六年級數(shù)學下冊 【典型例題系列】典型例題系列之第一單元圓柱與圓錐拓展篇 帶解析（北師大）

六年級數(shù)學下冊典型例題系列之第一單元圓柱與圓錐拓展篇（解析版）編者的話：《六年級數(shù)學下冊典型例題系列》是基于教材知識點和常年考點考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項練習兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進行編輯，主要分為計算和應用兩大部分，其優(yōu)點在于考題典型，考點豐富，變式多樣。專項練習部分是從?？碱}和期末真題中選取對應練習，其優(yōu)點在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第一單元圓柱與圓錐拓展篇。本部分內(nèi)容主要選取圓柱與圓錐思維拓展類題型，題目難度較大，建議根據(jù)學生掌握情況選擇性講解，一共劃分為十二個考點，歡迎使用?！究键c一】求長方體削成最大圓柱的體積?！痉椒c撥】在長a厘米，寬b厘米，高c厘米的長方體中切出一個體積最大的圓柱，求這個圓柱的體積是多少立方厘米，要以中間長度的邊作為圓柱底面圓的直徑，再根據(jù)情況選擇圓柱的高來計算圓柱的體積?！镜湫屠}】在一個長、寬、高分別是2dm、2dm、5dm的長方體盒子中，正好能放下一個圓柱形物體（如圖）。這個圓柱形物體的體積最大是多少立方分米？盒子中空余的空間是多少立方分米？解析：3.14×（2÷2）2×5＝3.14×1×5＝15.7（立方分米）2×2×5－15.7＝20－15.7＝4.3（立方分米）答：這個圓柱形物體的體積最大是15.7立方分米，盒子空余的空間是4.3立方分米?！緦毩?】在長12厘米，寬10厘米，高8厘米的長方體中切出一個體積最大的圓柱，這個圓柱的體積是多少立方厘米？解析：以10厘米為底面直徑，高是8厘米EQ3.14×(10÷2)\S\UP6(2)×8＝3.14×25×8＝78.5×8＝628(立方厘米）答：這個圓柱體的體積是628立方厘米?！緦毩?】把一個長8厘米、寬6厘米、高4厘米的長方體木塊削成一個最大的圓柱體積木，這個圓柱體積木的體積是多少立方厘米？解析：以6厘米為底面直徑，4厘米為高3.14×（）2×4＝3.14×9×4＝113.04（立方厘米）答：這個最大的圓柱體的體積是113.04立方厘米?！緦毩?】把一個長4dm、寬2.5dm、高3dm的長方體，削成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是多少立方分米？解析：2.5÷2＝1.25（分米）3.14×1.25×4＝19.625（立方分米）答：這個圓柱的體積是19.625立方分米?！緦毩?】把下面的長方體削成一個最大的圓柱，這個圓柱的體積是多少？解析：3.14××4＝3.14××4＝3.14×2.25×4＝7.065×4＝28.26（立方厘米）答：圓柱的體積為28.26立方厘米?！究键c二】不規(guī)則圓柱體的等積轉(zhuǎn)化問題?！痉椒c撥】等積轉(zhuǎn)化問題，關(guān)鍵在于找到題目中的體積不變量，再根據(jù)體積不變解決問題?！镜湫屠}1】小軍有一個密封的瓶子（圖A）。里面裝了250毫升的果汁，如果把它倒過來（圖B），空白部分的容量是50毫升假如把瓶里裝滿果汁，那么一共能裝多少毫升？解析：250＋50＝300（毫升）答：一共能裝300毫升。【典型例題2】一個高的酒瓶中盛有酒，如果把它倒置在桌面上（如圖所示），求酒瓶的容積是多少？（單位：）解析：3.14×（6÷2）2×20＋3.14×（6÷2）2×（30－25）＝3.14×9×20＋3.14×9×5＝565.2＋141.3＝706.5（cm3）答：油瓶的容積是706.5cm3?！緦毩?】如圖，一個飲料瓶內(nèi)直徑是9cm，瓶里飲料的高度是15cm，把瓶蓋擰緊后，使其瓶口向下倒立，無飲料部分的高度是5cm，這個飲料瓶的容積是多少？解析：3.14×（9÷2）2×（15＋5）＝63.585×20＝1271.7（立方厘米）答：這個飲料瓶的容積是1271.7立方厘米?！緦毩?】如圖所示，一個內(nèi)直徑為6的飲料瓶，它的容積是多少？解析：3.14×（6÷2）2×15＋3.14×（6÷2）2×5＝3.14×9×15＋3.14×9×5＝28.26×15＋28.26×5＝423.9＋141.3＝565.2（cm3）565.2立方厘米＝565.2毫升答：它的容積是565.2毫升?！緦毩?】一個內(nèi)半徑是4cm的膠水瓶里，膠水的高度是8cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，沒有膠水的部分高2cm。這個瓶子的容積是多少？解析：3.14×42×8＋3.14×42×2＝3.14×16×8＋3.14×16×2＝50.24×8＋50.24×2＝401.92＋100.48＝502.4（cm3）502.4立方厘米＝502.4毫升答：這個瓶子的容積是502.4毫升?！緦毩?】一個內(nèi)直徑是10cm的瓶子里，水的高度是7cm，把瓶蓋擰緊倒置放平，無水部分是圓柱形，高度是18cm。這個瓶子的容積是多少毫升？解析：3.14×（10÷2）2×（7＋18）＝3.14×25×25＝78.5×25＝1962.5（立方厘米）＝1962.5（毫升）答：這個瓶子的容積是1962.5毫升?！究键c三】排水法在圓柱中的三種應用方式：求不規(guī)則物體的體積?！痉椒c撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】在一個底面直徑是6dm的圓柱形容器內(nèi)裝了一部分水，水中完全浸沒著一個高4dm的圓錐形鐵塊，當鐵塊從水中取出時，水面下降了5cm，這個圓錐形鐵塊的體積是多少？解析：5cm＝0.5dm半徑：6÷2＝3dm水面下降了5cm，圓錐形鐵塊的體積就是下降的水的體積，所以體積：3.14×32×0.5＝3.14×9×0.5＝3.14×4.5＝14.13（dm3）答：這個圓錐形鐵塊的體積是14.13dm3。【對應練習1】爸爸拿出一個鋼球，對小潔說：“你能求出這個鋼球的體積嗎？”小潔說：“當然能?！庇谑?，小潔將家中一個底面直徑是20cm的圓柱形玻璃杯裝一部分水，量得水深10cm，然后把鋼球完全浸沒在水中，這時又量得水面高度是12cm。你知道這個鋼球的體積是多少嗎？解析：3.14×（20÷2）2×（12－10）＝3.14×100×2＝628（立方厘米）答：這個鋼球的體積是立方厘米?！緦毩?】有一個底面內(nèi)直徑為20cm，裝有一些水的圓柱形玻璃容器，已知容器內(nèi)的水面高度為5cm?，F(xiàn)將一個圓錐形鉛錘完全浸入容器中，此時容器內(nèi)的水面高度上升到7cm。求這個鉛錘的體積。解析：3.14×（20÷2）2×（7－5）＝3.14×100×2＝628（cm3）答：這個鉛錘的體積是628cm3?！緦毩?】在一個底面直徑是10cm的圓柱形容器里加入若干水，水深8cm。把一個蘋果完全浸沒在水中，水沒有溢出，這時水深增加到10cm。這個蘋果的體積是多少立方厘米？解析：3.14×（10÷2）2×（10－8）＝3.14×25×2＝157（立方厘米）答：這個蘋果的體積是157立方厘米?！緦毩?】從一個底面半徑為10分米的圓柱形水桶里取出一塊底面積是6.28平方分米完全浸泡在水中的圓錐形鋼材，取出后水面下降5厘米，求圓錐形鋼材的體積。解析：5厘米＝0.5分米

102×3.14×0.5＝100×1.57＝157（立方分米）答：圓錐形鋼材的體積為157立方分米?！究键c四】排水法在圓柱中的三種應用方式：求不規(guī)則物體的高。【方法點撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】有一只底面半徑為3dm的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛滿水，并浸有一塊底面為正方形邊長為2dm的長方體鐵塊（完全浸沒水中）。當鐵塊從水中完全取出時，桶內(nèi)的水面下降了5cm，求這塊長方體鐵塊的高。（得數(shù)保留一位小數(shù)）解析：5厘米＝0.5分米；3.14×32×0.5÷（2×2）＝14.13÷4≈3.5（分米）答：這塊長方體鐵塊的高是3.5分米?！緦毩?】將石塊放入A容器中（全部淹沒水中），水位上升2.5厘米，如果將其放入B容器中（全部淹沒水中），水位會上升多少厘米？（水沒有溢出）

解析：12×8×2.5÷60＝240÷60＝4（厘米）答：水位會上升4厘米。【對應練習2】在一個長方體容器內(nèi)盛滿水，從里面量測得它的長是10cm、寬10cm、高20cm，容器內(nèi)完全浸沒了一個底面半徑是4cm，高5cm的圓柱體鐵塊，如果把鐵塊完全取出，容器內(nèi)的水面會下降多少cm？解析：圓柱容積：3.14×42×5＝251.2（cm3）水面下降：251.2÷10÷10＝2.512（cm）答：如果把鐵塊完全取出，容器內(nèi)的水面會下降2.512cm?！緦毩?】在一個底面半徑為的圓柱形水桶里，有一段底面半徑為的圓柱形鋼材浸沒在水中。把鋼材從水桶中取出后，桶里水的高度下降了，這段鋼材有多長？解析：＝5024×6＝30144（立方厘米）答：這段鋼材有長?！究键c五】排水法在圓柱中的三種應用方式：溢水問題?！痉椒c撥】溢水問題，由于物體放入容器中有水溢出，所以物體的體積應由水上升部分的體積加上水溢出部分的體積，即：V物體=V上升部分+V溢出部分?！镜湫屠}】在一個裝有部分水的圓柱形容器中（如圖）放入一塊石頭，結(jié)果溢出了的水。這塊石頭的體積是多少立方厘米？解析：上升的水的體積＋溢出水的體積就是這塊石頭的體積。答：這塊石頭的體積是2530立方厘米?！緦毩?】把一個鐵圓錐放入底面半徑是10cm的盛滿水的圓柱形容器里，溢出了150.72cm3的水，如果取出這個圓錐，容器里的水面將下降多少？解析：150.72÷（3.14×10）＝150.72÷314＝0.48（厘米）答：容器里的水面將下降0.48厘米?！緦毩?】一個盛有水的圓柱形容器的底面直徑是10厘米，水深12厘米，放入一塊石頭，從容器中溢出50毫升水，這個容器的高是22厘米，石頭的體積是多少？解析：50毫升＝50立方厘米石頭體積：3.14×（10÷2）2×（22－12）＋50＝3.14×25×10＋50＝78.5×10＋50＝785＋50＝835（立方厘米）答：石頭的體積是835立方厘米?！緦毩?】一個底面直徑是6dm、高7dm的圓柱形玻璃器皿里裝有5dm深的水，現(xiàn)將一塊棱長為4dm的正方體鐵塊放入水中，鐵塊沉入水底。容器里會溢出多少升的水？解析：6÷2＝3（分米）4×4×4－3.14×3×（7－5）＝64－56.52＝7.48（立方分米）＝7.48（升）答：容器里會溢出7.48升的水。【考點六】圓錐的切面積問題一?！痉椒c撥】將圓錐沿著高并垂直于底面切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個這樣的切面?！镜湫屠}】一個圓錐的底面半徑2厘米，高是7厘米，沿著高并垂直于底面將圓錐切成完全相同的兩塊，每個切面的面積是多少平方厘米?解析：沿著高并垂直于底面將圓錐切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是直徑，高是圓錐的高，也就是說底是4厘米，高是7厘米，所以每個切面的面積是14平方厘米。【對應練習1】將一個底面直徑18厘米，高是8厘米的圓錐形木塊分成形狀、大小完全相同的兩個木塊后，表面積比原來增加了多少平方厘米?解析：將圓錐切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是直徑，高是圓錐的高，也就是說底是18厘米，高是8厘米，所以每個切面的面積是72平方厘米，而現(xiàn)在的表面積比原來增加了2個切面，所以增加了144平方厘米?！緦毩?】一個圓錐的底面直徑是24厘米，高12厘米。將這個圓錐沿著高切成大小相同的兩半，表面積增加()平方厘米。解析：24×12÷2×2＝144×2＝288（平方厘米）【對應練習3】一個底面直徑是12厘米的圓錐，從頂點沿高將它切成兩半后，表面積增加了96平方厘米，這個圓錐的高是()厘米。解析：96÷2×2÷12＝8（厘米）【考點七】圓錐的切面積問題二。【方法點撥】將圓錐沿著高并垂直于底面切成完全相同的兩塊，每一塊的切面都是一個等腰三角形，而且這個三角形的底是底面圓的直徑，高是圓錐的高，相比較圓錐的表面積，增加了兩個這樣的切面?！镜湫屠}】把一個底面直徑是10cm的圓錐沿著高切開后，表面積增加了60cm2，這個圓錐的體積是多少cm3？解析：60÷2×2÷10＝6（厘米）3.14×（10÷2）2×6÷3＝3.14×25×2＝157（立方厘米）【對應練習1】把一個高15厘米的圓錐，沿著底面直徑垂直切開，將圓錐平均分為兩份，跟原來比表面積增加了300平方厘米，求這個圓錐的體積是多少？解析：一個三角形的面積：300÷2＝150（平方厘米）圓錐的底面直徑：150×2÷15＝20（厘米）×3.14×（20÷2）2×15＝314×5＝1570（立方厘米）答：這個圓錐的體積是1570立方厘米。【對應練習2】將一個圓錐沿著高垂直于底面切成兩半，表面積比原來增加了108cm2。若圓錐的高為18cm，這個圓錐的體積是多少立方厘米？解析：圓錐的底面直徑：108÷2×2÷18＝6（cm）圓錐的底面半徑：6÷2＝3（cm）圓錐的體積：3.14×32×18×＝3.14×54＝169.56（cm3）

答：這個圓錐的體積是169.56立方厘米?！究键c八】排水法在圓錐體積中的應用一：求圓錐的高。【方法點撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】有一個底面直徑是20cm的圓柱形容器，容器內(nèi)盛了一些水。把一個底面周長是18.84cm的圓錐放入容器內(nèi)，完全浸在水中，容器的水面升高了0.6cm，這個圓錐的高是多少cm？解析：圓錐底面半徑：18.84÷2÷3.14＝3（厘米）圓錐底面積：3.14×32＝28.26（平方厘米）圓錐高：3.14×（20÷2）2×0.6×3÷28.26＝3.14×100×0.6×3÷28.26＝565.2÷28.26＝20（厘米）答：這個圓錐的高是20厘米。【對應練習2】有一個長方體水箱，底面是邊長為4分米的正方形，水箱內(nèi)原有3.5分米深的水。現(xiàn)在把一個底面積為8平方分米的圓錐形銅塊完全浸沒在水中，這時水面升高了0.5分米，求這個圓錐形銅塊的高。解析：4×4×0.5×3÷8＝16×0.5×3÷8＝8×3÷8＝24÷8＝3（分米）答：這個圓錐形銅塊的高是3分米?！緦毩?】一個底面半徑為9厘米的圓柱形水桶里裝有水，水中放著一個底面周長為37.68厘米的圓錐形鉛錘，鉛錘完全浸沒在水中，取出鉛錘后水桶中水面下降2厘米，圓錐形鉛錘的高是多少厘米？解析：37.68÷3.14÷2＝6（厘米）3.14×92×2÷÷（3.14×62）＝＝13.5（厘米）答：圓錐形鉛錘的高是13.5厘米?！究键c九】排水法在圓錐體積中的應用二：求水面下降高度。【方法點撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】一個底面直徑是20厘米的圓柱形玻璃杯中裝有水，水里放著一個底面直徑是6厘米、高是20厘米的圓錐形鉛錘，當鉛錘取出時，杯里的水面會下降多少厘米？解析：3.14×（6÷2）2×20÷3＝3.14×9×20÷3＝188.4（立方厘米）188.4÷[3.14×（20÷2）2]＝188.4÷[3.14×100]＝188.4÷314＝0.6（厘米）答：杯里的水面會下降0.6厘米?！緦毩?】一個底面半徑是12厘米的圓柱形玻璃缸中裝有水，里面放有一個底面半徑是6厘米、高是18厘米的圓錐形鐵塊，全部被水淹沒，當把鐵塊從水中取出后，水面會下降多少厘米？解析：3.14×62×18×÷（3.14×122）＝678.24÷452.16＝1.5（厘米）答：水面會下降1.5厘米?！緦毩?】在一個底面周長是125.6厘米，水面高度為30厘米的圓柱形水桶里，完全浸沒著一個圓錐形零件，零件底面半徑是10cm，高是6cm，當把這個零件從水桶里取出后，桶里的水面下降了多少厘米？解析：答：把這個零件從水桶里取出后，桶里的水面下降了0.5厘米?！緦毩?】一個底面直徑是20厘米的圓柱形杯中裝有水，水里浸沒一個底面直徑是10厘米，高是18厘米的圓錐體鐵塊，當鐵塊從杯中取出時，杯里的水面會下降多少厘米？解析：×3.14××18÷[3.14×]＝×3.14×25×18÷[3.14×100]＝3.14×25×6÷314＝1.5（厘米）答：杯里的水面會下降1.5厘米?！究键c十】排水法在圓錐體積中的應用三：溢水問題。【方法點撥】形狀不規(guī)則的物體可以用排水法求體積，排水法的公式：①V物體=V現(xiàn)在－V原來②V物體=S×(h現(xiàn)在-h原來)③V物體=S×h升高【典型例題】一個裝滿水的無蓋長方體容器（如下圖），如果在容器中放入一個底面半徑，高是的實心鐵圓錐（完全浸沒），會溢出多少毫升的水？解析：（立方厘米）157立方厘米＝157毫升答：會溢出157毫升的水?！緦毩?】把一個底面半徑是4厘米，高是6厘米的鐵制圓錐體放入盛滿水的桶里，將有多少立方厘米的水溢出？解析：×3.14×42×6＝×3.14×16×6＝100.48（立方厘米）答：將有100.48立方厘米的水溢出?！緦毩?】有一個底面半徑為8cm的圓柱形玻璃容器，水深6cm。把一塊底面半徑是6cm、高是10cm的圓錐形鐵塊放入水中，水會溢出45mL，那么這個玻璃容器有多高？（得數(shù)保留整數(shù)）解析：圓錐形鐵塊的體積：×3.14×62×10＝376.8（cm3）水的體積：3.14×82×6＝1205.76（cm3）45mL＝45cm376.8＋1205.76－45＝1537.56（cm3）玻璃容器的高：1537.56÷（3.14×82）≈8（cm）答：這個玻璃容器的高約8cm。【考點十一】圓錐中的倒水問題?！痉椒c撥】圓錐中的倒水問題圓錐中倒入部分水，水的形狀也是圓錐，當水的高度和原來圓錐的高度之比是m∶n時，水形成的圓錐和原來的圓錐的底面半徑之比也是m∶n，那么底面積的比就是m2;n2，此時體積之比就是m3：n3。【典型例題】如圖，圓錐形容器中裝有水40升，水面高度是這個容器的一半，這個容器最多能裝水多少升?解析：水與圓錐高之比為1:2，