北京市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級上冊期中檢測數(shù)學(xué)試題

北京市第一六六中學(xué)2023?2024學(xué)年度第一學(xué)期期中檢測試卷

局一數(shù)學(xué)

一、選擇題（每題5分，共10題.在每題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).）

1.己知集合4={"''},若IwA,則％=（）.

A.1或-1B.1C.-1D.-1或0

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，結(jié)合元素的互異性，即可求解.

【詳解】由于IwA,若x=l,則f=1，不合題意；

'%WX2

所以《，，解得x=—1，

[x2=l

故選：C

2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增的是（）.

A.y=B.y=~—c.y=lgxD.y=x2+l

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)基本函數(shù)的奇偶性，以及單調(diào)性即可逐一判斷.

【詳解】對于A,y=在R上單調(diào)遞減，故不符合題意，

對于B,/（%）=—工定義域?yàn)椋ㄒ弧?0）U（0,+8）,

且/■（—%）=故=為奇函數(shù),

XX

且〃x）=-4為（0,+"）上的單調(diào)遞增函數(shù)，故B正確，

X

對于C,丁=坨工的定義域?yàn)椋?,+8）,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以不是奇函數(shù)，不符合要求，

對于D,g(x)=*+1定義域?yàn)镽,JLg(-%)=(-%)'+l=x2+l=g(x),

故g（x）=*+l為偶函數(shù)，不符合要求,

故選：B

3.下列函數(shù)中，滿足“V%>0,都有/(7)=2/(%)”的是

A.y=2*B.y=lgxC.y=x2D.丁=%

【答案】B

【解析】

【分析】逐個代入判定是否相等即可.

【詳解】對于A：/(/)=2,，2/(x)=2x+1,顯然2『=2向不恒成立，A錯誤；

對于B：/(x2)=lgx2=21gx,2/(%)=21gx,所以恒成立，B正確;

對于C：/(X2)=(X2)2=X4,2/(X)=2X2,顯然f=2/不恒成立，C錯誤；

對于D：f(x2)=x2,2/(%)=2x,顯然*2=2x不恒成立，D錯誤，

故選：B

4.己知函數(shù)則函數(shù)/(無)(

A.具有奇偶性，且在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)B.具有奇偶性，且在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)

C.不具有奇偶性，且在定義域上是單調(diào)遞增函數(shù)D.不具有奇偶性，且在定義域上是單調(diào)遞減函數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)奇偶性，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)判斷單調(diào)性.

【詳解】要使函數(shù)/(x)=f+log2X,則X>0,所以函數(shù)+k)g2］的定義域?yàn)?0,+81),

其定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)/(%)不具有奇偶性;

又函數(shù)y=/在(0,+。)上單調(diào)遞增，函數(shù)y=log2X在(0,+。)上單調(diào)遞增，

根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)(增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù))知，函數(shù)/(x)=d+log2X在(0,+e)上單調(diào)遞增.

故選：C.

5.若od,則下列不等式中必然成立的一個是().

ab

A.a-d>b—cB.ac>bdC.—>—D.a2+c2>b2+d1

dc

【答案】A

【解析】

【分析】利用不等式性質(zhì)和舉反例逐一判斷即可.

【詳解】對于A,因?yàn)閏>d,所有—d>—c,

又因。>匕，所以Q-d>Z?-c,故A正確；

對于B,當(dāng)1=2,/?=0,。=一1,4=。時，ac=—2<0=bdf故B錯誤；

Hh

對于C,當(dāng)。=03=-1,。=一Ld=—2時，一=0<1=—,故C錯誤；

dc

對于D,當(dāng)。=0力=-L,c=-l,d=-2時，a2+c2=l<5=b2+d2,故D錯誤.

故選：A.

21

6.設(shè)0=2$b=4,c=log40.125,那么a,b,c的大小關(guān)系為().

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析】

【分析】應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算，求出。的值，再應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，估計(jì)出5=4">42=16,

即可判斷

【詳解】a=2T=』=±,

216

5=42」”=16，

13

c=log0.125=log-=一一,則c<a<L.

4482

故選：D

7.已知函數(shù)/(兀)=加+~+c(a>0),“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是的().

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，即可作差比較/。)</(5)判斷充分性；由/。)</(5)得—五<3,根

據(jù)對稱軸與二次函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷必要性.

【詳解】/(x)=G；2+6x+c(a>0)為開口向上的二次函數(shù)，

且/(5)=25a+5b+c,f(l)=a+b+c.

①若”可在［1,內(nèi))上單調(diào)遞增，貝卜?41,

由〃〉0得，b>-2a,

此時/（5）-/（1）=24a+4b>24a-8a=16a>。，

所以/。）</（5）,

即"%）在[L同上單調(diào)遞增n/⑴</（5）；

②若/⑴</⑸，則〃5）-/⑴=24a+41>。,

b

則〃>-6〃，所以——<3,

2a

當(dāng)1<—2<3時，/（X）在1,一二單調(diào)遞減，

2aL2aJ

故/（1）</（5）#>/（%）在[1,舟）單調(diào)遞增，

綜上可知，"函數(shù)”%）在口,內(nèi)）上單調(diào)遞增”是“/⑴</（5）”的充分不必要條件，

故選：A

犬2X〉0

8.已知函數(shù)/（x）=；—，若8』，都有/（X）,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）.

—X,x<0

A.[-1,+oo）B.[-2,+<x））C.（-co,-l]D.（-oo,-2]

【答案】D

【解析】

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】當(dāng)1目0,轉(zhuǎn)）時，/（%）=爐之0且函數(shù)八%）為增函數(shù)，

當(dāng)x>0時，則一％<0,貝！1/（—尤）=一（一無）一=一尤2=—/（尤），

當(dāng)x（f。，。）時，/（X）=--<0且函數(shù)為增函數(shù)，

此時-X>0,則/（-尤）=（一元『=尤2=_/（無），

所以函數(shù)/（%）是R上的增函數(shù)，且/（%）為奇函數(shù)，

則+,即為,

所以x+mW—x對恒成立，

即m<-2x對Vxe（y。,日恒成立，

當(dāng)時，（-2耳皿=-2,

所以加V-2,

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是2］.

故選：D.

9.定義在R上奇函數(shù)了(尤)的圖象是一條光滑連續(xù)的曲線，在區(qū)間(-<9-1］上單調(diào)遞增，在區(qū)間

上單調(diào)遞減，且/⑶=0,則不等式/(力/(X+5)<0的解集是().

A.(-8,-5)。(-3,3)B.(-8,-5)u(-3,-'2)D(0,3)

C.(-8,-2)o(0,3)D.(-8,-3)o(-3,-2)o(-2,3)

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出/(x)>0和/(x)<0時，x的范圍，再由

小)小+5)<?？傻脙)<?；颍?+5)〉?！M(jìn)而可得出答案

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，所以/(。)=0,

又函數(shù)八%)在區(qū)間(-8,-1］上單調(diào)遞增,

所以函數(shù)八%)在區(qū)間［l,w)上單調(diào)遞增,

又/⑶=0,所以/(—3)=0,

又因函數(shù)/(%)在區(qū)間［-1,1］上單調(diào)遞減,

所以當(dāng)/(x)>0時，—3<%<0或x>3,

當(dāng)/(x)<0時，0(尤<3或大<—3,

〃x)〉°f/(x)<0

由/(%)/(%+5)<。，得《或《

/(x+5)<0^/(x+5)>0

-3<%(0或x)3、j0<%<3或％<-3

即0<_￥+5<3或￥+5<-3?。?3<*+5〈0或兀+5)3

解得一3<%V一2或一8<％<—5或0<xv3,

所以不等式/(力/(x+5)<0的解集是(—8,-5)5-3,—2)50，3).

故選：B.

10.全集U={1,2,3,???,?},A^U,定義函數(shù)fA(x)=\'(xet/),

U,XeA

H=A(I)+A(2)+A(3)+L+人⑺.設(shè)全集為U,Ac。,則下列說法中正確的是().

①若\/x^U,都有fA(x)<fB(x),則AO3；

②若VxeU,都有/UB(X)=A(X)+%(X)，則AC6=0；

③若AD5=U,則VxeU,都有人(x)+%(x)=l；

④若網(wǎng)+同=〃，則=

A.①②B.①③C.①②④D.③④

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)特征函數(shù)的定義，結(jié)合集合的運(yùn)算以及特殊值，即可判斷和選擇.

【詳解】若尤eACB,則以(x)=%(x),若xeAn許8,則以(x)>/(x),

若xeBngA,則以(x)<%(x),若xed(AUB)，則人(%)=/5(%).

對①，X/xeU,都有人(力4盒⑴，則不能存在xeAC距§的情形，所以得A。3,①正確；

對②若X/XGU,都有以產(chǎn)(%)=11(%)+力?(％)，當(dāng)了€4。3時，x&A\JB,則簡少(%)=1，

■A(x)+Z?(x)=1+1=2,

故其不能含有xwACB,即AcB=0,②正確；

對③若人°5=。，則X/xeU，當(dāng)Ac5w0時，若xeACB,則以(力+人(力=1+1=2,③錯

誤；

對④，設(shè)4={1,2,3,...(九一1)},B={1},則—+慟=〃，但AuBwU,④錯誤.

故選：A

二、填空題(每題5分，共8題)

11.函數(shù)/(X)=J1-九+log2X的定義域是.

【答案】(0』

【解析】

【分析】根據(jù)開偶數(shù)次方根號里的數(shù)大于等于零和對數(shù)的真數(shù)大于零即可得解.

【詳解】由/（x）=jl-x+log2龍,

,l-x>0

得〈c，解得0<%<1，

x>0

所以函數(shù)/（尤）=JT三+log2X的定義域是（0,1].

故答案為：（0,1].

12.命題0：“Vxe[—1,3],a20”的否定形式為

【答案】3%e[—1,3],x2—a<0

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題即可得解.

【詳解】因?yàn)槿Q量詞命題的否定為存在量詞命題，

2

所以命題”的否定形式為玉4―1,3],x-a<Q.

故答案為：3%e[—1,3],x2—a<0'

13.已知幕函數(shù)/（力=伍+2）/的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,8）,則a2=

【答案】一3

【解析】

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的定義求出出。即可得解.

【詳解】由基函數(shù)/（%）=e+2）￡,

得0+2=1,所以b=」，

故〃x）=x",

又函數(shù)了（%）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,8）,

所以2a=8，所以a=3,

所以。巧=—3.

故答案為：-3.

14.計(jì)算1限建5+21咤遙2-log拓5=------------

【答案】4

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算得出結(jié)果.

【詳解】原式=log&45+logn4-log&5=log&［號T=l°g庭36=log通(M=4.

故答案為：4.

15.己知a>0且awl,a"'=4，a"=3,貝UqT=,a2m-n=.

【答案】?.1##0.5②.—

23

【解析】

【分析】應(yīng)用指數(shù)幕運(yùn)算性質(zhì)及根式和指數(shù)式的互化即可.

2mn

a^a=(a")+a"=寧

故答案為：y;—

23

16.小明說，對于一個定義在R上的函數(shù)/(九)，如果我證明了“VxeR,都有我就可以判

定函數(shù)了(%)有最小值.為了向小明說明他的結(jié)論是錯誤的，可以作為反例的一個函數(shù)是/(九)=

【答案】/(x)=2*-1(答案不唯一，滿足條件即可)

【解析】

【分析】取/(x)=2，—1,利用y=2"的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+“)，即可得出結(jié)果.

【詳解】易知，/(x)=2，—1的定義域?yàn)镽,

因?yàn)楹瘮?shù)丁=2'是定義域上的增函數(shù)，值域?yàn)?0,+。)，所以/(x)=2,-1〉-1恒成立，

但函數(shù)/(%)=2*-1沒有最小值，

故答案為：/(x)=2*-1(答案不唯一，滿足條件即可)

r門丫1

17.設(shè)全集U=R,集合A={y|y=log2無,x>2},集合8=y=-,y>m\,若AuB=U,則實(shí)

數(shù)m的取值范圍是.

【答案】［*一

【解析】

【分析】首先求解集合A3,再根據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【詳解】當(dāng)X>2時，y=log2X為單調(diào)遞增函數(shù)，所以y>l,即4={引丁>1},

y=為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)加時，即[g]2相時，解得即3=<%》<1081機(jī)),

若—5=。，

則解得：0<%vL

22

所以實(shí)數(shù)加的取值范圍是[o,g.

故答案為：[o,g

,、[(2-4a)ax+a,x<l

18.已知函數(shù)〃x)=C),a>0且awl.

[inx,x>l

(1)a=；時，函數(shù)了(%)的最小值為；

(2)若函數(shù)/(%)值域?yàn)镽,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

13

【答案】①.0②.一<。<已

24

【解析】

1，/、(-r+-,x<i

【分析】⑴當(dāng)a="〃力=’44,分別求出x<l和時，函數(shù)值的范圍，即可求出

,[inx,x>l

結(jié)果；

(2)因?yàn)闀r，丁=1111：的值域?yàn)閇0,+00),從而得出(一8,0)是函數(shù)y=(2-4a)4+a(x<l)值域

的子集，即可求出結(jié)果.

1,、(-)x+-,%<1

【詳解】(1)當(dāng)/(力=144,

[inx,x>l

由解析式易知，當(dāng)尤<1時，/(無)單調(diào)遞減，X21時，/(x)單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x<l時，/(%)>-+-=-,當(dāng)X21時，/(%)>lnl=o,

442

故〃=；時，函數(shù)/(x)的最小值為0.

(2)因?yàn)闀r，y=lnx的值域?yàn)閇0,+8),

所以(一8,0)是函數(shù)y=(2-4〃)優(yōu)+a(x<1)值域的子集，

2-4(2<0

13

故,解得一<。工一，

24

(2-^a)a+a>0

13

所以實(shí)數(shù)，的取值范圍是一<】V—,

24

13

故答案為：(1)0；(2)——.

24

三、解答題(共四小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.)

19.設(shè)全集U=R,集合4=卜卜|?2},3=卜/一2取一3/<。}.

(1)當(dāng)a=l時，求5c(電A)；

(2)若—6e3,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若Au5=(—3,2],求實(shí)數(shù)a的值.

【答案】(1)Bn(d[/A)={%|2<%<3}

(2)(-OO,-2)<J(6,-HK)

⑶-1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)絕對值不等式求解集合4進(jìn)而求出A的補(bǔ)集，再根據(jù)交集運(yùn)算求解即可；

(2)根據(jù)元素與集合的關(guān)系列不等式求解即可；

(3)根據(jù)并集結(jié)果，對集合B分類討論求解即可.

【小問1詳解】

集合A={x[,W2}={H—2<X<2},所以加力={x\x<—2或x>2},

當(dāng)a=1時，B=-2x-3<oj={尤|一1<x<3},

所以BC(VL)={H2<X<3}；

【小問2詳解】

因?yàn)椤?e5,所以(―6『—2a?(—6)—3/<0,化簡得片一44_12>0,

所以(a—6)-(a+2)>0,所以a>6或a<—2,經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-8,—2)D(6,+8)；

【小問3詳解】

由(1)知A={聞-2K2}=[―2,2],

因?yàn)锳u5=(—3,2],所以一3是集合B中的一個端點(diǎn)，即—3是方程V—2℃—34的一個根,

所以(一3)2—2ax(—3)—3a?=0,即/一2a—3=0,解得<2=—1或°=3,

當(dāng)。=_]時，B+2x-3<oj=1%|-3<%<1}=(-3,1),

此時AD5=(—3,2],符合題意，

當(dāng)a=3時，B={x,-6x-27<()}=1x|-3<x<9}=(-3,9),

此時Au5=(—3,9),不合題意，

綜上，實(shí)數(shù)。的值為-1.

20.已知函數(shù)〃x)=^

(1)判斷函數(shù)“X)的奇偶性，并證明；

(2)判斷函數(shù)/(%)在(1,+8)上的單調(diào)性，并用定義證明；

(3)直接寫出函數(shù)/(九)的值域.(無需寫出推理過程)

【答案】(1)奇函數(shù)，證明見解析；

(2)單調(diào)遞減，證明見解析

【解析】

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷與證明即可；

(2)根據(jù)單調(diào)性的定義，取值、作差(變形)、定號、下結(jié)論等步驟進(jìn)行證明即可;

(3)分尤>0和尤<0討論，運(yùn)用基本不等式可求得值域.

【小問1詳解】

/(X)為奇函數(shù)，理由如下：

Y

函數(shù)/(%)="—,定義域?yàn)镽,所以XER,-xeR

%+1

貝IJ/（-x）=（；=--r-7=-f（x）,

（-%）+1%+1

所以/（X）為奇函數(shù).

【小問2詳解】

"%）在（1,+8）上單調(diào)遞減，證明如下：

證明：任取占,尤2W（1,+CO）,且％%,則

f（ry_石々=X］X；+X］—々X；—X2_（石々一1）（々一玉）

八2—才+廣石+廣（才+0代+1）一儲+網(wǎng)考+1）

因?yàn)椋?〉藥〉1，所以々-X］〉0,玉%2-1〉0

所以/i（石）一］（々）＞0,即I/1（%）＞—

故函數(shù)/（X）在（1,+0。）上是減函數(shù).

【小問3詳解】

X

因?yàn)?（x）=-7,所以/（。）=。.

1+X~

f（）=1v1J

當(dāng)》＞0時，”x）＞o,ir~^~^

尤Vx

當(dāng)且僅當(dāng)工=x,即X=1時，等號成立，

X

所以0＜/（x）＜g.

/（X）=一二—＞,二1_=-1

2,

當(dāng)x＜0時，/（%）＜0,，+（f）2l（r）」

（-X）V（-x）

當(dāng)且僅當(dāng)二-=（-X）,即x=—1時，等號成立，

-X

所以一］wf（x）＜o(jì).

所以函數(shù)/⑴的值域?yàn)椋?

21.近年來，某企業(yè)每年電費(fèi)為24萬元.為了節(jié)能減排，該企業(yè)決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)

備接入本企業(yè)電網(wǎng).安裝這種供電設(shè)備需一次性投入一筆工本費(fèi)G（單位：萬元），金額與太陽能電池板的

安裝面積x（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)左=0.5.該企業(yè)估算，安裝后每年的電費(fèi)C（單位：萬元）

A

與太陽能電池板的安裝面積尤（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系是C（x）=---（x＞0,6為常數(shù)），

'）20%+100

如果維持原樣不安裝太陽能電池板，每年電費(fèi)仍然為24萬元.記尸為工本費(fèi)G與15年的電費(fèi)之和.

（1）求常數(shù)6的值，并求安裝10平方米太陽能電池板后該企業(yè)每年的電費(fèi)C；

（2）建立/關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）安裝多少平方米太陽能電池板后，廠取得最小值？最小值是多少萬元？

【答案】21.b=2400,C（10）=8（萬元）

22.F=^^+0.5%,x>0

x+5

23.當(dāng)x=55時，產(chǎn)取最小值，最小值是57.5

【解析】

A

分析】（1）將x=0代入C（x）=--------即可算出力，進(jìn)而可求得c（io）；

'720%+100

（2）由題意尸就是C與安裝費(fèi)用之和，再結(jié)合（1）即可得解;

（3）運(yùn)用基本不等式求最小值即可.

【小問1詳解】

b

將x=0代入。（力得:C=—=24解得6=2400,

20%+100100

所以C（x）=上”，

,）20%+100

則C（10）=——U—=8（萬元）；

,）200+100

【小問2詳解】

由（1）得：

2400

產(chǎn)與x的函數(shù)關(guān)系式為：F=15x-+0.5x=—+0.5x,x>0;

20x+100x+5

【小問3詳解】

F="四+0.5%=———+（0.5x+2.5）-2.5>2A/900-2.5=57.5,

x+50.5x+2.51）

當(dāng)且僅當(dāng)一包也一=0.5x+2.5,即龍=55時等號成立，

0.5x+2.5

所以當(dāng)x=55時，尸取最小值，最小值是57.5.

22.如圖，將數(shù)字1,2,3,…，23）全部填入一個2行”列的表格中，每格填一個數(shù)字.第一行填

入的數(shù)字依次為外,與an,第二行填入的數(shù)字依次為4，打，…，么.記

S“=WJq-偽|=|。1一仇|+|。2—%|+L+\an-bn\.

i=l

a2an

4b2bn

(1)當(dāng)〃=3時，若q=Lg=3,%=