2018屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)立體幾何一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖表面積和體積解析版

2018屆數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)立體幾何：(一)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖、表面積和體積知識(shí)梳理·題型剖析【知識(shí)歸納梳理】一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征１．多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱eｑ\b\lc\{\ｒｃ\(\a＼vs4\al\ｃo1(底面：互相平行,側(cè)面:都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)面的交線(xiàn)都,平行且相等)）(2)棱錐eｑ\ｂ\ｌc\｛\rc\(\a\ｖs4\al＼co１(底面:是多邊形,側(cè)面：都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形))(３)棱臺(tái)棱錐被平行于棱錐底面的平面所截,截面與底面之間的部分.２.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征(1）圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到.(２）圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊旋轉(zhuǎn)得到.(3)圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到,也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．(４）球可以由半圓面或圓面繞直徑旋轉(zhuǎn)得到.[注意］(1）認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征時(shí),易忽視定義,可借助于幾何模型強(qiáng)化對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的認(rèn)識(shí)．(2)臺(tái)體可以看成是由錐體截得的,但一定強(qiáng)調(diào)截面與底面平行.二、空間幾何體的三視圖與直觀圖1.空間幾何體的三視圖(1)空間幾何體的三視圖包括正(主）視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖,分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫(huà)出的輪廓線(xiàn)．(2)三視圖的畫(huà)法①基本要求：長(zhǎng)對(duì)正,高平齊，寬相等．②畫(huà)法規(guī)則：正側(cè)一樣高,正俯一樣長(zhǎng)，側(cè)俯一樣寬;③看不到的線(xiàn)畫(huà)虛線(xiàn).［注意]若相鄰兩物體的表面相交,則表面的交線(xiàn)是它們的分界線(xiàn),在三視圖中,要注意實(shí)、虛線(xiàn)的區(qū)別.2.空間幾何體的直觀圖畫(huà)空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)＿畫(huà)法,基本步驟是：(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸,兩軸相交于點(diǎn)O，畫(huà)直觀圖時(shí),把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的ｘ′軸、y′軸,兩軸相交于點(diǎn)O′,且使∠ｘ′O′y′＝45°(或135°).(2)已知圖形中平行于x軸、y軸的線(xiàn)段，在直觀圖中分別平行于x′軸、y′軸.（3)已知圖形中平行于ｘ軸的線(xiàn)段，在直觀圖中長(zhǎng)度保持不變,平行于y軸的線(xiàn)段,長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.（4)在已知圖形中過(guò)O點(diǎn)作z軸垂直于xOｙ平面,在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸也垂直于x′O′y′平面,已知圖形中平行于z軸的線(xiàn)段,在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度不變．[注意］按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：S直觀圖=eq\ｆ(\r(2),４)S原圖形，S原圖形=２ｅq\r(２)S直觀圖.三、空間幾何體的表面積和體積1.空間幾何體的表面積當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí),得到圓柱;當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),得到圓錐，由此可得：S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(→,\s\up7(r′＝r))Ｓ圓臺(tái)側(cè)=π（r+r′)leq\o（→，\s\up7(r′=0))Ｓ圓錐側(cè)=πｒl[注意]組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理.2.空間幾何體的體積(1)柱體：Ｖ柱體＝Sh；Ｖ圓柱＝πｒ２h.(2)錐體:V錐體＝eq\ｆ(1,3)Sh;V圓錐=eq\ｆ（1,3)πr2h.(3)臺(tái)體：V臺(tái)體=eｑ\f(1,3)(S＋eｑ\r(ＳＳ′）+Ｓ′）ｈ；V圓臺(tái)=eq\f(1,3)πh(r2＋rr′＋r′2).３.球體(１)球的表面積公式：S＝4πR2；球的體積公式V＝eq\ｆ（4,3)πR3(2)正方體與球：①正方體的內(nèi)切球:截面圖為正方形EFHG的內(nèi)切圓,如圖所示.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則｜OＪ｜=r=eq\f(a,2)(r為內(nèi)切球半徑)．②與正方體各棱相切的球：截面圖為正方形ＥFHG的外接圓，則|GＯ|=R=eq＼f(\r(２),2）ａ.③正方體的外接球:截面圖為正方形ACC1Ａ1的外接圓，則｜Ａ１O(jiān)|＝R′=ｅq＼f（\r(3)，2)a.(3)正四面體與球：如圖，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R,?。罛的中點(diǎn)為D,連接CD,SE為正四面體的高,在截面三角形ＳDC內(nèi)作一個(gè)與邊SD和DC相切,圓心在高SE上的圓.因?yàn)檎拿骟w本身的對(duì)稱(chēng)性,內(nèi)切球和外接球的球心同為O.此時(shí),CO＝OS＝R，OＥ=r,ＳE=eq\r(＼f(２,3）)ａ,CE=eｑ\ｆ(＼r(３),3)a，則有R+ｒ=ｅq＼r(\ｆ(2，3）)ａ，Ｒ2－r2＝｜CE|2＝eq\f（ａ2,3)，解得R=eq\f(\r(６),4)a,ｒ＝eq\f(\ｒ(6),１2)ａ.【第１講：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖】題型1：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【典型例題】［例１](1)設(shè)有以下四個(gè)命題:①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形;④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn);⑤直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐．其中真命題的序號(hào)是＿_(dá)_＿_(dá)_＿＿．解析:命題①符合平行六面體的定義，故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題②是錯(cuò)誤的;③正確,如圖1,PD⊥平面ＡBCD,其中底面ABCD為矩形,可證明∠PＡB,∠PCＢ為直角,這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形;命題④由棱臺(tái)的定義知是正確的；⑤錯(cuò)誤,當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí),其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖2所示,它是由兩個(gè)同底圓錐形成的.答案：①③④(2)以下命題：①直角三角形繞一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱;③圓錐截去一個(gè)小圓錐后剩余部分是圓臺(tái)；④棱錐截去一個(gè)小棱錐后剩余部分是棱臺(tái).其中正確的命題序號(hào)是＿_(dá)__＿_(dá)__.【答案】③[例2](１)用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體,各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是（）A.圓柱B.圓錐C．球體D.圓柱、圓錐、球體的組合體解析：選C截面是任意的且都是圓面,則該幾何體為球體.(2)下列結(jié)論正確的是（)A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等,則該棱錐可能是六棱錐D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn)解析：選DA錯(cuò)誤,如圖1是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，它的各個(gè)面都是三角形,但它不是三棱錐;B錯(cuò)誤,如圖2,若△ABC不是直角三角形,或△ＡBC是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊,所得的幾何體都不是圓錐；C錯(cuò)誤,若該棱錐是六棱錐，由題設(shè)知,它是正六棱錐．易證正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必大于底面邊長(zhǎng),這與題設(shè)矛盾.圖1圖2【變式訓(xùn)練】1.判斷正誤(１)有兩個(gè)面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐(）(3)用一個(gè)平面去截一個(gè)球,截面是一個(gè)圓面()答案：(1)×（2）×(３)√2.下面是關(guān)于四棱柱的四個(gè)命題：①若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱；②若過(guò)兩個(gè)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③若四個(gè)側(cè)面兩兩全等，則該四棱柱為直四棱柱；④若四棱柱的四條對(duì)角線(xiàn)兩兩相等,則該四棱柱為直四棱柱.其中,真命題的編號(hào)是__＿_(dá)＿_(dá)_＿.【答案】②④３.給出四個(gè)命題:①各側(cè)面都是全等四邊形的棱柱一定是正棱柱；②對(duì)角面是全等矩形的六面體一定是長(zhǎng)方體;③有兩側(cè)面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱；④長(zhǎng)方體一定是正四棱柱.其中正確的命題個(gè)數(shù)是()Ａ.０B.1C．2D．３【答案】A題型2:空間幾何體的三視圖與直觀圖【典型例題】[例1](１)一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體,所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示,則該幾何體的俯視圖為（)【答案】C(2）如圖由若干個(gè)相同的小立方體組成的幾何體的俯視圖,其中小立方體中的數(shù)字表示相應(yīng)位置的小立方體的個(gè)數(shù),則該幾何體的側(cè)視圖為()解析:選Ｃ由俯視圖知側(cè)視圖從左到右能看到的小立方體個(gè)數(shù)分別為2,3,１.(3)已知三棱錐的正視圖與俯視圖如圖所示,俯視圖是邊長(zhǎng)為２的正三角形,則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()【答案】B(4)一個(gè)正方體截去兩個(gè)角后所得幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示,則其俯視圖為（)【答案】Ｃ(5)如圖所示,Ｅ、F分別為正方體ABCＤ—A1B1C1D1的面ADD１A１、面ＢＣC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面DCＣ1D1上的投影是_____＿.(填序號(hào))【答案】②[例2］(１)(2０１4·福建)某空間幾何體的正視圖是三角形,則該幾何體不可能是()A.圓柱B.圓錐Ｃ.四面體D.三棱柱【答案】Ａ［考向1]因?yàn)閳A錐、四面體、三棱柱的正視圖均可以是三角形,而圓柱無(wú)論從哪個(gè)方向看均不可能是三角形，故選A.(２）(2014·課標(biāo)Ⅰ)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體是（）A.三棱錐B.三棱柱Ｃ．四棱錐Ｄ.四棱柱［解析]B[由題知，該幾何體的三視圖為一個(gè)三角形,兩個(gè)四邊形,分析可知該幾何體為三棱柱,故選B.]（3)(教材例題改編)已知空間幾何體的三視圖如圖,則該幾何體是由＿_(dá)_＿_(dá)＿_(dá)__＿_(dá)_＿_(dá)____組合而成.答案：圓柱和正四棱柱(4)(教材習(xí)題改編)如圖，長(zhǎng)方體ＡBCD-A′Ｂ′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，則剩下的幾何體是_＿_(dá)_____,截去的幾何體是＿＿_(dá)＿_(dá)＿＿_(dá)．答案：五棱柱三棱柱(５)(2015·北京朝陽(yáng)期末）一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D．４[解析]D[滿(mǎn)足條件的四棱錐的底面為矩形，且一條側(cè)棱與底面垂直，如圖所示,易知該四棱錐四個(gè)側(cè)面均為直角三角形.]［例3］(1)利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的以下結(jié)論,正確的是___＿_(dá)＿_(dá)___.(寫(xiě)出所有正確的序號(hào))①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形;④圓的直觀圖是橢圓；⑤菱形的直觀圖是菱形．【答案】①②④(2)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y軸，BC,ＡD平行于x軸.已知四邊形ABＣD的面積為2eq\ｒ（２)ｃm2,則原平面圖形的面積為（）Ａ.４cｍ2B.4ｅq＼r(2）cm２C.8ｃｍ2D．8eq\ｒ（２)cｍ2解析:選C依題意可知∠BAＤ=４5°,則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長(zhǎng)與BC,AＤ相等，高為梯形AＢCD的高的2eｑ\r(２)倍,所以原平面圖形的面積為8cm2．(3)(2０14·湖北)在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Ｏ-xｙｚ中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是（０,0,２)，(2,2,0),(１,2,１),(2,2，２).給出編號(hào)①②③④的四個(gè)圖,則該四面體的正視圖和俯視圖分別為(）A.①和②Ｂ．③和①Ｃ.④和③D.④和②解析:選D在空間直角坐標(biāo)系O-ｘｙｚ中作出棱長(zhǎng)為２的正方體,在該正方體中作出四面體,如圖所示，由圖可知，該四面體的正視圖為④,俯視圖為②.選Ｄ.【變式訓(xùn)練】1.(2011·課標(biāo)全國(guó)）在一個(gè)幾何體的三視圖中,正視圖和俯視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為()【答案】D2.(2015·成都一診)若一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖是兩個(gè)全等的正方形,則這個(gè)幾何體的俯視圖不可能是()[解析]C［由題意知,俯視圖的長(zhǎng)度和寬度相等,故C不可能．]3．(２01５·南陽(yáng)三模）已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示,俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形,則該三棱錐的正視圖可能為()解析：選Ｃ當(dāng)正視圖為等腰三角形時(shí)，則高應(yīng)為2，且應(yīng)為虛線(xiàn),排除A,Ｄ；當(dāng)正視圖是直角三角形，由條件得一個(gè)直觀圖如圖所示，中間的線(xiàn)是看不見(jiàn)的線(xiàn)ＰA形成的投影,應(yīng)為虛線(xiàn),故答案為Ｃ.4.(２015·桂林一調(diào))已知底面為正方形的四棱錐,其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（)[解析]Ｃ［選項(xiàng)Ａ，Ｂ,D中的俯視圖,正方形內(nèi)的線(xiàn)應(yīng)該為另一條對(duì)角線(xiàn),當(dāng)四棱錐的直觀圖為右圖時(shí),它的三視圖是C．]5.一個(gè)簡(jiǎn)單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示,則其俯視圖不可能為：①長(zhǎng)方形;②正方形；③圓;④橢圓．其中正確的是＿_(dá)______.答案：②③6．(2016天津文)將一個(gè)長(zhǎng)方形沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)截去一個(gè)棱錐,得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示,則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()ABCD【答案】B7.(２０15·東北三校聯(lián)考）利用斜二測(cè)畫(huà)法可以得到：①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形;④菱形的直觀圖是菱形.以上結(jié)論正確的是_____＿_(dá)_.答案：①②8.(２01５·福州模擬)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形,則原來(lái)的圖形是()解析：選A由直觀圖可知,在直觀圖中多邊形為正方形,對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為eq\r(２),所以原圖形為平行四邊形,位于y軸上的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2eq\r(2）．9.(2０1３·四川)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的直觀圖可以是()【答案】D[考向1］由三視圖可知該幾何體為一個(gè)上部為圓臺(tái)、下部為圓柱的組合體,圓臺(tái)的下底面和圓柱的底面恰好重合.１0.（２014·江西)一個(gè)幾何體的直觀圖如圖,下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是()【答案】B俯視圖為在水平投射面上的正投影,結(jié)合幾何體可知選Ｂ.【第2講:空間幾何體的三視圖與表面積和體積】題型３:空間幾何體的三視圖與表面積【典型例題】[例1](1)(2015·北京石景山一模）正三棱柱的側(cè)（左)視圖如圖所示，則該正三棱柱的側(cè)面積為_(kāi)_______．解析：由側(cè)(左）視圖知：正三棱柱的高(側(cè)棱長(zhǎng))為2,底邊上的高為eq\r(3），所以底邊邊長(zhǎng)為２,側(cè)面積為3×2×2=1２．答案：12（2)(2０1４·日照一模)如圖是一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖,其俯視圖是面積為8eｑ\ｒ（2)的矩形.則該幾何體的表面積是().A.８B.２0+8eq\r（2)C.16D.24+8ｅq\r(２)解析由已知俯視圖是矩形,則該幾何體為一個(gè)三棱柱,根據(jù)三視圖的性質(zhì),俯視圖的矩形寬為２eq\r(２),由面積8eｑ\r(２),得長(zhǎng)為4，則該幾何體的表面積為S=２×eq\f（1，2)×2×2＋2ｅq＼r（2)×4+2×2×4＝２０+8eq\r(2）.答案B(3)(201４·許昌模擬)如圖所示,一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為１的圓,那么這個(gè)幾何體的表面積為()．A.4πB.eq＼f（３,2）πＣ.3πD．2π解析由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱，Ｓ表=2×π×eq\b\ｌｃ\(\rc\)（\a\vs4\ａl\ｃo1（\f(1,2))）２+π×１×1=eq\f(３π,2)．答案B（4)(2016·湖南長(zhǎng)沙聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸,可得這個(gè)幾何體的表面積是__＿＿_(dá)__＿.【解析】由題意知,該幾何體是一個(gè)側(cè)放的圓錐,圓錐底面位于右側(cè),底面圓的半徑為１,圓錐的高為2,易知其母線(xiàn)長(zhǎng)為eq＼r（5)，所以其表面積為S=π·1×(1+eq\r(5））＝ｅq＼ｒ（５）π＋π.【答案】eq\r(5)π＋π（5)(2016·課標(biāo)＝3\*ROMAＮ\*MERGEＦＯRMＡTIＩI)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為()A.１8＋36eq＼ｒ(5)B.５4＋１8eq\r(5)C.90D.８1解析B[考向２]由圖可知,該幾何體為四棱柱,Ｓ表＝2S底+２S前＋2S側(cè)=2×32＋２×3×6＋2×3×eｑ\r(３２＋62)＝18＋3６+18eｑ\r（5）=54+１8eq\r（5)．[例２]（1)已知棱長(zhǎng)為ａ,各面均為等邊三角形的四面體S-ABＣ,則它的表面積為_(kāi)_____＿_(dá).解析:過(guò)S作ＳＤ⊥BC,∵ＢC＝a,∴ＳD=eq\f(＼r(3),2)a∴S△SBＣ=eq\ｆ(\r（3),4)a2,∴表面積S＝4×eq\ｆ(\r(3)，4)a2＝eｑ\r(3)a2.答案：eq\ｒ(３)ａ2(2)(2015·北京)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（)A.2+ｅq\r（5)B．４+ｅq\r(5)Ｃ.2+2eｑ\r(5)D.5【解析】作出三棱錐的示意圖如圖①，在△ABC中,作AＢ邊上的高CＤ，連接SD．在三棱錐S-ABC中,SC⊥底面ＡBC,SC＝1,底面三角形ABＣ是等腰三角形,AC=ＢC，ＡB邊上的高CD=2,AD＝ＢD＝1，斜高ＳD＝eq＼r(５),ＡC=BC=ｅｑ＼r(５).∴Ｓ表＝Ｓ△ABC＋S△SＡＣ＋S△SBC＋S△SAB＝eq\f（１，２）×２×2+eq\f（１，2)×1×ｅｑ\r(5）+eq\f(1,2)×1×ｅq\r(５)＋eq\f（1，２)×２×eq＼r(5)＝２＋２eq\r(5）.(3)（２01５·遵義模擬)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是菱形，則該幾何體的側(cè)面積為()A.eｑ\ｒ(3）+eq\r（6)B．eｑ\r(３)+eq＼r(5)C.ｅq＼ｒ(2）＋ｅq＼r(6）D.ｅq\ｒ（2)+ｅq\ｒ(5)解析:選C由三視圖還原為空間幾何體,如圖所示,則有OA=OＢ=1,AＢ＝eｑ\r(2).又PB⊥平面ABＣD，∴PB⊥BD,PB⊥ＡB，∴PD=eq\ｒ(2２+1)＝ｅq＼r(5),PA＝eq＼r（２＋12）＝ｅq\r(3)，從而有PA2＋DA2＝PD2,∴PA⊥ＤA,∴該幾何體的側(cè)面積Ｓ=2×ｅq\f(1，2)×eq\r(2)×1+2×eｑ\f(1,2）×eｑ\r(2)×eq＼r(３）＝eq＼r(2)+eq\r(6).(４)（２０1６·北京房山一模）某四棱錐的三視圖如圖所示,則最長(zhǎng)的一條側(cè)棱的長(zhǎng)度為(）A.eｑ＼r（2)B.eq\r(3)Ｃ.eq\ｒ(５）D.eｑ\r（6)3．Ｃ［考向1]由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形,且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，直觀圖如圖所示,其中ＰA⊥面ABCD,PA＝１,AD=1,CD＝1,ＡＢ＝2，PD=ｅq＼ｒ（2），ＰC=ｅq\r(３),而在Ｒt△ＰＡＢ中,PB＝eq\r(PA2+AB2)＝ｅｑ\r(１２＋2２）=eｑ\r(5)＞ｅq＼r（3)，故最長(zhǎng)的側(cè)棱為PB,其長(zhǎng)度為eq\r(５）,故選C.(5）(2０14·課標(biāo)Ⅰ)如圖所示，網(wǎng)絡(luò)紙上小正方形的邊長(zhǎng)為１,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖,則該多面體的各條棱中,最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為()A.6eｑ\r(2)B.4eq\r（2)Ｃ.6Ｄ．４【解析】由三視圖可知該幾何體為圖中棱長(zhǎng)為4的正方體中的三棱錐P-ABＣ.由圖②可知,最長(zhǎng)棱為ＰC=eq\ｒ(４２+４2＋22)=6．[例３](1)已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形,俯視圖是兩個(gè)同心圓,如圖所示,則該幾何體的表面積為＿＿_(dá)_____.解析由三視圖知該幾何體為上底直徑為2,下底直徑為6,高為２ｅq\r（３）的圓臺(tái),則幾何體的表面積S=π×1＋π×9＋π×(1＋3）×ｅq＼r(2＼r(3)2+２2)=2６π.答案：2６π（2)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為_(kāi)__＿＿＿_(dá)_．解析如圖所示:該幾何體為長(zhǎng)為4，寬為3，高為1的長(zhǎng)方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為1的圓柱后剩下的部分.∴S表=（４×1＋3×4＋3×1)×２+2π×1×1－2π×12=38.答案38(3）(2015·課標(biāo)Ⅰ）圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾何體的表面積為16＋20π,則r=(）Ａ．1B.２Ｃ.4D.8解析B由題意知，該幾何體是由半個(gè)圓柱與半個(gè)球組合得到的.則表面積S＝2πr2+２×eｑ\f(1,2)πｒ２＋4r２＋2πr2=５πr２＋4r2＝２0π＋16，∴ｒ＝2.(4)[２０14重慶理]某幾何體的三視圖如下圖所示,則該幾何體的表面積為（)A．54B.60C.6６Ｄ．72【答案】B【解析】在長(zhǎng)方體中構(gòu)造幾何體,如右圖所示,,經(jīng)檢驗(yàn)該幾何體的三視圖滿(mǎn)足題設(shè)條件.其表面積,，故選擇(５)(201４·安徽)一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的表面積為()Ａ.２1+ｅq\r(3)B.18+ｅq\r(3）C.２1D.18解析A由三視圖知,該多面體是由正方體割去兩個(gè)角后剩下的部分,如圖所示,則S＝Ｓ正方體－2S三棱錐側(cè)+2S三棱錐底=24-2×3×ｅq\f(１,２)×1×１+2×eq\f(\r(3),4）×(eq＼r(2))2=21+eq\r(3).【變式訓(xùn)練】１．(2015·北京西城期末)已知一個(gè)正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等,其側(cè)(左)視圖如圖所示，那么此三棱柱正(主)視圖的面積為＿_(dá)______.解析:由正三棱柱三視圖還原直觀圖可得正(主)視圖是一個(gè)矩形,其中一邊的長(zhǎng)是側(cè)（左)視圖中三角形的高，另一邊是棱長(zhǎng).因?yàn)閭?cè)(左)視圖中三角形的邊長(zhǎng)為２,所以高為eq\r(３),所以正視圖的面積為２eq\r（３)．答案：２ｅq\r（3)２.(２01５·云南一檢）如果一個(gè)空間幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是半徑等于5的圓,那么這個(gè)空間幾何體的表面積等于()Ａ.100πB.eq\f(1０0π，３)C.２5πD.ｅｑ\ｆ（２5π,3）解析:選A易知該幾何體為球,其半徑為5,則表面積為S＝4πＲ2=100π.3.（2０13·湖南）已知棱長(zhǎng)為１的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積不可能等于().A.1B.ｅq＼r（2)C.eｑ＼f（＼r（2)-1,2）D.ｅq\f（\r(２)+1,２)解析由俯視圖的面積為1可知,該正方體的放置如圖所示,當(dāng)正視圖的方向與正方體的側(cè)面垂直時(shí),正視圖的面積最小,其值為1,當(dāng)正視圖的方向與正方體的對(duì)角面BDD1B1或AＣC1A1垂直時(shí),正視圖的面積最大，其值為eq\r(2),由于正視圖的方向不同,因此正視圖的面積S∈[１,ｅq\r(2）].故選C．答案C4.（２014·陜西)將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周,所得幾何體的側(cè)面積是()A.4πB.3πC.2πＤ.π解析:選Ｃ由幾何體的形成過(guò)程知所得幾何體為圓柱,底面半徑為1,高為1,其側(cè)面積S＝2πｒh＝2π×1×1＝2π．５.(20１3·臨沂一模)具有如圖所示的正視圖和俯視圖的幾何體中，體積最大的幾何體的表面積為(）.A.３B.7＋３eq\ｒ(２）C.eq\f（7,２)πD.1４解析由正視圖和俯視圖可知,該幾何體可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱，或水平放置的圓柱．由圖可知四棱柱的體積最大.四棱柱的高為１,底面邊長(zhǎng)分別為1，3，所以表面積為2（1×３+1×１＋３×1）＝14．答案D6．(２０15·山東淄博模擬)把邊長(zhǎng)為1的正方形AＢCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折起，形成的三棱錐A-BCD的正(主）視圖與俯視圖如圖所示,則其側(cè)（左）視圖的面積為(）A．eq\f(＼r(２)，2)B.ｅq\f(1,２)C．eq\ｆ(\r(２)，4)D.eq\f(1,4)解析D由正(主)視圖與俯視圖可得三棱錐A-BCD的一個(gè)側(cè)面與底面垂直,其側(cè)(左）視圖是直角三角形,且直角邊長(zhǎng)均為eq＼f(＼r（2）,2),所以側(cè)(左)視圖的面積為S＝eq＼ｆ(1,2)×eq＼f(\ｒ(2),2)×ｅq＼ｆ（\r（2)，２)＝eｑ＼f(1,4)．7．(2０１6·西安一模)如圖，網(wǎng)格紙中的小正方形的邊長(zhǎng)均為１,圖中粗線(xiàn)畫(huà)出的是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積為()A.eq＼f(1,2)（ｅq\ｒ(22)+3eｑ\r(２)+4)Ｂ.eq\f(1,２）(eq\r(22)＋３eq\r（2)+8）C.ｅq\f(１,2)(eq\ｒ(2２)＋eq\r(2)＋8）D.eq\f(１,2)（eq\r（22）＋2eｑ＼r(2)＋8)解析Ｂ根據(jù)三視圖可知該幾何體是底面為直角三角形的三棱錐，其表面積S=eｑ＼ｆ（1,2）×eq＼r(2)×eq\ｒ(2）＋eq\ｆ(1,2）×eq＼r(2)×3+eq\f(1,2)×2×3＋eｑ＼f(１,2)×ｅq\r（2)×eｑ\r(１1）=eq\f(1,2)(ｅq\ｒ(22）+3eq＼r(2)+8）,故選Ｂ．8．(２０１6·課標(biāo)Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A.20πＢ.2４πC.28πＤ.32π解析ＣS表=πr2＋2πr×4+eq\f(1,２)×2πｒ×R=4π＋16π+2πeｑ\r(2２＋(２\r(3)）2)＝28π.9.(2０1３重慶文)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（）A.180Ｂ.２０0Ｃ．220D．24０【答案】D１0．(２014浙江理)某幾何體的三視圖(單位：ｃｍ)如圖所示,則此幾何體的表面積是(）A．９０cｍ２B.129cm2C．1３2cｍ2D．138cm2【答案】D【解析】由三視圖知:幾何體是直三棱柱與直四棱柱的組合體,其中直三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3,底面是直角邊長(zhǎng)分別為3、4的直角三角形,四棱柱的高為6，底面為矩形,矩形的兩相鄰邊長(zhǎng)為３和4,∴幾何體的表面積S=２×4×6＋3×6＋3×３+２×3×4+2××3×4＋(4+5）×3=48+1８+９+２4+12+2７=138（cm2）.11.（2０17北京理)某四棱錐的三視圖如圖所示,則該四棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為().A.3eq\r(2）Ｂ．２eq\r(３)Ｃ.2eｑ＼r(2）D.２解析幾何體四棱錐如圖所示,最長(zhǎng)棱為正方體的體對(duì)角線(xiàn),即.故選B.1２.（2０17全國(guó)1理)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為（)．A.10B.1２C.14Ｄ.1６解析由三視圖可畫(huà)出立體圖，如圖所示，該多面體只有兩個(gè)相同的梯形的面,，．故選B．題型4：空間幾何體的三視圖與體積【典型例題】[例1](1）(2０13·陜西)某幾何體的三視圖如圖所示,則其體積為_(kāi)＿_(dá)__＿＿＿.解析該幾何體為一個(gè)半圓錐,故其體積為V＝eq\ｆ(１，3)×ｅq\f(1,2）×π×12×２２＝ｅq\ｆ(π,３).答案eq\f（π，３)(2）(２0１5·惠州二調(diào))一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖與左(側(cè))視圖均為半徑是2的圓,則這個(gè)幾何體的體積是(）A.１６πＢ.14πC.12πD．8π解析：選D由三視圖可知,該幾何體為一個(gè)球切去四分之一個(gè)球后剩余的部分，由于球的(3)(2０1３·廣東）某四棱臺(tái)的三視圖如圖所示,則四棱臺(tái)的體積是（).Ａ.４B.eｑ＼f(1４，3)C．eq＼f(1６,３）D.6解析由四棱臺(tái)的三視圖可知該四棱臺(tái)的上底面是邊長(zhǎng)為１的正方形;下底面是邊長(zhǎng)為２的正方形,高為2.由棱臺(tái)的體積公式可知該四棱臺(tái)的體積V＝eq\f（1，3)(12＋eｑ\r(1２×2２)＋22)×2=eq\f(14,３),故選B.答案B(4)（2０16·四川)已知三棱錐的四個(gè)面都是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形,該三棱錐的正視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是_＿_(dá)__＿_(dá)_.解析[考向3]【解析】由題可知錐體的高為1,底面積為eq\f(1,2)×2ｅｑ\r(３）×１=eq\ｒ(3),∴V錐=ｅq＼ｆ(1,3)×ｅq\r（3)×1=eq\f(\r(３)，3).【答案】eq\ｆ（＼ｒ(３)，3)[例2］(1）(２01５·浙江）某幾何體的三視圖如圖所示(單位:ｃm),則該幾何體的體積是()A.8cm3B.12cｍ3C.ｅｑ\f（3２，3)cｍ3D.eq\f(40，3）cm3解析C由題意得,該幾何體由一個(gè)正方體與一個(gè)正四棱錐組合而成,所以體積V=23＋eq\f(１，3)×22×2＝ｅq＼f（３2，3).(2)(2017山東理)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)eq\f(1,4)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為.解析該幾何體的體積為．(３)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：ｃm),則該幾何體的體積(單位：cm３)是（）.A．eq\f(π,2)＋1B.eｑ\f（π,２)＋3C.eｑ\ｆ（３π，２)＋1D.ｅq\ｆ(３π,２)＋3解析由三視圖可知,直觀圖是由半個(gè)圓錐與一個(gè)三棱錐構(gòu)成,半圓錐體積為,三棱錐體積為,所以幾何體體積.故選A.(４)(２０1３·課標(biāo)Ⅰ)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為().Ａ.16+8πＢ.8＋8πＣ.１６+１6πＤ.8+16π解析由三視圖可知該幾何體由長(zhǎng)方體和圓柱的一半組成.其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,2,2,圓柱的底面半徑為2、高為4.所以V＝２×２×4+eｑ\ｆ(１,２)×２2×π×4＝１6+8π.故選A.（5)(201５·廣東中山模擬）已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積(單位：cm3）為_(kāi)＿＿_(dá)_＿＿_(dá).解析π＋eq\ｆ(\r(3），3)[由三視圖，該組合體上部是一個(gè)三棱錐，下部是一圓柱由圖中數(shù)據(jù)知V圓柱=π×12×１＝π三棱錐垂直于底面的側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且邊長(zhǎng)是2，故其高即為三棱錐的高，高為eq\r（3),故棱錐高為eq＼ｒ(3)由于棱錐底面為一等腰直角三角形,且斜邊長(zhǎng)為2,故兩直角邊長(zhǎng)都是eｑ\r(2)，底面三角形的面積是eq＼f(1,2)×ｅq\ｒ(2)×eq\ｒ（2)＝1，故V棱錐＝eq\f(1,３）×１×eq\r（3)＝eq\f(\r（３)，３),故該幾何體的體積是π+eq＼f（\r(３),3).][例3](1)（20１5·山東實(shí)驗(yàn)?zāi)M)設(shè)下圖是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A.eq\f(2π,3)Ｂ.８－ｅq\f(π,3)Ｃ.８-2πD.8－eq＼f(２π,３)解析D［由三視圖可知,幾何體為正方體內(nèi)挖去一個(gè)圓錐，所以該幾何體的體積為V正方體-V錐＝23－eq\ｆ（1,3)(π×12×2)=8-ｅq\f（2,3）π.](2)（2０１３·遼寧)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是________.解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱內(nèi)部挖去一個(gè)正四棱柱,圓柱底面圓半徑為2,高為４，故體積為１6π；正四棱柱底面邊長(zhǎng)為2,高為4，故體積為16，所以幾何體的體積為1６π－16.(3)(2015·河南天一聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()Ａ.１2＋πB.８＋πC．12－πD.6－π解析C［由三視圖可知，原幾何體是底面邊長(zhǎng)為2的正方形,高為3的棱柱，里面挖去一個(gè)半徑為１的球,所以所求幾何體的體積為1２-π，故選Ｃ．］(4)（20１7全國(guó)2理）如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得,則該幾何體的體積為().A．90πB.63πC．4２πD.36π解析該幾何體可視為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為６的圓柱的一半,如圖所示．.故選Ｂ.（5）(201５·唐山統(tǒng)考）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為（)Ａ.8π+16B.8π－16C.８π+8D.16π-8解析：選B由三視圖可知：幾何體為一個(gè)半圓柱去掉一個(gè)直三棱柱．半圓柱的高為4,底面半圓的半徑為２，直三棱柱的底面為斜邊是4的等腰直角三角形,高為4，故幾何體的體積V=eｑ\f(1，2)π×22×４－ｅｑ\f（1，2)×４×2×４＝8π-16.[例４］(1）(2014·福州模擬）如圖所示,已知三棱柱ＡBC－A1Ｂ1C1的所有棱長(zhǎng)均為1,且ＡA1⊥底面ABＣ,則三棱錐B1-ABC1的體積為（）.A.eｑ\f（\r（３),12)B．eq\f（\r(３）,4）C.ｅq\ｆ(\ｒ（6），1２)D.eｑ\f（\ｒ(６)，4)解析三棱錐Ｂ１-ABＣ１的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積,三棱錐Ａ-B1BC１的高為ｅq\ｆ(\ｒ（3),2），底面積為eq\ｆ(1,２),故其體積為eq＼f(１,3）×eｑ＼f(1,２)×eq＼f(\ｒ(３),2)=ｅq\ｆ(\ｒ（3),12).(2）(2０12·山東)如圖,正方體AＢＣD-A1Ｂ１Ｃ1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別為線(xiàn)段AA１,B１C上的點(diǎn),則三棱錐Ｄ1-ＥDF的體積為_(kāi)_______．[一般解法]三棱錐D1-EDＦ的體積即為三棱錐F－DＤ1Ｅ的體積.因?yàn)镋,F分別為ＡA1,B１Ｃ上的點(diǎn)，所以在正方體ABCD-A１B1C1D1中△EDD1的面積為定值eｑ＼f(1，2）,F到平面ＡA1D1D的距離為定值1，所以＝eq\ｆ（１,３）×eq＼f(１,2)×１=eq\f(1，6).[優(yōu)美解法]E點(diǎn)移到A點(diǎn),F點(diǎn)移到C點(diǎn),則==ｅq\ｆ(１,3）×ｅq\f(1,2)×1×１×１＝eq＼ｆ（1,6).［答案]eq\f(1,6）（３）(2014·安徽）一個(gè)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的體積為()A.eq\f（23,3)B.eq\ｆ（4７，6)C．6Ｄ.７解析：選Ａ如圖,由三視圖可知,該幾何體是由棱長(zhǎng)為2的正方體從右后和左下分別截去一個(gè)小三棱錐得到的,其體積為V=8－2×ｅq＼f(1，3)×1×eq\f(1，２）×1×１=eq\f(2３,3).(４)(２014·山東)三棱錐P-ＡBＣ中,Ｄ,E分別為PB,PC的中點(diǎn),記三棱錐D-ABE的體積為V1,P-AＢC的體積為Ｖ２,則eq\f(V1,Ｖ2)＝__＿_(dá)____.解析如圖,設(shè)點(diǎn)C到平面PＡB的距離為h，三角形PAB的面積為Ｓ,則V2＝eq＼f(1,3）Sh,Ｖ１=ＶＥ-ADB=eq\f(1，3）×eq\ｆ(1,2)S×eq\f(1,2)ｈ＝eq\f（１,1２)Ｓｈ,所以eq\ｆ(Ｖ1,V2)=eq\f(1,4).(5)（２013·江蘇）如圖，在三棱柱A1Ｂ1C1-ＡＢＣ中,D,E，Ｆ分別是AＢ,AＣ,AA１的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F-ADE的體積為V１，三棱柱Ａ1B1Ｃ1－ＡBＣ的體積為V2,則Ｖ1∶V2＝＿_(dá)___＿_(dá)_.解析設(shè)三棱柱A1B1Ｃ1－ABC的高為ｈ,底面三角形ＡＢC的面積為S,則V1=eq\f（1,3)×eq\f（１,４）Ｓ·eq＼ｆ(１,2)h＝ｅｑ\f(１,24)Sｈ=eq\ｆ（1，２4）V２，即Ｖ１∶V2＝1∶2４.答案1∶24[例5]（1）(2０15·課標(biāo)Ⅰ)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書(shū)中有如下問(wèn)題:“今有委米依垣內(nèi)角,下周八尺,高五尺.問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一),米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺,米堆的高為5尺,問(wèn)米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.６２立方尺,圓周率約為３,估算出堆放的米約有()A.14斛B.2２斛Ｃ．36斛D.66斛解析B設(shè)圓錐的底面半徑為ｒ,∵ｅｑ\ｆ(1,4）×2πr＝8,∴r＝eｑ＼ｆ(16，π）,∴V=eq\f（1，４)×eq\f(1,３)×π×eq\f（162,π２)×5=eｑ＼ｆ(320，９)．設(shè)米堆共有ｘ斛,則１.６2x=eq\f(３２0，9),解得x≈22(斛).(2）(2015·江蘇)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為８的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè),則新的底面半徑為_(kāi)__＿_(dá)___.解析設(shè)新的底面半徑為r,根據(jù)題意得eq\f（１,3)π×5２×4+π×22×8＝eq＼f（１,3）πr2×４+8πr2,即2８r2＝1９６,∴ｒ=eq\r（7).【答案】eq\r(７）【變式訓(xùn)練】1.(2０1３廣東文)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積是()A．eq\f(1,6）B．eq\f(１,3)C.eq\f(２，３)D.【答案】Ｂ2.（2０16·天津）已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形,該四棱錐的三視圖如圖所示（單位:ｍ),則該四棱錐的體積為_(kāi)＿_(dá)＿_(dá)__＿ｍ3．解析依題意得,該四棱錐底面平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2,高為1.又依據(jù)正視圖知該四棱錐高為3,∴V四棱錐＝ｅq\f(1,3）S·h＝eq\f(1,3)×２×1×3=2(m３)．【答案】２３．（20１6·課標(biāo)Ⅰ)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑,若該幾何體的體積是eq\f(28π，3),則它的表面積是（)Ａ．１7πB.1８πC.20πD.28π解析A由三視圖可知該幾何體為球去掉一個(gè)ｅq＼f(1，8)球.設(shè)球的半徑為R,則Ｖ＝ｅq\f(7,8）×ｅq\f(4，３)πＲ３＝eq\f(28π，3),得Ｒ＝2.故其表面積Ｓ＝ｅq\f(７,8）×4πR2＋3×eq\f(1，4)×πＲ2＝１4π＋3π=17π．4.（２015·山東)在梯形AＢCD中,∠ABC＝eq\f（π,２),AD∥BC，BC＝2AD＝２AB＝2.將梯形AＢＣD繞ＡD所在的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A.eｑ\ｆ（2π,3)Ｂ.eq＼f（4π,３)C.ｅｑ\f(5π，3)Ｄ.2π解析如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE垂直AＤ所在直線(xiàn)于點(diǎn)E,梯形ABCD繞AＤ所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線(xiàn)段AB的長(zhǎng)為底面圓半徑,線(xiàn)段ＢＣ為母線(xiàn)的圓柱挖去以線(xiàn)段CE的長(zhǎng)為底面圓半徑,ＥＤ為高的圓錐，如圖所示,該幾何體的體積為Ｖ＝V圓柱-V圓錐＝π·AB2·ＢC－ｅq\f(1,3)·π·CＥ2·DＥ＝π×１2×２-ｅq\f(１，3)π×12×１=ｅq＼f（５π,３).5.(２014·山東)一個(gè)六棱錐的體積為2eq\ｒ(3),其底面是邊長(zhǎng)為２的正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等，則該六棱錐的側(cè)面積為_(kāi)＿＿_(dá)＿＿_(dá)＿.解析:由題意可知,該六棱錐是正六棱錐，設(shè)該六棱錐的高為h,則eq\ｆ(1,3)×６×ｅｑ\f（\r(3）,4)×22×ｈ=2eq＼ｒ(3),解得h=1,底面正六邊形的中心到其邊的距離為eｑ\r(3),故側(cè)面等腰三角形底邊上的高為eq\r(\r（3）2＋1)＝２,故該六棱錐的側(cè)面積為eq\f(１,2)×1２×２=12.答案:126．(2014·江蘇)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S１,S２,體積分別為V1,V2,若它們的側(cè)面積相等，且eq\f（S１，Ｓ２）=eq\f(９，4）,則eq\ｆ(V１,V2）的值是________．【解析】設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1,h1,r2,h2,由側(cè)面積相等，即２πｒ1ｈ1=２πr2ｈ2,得ｅq＼ｆ(ｈ1,h2)＝ｅq\ｆ(r2,r１)．又eｑ＼f(S1,S２)=eq\ｆ(πreq\o\al(2，1)，πrｅq\o＼aｌ(2,2))=eq\ｆ(9,4)，所以eq\ｆ(r１,ｒ２）＝eq＼f（３,2），則ｅq＼f(V1,V2)=eq\ｆ(πｒeq＼o\ａl（2，1）h１，πｒeq\o\ａl(２,2)ｈ2）＝eq\f(rｅq\o\aｌ(2,１),req\o＼ａｌ(2，2))·ｅq\f(h1,h2)=eq＼f(req\o＼al（2，1),req\o\al(2,２））·eq\f(r２,r1)＝eq\ｆ(r1，r2)＝eｑ＼ｆ(３,2）．【答案】eq\f(3，2）7.(２0１4·天津）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位:ｍ),則該幾何體的體積為_(kāi)_＿_(dá)__＿_(dá)m3．解析:該幾何體是一個(gè)組合體，上半部分是一個(gè)圓錐，下半部分是一個(gè)圓柱.因?yàn)閂圓錐＝eq\f(1,3)π×22×2=eq＼f(８π,３),V圓柱=π×12×4＝4π,所以該幾何體體積V＝ｅq\f(8π,3)＋4π=eq＼f(２０π,3)．答案：eq\f（20π,３)8.(2016·山東)一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A.eｑ\f(1,３)+ｅq\f(２,3)πB.eq\f（1，3)+eq\f(\r（２),3)πC.ｅｑ＼f(1,3)+ｅq\f(\r(2),6)πD.1+ｅq＼f(\r(２），6)π解析C由三視圖可知,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形,半球的直徑為eｑ\ｒ（１2＋１2)＝eq\r(2),所以四棱錐的體積為eq\f（1,3)×１2×１＝eq＼f(1,３)，半球的體積為eq\f(１,２)×ｅq\f(4,3)π×eｑ＼b\ｌc＼(＼rc\)（＼a＼ｖs4\ａl＼co1(\f(\ｒ(２),2）))eq＼s\ｕp12(3)＝eq\f(\r(2),6)π，所以此組合體的體積為eq\f(1，3)＋eq\f(\ｒ（2),6)π.9.(2０１3·浙江)若某幾何體的三視圖(單位：cm）如圖所示,則此幾何體的體積等于．答案２４cｍ31０.(201４·遼寧）某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()Ａ.8－2πＢ.8-πＣ.８-eq\f(π，2)D.8－eｑ＼f（π，4)解析：選Ｂ直觀圖為棱長(zhǎng)為2的正方體割去兩個(gè)底面半徑為1的eｑ\f(１,４)圓柱，所以該幾何體的體積為２3-2×π×12×2×eq＼ｆ(1,４)＝8-π.11.(２014·課標(biāo)Ⅱ文)正三棱柱ABC-Ａ1B１C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為eq＼ｒ(３)，D為ＢC中點(diǎn),則三棱錐A-B１DC1的體積為(）A.3B．eq\ｆ(3,２）C.1D.eq\f(\r(3）,2)【解析】如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C１中，∵ＡD⊥BC，∴ＡD⊥平面B1DC１，∴ＶA-Ｂ1DC1=eｑ\f(1,3)Ｓ△B1ＤC１·AD=ｅq＼f(1,3）×eq\ｆ（１,2）×2×eq\r(３)×eq\r(3)＝１,故選C.12.(2０15·課標(biāo)Ⅱ)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()Ａ.eｑ＼f(1，8)B．eq\f（1,７）Ｃ.eｑ\f(1，6)Ｄ.eq\f(1,５)解析D如圖所示為正方體被一個(gè)平面截去后剩余部分的幾何體.設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,∴eq\ｆ(VA-A１B1Ｄ１,V剩)＝eq＼f(＼ｆ(１，3)×＼f(１,２)a２·a,a3－\ｆ（1,３）×\f（1,2)a2·a)＝eq\ｆ(1,5).13．(2016·吉林長(zhǎng)春二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(）Ａ.ｅｑ＼ｆ(16,3)B.eq\f（20,3)Ｃ.eq\f(１5,2)D.eq＼f(13,2)解析D該幾何體可視為正方體截去兩個(gè)三棱錐所得，所以其體積為8-eq\f(４，3)-eq\ｆ(1,6)=ｅq\f(１3,2）.故選D．14.(2０1４課標(biāo)Ⅱ理）如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1cｍ）,圖中粗線(xiàn)畫(huà)出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為（）A.eq\ｆ(17,27)B．eq\f(5，9)C．ｅq＼f(10,27)Ｄ.eｑ\ｆ(１，３)【答案】C【解析】題型5:與球有關(guān)的切、接問(wèn)題【典型例題】[例1]（1)［20１7全國(guó)=２＼*RＯMAN\*MERGEFＯRＭATIＩ文]長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2，1,其頂點(diǎn)都在球O的球面上,則球O的表面積為_(kāi)____＿_(dá)_.解析：易知球O為長(zhǎng)方體的外接球,其直徑２R為長(zhǎng)方體體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)(2）(201３·福建）已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示,且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形,則該球的表面積是_____________＿.解析由三視圖知,棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)接于球，故正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2eq\ｒ(３)，即為球的直徑.所以球的表面積為Ｓ=4π·eq＼b\lｃ＼(\rc＼）(\a\vs4＼aｌ\co１(＼f(２\r(3),2）))2＝12π.(3)(2０14·陜西)已知底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為ｅq\r（2）的正四棱柱的各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上,則該球的體積為(）A.eｑ\f(32π,3)B.4πＣ．２πＤ.eq＼f(4π,３)解析:選Ｄ因?yàn)樵撜睦庵耐饨忧虻陌霃绞撬睦庵w對(duì)角線(xiàn)的一半,所以半徑r=eq\f（1,2)eq＼ｒ(１2＋12＋\r(2）2）=1,所以V球＝eq\ｆ（４π,3）×1３＝eq\ｆ(4π，3).故選D．[例2](1)（2０1５·山東臨沂模擬)四面體ＡBCＤ中,共頂點(diǎn)A的三條棱兩兩相互垂直，且其長(zhǎng)分別為2,3,4．若四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上,則這個(gè)球的表面積為＿＿_(dá)_____.【解析】依題意,原幾何體是一個(gè)三棱錐,可以看作一條棱與底面垂直且其長(zhǎng)度為３,底面是一個(gè)直角三角形,兩直角邊長(zhǎng)分別為２，4,這個(gè)幾何體可以看作是長(zhǎng)、寬、高分別為4，2,3的長(zhǎng)方體的一部分,則其外接球的半徑為R＝eｑ\f(1,2)eq\r(42＋22+32)＝ｅq\f(＼r(29）,２)，故這個(gè)球的表面積為Ｓ=4πＲ２=4πeq\b＼lc\（\ｒc\)（\ａ＼ｖｓ４\ａl\co1(\ｆ(\r（29),２））)eq\ｓ＼up12（２)=2９π.（2)(2013·遼寧)已知直三棱柱ABC－Ａ1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若ＡB=3，ＡC＝4,AＢ⊥AＣ，ＡA１＝12,則球O的半徑為()().A．eｑ\f(３＼ｒ(17),2)Ｂ.２ｅq\ｒ(10)C.eｑ\f(１3,２）D.3eq\r(10)解析因?yàn)樵谥比庵蠥B＝3,AC=4,AA1＝12，AB⊥ＡC，所以BC＝5,且BＣ為過(guò)底面ＡBC的截面圓的直徑，取BC中點(diǎn)D，則OＤ⊥底面ABC,則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi),矩形BCC１B1的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)即為球的直徑,所以2r＝eq\ｒ(122＋５2)＝１3,即r＝ｅq\f(１3,２).(3）已知正六棱柱的１2個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為3的球面上,當(dāng)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為eq\r(6）時(shí),其高的值為(）A．３eｑ\r(3)B．eq\ｒ(3）C.2eq\ｒ(６)D.2ｅq\r（3）解析:選D設(shè)正六棱柱的高為h,則可得(eq\ｒ（6））２＋eｑ\f（h２,4)＝32,解得h＝2eq\ｒ(3）．[例3](1)（２014·大綱)正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為２，則該球的表面積為()A.eq\f(81π,４)B．16πC.９πＤ.eq\f（27π,4）解析:選A如圖所示,設(shè)球半徑為R,底面中心為O′且球心為O,∵正四棱錐P-ＡBCD中AB＝２,∴AＯ′=eq\r（２).∵PO′＝4,∴在Rt△AOO′中，AO2=ＡO′２+OO′２，∴R2＝(eq\r(2))2+（4-Ｒ)2,解得R＝eq＼f(9，4),∴該球的表面積為4πR2＝4π×eq＼b＼ｌc\(\rc\)（＼a\vs4\al\cｏ1(＼f(9,４)))2=eq\ｆ(8１π,4),故選A.（2)（2016·江西南昌一模)一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如圖所示，則該幾何體的外接球半徑為()A．eq＼f(1,2）B.eｑ\f（\r(3)，１６)C．eq\f(＼r（1７),4)D．ｅq\f(17,4)[解析］D如圖所示，直觀圖為三棱錐P-ABC,AＢ⊥BC，平面ＰAC⊥平面ABＣ，過(guò)P作PＤ⊥AC于D,則D是ＡＣ的中點(diǎn),ＰD⊥平面AＢC，則外接球球心O在線(xiàn)段PＤ上.由三視圖得PD＝eq＼r(52－32)＝4,AC＝6eq\r(2)．設(shè)外接球的半徑為r,在直角三角形ＯDC中,由OＤ２=OC2－CD2得(4-r)2=r２－(３eq\r（2)）2,解得r＝eｑ\f(17,4）.（3)（20１5·長(zhǎng)春模擬)若一個(gè)正四面體的表面積為Ｓ1,其內(nèi)切球的表面積為S２,則eq\f(Ｓ1,Ｓ2)＝__＿＿_(dá)__＿.解析:設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為Ｓ１=4·eq\f（\r(３),4)·ａ2＝eq＼r(3)ａ2,其內(nèi)切球半徑為正四面體高的ｅq\f(1,４),即r＝eｑ\ｆ（1,４)·eq\ｆ(\r(６）,3)ａ=eq\ｆ(\r（６),12)ａ，因此內(nèi)切球表面積為S2=4πr２=eｑ\f（πa２，６),則eq\f(S1,S２)=eｑ\ｆ（\r(3)a２,\f（π,６)a2)=eq\ｆ(６\r(3),π).答案:ｅq＼f(6＼r(3),π)(4）[2０17全國(guó)=１\*ROMAN\*MERＧＥFORMATＩ文]已知三棱錐S-ＡBC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,SC是球O的直徑.若平面ＳCA⊥平面SCB,SA＝ＡC,ＳB=BC,三棱錐S-ＡBC的體積為９,則球O的表面積為_(kāi)＿＿_(dá)_＿_(dá)_.【答案】【解析】取的中點(diǎn),連接因?yàn)樗砸驗(yàn)槠矫嫫矫嫠云矫嬖O(shè)所以所以球的表面積為[例４](1)（20１2·課標(biāo)全國(guó))平面α截球Ｏ的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面α的距離為eｑ\r（２),則此球的體積為().Ａ.eｑ＼r(6）πＢ.4eｑ\r（3）πC．4eq\ｒ（6)πD.6eq\r（3)π解析如圖,設(shè)截面圓的圓心為Ｏ′,M為截面圓上任一點(diǎn)，則OＯ′＝ｅq＼r(2),Ｏ′M=1,∴OＭ＝eq＼r（＼r(２)2＋1)=eｑ\r(3),即球的半徑答案B為eq\ｒ(3),∴V=eq\f(4,3）π(eq\ｒ(3))3=4eq＼r(3)π．(2)(20１５·石家莊調(diào)研,)已知球O，過(guò)其球面上A,Ｂ,C三點(diǎn)作截面，若Ｏ點(diǎn)到該截面的距離是球半徑的一半，且AＢ＝BC＝2,∠B＝120°,則球O的表面積為(）A．eq＼f(64π，3)B.eq＼f(8π,３)Ｃ.４πD．eq\ｆ(16π,９)［解析］A由余弦定理,得AC＝eq＼r(22＋22－2×２×2×cｏｓ1２0°）=２eq\r（3）.設(shè)△ABC所在截面圓的半徑為ｒ,則2r＝eq\f(AC,sin120°)=eq\f（2\r(3)，sｉn1２0°)＝4,即ｒ＝２．∵O點(diǎn)到截面的距離是球半徑的一半,即ｄ＝eq＼f（Ｒ，2)，且d２+r2＝R2,∴eq＼b\lc＼(＼rc\)（\a＼vs４\aｌ\co1（\f(R,2)))eq\s＼up１2(2)+4＝R2，即R2=ｅｑ\f(1６,3).∴Ｓ球=４πＲ2=4π×ｅq\ｆ(１6,3)=eq\f(64π,3）.(3)(20１5·云南一模)一個(gè)圓錐過(guò)軸的截面為等邊三角形,它的頂點(diǎn)和底面圓周在球Ｏ的球面上,則該圓錐的體積與球Ｏ的體積的比值為_(kāi)____＿＿＿.[解析]設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2ａ,則V圓錐＝eq\ｆ(1，3)·πａ2·eｑ\r（3)a=eq＼f(\ｒ(3),3)πa３;又R2=ａ２＋（eq\r（３)a－Ｒ)2,所以R=eq＼f(２\r（3),3）a,故V球＝eq\f（4π,3）·eq＼ｂ＼lc\(＼rｃ\)(\a\vs4＼al＼cｏ１(\f(２＼r(3)，3)ａ)）3=ｅq＼f(3２\r（3)π，27)a3,則其體積比為ｅq\f（9,3２).答案:eq\ｆ（9，32)（４)已知球的直徑SC＝