人教A版數(shù)學(xué)(選擇性必修一講義)第01講1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算(學(xué)生版+解析)

第01講1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.②會進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運(yùn)算.1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、共面的判斷.知識點(diǎn)01：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的有關(guān)概念（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．（2）幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點(diǎn)，叫向量的終點(diǎn)；（2）字母表示法：用表示．向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或.【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有______個.【答案】7【詳解】與模長相等的向量有：共有7個.故答案為：7知識點(diǎn)02：空間向量的加法、減法運(yùn)算1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內(nèi)，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，作向量，2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即4、空間向量的加法運(yùn)算律（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：【即學(xué)即練2】（2023秋·浙江臺州·高二期末）如圖，在平行六面體中，E是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】．故選：A.知識點(diǎn)03：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反3、對數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的進(jìn)一步理解：（1）可以把向量模擴(kuò)大（當(dāng)時），也可縮?。ó?dāng)時）；可以不改變向量的方向（當(dāng)時），也可以改變向量的方向（當(dāng)時）．（2）實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)時，；當(dāng)時，若，則．（3）實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如，，沒有意義，無法運(yùn)算．【即學(xué)即練3】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，，與平面交于點(diǎn)M，則＝________.【答案】【詳解】由題可設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，所以，解得.故答案為：.知識點(diǎn)04：共線向量與共面向量1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點(diǎn)：（1）零向量和空間任一向量是共線向量．（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因?yàn)楫?dāng)時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．2.1共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點(diǎn)平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點(diǎn),點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：2.2拓展(高頻考點(diǎn)）：對于直線外任意點(diǎn)，空間中三點(diǎn)共線的充要條件是，其中3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使3.2空間共面向量的表示如圖空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．或者等價于：對空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)（四點(diǎn)共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個不共線向量唯一確定．3.3拓展對于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．【即學(xué)即練4】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以由得，即，因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，所以，故.故選：A.題型01空間向量的有關(guān)概念【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（）A．與共面的單位向量有無數(shù)個B．與垂直的單位向量有無數(shù)個C．與平行的單位向量只有一個D．與同向的單位向量只有一個【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個數(shù)為（

）．A． B． C． D．【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)，求：（1）與相等的向量；

（2）與相反的向量；

（3）與平行的向量．題型02空間向量加減運(yùn)算及幾何表示【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）已知在空間四邊形中，，則（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體中，化簡（

）A． B． C． D．【變式1】（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在長方體中，為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【變式2】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（

）A． B． C． D．題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形?都是平行四邊形且不共面，,分別是?的中點(diǎn)，判斷與是否共線？【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數(shù)）【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是空間的一個基底，若，，若，則（

）A． B． C．3 D．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為______.【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．【變式2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______．．題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）【典例1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┛臻g四點(diǎn)及空間任意一點(diǎn)，由下列條件一定可以得出四點(diǎn)共面的有（

）A． B．C． D．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若點(diǎn)滿足向量關(guān)系（其中），試問：，，，四點(diǎn)是否共面？【變式1】（2023春·高一課時練習(xí)）下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數(shù)）【典例1】（2023春·高一課時練習(xí)）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面的充要條件是（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知為空間中一點(diǎn)，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，若，則的值為______．【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖,平面內(nèi)的小方格均為正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn),為平面外一點(diǎn),設(shè),則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【變式2】（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）是空間向量的一組基底，，，，已知點(diǎn)在平面內(nèi)，則______.題型07空間向量共面（推論及其應(yīng)用）【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．【典例2】（2023春·高一課時練習(xí)）已知為空間中任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)的值為_________.【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）在三棱錐中，M是平面ABC上一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【變式2】（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是空間任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2題型08空間向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何表示【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┮阎襟w，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，且，則等于（

）．A． B．C． D．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知為空間的9個點(diǎn)，且，，，，，.求證：（1）；（2）.【變式1】（2023春·云南迪慶·高二迪慶藏族自治州民族中學(xué)校考階段練習(xí)）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w中，點(diǎn)M滿足．若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·高二課時練習(xí)）當(dāng)，且不共線時，與的關(guān)系是（

）A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，化簡（

）A． B． C． D．3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中校考期末）如圖，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．4．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)校考期末）已知在長方體中，，則（

）A．3 B．2 C．1 D．5．（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）在平行六面體中，點(diǎn)E滿足，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．27．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為空間任一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點(diǎn)，則下列命題錯誤的是（

）A．存在平面和點(diǎn)，使得平面B．存在平面和點(diǎn)，使得平面C．對任意的平面，線段平分線段D．對任意的平面，線段平分線段二、多選題9．（2023春·高二課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．空間的任意三個向量都不共面B．空間的任意兩個向量都共面C．三個向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點(diǎn)不共線，對空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件三、填空題11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實(shí)數(shù)______.12．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知A，B，C三點(diǎn)不共線，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)P與A，B，C三點(diǎn)共面，則_________．四、解答題13．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知、、、、、、、、為空間的個點(diǎn)（如圖所示），并且，，，，．求證：．14．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，已知矩形，為平面外一點(diǎn)，且平面，、分別為、上的點(diǎn)，且，，求滿足的實(shí)數(shù)的值．B能力提升1．（2023春·江蘇淮安·高二淮陰中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）四面體中，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．2．（2023春·高二課時練習(xí)）已知長方體，，，M是的中點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，其中，，且平面，則動點(diǎn)P的軌跡所形成的軌跡長度是（

）A． B． C． D．23．（2023春·高二課時練習(xí)）在正三棱柱中，，點(diǎn)P滿足，其中，則三角形周長最小值是___________.C綜合素養(yǎng)1．（多選）（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，在三棱柱中，P為空間一點(diǎn)，且滿足，，則（）A．當(dāng)時，點(diǎn)P在棱上 B．當(dāng)時，點(diǎn)P在棱上C．當(dāng)時，點(diǎn)P在線段上 D．當(dāng)時，點(diǎn)P在線段上2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示的平行六面體中，已知，，，為上一點(diǎn)，且．若，則的值為__；若為棱的中點(diǎn)，平面，則的值為__．3．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，點(diǎn)為的重心，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)任意作一個平面分別交線段，，于點(diǎn)，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.

第01講1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①理解空間向量的概念，空間向量的共線定理、共面定理及推論.②會進(jìn)行空間向量的線性運(yùn)算，空間向量的數(shù)量積，空間向量的夾角的相關(guān)運(yùn)算.1．理解空間向量的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行與向量的加、減運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算、夾角的相關(guān)運(yùn)算及空間距離的求解.2．利用空間向量的相關(guān)定理及推論進(jìn)行空間向量共線、共面的判斷.知識點(diǎn)01：空間向量的有關(guān)概念1、空間向量的有關(guān)概念（1）概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模；如空間中的位移速度、力等．（2）幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的表示表示方法：和平面向量一樣，空間向量有兩種表示方法：（1）幾何表示法：用有向線段來表示，叫向量的起點(diǎn)，叫向量的終點(diǎn)；（2）字母表示法：用表示．向量的起點(diǎn)是，終點(diǎn)是，則向量也可以記作，其模記為或.【即學(xué)即練1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有______個.【答案】7【詳解】與模長相等的向量有：共有7個.故答案為：7知識點(diǎn)02：空間向量的加法、減法運(yùn)算1、空間向量的位置：已知空間向量，可以把它們平移到同一平面內(nèi)，以任意點(diǎn)為起點(diǎn)，作向量，2、空間向量的加法運(yùn)算（首尾相接首尾連）：作向量，則向量叫做向量的和．記作，即3、空間向量的減法運(yùn)算（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量）：向量叫做與差，記作，即4、空間向量的加法運(yùn)算律（1）加法交換律：（2）加法結(jié)合律：【即學(xué)即練2】（2023秋·浙江臺州·高二期末）如圖，在平行六面體中，E是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】．故選：A.知識點(diǎn)03：空間向量的數(shù)乘運(yùn)算1、定義：與平面向量一樣，實(shí)數(shù)與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．2：數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的范圍的方向的模與向量的方向相同，其方向是任意的與向量的方向相反3、對數(shù)乘向量與向量的關(guān)系的進(jìn)一步理解：（1）可以把向量模擴(kuò)大（當(dāng)時），也可縮小（當(dāng)時）；可以不改變向量的方向（當(dāng)時），也可以改變向量的方向（當(dāng)時）．（2）實(shí)數(shù)與向量的積的特殊情況：當(dāng)時，；當(dāng)時，若，則．（3）實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減，例如，，沒有意義，無法運(yùn)算．【即學(xué)即練3】（2023春·高一課時練習(xí)）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，，與平面交于點(diǎn)M，則＝________.【答案】【詳解】由題可設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)镸，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，所以，解得.故答案為：.知識點(diǎn)04：共線向量與共面向量1、共線（平行）向量的定義：若表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，若與是共線向量，則記為．在正確理解共線向量的定義時，要注意以下兩點(diǎn)：（1）零向量和空間任一向量是共線向量．（2）共線向量不具有傳遞性，如，那么不一定成立，因?yàn)楫?dāng)時，雖然，但不一定與共線（特別注意，與任何向量共線）．2、共線向量定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．2.1共線向量定理推論：如果為經(jīng)過點(diǎn)平行于已知非零向量的直線,那么對于空間任一點(diǎn),點(diǎn)在直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù),使①，若在上取，則①可以化作：2.2拓展(高頻考點(diǎn)）：對于直線外任意點(diǎn)，空間中三點(diǎn)共線的充要條件是，其中3、共面向量定義：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．3.1共面向量定理：如果兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使3.2空間共面向量的表示如圖空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使．或者等價于：對空間任意一點(diǎn)，空間一點(diǎn)位于平面內(nèi)（四點(diǎn)共面）的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使，該式稱為空間平面的向量表示式，由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個不共線向量唯一確定．3.3拓展對于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．【即學(xué)即練4】（2023春·四川綿陽·高二四川省綿陽南山中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知為空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線．如果，則的值為（

）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以由得，即，因?yàn)闉榭臻g任意一點(diǎn)，滿足任意三點(diǎn)不共線，且四點(diǎn)共面，所以，故.故選：A.題型01空間向量的有關(guān)概念【典例1】（2023春·高二課時練習(xí)）已知為三維空間中的非零向量，下列說法不正確的是（）A．與共面的單位向量有無數(shù)個B．與垂直的單位向量有無數(shù)個C．與平行的單位向量只有一個D．與同向的單位向量只有一個【答案】C【詳解】解：與共面的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個，故A正確；與垂直的單位向量，方向可任意，所以有無數(shù)個，故B正確；與平行的單位向量，方向有兩個方向，故不唯一，故C錯誤；與同向的單位向量，方向唯一，故只有一個，故D正確．故選：C．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）給出下列命題：①兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；②若空間向量滿足，則；③在正方體中，必有；④若空間向量滿足，，則．其中正確的個數(shù)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于①，當(dāng)兩個空間向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時，這兩個向量必相等；但兩個向量相等，它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)都不一定相同，①錯誤；對于②，根據(jù)向量相等的定義，要保證兩個向量相等，不僅模要相等，而且方向還要相同，但②中向量與的方向不一定相同，②錯誤；對于③，根據(jù)正方體的性質(zhì)，在正方體中，向量與向量的方向相同，模也相等，則，③正確；對于④，由向量相等關(guān)系可知，④正確．故選：C.【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）下列命題中為真命題的是（

）A．空間向量與的長度相等B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓C．空間向量就是空間中的一條有向線段D．不相等的兩個空間向量的模必不相等【答案】A【詳解】對于A，因?yàn)榭臻g向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確，對于B，將空間所有的單位向量平移到一個起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個球面，所以B錯誤，對于C，空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤，對于D，兩個空間向量不相等，它們的?？赡芟嗟龋部赡懿幌嗟?，如向量與的模相等，所以D錯誤，故選：A【變式2】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，已知為平行六面體，若以此平行六面體的頂點(diǎn)為向量的起點(diǎn)、終點(diǎn)，求：（1）與相等的向量；

（2）與相反的向量；

（3）與平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）．【詳解】（1）∵平行六面體是棱柱，∴側(cè)棱都平行且相等，∴與相等的向量為；（2）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，∴是平行四邊形，∴，與相反的向量為．（3）連接，由平行六面體的性質(zhì)可得，∴是平行四邊形，∴，與平行的向量為．題型02空間向量加減運(yùn)算及幾何表示【典例1】（2023秋·湖南湘潭·高二校聯(lián)考期末）已知在空間四邊形中，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋蔊為CD的中點(diǎn)，如圖，由平行四邊形法則可得，所以.故選：A.【典例2】（2023春·江蘇連云港·高二校聯(lián)考期中）正方體中，化簡（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.【變式1】（2023春·安徽亳州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）在長方體中，為線段的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以,所以，因?yàn)殚L方體中，，所以，即.故選：C.【變式2】（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】故選：D題型03空間向量的共線定理（空間向量共線的判定）【典例1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，四邊形?都是平行四邊形且不共面，,分別是?的中點(diǎn)，判斷與是否共線？【答案】共線.【詳解】因?yàn)镸?N分別是AC?BF的中點(diǎn)，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以.又，所以.所以，即，即與共線.【變式1】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在體對角線上，且．求證：，，三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析【詳解】證明：

連接，．∵，，∴，∴．又，∴，，三點(diǎn)共線．題型04空間向量的共線定理（由空間向量共線求參數(shù)）【典例1】（2023春·江蘇南京·高二南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是空間的一個基底，若，，若，則（

）A． B． C．3 D．【答案】C【詳解】，，因?yàn)?，所以存在?shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)，是兩個不共線的空間向量，若，，，且，，三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】/0.4【詳解】∵，，，∴，又∵A，C，D三點(diǎn)共線，∴，∴，∴.故答案為：.【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且A，B，D三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)k的值．【答案】.【詳解】因?yàn)?，，則有，又A，B，D三點(diǎn)共線，于是，即，而不共線，因此，解得，所以實(shí)數(shù)k的值是.【變式2】（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·高二江蘇省揚(yáng)中高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)______．．【答案】【詳解】，，，三點(diǎn)共線，存在實(shí)數(shù)，使得，即，，解得：．故答案為：.題型05空間向量共面（空間向量共面的判定）【典例1】（多選）（2023秋·江西吉安·高二井岡山大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┛臻g四點(diǎn)及空間任意一點(diǎn)，由下列條件一定可以得出四點(diǎn)共面的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【詳解】對A：，定有共面，且有公共頂點(diǎn)，故四點(diǎn)共面，故A正確；對B：，，故四點(diǎn)不共面，故B錯誤；對C：，可得三點(diǎn)共線，則四點(diǎn)一定共面，故C正確；對D：，，故四點(diǎn)一定共面，故D正確.故選：ACD.【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）設(shè)空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，若點(diǎn)滿足向量關(guān)系（其中），試問：，，，四點(diǎn)是否共面？【答案】共面【詳解】解：，，，四點(diǎn)共面．理由如下：，，，即，由，，三點(diǎn)不共線，可知和不共線，由共面定理可知向量，，共面，，，，四點(diǎn)共面．【變式1】（2023春·高一課時練習(xí)）下列條件中，一定使空間四點(diǎn)P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】對于A選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于B選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于C選項(xiàng)，，，所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)不共面；對于D選項(xiàng)，，,所以點(diǎn)與、、三點(diǎn)共面.故選：D.【變式2】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知是不共面向量，，證明這三個向量共面.【答案】證明見解析【詳解】由是不共面向量，得與不共線，設(shè)，則，所以，解得，所以，所以這三個向量共面.題型06空間向量共面（由空間向量共面求參數(shù)）【典例1】（2023春·高一課時練習(xí)）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面的充要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】四點(diǎn)共面的充要條件是，，整理可得，由，則，解得，故選：A.【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）已知為空間中一點(diǎn)，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，若，則的值為______．【答案】【詳解】依題意，四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線，所以，所以，，，所以，解得.故答案為：【變式1】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖,平面內(nèi)的小方格均為正方形,點(diǎn)為平面內(nèi)的一點(diǎn),為平面外一點(diǎn),設(shè),則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】由題知，四點(diǎn)共面,根據(jù)平面向量基本定理,不妨設(shè),，則,，,.故選:B【變式2】（2023秋·湖北黃岡·高二統(tǒng)考期末）是空間向量的一組基底，，，，已知點(diǎn)在平面內(nèi)，則______.【答案】3【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在平面內(nèi)，所以，，共面，所以存在與使得,即，所以，解得.故.故答案為:3.題型07空間向量共面（推論及其應(yīng)用）【典例1】（2023春·江蘇淮安·高二校聯(lián)考期中）已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由與三點(diǎn)共面以及，可得，，所以.故選：C.【典例2】（2023春·高一課時練習(xí)）已知為空間中任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且，則實(shí)數(shù)的值為_________.【答案】【詳解】，又∵是空間任意一點(diǎn)，、、、四點(diǎn)滿足任三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，∴，解得x=，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)是平面上任一點(diǎn)，是平面上的三點(diǎn)，（不共線），則三點(diǎn)共線，把此結(jié)論類比到空間上就是：不共面，若，則四點(diǎn)共面．【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）在三棱錐中，M是平面ABC上一點(diǎn)，且，則（

）A．1 B．2 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)镸是平面ABC上一點(diǎn)，即四點(diǎn)共面，所以，所以．故選：B.【變式2】（2022秋·江西撫州·高二江西省臨川第二中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是空間任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【詳解】由題意因?yàn)樗狞c(diǎn)共面且平面唯一確定，，所以，即，所以，由一元二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可得當(dāng)時，取得最小值，所以，故選：A題型08空間向量數(shù)乘運(yùn)算及幾何表示【典例1】（2023秋·新疆昌吉·高二?？计谀┮阎襟w，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，且，則等于（

）．A． B．C． D．【答案】D【詳解】如圖所示，由于，故，，，，，，∴，故選：D．【典例2】（2023春·高二課時練習(xí)）如圖，已知為空間的9個點(diǎn)，且，，，，，.求證：（1）；（2）.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】證明：（1）∴.（2）.【變式1】（2023春·云南迪慶·高二迪慶藏族自治州民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在三棱柱中，D是四邊形的中心，且，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】.故選：D.【變式2】（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w中，點(diǎn)M滿足．若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由點(diǎn)M滿足，所以M為中點(diǎn)，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以M為中點(diǎn),所以，所以.故選：C1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023秋·高二課時練習(xí)）當(dāng)，且不共線時，與的關(guān)系是（

）A．共面 B．不共面 C．共線 D．無法確定【答案】A【詳解】根據(jù)平行四邊形法則可得，以，為鄰邊，則可得平行四邊形的兩條對角線對應(yīng)的向量分別為，所以與共面.故選：A.2．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在長方體中，化簡（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由長方體的結(jié)構(gòu)特征，有，則.故選：B3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊二十三中?？计谀┤鐖D，已知空間四邊形ABCD的對角線為AC，BD，設(shè)G是CD的中點(diǎn)，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】G是CD的中點(diǎn),所以故選：A.4．（2023秋·江西吉安·高二江西省萬安中學(xué)?？计谀┮阎陂L方體中，，則（

）A．3 B．2 C．1 D．【答案】C【詳解】依題知，，∴，∴．故選：C.5．（2023秋·山東威?！じ叨y(tǒng)考期末）在平行六面體中，點(diǎn)E滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，整理得.故選：A.6．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，是平面外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【詳解】因?yàn)?，點(diǎn)在確定的平面內(nèi)，所以，即，所以，所以當(dāng)時，的有最小值2．故選：D7．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為空間任一點(diǎn)，，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且，則的值為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】解：，，又，，，四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，，，故選：B．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在四面體中，、分別是、的中點(diǎn)，過的平面分別交棱、于、（不同于、、、），、分別是棱、上的動點(diǎn)，則下列命題錯誤的是（

）A．存在平面和點(diǎn)，使得平面B．存在平面和點(diǎn)，使得平面C．對任意的平面，線段平分線段D．對任意的平面，線段平分線段【答案】D【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，因?yàn)槠矫?，平面，此時平面，A對；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，因?yàn)槠矫妫矫?，此時平面，B對；對于C選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)為，設(shè)，，則有，同理可得，，，，所以，所以，，因?yàn)?、、、四點(diǎn)共面，則，所以，，所以，，則，所以，，可得，即、、三點(diǎn)共線，即的中點(diǎn)在上，即線段平分線段，C對；對于D選項(xiàng)，若線段平分線段，又因?yàn)榫€段平分線段，則四邊形為平行四邊形，事實(shí)上，四邊形不一定為平行四邊形，故假設(shè)不成立，D錯.故選：D.二、多選題9．（2023春·高二課時練習(xí)）下列說法錯誤的是（

）A．空間的任意三個向量都不共面B．空間的任意兩個向量都共面C．三個向量共面，即它們所在的直線共面D．若三向量兩兩共面，則這三個向量一定也共面【答案】ACD【詳解】A.如圖所示：，三個向量共面，故錯誤；B.由相等向量知：通過平移，兩個向量的起點(diǎn)總可以在同一點(diǎn)，故兩個向量都共面，故正確；C.如圖所示：，在正方體中三個向量共面，但它們所在的直線不共面，故錯誤；D.如圖所示：，在正方體中三向量兩兩共面，但這三個向量一定共面，故錯誤；故選：ACD10．（2023·全國·高二專題練習(xí)）下列命題中正確的是（

）A．若∥，則∥B．是共線的必要條件C．三點(diǎn)不共線，對空間任一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面D．若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），則是三點(diǎn)共線的充要條件【答案】ACD【詳解】對于A,由∥，則一定有∥，故A正確；對于B，由反向共線，可得，故B不正確；對于C，由三點(diǎn)不共線，對空間任一點(diǎn)，若，則，即，所以四點(diǎn)共面，故C正確；對于D,若為空間四點(diǎn)，且有（不共線），