透明的口袋中裝有5個紅球和，"個黃球，

這些球除顏色外都相同，某同學進行了如下試驗：從袋中隨機摸出1個球記下它的顏色后,

放回搖勻，為一次摸球試驗.根據(jù)記錄在下表中的摸球試驗數(shù)據(jù)，可以估計出加的值為

摸球的總次數(shù)。10050010002000

摸出紅球的次數(shù)匕19101199400

b

0.1900.2020.1990.200

摸出紅球的頻率。

【答案】20

【分析】利用大量重復試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度

越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似

值就是這個事件的概率求解即可.

【詳解】解：???通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定于0.2,

解得：%=20.

經(jīng)檢驗m=20是原方程的解，

故答案為：20.

【點睛】此題主要考查了利用頻率估計概率和解分式方程，本題利用了用大量試驗得到的頻

率可以估計事件的概率.關鍵是根據(jù)摸出紅球的頻率得到相應的等量關系.

變式4-2（2022.四川廣元.統(tǒng)考中考真題）一個袋中裝有機個紅球，10個黃球，/個白球，

每個球除顏色外都相同，任意摸出一個球，摸到黃球的概率與不是黃球的概率相同，那么優(yōu)

與n的關系是.

【答案】加+十=10.

【分析】直接利用概率相同的頻數(shù)相同進而得出答案.

【詳解】?.?一個袋中裝有機個紅球，10個黃球，〃個白球，摸到黃球的概率與不是黃球的

概率相同，

與"的關系是:m+n=10.

故答案為機+〃=10.

【點睛】此題主要考查了概率公式，正確理解概率求法是解題關鍵.

考查題型五幾何概率

典例5（2022.江蘇蘇州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在5x6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小

正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形的圓心及弧的兩端均為格

點.假設飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投

1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形（陰影部分）的概率是（）

「Mi

122460

【答案】A

【分析】根據(jù)幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區(qū)域的面積與總面積的比

值.

【詳解】解：由圖可知，總面積為：5x6=30,OB=732+12=A/10>

90?乃x10_5乃

???陰影部分面積為:

360~~2

5冗

二飛鏢擊中扇形（陰影部分）的概率是上：=工，

3012

故選：A.

【點睛】本題考查幾何概率的求法：首先根據(jù)題意將代數(shù)關系用面積表示出來，一般用陰影

區(qū)域表示所求事件；然后計算陰影區(qū)域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件發(fā)生的

概率.

變式5-1（2022?遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）如圖所示的是由8個全等的小正方形組成的圖案，

假設可以隨意在圖中取一點，那么這個點取在陰影部分的概率是（）

D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)陰影部分的面積所占比例得出概率即可.

【詳解】解：由圖知，陰影部分的面積占圖案面積的?3

O

即這個點取在陰影部分的概率是?3，

O

故選：A.

【點睛】本題主要考查幾何概率的知識，熟練根據(jù)幾何圖形的面積得出概率是解題的關鍵.

變式5?2（2022?江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤

上，若飛鏢落在鏢盤上各點的機會相等，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為（）

A.-B.-C.1D."

4323

【答案】B

【分析】如圖，將陰影部分分割成圖形中的小三角形，令小三角形的面積為a,分別表示出

陰影部分的面積和正六邊形的面積，根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解:如圖，

根據(jù)題意得：圖中每個小三角形的面積都相等，

設每個小三角形的面積為a,則陰影的面積為6a,正六邊形的面積為18a,

二將一枚飛鏢任意投擲到鏢盤上，飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為粵=:

18G3

故選:B

【點睛】本題主要考查幾何概率，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到圖中每個小三角形的面積都相等

是解題的關鍵.

變式5-3（2021?江蘇常州?統(tǒng)考中考真題）以下轉(zhuǎn)盤分別被分成2個、4個、5個、6個面積

相等的扇形，任意轉(zhuǎn)動這4個轉(zhuǎn)盤各1次.已知某轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在陰影區(qū)域的概

率是:，則對應的轉(zhuǎn)盤是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)概率公式求出每個選項的概率，即可得到答案.

【詳解】解：A.指針落在陰影區(qū)域的概率是3，

B.指針落在陰影區(qū)域的概率是：，

4

2

C.指針落在陰影區(qū)域的概率是

D.指針落在陰影區(qū)域的概率是:，

故選D.

【點睛】本題主要考查幾何概率，熟練掌握概率公式，是解題的關鍵.

變式5-4（2021.甘肅蘭州.統(tǒng)考中考真題）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂上顏色，

再把它分割成棱長為1的小正方體，將它們?nèi)糠湃胍粋€不透明盒子中搖勻，隨機取出一個

小正方體，只有一個面被涂色的概率為（）

42

A.—B.-

2792727

【答案】B

【分析】由在27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的小

正方體表面只有一個面涂有顏色，有6種結(jié)果，根據(jù)幾何概率及其概率的計算公式，即可求

解.

【詳解】解：解：由題意，在一個棱長為3cm的正方體的表面涂上顏色，將其分割成27個

棱長為1cm的小正方體，

在27個小正方體中，恰好有三個面都涂色有顏色的共有8個，恰好有兩個都涂有顏色的共

12個，恰好有一個面都涂有顏色的共6個，表面沒涂顏色的1個，

可得試驗發(fā)生包含的事件是從27個小正方體中選一個正方體，共有27種結(jié)果，

滿足條件的事件是取出的小正方體表面有一個面都涂色，有6種結(jié)果，

所以所求概率為《=￡.

故選：B.

【點睛】本題考查幾何概率的計算，涉及正方體的幾何結(jié)構(gòu)，屬于基礎題.

變式5-5（2022?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，已知。。是小正方形的外接圓，是大正方

形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設可以隨意在圖中取點，則這個點取在陰影部分的概率是.

【答案】一

4

【分析】如圖，設OA=a,則。B=OC=a,根據(jù)正方形內(nèi)接圓和外接圓的關系，求出大正方

形、小正方形和圓的面積，再根據(jù)概率公式計算即可.

【詳解】解：如圖，設。4=。，則。B=OC=m

由正方形的性質(zhì)可知ZA0B=9Q°