《高等數學（經濟類）下冊 第2版》課件 9-2 偏導數

第九章多元函數微分學第二節(jié)偏導數一、一階偏導數的定義二、高階偏導數三、小結

在一元函數的微分學中，我們知道導數是函數增量與自變量增量比值的極限，它反映了函數對自變量的變化率。在實際問題中，對于多元函數仍然要考慮函數隨自變量變化時的變化率。

二元函數含有兩個自變量，在考慮因變量對自變量的變化率時，我們可以把其中一個變量看成常數，討論因變量對另一個自變量的變化率。一、一階偏導數的定義

設函數在點的某個鄰域內有定義，當自變量獲得增量（點仍在該鄰域內）時，函數相應地有一個增量,如果極限存在，則稱在點可導，記作.復習：一元函數導數的定義1、定義定義1設函數在點的某一鄰域內有定義，鄰域）時，函數相應地有增量如果極限存在，則稱該極限為函數在點處對自變量x的偏導數，記作或也簡記為將y固定為，給一個增量（點仍屬于這個類似地，函數在點處對的偏導數定義為或也簡記為記作

按照上述所給的記法，有若函數在區(qū)域內的每一點處對x的偏導數都數都存在，那么這個偏導數仍是區(qū)域內的函數，稱它的偏導函數（簡稱偏導數），記作為該函數關于自變量或，也簡記為同樣，對的偏導函數，記作或，也簡記為可以看出，求二元函數關于時，就是把中的y或x看成常數，然后x或y的偏導（函）數對x或y求導，這就相當于一元函數導數的計算.例1

設求在點處的偏導數.解法1把看作常量，而對求導，得解法2

由得因此

把看作常量，而對求導，得同理

例2

求函數的偏導數.解

把看作常量，對求導得把看作常量，對求導得例3

求函數的偏導數.解

把看作常量，對求導得把看作常量，對求導得解故例4

設函數求

若求出偏導數后再代入點，計算量繁瑣。而若先將非求偏導的變量的數值代入，化為一元函數再求導，可以達到簡化的目的.先確定即解函數可以寫為則例5

求函數的偏導數.偏導數的概念可以推廣到三元或三元以上的多元函數中。求三元函數u=f(x,y,z)在(x,y,z)點處對x的偏導數時，只需視y,z為常數，利用一元函數求導法即可.如三元函數u=f(x,y,z)在(x,y,z)點處對x的偏導數為例6

求函數的偏導數.解例7

已知一定量理想氣體的狀態(tài)方程為PV=RT（R為常數）證明證因為所以

例7表明，與一元函數的導數是微商不同，偏導數的記號是一個整體，不能看作是分子與分母的商.2、偏導數的幾何意義0xyzx0y0二元函數z=f(x,y)在點處對于x的偏導數就是x的一元函數在處的導數.是曲面z=f(x,y)與平面的交線l.就是曲線在點處的切線關于軸的斜率．處的切線關于為曲線在點軸的斜率．同理知，3、函數偏導數存在與函數連續(xù)的關系一元函數中在某點可導

連續(xù)多元函數中在某點偏導數存在連續(xù)？例8

求函數在(0,0)點處的偏導數,并討論函數在(0,0)點處的連續(xù)性.解

由偏導數的定義，有顯然，函數f(x,y)在(0,0)點處偏導數存在,但函數在該點處是不連續(xù)的.例8說明：二元函數在一點處偏導數存在不能保證函數在該點處連續(xù)；反之，在一點連續(xù)也不能保證它在這點的偏導數存在.即：二元函數偏導存在和連續(xù)無關！二、高階偏導數1、高階偏導數的概念設函數在區(qū)域內有偏導數及那么這兩個偏導數也是區(qū)域D內關于x和y的二元函數.及在區(qū)域D內也都有偏導數，則稱此偏導如果為函數的二階偏導數.共有四個二階偏導數：例9

設二元函數，求解先求出一階偏導數因此注意：1.要先求出一階偏導數，再求高階偏導數；2.兩個混合偏導數有區(qū)別嗎？它們一定相等嗎？2、混合偏導數相等的條件定理

若函數的兩個二階混合偏導數及在區(qū)域連續(xù)，那么在區(qū)域內必有

可以看到，在定理的條件下，二階混合偏導數與求導的順序無關.例10

驗證函數滿足拉普拉斯方程證由于