《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟類）下冊 第2版》課件 9-2 偏導(dǎo)數(shù)

第九章多元函數(shù)微分學(xué)第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)一、一階偏導(dǎo)數(shù)的定義二、高階偏導(dǎo)數(shù)三、小結(jié)

在一元函數(shù)的微分學(xué)中，我們知道導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，它反映了函數(shù)對自變量的變化率。在實際問題中，對于多元函數(shù)仍然要考慮函數(shù)隨自變量變化時的變化率。

二元函數(shù)含有兩個自變量，在考慮因變量對自變量的變化率時，我們可以把其中一個變量看成常數(shù)，討論因變量對另一個自變量的變化率。一、一階偏導(dǎo)數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量獲得增量（點仍在該鄰域內(nèi)）時，函數(shù)相應(yīng)地有一個增量,如果極限存在，則稱在點可導(dǎo)，記作.復(fù)習(xí)：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義1、定義定義1設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，鄰域）時，函數(shù)相應(yīng)地有增量如果極限存在，則稱該極限為函數(shù)在點處對自變量x的偏導(dǎo)數(shù)，記作或也簡記為將y固定為，給一個增量（點仍屬于這個類似地，函數(shù)在點處對的偏導(dǎo)數(shù)定義為或也簡記為記作

按照上述所給的記法，有若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的每一點處對x的偏導(dǎo)數(shù)都數(shù)都存在，那么這個偏導(dǎo)數(shù)仍是區(qū)域內(nèi)的函數(shù)，稱它的偏導(dǎo)函數(shù)（簡稱偏導(dǎo)數(shù)），記作為該函數(shù)關(guān)于自變量或，也簡記為同樣，對的偏導(dǎo)函數(shù)，記作或，也簡記為可以看出，求二元函數(shù)關(guān)于時，就是把中的y或x看成常數(shù)，然后x或y的偏導(dǎo)（函）數(shù)對x或y求導(dǎo)，這就相當(dāng)于一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算.例1

設(shè)求在點處的偏導(dǎo)數(shù).解法1把看作常量，而對求導(dǎo)，得解法2

由得因此

把看作常量，而對求導(dǎo)，得同理

例2

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解

把看作常量，對求導(dǎo)得把看作常量，對求導(dǎo)得例3

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解

把看作常量，對求導(dǎo)得把看作常量，對求導(dǎo)得解故例4

設(shè)函數(shù)求

若求出偏導(dǎo)數(shù)后再代入點，計算量繁瑣。而若先將非求偏導(dǎo)的變量的數(shù)值代入，化為一元函數(shù)再求導(dǎo)，可以達到簡化的目的.先確定即解函數(shù)可以寫為則例5

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到三元或三元以上的多元函數(shù)中。求三元函數(shù)u=f(x,y,z)在(x,y,z)點處對x的偏導(dǎo)數(shù)時，只需視y,z為常數(shù)，利用一元函數(shù)求導(dǎo)法即可.如三元函數(shù)u=f(x,y,z)在(x,y,z)點處對x的偏導(dǎo)數(shù)為例6

求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).解例7

已知一定量理想氣體的狀態(tài)方程為PV=RT（R為常數(shù)）證明證因為所以

例7表明，與一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是微商不同，偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體，不能看作是分子與分母的商.2、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義0xyzx0y0二元函數(shù)z=f(x,y)在點處對于x的偏導(dǎo)數(shù)就是x的一元函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù).是曲面z=f(x,y)與平面的交線l.就是曲線在點處的切線關(guān)于軸的斜率．處的切線關(guān)于為曲線在點軸的斜率．同理知，3、函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)

連續(xù)多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)？例8

求函數(shù)在(0,0)點處的偏導(dǎo)數(shù),并討論函數(shù)在(0,0)點處的連續(xù)性.解

由偏導(dǎo)數(shù)的定義，有顯然，函數(shù)f(x,y)在(0,0)點處偏導(dǎo)數(shù)存在,但函數(shù)在該點處是不連續(xù)的.例8說明：二元函數(shù)在一點處偏導(dǎo)數(shù)存在不能保證函數(shù)在該點處連續(xù)；反之，在一點連續(xù)也不能保證它在這點的偏導(dǎo)數(shù)存在.即：二元函數(shù)偏導(dǎo)存在和連續(xù)無關(guān)！二、高階偏導(dǎo)數(shù)1、高階偏導(dǎo)數(shù)的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有偏導(dǎo)數(shù)及那么這兩個偏導(dǎo)數(shù)也是區(qū)域D內(nèi)關(guān)于x和y的二元函數(shù).及在區(qū)域D內(nèi)也都有偏導(dǎo)數(shù)，則稱此偏導(dǎo)如果為函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).共有四個二階偏導(dǎo)數(shù)：例9

設(shè)二元函數(shù)，求解先求出一階偏導(dǎo)數(shù)因此注意：1.要先求出一階偏導(dǎo)數(shù)，再求高階偏導(dǎo)數(shù)；2.兩個混合偏導(dǎo)數(shù)有區(qū)別嗎？它們一定相等嗎？2、混合偏導(dǎo)數(shù)相等的條件定理

若函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域連續(xù)，那么在區(qū)域內(nèi)必有

可以看到，在定理的條件下，二階混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)的順序無關(guān).例10

驗證函數(shù)滿足拉普拉斯方程證由于