解析版九年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)試卷

九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷附參考答案

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題

意的.

1.已知乜=2則x的值是（）

x5

A.B.KC.心D.-2

321015

2.已知0O的半徑是4,OP=3,則點(diǎn)P與。O的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在圓內(nèi)B.點(diǎn)P在圓上C.點(diǎn)P在圓外D.不能確定

3.如圖，在RSABC中，ZC=9O%AB=5,BC=4,則sinB的值是（）

4.如果反比例函數(shù)丫=迪在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是（）

X

A.m<0B.m>0C.m<-ID.m>-1

5.如圖，。0是△ABC的外接圓，若NAOB=100。，則NACB的度數(shù)是（）

A.40°B.5O℃.60°D.80°

6.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上分別刻有1、2、3、4、5、6的點(diǎn)數(shù)，擲這個(gè)骰

子一次，則擲得面朝上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是（）

A.』B.1c.2D.2

4623

7.將拋物線y=5x2先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到新的拋物線，則新拋

物線的表達(dá)式是（）

A.y=5（x+2）2+3B.y=5（x-2）2+3C.y=5（x-2）2-3D.y=5（x+2）2-3

8.如圖，等邊△ABC邊長為2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度，沿

AfBTC3A的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，y=PC,則y關(guān)于x函數(shù)

的圖象大致為（）

二、填空題：（本題共16分，每小題4分）

9.扇形的半徑為9,且圓心角為120。，則它的弧長為.

10.三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成影子（如圖所示）.現(xiàn)測(cè)得OA=20cm,OA^Ocm,

這個(gè)三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比是.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a*0）的對(duì)稱軸是直線x」，在

3

下列結(jié)論中，唯一正確的是.（請(qǐng)將正確的序號(hào)填在橫線上）

①a<0；②cV-l；③2a+3b=0；（4）b2-4ac<0；⑤當(dāng)x=2時(shí)，y的最小值為空

39

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD頂點(diǎn)A(-1,-1)、B(?3,-1).我

們規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移2個(gè)單位”為一次變換.

(1)如果正方形ABCD經(jīng)過1次這樣的變換得到正方形AiBiCiDi,那么Bi的坐標(biāo)

是.

(2)如果正方形ABCD經(jīng)過2014次這樣的變換得到正方形A2014B2014c2014D2014,那么B2014

的坐標(biāo)是.

J'A

4-

3-

2-

1-

^3-2-1」012344

C------￡?■

三、解答題：(本題共30分，每題5分)

13.計(jì)算：tan300-cos600xtan45tt-sin300.

14.已知拋物線y=x?-4x+3.

(1)用配方法將y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式:

(2)求出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)：

(3)直接寫出當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)yVO.

15.如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且NABONACD.

(1)求證：△ACD~△ABC；

(2)若AD=3,AB=7,求AC的長.

16.如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂部B的仰角為45。，看這棟高樓

底部C的俯角為60。，熱氣球與底樓的水平距離AD為20m,求這棟樓的高度.(結(jié)果保留

根號(hào))

17.如圖，AB是。0的直徑，CD是。0的一條弦，且CD_LAB于點(diǎn)E.

(1)求證：ZBCO=ZD；

(2)若CD=4^,AE=2,求。0的半徑.

18.如圖，一次函數(shù)丫=10<+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)產(chǎn)工的圖象的一個(gè)交點(diǎn)

x

為A(2,3).

(1)分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)過點(diǎn)A作AC_Lx軸，垂足為C,若點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且APBC的面積等于

四、解答題：(本題共20分，每題5分)

19.如圖，在銳角△ABC中，AB=AC,BC=10,sinA=W

5

⑴求tanB的值;

(2)求AB的長.

A

B

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)(?3,0)和(I,0).

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在給定的坐標(biāo)系中，畫出此勉物線；

(3)設(shè)拋物線頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A,記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G.點(diǎn)

B是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，如果直線AB與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫

出點(diǎn)B縱坐標(biāo)t的取值范圍.

21.如圖，在AABC,AB=AC,以AB為直徑的0O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,且BF是

OO的切線，BF交AC的延長線于F.

(1)求證：NCBF=lzCAB.

2

(2)若AB=5,sin/CBF=立，求BC和BF的長.

22.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=3,PB=4,PC=5,

求NAPB度數(shù).

小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△APC,連接PP,得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將

問題解決(如圖2).

請(qǐng)回答：圖1中NAPB的度數(shù)等于,圖2中NPPC的度數(shù)等于.

參考小明思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-“，1),連接A0.如果點(diǎn)B是x軸

上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC.當(dāng)C(x,y)在第一象限內(nèi)時(shí)，求y與x之

間的函數(shù)表達(dá)式.

五、解答題：(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)

23.已知關(guān)于x的方程mx2+(3m+l)x+3=0(m*0).

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值；

(3)在(2)的條件下，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx?+(3m+l)x+3的圖象在x軸下方的部

分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：

當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍.

24.矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處.

(1)如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)0,連接AP、OP、0A.

①求證：△OCP，△PDA；

②若4OCP與APDA的面積比為1：4,求邊AB的長.

(2)如圖2,在(1)的條件下，擦去AO和OP,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上(不與點(diǎn)

P、A重合)，動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME±BP

于點(diǎn)E.試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線

段EF的長度；若變化，說明理由.

BAB

圖1圖2

25.我們規(guī)定：函數(shù)y=也^（a、b、k是常數(shù)，k*ab）叫奇特函數(shù).當(dāng)a=b=O時(shí)，奇特函

x+b

數(shù)丫=空把就是反比例函數(shù)y=W（k是常數(shù)，Q0）.

x+bx

（1）如果某一矩形兩邊長分別是2和3,當(dāng)它們分別增加x和y后,得到新矩形的面積為8.求

y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并判斷它是否為奇特函數(shù)；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（6,0）、（0,

3）,點(diǎn)D是OA中點(diǎn)，連接OB、CD交于E,若奇特函數(shù)yW生的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、E,求

x-4

該奇特函數(shù)的表達(dá)式；

（3）把反比例函數(shù)y=Z的圖象向右平移4個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位就可得

x

到（2）中得到的奇特函數(shù)的圖象；

（4）在（2）的條件下，過線段BE中點(diǎn)M的一條直線1與這個(gè)奇特函數(shù)圖象交于P,Q兩

點(diǎn)（P在Q右側(cè)），如果以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的

坐標(biāo).

2014-2015學(xué)年北京市門頭溝區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試

卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本題共32分，每小題4分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題

意的.

1.己知乜=2,則x的值是（）

x5

考點(diǎn)：比例的性質(zhì).

專題：計(jì)算題.

分析：根據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積得到2x=15,然后解一次方程即可.

解答：解：?.?12

X5

..2x=15,

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查了比例的基本性質(zhì)，比較簡單.

2.已知OO的半徑是4,0P=3,則點(diǎn)P與OO的位置關(guān)系是（）

A.點(diǎn)P在圓內(nèi)B.點(diǎn)P在圓上C.點(diǎn)P在圓外D.不能確定

考點(diǎn)：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

分析：點(diǎn)在圓上，則（1=「；點(diǎn)在圓外，d>r；點(diǎn)在圓內(nèi)，d〈r（d即點(diǎn)到圓心的距離，i?即

圓的半徑）.

解答：解：???OP=3V4,故點(diǎn)P與的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓內(nèi).

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，注意掌握點(diǎn)和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系

是解決問題的關(guān)鍵.

3.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AB=5,BC=4,則sinB的值是（）

考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義.

分析：首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后利用正弦函數(shù)的定義即可求解.

解答；解；?.?在RsABC中，zC=90%AB=5,BC=4,

**-AC=7AB2-BC^VB2-4S=3,

sinB=絲二旦

AB5

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定

義，轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊長的比.

4.如果反比例函數(shù)丫=過1在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是（）

x

A.m<0B.m>0C.m<-1D.m>-1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的性質(zhì).

分析：如果反比例函數(shù)y=E里在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，那么m的取值范圍是

x

()

解答：解：???反比例函數(shù)丫=迫的圖象在所在象限內(nèi)，y的值隨x值的增大而減小，

x

m+l>0,解得m>-1.

故選D.

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟知反比例函數(shù)的增減性是解答此題的關(guān)鍵.

5.如圖，。0是△ABC的外接圓，若NAOB=100。，則NACB的度數(shù)是()

A.40。B.50℃.60°D.80。

考點(diǎn)：圓周角定理.

分析：己知。O是^ABC的外接圓，ZAOB=IOO\根據(jù)圓周角定理可求得NACB的度數(shù).

解答：解：???。0是△ABC的外接圓，ZAOB=100°,

/.ZACB=izAOB=lxl00o=50°.

22

故選B.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的

圓心角的一半.

6.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面上分別刻有1、2、3、4、5、6的點(diǎn)數(shù)，擲這個(gè)骰

子一次，則擲得面朝上的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率是()

A.1B.1C.1D.1

4623

考點(diǎn)：概率公式.

分析：先統(tǒng)計(jì)出奇數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，再根據(jù)概率公式解答.

解答：解：???正方體骰子共六個(gè)面，點(diǎn)數(shù)為1,2,3,4,5,6,奇數(shù)為1,3,5,

二.點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)的概率為：義工.

62

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了概率公式，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

7.將拋物線y=5x2先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到新的拋物線，則新拋

物線的表達(dá)式是()

A.y=5(x+2)2+3B.y=5(x-2)2+3C.y=5(x-2)2-3D.y=5(x+2)2-3

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與幾何變換.

專題：幾何變換.

分析：先確定拋物線y=5x?的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（o,0）,再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（0,0）平

移后所得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫出平移后的拋物線解析式.

解答：解：拋物線y=5x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,0）,把點(diǎn)（0,0）向左平移2個(gè)單位，再向上

平移3個(gè)單位后得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（?2,3）,所以新拋物線的表達(dá)式是y=5（x+2）2+3.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，

所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法:一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的

坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式.

8.如圖，等邊△ABC邊長為2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度，沿

A->B->C->A的方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，y=PC,則y關(guān)于x函數(shù)

的圖象大致為（）

考點(diǎn)：動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖象.

分析：分段討論，當(dāng)04x42時(shí)，作PQJ_AC,根據(jù)銳角三角函數(shù)和勾股定理求出AQ、PQ、

CQ、PC2；當(dāng)2VxV4時(shí)，PC在BC上，是一次函數(shù)；當(dāng)4VxW6時(shí)，PC在AC上，是一

次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式分析即可得出結(jié)論.

解答：解：當(dāng)04x42時(shí)，作PQ_LAC,

/AP=x,ZA=60°

/.CQ=2-=

2

PC=7PQ2+CQ2=7X2-2X+4:

/.PC2=x2-2x+4=(x-1)2+3；

當(dāng)2VxV4時(shí)，PC=4-x,

當(dāng)4VxS6時(shí)，PC=2-(6-x)=x-4,

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題的函數(shù)圖形，分段討論，列出每段函數(shù)的解析式是解決問

題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本題共16分，每小題4分）

9.扇形的半徑為9,且圓心角為120。，則它的弧長為6N

考點(diǎn)：弧長的計(jì)算.

分析：直接利用弧K的計(jì)算公式計(jì)算即可.

解答：解：弧長是：120兀X9=6n.

180

故答案是：6Tt.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弧長的計(jì)算公式，正確記憶公式是關(guān)鍵.

10.三角尺在燈泡O的照射下在墻上形成影子（如圖所示）.現(xiàn)測(cè)得OA=20cm,OA?50cm,

這個(gè)三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比是2：5.

考點(diǎn);相似三角形的應(yīng)用.

分析:由題意知三角尺與其影子相似，它們周長的比就等于相似比.

解答:解...0A__20_工

:-0A'二50萬

???三角尺的周長與它在墻上形成的影子的周長的比是Z

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的周長的比等于相似比.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c（a*0）的對(duì)稱軸是直線x=],在

下列結(jié)論中，唯一正確的是⑶⑤.（請(qǐng)將正確的序號(hào)填在橫線上）

①aVO；②cV-1；③2a+3b=0；（4）b2-4ac<0：⑤當(dāng)x=」時(shí)，y的最小值為生二J.

39

考點(diǎn)：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口方向即可判斷A；由二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)位置即

可判斷B；把x=-1代入二次函數(shù)的解析式即可判斷C；根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸即可求出D.

解答：解：①???二次函數(shù)的圖象開口向上，

/.a>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

②.,二次函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)在點(diǎn)(0,-1)的上方，

c>-1,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

③、?.,二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線x=」，

3

..一b_1l,

2a3

-3b=2a?

2a+3b=0,故本選項(xiàng)正確；

④」二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

b2-4ac>0,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

⑤;二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線x=l,

3

...Ib,I——l,

2a3

-3b=2a?b=--=a>

3

「?y岐小值=』a+工+c=當(dāng)+1(-4)+c=^--：

939339

即y的最小值為史二W,故本選項(xiàng)正確：

9

故答案為：③⑤.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，題目具有一定的代表性，是一道比較好

的題目，注意用了數(shù)形結(jié)合思想，二次函數(shù)的圖象開口方向決定a的符號(hào)，二次函數(shù)的圖形

與y軸的交點(diǎn)位置決定c的符號(hào)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸是直線x=」得出-上」，

32a3

把x=g代入y=ax2+bx+c(a*0)得出y=-ia+-ib+c等等.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD頂點(diǎn)A(-1,-1)>B(-3,-1).我

們規(guī)定“把正方形ABCD先沿x軸翻折，再向右平移2個(gè)單位〃為一次變換.

（1）如果正方形ABCD經(jīng)過1次這樣的變換得到正方形AiBiCiDi,那么Bi的坐標(biāo)是（?

1,1）.

（2）如果正方形ABCD經(jīng)過2014次這樣的變換得到正方形A20I4B2014C20I4D2014,那么B2014

的坐標(biāo)是（4025,-1）.

方3?2-11。1234%

耳

考點(diǎn)：規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo).

分析：（I）把正方形ABCD先沿x軸翻折，則點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，得到B點(diǎn)的坐標(biāo)為：

（-3,I）,再向右平移2個(gè)單位”后點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（-3+2,1）,即Bi（-1,1）.

（2）首先由正方形ABCD,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-1,-1）、（-3,-1）,然后根據(jù)題

意求得第1次、2次、3次變換后的點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得規(guī)律：第n次變換后的點(diǎn)

B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為（2n?3,1）,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為（2n-3,-1）,繼而求得

把正方形ABCD經(jīng)過連續(xù)2014次這樣的變換得到正方形AECD,則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐

標(biāo).

解答：解：（1）,.,正方形ABCD,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（?1,-l）、（-3,-1）,

「?根據(jù)題意得：第1次變換后的點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3+2,1）,即Bi（-1,1）,

（2）第2次變換后的點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（-1+2,-1）,即（1,-1）,

第3次變換后的點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（1+2,1）,即（3,1）,

第n次變換后的點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為（2n?3,1）,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為（2n?

3,-1）,

「?把正方形ABCD經(jīng)過連續(xù)2014次這樣的變換得到正方形A，B，CD一則點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B，

的坐標(biāo)是：（4025,-1）.

故答案為:（-L1）；（4025,-1）.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)稱與平移的性質(zhì).此題難度較大，屬于規(guī)律性題目，注意得到規(guī)律；

第n次變換后的點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為（2n-3,1）,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為（2n

-3,是解此題的關(guān)鍵.

三、解答題：（本題共30分，每題5分）

13.計(jì)算：tan300-cos600xtan45°-sin30°.

考點(diǎn):特殊角的三角函數(shù)值.

將tan30°="cos600=—,tan45°=l,sin30?！狗謩e代入運(yùn)算，然后合并即可得出答

分析:

322

案.

原式q?—與xieq.

解答:解:

點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值

是關(guān)鍵.

14.已知拋物線y=x?-4x+3.

(1)用配方法將y=x2-4x+3化成y=a(x-h)2+k的形式；

(2)求出該拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)直接寫出當(dāng)x滿足什么條件時(shí)，函數(shù)yVO.

考點(diǎn)：二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的性質(zhì).

分析：(1)由于二次項(xiàng)系數(shù)是1,所以直接加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式,

把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

(2)根據(jù)二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對(duì)稱軸為x=h求解即可；

(3)先求出方程x2?4x+3=0的兩根，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

解答：解：(1)y=x2-4x+3=(x2-4x+4)-4+3=(x-2)2-1；

(2)-/y=(x-2)2-1,

.,?對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)；

(3)解方程x?-4x+3=0,得x=l或3.

/y=x2-4x+3,a=l>0,

.??拋物線開口向上，

當(dāng)1VXV3時(shí)，函數(shù)yVO.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中.利用配方法

將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且NABO/ACD.

(1)求證：△ACD-△ABC；

(2)若AD=3,AB=7,求AC的長.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

分析：(1)根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似即可證明^ADO△ACB；

(2)根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得出AC：AB=AD：AC,即AC2=AB?AD,將數(shù)值代

入計(jì)算即可求出AC的長.

解答：(1)證明：在AADC與AACB中，

,/NABC=ZACD,ZA=ZA,

△ACD-△ABC；

(2)解：△ACD-△ABC,

/.AC：AB=AD：AC,

/.AC2=AB*AD,

.AD=2,AB=7,

/.AC2=7X2=14,

AC=V14-

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：

①如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似(簡

敘為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似)；

②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例.

16.如圖，熱氣球的探測(cè)器顯示，從熱氣球看一棟高樓的頂部B的仰角為45。，看這棟高樓

底部C的俯角為60。，熱氣球與高樓的水平距離AD為20m,求這株樓的高度.(結(jié)果保留

根號(hào))

考點(diǎn)：解直.角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題.

分析：在RSABD中，求出BD,在RSACD中，求出CD,二者相加即為樓高BC.

解答：解：在RtAABD中，ZBDA=90°,ZBAD=45°,

BD=AD=20.

在RSACD中，ZADC=90°,ZCAD=60°,

CD=V3AD=2OV3.

/.BC=BD+CD=20+2(h/3(m).

答：這棟樓高為(20+20加)m.

點(diǎn)評(píng)；本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，將原三角形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

17.如圖，AB是OO的直徑，CD是。0的一條弦，且CD_LAB于點(diǎn)E.

(1)求證：ZBCO=ZD；

(2)若8=嗨,AE=2,求。O的半徑.

考點(diǎn)：圓周角定理；勾股定理：垂徑定理.

專題：計(jì)算題.

分析：(1)由OB=OC,利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由同弧所對(duì)的圓周角相等得

到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；

(2)由弦CD與直徑AB垂直，利用垂徑定理得到E為CD的中點(diǎn)，求出CE的長，在直

角三角形OCE中，設(shè)圓的半徑OC=r,OE=OA-AE,表示出OE,利用勾股定理列出關(guān)于r

的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑r的值.

解答：(1)證明：如圖.

??OC=OB,

/.ZBCO=ZB.

.ZB=ZD,

..ZBCO=ZD；

(2)解：:AB是OO的直徑，且CD_LAB于點(diǎn)E,

/.CE=kD44心2加，

22

在Rt/kOCE中，OC2=CE2+OE2,

設(shè)。0的半徑為r,則OC=r,OE=OA-AE=r-2,

/.i2-(2V2)2十(i-2)2,

解得：r=3,

「?OO的半徑為3.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及圓周角定理，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.

18.如圖，一次函數(shù)丫=1?+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=工的圖象的一個(gè)交點(diǎn)

X

為A(2,3).

(I)分別求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)過點(diǎn)A作AC_Lx軸，垂足為C,若點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上，且APBC的面積等于

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題；三角形的面積.

專題：計(jì)算題.

分析：(1)先將點(diǎn)A(2,3)代入反比例函數(shù)產(chǎn)工和一次函數(shù)y=kx+2,求得m、k的值,

(2)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),由SAPBC=18,即可求得X,y的值.

解答：解：(1)把A(2,3)代入y=三，二"1』.

x

y=—.（1分）

X

把A（2,3）代入y=kx+2,

2k+2=3./.k《.

,?y=[x+2，（2分）

(2)令4共2二0，解得x=-4,即B(-4,0).

2

■/AC±x軸，C(2,0).

??BC=6.(3分)

設(shè)P(x,y),

*'SAPBC=』?BC，|yI=18，

2

yi=6或y2=-6.

分別代入yj中，

得X|=l或X2=-1.

...Pi(1,6)或P2(?L-6).(5分)

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用待定系數(shù)法求解析式是解此題

的關(guān)鍵.

四、解答題：(本題共20分，每題5分)

19.如圖，在銳角△ABC中，AB=AC,BC=10,sinA=2

5

(1)求tanB的值；

(2)求AB的長.

考點(diǎn)：解直角三角形.

專題：計(jì)算題.

分析：（1）過點(diǎn)C作CD_LAB,垂足為D,設(shè)CD=3k,則AB=AC=5k,繼而可求出BD=k,

從而求出tanB的值；

（2）在RSBCD中，先求出BC=V1a=1。，求出k的值，繼而得出AB的值.

解答：解：（1）過點(diǎn)C作CD_LAB,垂足為D,（1分）

鼠”分,

在RSACD中，sinA二

設(shè)CD=3k,則AB=AC=5k,（1分）

AD=7AC2-CD2=V（5k）2-（3k）2=4k-。分）

在△BCD中，/BD=AB-AD=5k-4k=k.（1分）

.TanB塔丹二3.（1分）

DUK

（2）在RsBCD中，BOdBD2+CD2二必俞二伍k，（】分）

,.BC=10,?.J15k=10.（1分）

（1分）

AB=5k=5Vlb.（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形的知識(shí)，過點(diǎn)C作CD_LAB,構(gòu)造直角三角形是關(guān)鍵.

20.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（?3,0）和（1,0）.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在給定的坐標(biāo)系中，畫出此勉物線；

（3）設(shè)拋物線頂點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A,記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G.點(diǎn)

B是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，如果直線AB與圖象G有公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫

出點(diǎn)B縱坐標(biāo)t的取值范圍.

1

考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的性質(zhì).

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；

（2）正確畫出圖形；

（3）通過圖象可以看出點(diǎn)B縱坐標(biāo)t的取值范圍.

解答：解：（1）?.?拋物線y=-x〃bx+c經(jīng)過點(diǎn)（-3,0）和（1,0）.

.-9-3b+c=0

…-l+b+c=0'

解得產(chǎn)-2,

,c=3

:?拋物線的表達(dá)式為y=-x2-2x+3.

（2）此拋物線如圖所示.

由圖象可知點(diǎn)B縱坐標(biāo)t的取值范圍為2V區(qū)4.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，以及畫圖的能力和識(shí)別圖形的能力，要熟練掌握.

21.如圖，在AABC,AB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,且BF是

。。的切線，BF交AC的延長線于F.

（1）求證：ZCBF=lzCAB.

2

考點(diǎn)：切線的性質(zhì).

分析：（1）連接AE,由圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合切線的性質(zhì)可證得

ZCBF=ZBAE,可證得結(jié)論；

（2）由（1）結(jié)論結(jié)合正弦值，在RSABE中可求得BE,可求出BC,過C作CM_LBF,

在RtABCM中可求得BM,CM,再利用平行線分線段成比例可求得BF.

解答：（1）證明：如圖1,連結(jié)AE.

VAB是。0的直徑,

/.ZAEB=90°,

ZBAE」/BAC.

2

???BF是。0的切線,

?.ZCBF=ZBAE,

/.ZCBF=lzCAB.

2

(2)解：由(1)可知NCBF=NBAE,

/.sinzBAE=sinZCBF=近，

5

在RtAABE中，SinzBAE理，

AB

.BE_V5

??-9

55

BE=V5?

BC=2M，

如圖2,過C作CM_LBF于點(diǎn)M,

,解得CM=2,由勾股定理可求得BM=4,

又「ABIICM,

??''9

ABBF

即幺”二1,解得BF=&.

5BF3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義等知識(shí)點(diǎn)，掌握弦

切角定理及三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，注意平行線分線段定理的應(yīng)用.

22.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=3,PB=4,PC=5,

求NAPB度數(shù).

小明發(fā)現(xiàn)，利用旋轉(zhuǎn)和全等的知識(shí)構(gòu)造△APC,連接PP,得到兩個(gè)特殊的三角形，從而將

問題解決（如圖2）.

請(qǐng)回答：圖1中NAPB的度數(shù)等于150。，圖2中NPPC的度數(shù)等于90。.

參考小明思考問題的方法，解決問題：_

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-J5，1）,連接AO.如果點(diǎn)B是x軸

上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等邊三角形ABC.當(dāng)C（x,y）在第一象限內(nèi)時(shí)，求y與x之

間的函數(shù)表達(dá)式.

考點(diǎn)：幾何變換綜合題.

分析：閱讀材料:把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACP,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得PA=PA,

PC=PB,NPAP=60。,然后求出4APP是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出PP=PA=3,

NAPP=60。，再利用勾股定理逆定理求出/PP'C=90。，然后求出NAPC,即為/APB的度

數(shù)；再利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)得出DF=J或F,進(jìn)而得出函數(shù)

解析式即可.

解答：解：閱讀材料：把△APB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ACPT

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，PZA=PA=3,PD=PB=4,NPAP=60。，

△APP是等邊三角形，

/.PP'=PA=3,ZAPT=60°,

..PP*2+FC2=32+42=25,PC2=52=25,

.pp.2+p，c2=pc2

/.ZPPC=90°,

zAP'C=/APP+NPP'C=600+90°=150°；

故NAPB=ZAP'C=150°；

故答案為：150。；90。；

如圖3,在y軸上截取OD=2,作CF_Ly軸于F,AE_Lx軸于E,連接AD和CD,

?.?點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-返，1),

tanzAOE=［證,

V33

AO=OD=2,ZAOE=30。，

/.ZAOD=60°.

△AOD是等邊三角形，

又△ABC是等邊三角形，

AB=AC,ZCAB=ZOAD=60°,

/.ZCAD=ZOAB,

△AD8△AOB.

/.ZADC=ZAOB=150%又「ZADF=120°,

/.ZCDF=30°.

DF=V3CF-

-C(x,y)且點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，

/.y-2=V3x，

/.y=V^x+2(x>0).

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理以及勾股定

理逆定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出直角三角形與全等三角形是解

題的關(guān)鍵.

五、解答題：(本題共22分，第23題7分，第24題7分，第25題8分)

23.已知關(guān)于x的方程mx。(3m+l)x+3=0(m*0).

(1)求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值；

(3)在(2)的條件下，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2+(3m+l)x+3的圖象在x軸下方的部

分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請(qǐng)結(jié)合這個(gè)新的圖象回答:

當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍.

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

分析:(1)利用方程mx2+(3m+l)x+3=0(m*0)的△判定即可；

(2)由求根公式，得xi=-3,x2=-再由方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)，可

n

得m的值；

(3)正確畫出圖形，分兩種情況求解即可.

解答：(1)證明：???mwO,

/.mx2+(3m+l)x+3=O是關(guān)于x的一元二次方程.

△=(3m+l)2-12m

=(3m-1)2.

,/(3m-1)2^O,

」?方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

(2)解：由求根公式，得xi=-3,X2=-1.

n

二?方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)，

m=l.

(3)解：?.m=l時(shí)，

/.y=x2+4x+3.

「?拋物線y=x?+4x+3與x軸的交點(diǎn)為A(-3,0)、B(-1,0).

依題意翻折后的圖象如圖所示，

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，可得b=3.

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，可得b=l.

/.l<b<3.

當(dāng)直線y=x+b與y=-x2-4x-3

的圖象有唯一公共點(diǎn)時(shí)，

可得x+b=-x2-4x-3,

x2+5x+3+b=0,

/.△=52-4(3+b)=0,

/.b=V.

4

b>至

4

綜上所述，b的取值范圍是l〈bV3,b>M

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是觀察、分析、正確的畫出二次函

數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)介解決問題.

24.矩形ABCD一條邊AD=8,將矩形ABCD折疊，使得點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)P處.

（1）如圖1,已知折痕與邊BC交于點(diǎn)0,連接AP、OP、0A.

①求證：△OCP"△PDA：

②若△0CP與△PDA的面積比為1：4,求邊AB的長.

（2）如圖2,在（1）的條件下，擦去A0和0P,連接BP.動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上（不與點(diǎn)

P、A重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段AB的延長線上，且BN=PM,連接MN交PB于點(diǎn)F,作ME_LBP

于點(diǎn)E.試問動(dòng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若不變，求出線

段EF的長度；若變化，說明理由.

考點(diǎn)：相似形綜合題.

分析：（1）①先證出/C=ZD=90°,再根據(jù)N1+Z3=90。，Z1+z2=90%得出N2=z3,

即可證出^OCPs△PDA：

②根據(jù)AOCP與APDA的面積比為1：4,得出CP=,AD=4,設(shè)OP=x,則CO=8?x,由

勾股定理得x2=（8-x）2+42,求出x,最后根據(jù)AB=20P即可求出邊AB的長；

（2）作MQIIAN,交PB于點(diǎn)Q,求出MP=MQ,BN=QM,得出MP=MQ,根據(jù)ME_LPQ,

得出EQ=1PQ,根據(jù)NQMF=/BNF,證出aMFQ合4NFB,得出QF=2QB,

22

再求出EF弓PB,由（1）中的結(jié)論求出PB=J^7]=4遙，最后代入EF=,PB即可得出

線段EF的長度不變.

解答：解：（1）①如圖1,???四邊形ABCD是矩形，

/.ZC=ZD=90。，

z1+z3=90°,

,/由折疊可得NAPO=ZB=90°,

...z1+z2=90°,

Z2=Z3,

又=ZD=ZC,

」.△OCP-&PDA；

②如圖1,「△OCP與△PDA的面積比為1：4,

?OP_CP_fl=l

"PADTV!工

：.CP=」AD=4,

2

設(shè)OP=x,則CO=8-x,

在RtAPCO中,zC=90°,

由勾股定理得x2=(8-x)2+42,

解得：x=5>

AB=AP=2OP=10,

.?.邊AB的長為10；

(2)作MQIIAN,交PBF點(diǎn)Q,如圖2,

AP=AB,MQIIAN,

NAPB二NABP二NMQP.

MP=MQ,

,/BN=PM,

/.BN=QM.

/MP=MQ,ME_LPQ,

EQ」PQ.

2

???MQIIAN,

?.ZQMF=ZBNF,

在41^^(2和4NFB中，

'NQFM=NNFB

<ZQMF=ZBNF，

MQ=BN

「.△MFQ標(biāo)&NFB(AAS).

/.QF=&B,

2

EF=EQ+QF=』PQ+&B」PB,

222

由(1)中的結(jié)論可得：PC=4,BC=8,ZC=90%

?.PB=482+4

EF=3PB=2M，

???在(1)的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2造.

圖1

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的

判定與性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是做出輔助線，找出全等和相似的三角形.

25.我們規(guī)定：函數(shù)y=空上（a、b、k是常數(shù)，k*ab）叫奇特函數(shù).當(dāng)a=b=O時(shí)，奇特函

x+b

數(shù)丫=空見就是反比例函數(shù)丫=上（k是常數(shù)，k#0）.

x+bx

（1）如果某一矩形兩邊長分別是2和3,當(dāng)它們分別增加x和y后,得到新矩形的面積為8.求

y與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并判斷它是否為奇特函數(shù)；

（2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為（6,0）、（0,

3）,點(diǎn)D是OA中點(diǎn)，連接OB、CD交于E,若奇特函數(shù)yW生的圖象經(jīng)過點(diǎn)B、E,求

x-4

該奇特函數(shù)的表達(dá)式；

（3）把反比例函數(shù)y=2的圖象向右平移4個(gè)單位，再向上平移，個(gè)單位就可得到（2）

中得到的奇特函數(shù)的圖象；

（4）在（2）的條件下，過線段BE中點(diǎn)M的一條直線1與這個(gè)奇特函數(shù)圖象交于P,Q兩

點(diǎn)（P在Q右側(cè)），如果以B、E、P、Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為16,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的

坐標(biāo).

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義;

平行四邊形的判定與性質(zhì)；中心對(duì)稱圖形.

專題：壓軸題；新定義.

分析：(1)只需運(yùn)用矩形的面積公式就可求出函數(shù)關(guān)系式，從而解決問題：

(2)可先求出直線0B和直線CD的解析式，求出它們的交點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后只需運(yùn)用待

定系數(shù)法就可解決問題：

(3)只需將(2)中所求的奇特函數(shù)y二在二9轉(zhuǎn)化為y=2+—?一,就可解決問題；

x_4x_4

(4)將坐標(biāo)原點(diǎn)平移到點(diǎn)M的位置，構(gòu)建新的坐標(biāo)系，在新的坐標(biāo)系中，分點(diǎn)P在點(diǎn)B

的左邊和右邊兩種情況討論，只需先求出點(diǎn)P在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，就可求出點(diǎn)P在原坐

標(biāo)系下的坐標(biāo).

解答：解：(1)由題意得：(2+x)(3+y)=8.

即3+y二——,

x+2

,8Q-3x+2

..y=-^--3=------.

x+2x+2

根據(jù)定義，丫=二^2是奇特函數(shù).

x+2

(2)如圖1,

圖1

由題意得：B(6,3)、D(3,0),

設(shè)直線OB的解析式為y=mx,

則有6m=3,

解得：m二」，

2

直線OB的解析式為y='x.

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,

f3k+b=0

lb=3，

解得：產(chǎn)二一1,

lb二3

直線CD的解析式為y=-x+3.

1

V2--Y

解方程組｛2，得

y=-x+3

產(chǎn)

Iy=l

二.點(diǎn)E(2,1).