《高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟類）下冊 第2版》課件 12-1 常微分方程的基本概念_第1頁
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第十二章微分方程第一節(jié)常微分方程的基本概念一、問題的提出---兩個引例二、微分方程的定義三、微分方程的解四、小結(jié)

—積分問題

—微分方程問題

推廣引例1設(shè)曲線S通過點(0,1)，且在該曲線上任一點解：設(shè)所求曲線的函數(shù)表達式S=S(x)，則有:①（C為任意常數(shù)）由②得C=1,因此所求曲線的表達式為②由①得處的切線斜率為,求該曲線S的函數(shù)表達式.一、問題的提出

引例2

一輛火車在平直軌道上以25m/s的速度行駛，假設(shè)火車在進站時制動的加速度為-0.5m/s2

.若計劃火車停止時正對站臺，那么火車需離站臺多少距離時開始制動？并且火車制動后多長時間之后才能停??？由題意知，解:代入初始條件后得到所以令v=0，則火車從開始制動到完全停住共需火車在這段時間內(nèi)行駛的路程為

引例2

一輛火車在平直軌道上以25m/s的速度行駛，假設(shè)火車在進站時制動的加速度為-0.5m/s2

.若計劃火車停止時正對站臺，那么火車需離站臺多少距離時開始制動？并且火車制動后多長時間之后才能停??？解:定義1含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（或微分）的方程，叫做微分方程.例如：實質(zhì):

聯(lián)系自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)(或

微分)之間的關(guān)系式.二、微分方程的定義一階微分方程高階微分方程分類2:偏微分方程（多元）常微分方程（一元）定義2:微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的

階數(shù)稱為微分方程的階.分類1:

定義3能夠使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程

的解.三、微分方程的解(2)特解:確定了通解中任意常數(shù)以后的解.微分方程的解的分類：(1)通解:微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的

個數(shù)等于微分方程的階數(shù).例如：的通解為的通解為初始條件:用來確定任意常數(shù)的條件.初值問題：求微分方程滿足初始條件的特解的問題.一階:二階:解：例1驗證函數(shù)是微分方程是該方程滿的通解，并且足初始條件的特解.

將和代入原方程，整理得證明結(jié)束了嗎？能直接說是通解嗎？解：例1驗證函數(shù)是微分方程是該方程滿的通解，并且足初始條件的特解.

所求特解為又因為此解中含有兩個相互獨立的任意常數(shù)，且方程是二階的，所以是原微分方程的通解.解答：中不含任意常數(shù)，故為微分方程的特解.思考:通解：解中含有獨立的任意常數(shù)，個數(shù)等于方程的階數(shù).初始條件特解：確定了通解中任意常數(shù)的解（解中不含任意常數(shù)）.初值問題.四、小結(jié)含有未

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