第43練離散型隨機(jī)變量的分布列均值方差（原卷版）

第43練離散型隨機(jī)變量的分布列、均值、方差一、課本變式練1.（人A選擇性必修三P60習(xí)題7.2T2變式）（多選）已知隨機(jī)變量的分布列為1230.3則（

）A． B．C． D．2.（人A選擇性必修三P71習(xí)題7.3T1變式）一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（

）A．36元 B．37元 C．38元 D．39元3.（人A選擇性必修三P71習(xí)題7.3T5變式）下列結(jié)論不正確的是（

）A．若事件與互斥，則B．若事件與相互獨(dú)立，則C．如果分別是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，那么D．若隨機(jī)變量的方差，則4.（人A選擇性必修三P60習(xí)題7.2T6變式）校舉辦“學(xué)黨史”知識(shí)測(cè)試活動(dòng)，每位教師3次測(cè)試機(jī)會(huì)，規(guī)定按順序測(cè)試，一旦測(cè)試合格就不必參加以后的測(cè)試，否則3次測(cè)試都要參加．甲教師3次測(cè)試每次合格的概率組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，他第一次測(cè)試合格的概率不超過(guò)，且他直到第二次測(cè)試才合格的概率為，乙教師3次測(cè)試每次測(cè)試合格的概率均為，每位教師參加的每次測(cè)試是否合格相互獨(dú)立．(1)求甲教師第一次參加測(cè)試就合格的概率P；(2)設(shè)甲教師參加測(cè)試的次數(shù)為m，乙教師參加測(cè)試的次數(shù)為n，求的分布列．二、考點(diǎn)分類(lèi)練(一)離散型隨機(jī)變量的分布列5.已知隨機(jī)變量的分布列為：則隨機(jī)變量的方差的最大值為（

）A． B． C． D．6.下表是離散型隨機(jī)變量X的概率分布，則常數(shù)的值是（

）X3456PA． B． C． D．7.（2023屆湖南省株洲市部分學(xué)校高三上學(xué)期12月聯(lián)考）中國(guó)共產(chǎn)黨第二十次全國(guó)代表大會(huì)于2022年10月16日至22日在北京人民大會(huì)堂順利召開(kāi)．某部門(mén)組織相關(guān)單位采取多種形式學(xué)習(xí)宣傳和貫徹黨的二十大精神．其中“學(xué)習(xí)二十式進(jìn)行競(jìng)賽．甲、乙兩單位在聯(lián)合開(kāi)展主題學(xué)習(xí)及知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中通過(guò)此欄目進(jìn)行比賽，比賽規(guī)則是：每一輪比賽中每個(gè)單位派出一人代表其所在單位答題，兩單位都全部答對(duì)或者都沒(méi)有全部答對(duì)則均記0分；一單位全部答對(duì)而另一單位沒(méi)有全部答對(duì)，則全部答對(duì)的單位記1分，沒(méi)有全部答對(duì)的單位記－1分，設(shè)每輪比賽中甲單位全部答對(duì)的概率為，乙單位全部答對(duì)的概率為，甲、乙兩單位答題相互獨(dú)立，且每輪比賽互不影響．(1)經(jīng)過(guò)1輪比賽，設(shè)甲單位的記分為X，求X的分布列和期望；(2)若比賽采取3輪制，試計(jì)算第3輪比賽后甲單位累計(jì)得分低于乙單位累計(jì)得分的概率．8.（2023屆江蘇省南通市高三上學(xué)期12月階段測(cè)試）有一種雙人游戲，游戲規(guī)則如下：雙方每次游戲均從裝有5個(gè)球的袋中（3個(gè)白球和2個(gè)黑球）輪流摸出1球（摸后不放回），摸到第2個(gè)黑球的人獲勝，同時(shí)結(jié)束該次游戲，并把摸出的球重新放回袋中，準(zhǔn)備下一次游戲.(1)分別求先摸球者3輪獲勝和5輪獲勝的概率；(2)小李和小張準(zhǔn)備玩這種游戲，約定玩3次，第一次游戲由小李先摸球，并且規(guī)定某一次游戲輸者在下一次游戲中先摸球.每次游戲獲勝得1分，失敗得0分.記3次游戲中小李的得分之和為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(二)離散型隨機(jī)變量的期望與方差9．已知某商場(chǎng)銷(xiāo)售一種商品的單件銷(xiāo)售利潤(rùn)為，a，2，根據(jù)以往銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)可得，隨機(jī)變量X的分布列為X0a2Pb其中結(jié)論正確的是（

）A．B．若該商場(chǎng)銷(xiāo)售該商品5件，其中3件銷(xiāo)售利潤(rùn)為0的概率為C．D．當(dāng)最小時(shí)，10.一個(gè)袋中共有5個(gè)大小形狀完全相同的紅球、白球和黑球，其中紅球有1個(gè).每次從袋中拿一個(gè)小球，不放回，拿出紅球即停.記拿出的黑球個(gè)數(shù)為，且，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望______.11.（2023屆陜西省寶雞市高三上學(xué)期一模）甲?乙兩個(gè)代表隊(duì)各有3名選手參加對(duì)抗賽.比賽規(guī)定：甲隊(duì)的1，2，3號(hào)選手與乙隊(duì)的1，2，3號(hào)選手按編號(hào)順序各比賽一場(chǎng)，某隊(duì)連贏3場(chǎng)，則獲勝，否則由甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的2號(hào)，甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1號(hào)加賽兩場(chǎng)，勝場(chǎng)多者最后獲勝（每場(chǎng)比賽只有勝或負(fù)兩種結(jié)果）.已知甲隊(duì)的1號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1，2號(hào)選手的勝率分別是0.5，0.6，甲隊(duì)的2號(hào)對(duì)乙隊(duì)的1，2號(hào)選手的勝率都是0.5，甲隊(duì)的3號(hào)對(duì)乙隊(duì)的3號(hào)選手的勝率也是0.5，假設(shè)每場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立.(1)求甲隊(duì)僅比賽3場(chǎng)獲勝的概率；(2)已知每場(chǎng)比賽勝者可獲得200個(gè)積分，求甲隊(duì)隊(duì)員獲得的積分?jǐn)?shù)之和的分布列及期望.(三)期望與方差的應(yīng)用12.（2023屆河南省洛陽(yáng)市孟津縣高三上學(xué)期12月月考）自2020年初以來(lái)，由于新冠疫情的沖擊，人們?nèi)粘Ｙ?gòu)物的方式發(fā)生了較大的變化，各種便民的團(tuán)購(gòu)群異?；钴S，據(jù)某微信公眾號(hào)消息，參團(tuán)進(jìn)行團(tuán)購(gòu)已逐漸成為一大常規(guī)的購(gòu)物形式，因此外賣(mài)員的收入明顯提高.為調(diào)查某市外賣(mài)員的收入，現(xiàn)隨機(jī)抽取500名外賣(mài)員，按照他們投送的距離分類(lèi)統(tǒng)計(jì)得到如圖所示的頻率分布直方圖.將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.(1)估計(jì)該市外賣(mài)員的平均運(yùn)送距離；(2)假設(shè)外賣(mài)平臺(tái)給外賣(mài)員的運(yùn)送距離與外賣(mài)員的收入有關(guān)，其中甲平臺(tái)規(guī)定：1000米以?xún)?nèi)每份2元，1000米至3000米每份5元，3000米以上每份13元.乙平臺(tái)規(guī)定：2000米以?xún)?nèi)每份3元，2000米至3000米每份6元，3000米至4000米每份12元，4000米以上每份18元，若你暑期打工去送外賣(mài)，每天能送50份，并且只考慮每天的平均收入，你會(huì)選擇哪一家平臺(tái)？為什么？13.（2023屆湖北省騰云聯(lián)盟高三上學(xué)期12月聯(lián)考）為貫徹落實(shí)黨的二十大精神，促進(jìn)群眾體育全面發(fā)展.奮進(jìn)中學(xué)舉行了趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，有一個(gè)項(xiàng)目是“沙包擲準(zhǔn)”，具體比賽規(guī)則是：選手站在如圖（示意圖）所示的虛線(xiàn)處，手持沙包隨機(jī)地?cái)S向前方的三個(gè)箱子中的任意一個(gè)，每名選手?jǐn)S5個(gè)大小形狀質(zhì)量相同?編號(hào)不同的沙包.規(guī)定：每次沙包投進(jìn)1號(hào)?2號(hào)?3號(hào)箱分別可得3分?4分?5分，沒(méi)有投中計(jì)0分.每名選手將累計(jì)得分作為最終成績(jī).(1)已知某位選手獲得了17分，求該選手5次投擲的沙包進(jìn)入不同箱子的方法數(shù)；(2)賽前參賽選手經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的練習(xí)，選手每次投中1號(hào)?2號(hào)?3號(hào)箱的概率依次為.已知選手每次賽前已經(jīng)決定5次投擲的目標(biāo)箱且比賽中途不變更投擲目標(biāo).假設(shè)各次投擲結(jié)果相互獨(dú)立，且投擲時(shí)不會(huì)出現(xiàn)末中目標(biāo)箱而誤中其它箱的情況.（i）若以比賽結(jié)束時(shí)累計(jì)得分?jǐn)?shù)作為決策的依據(jù)，你建議選手選擇幾號(hào)箱？（ii）假設(shè)選手得了23分，請(qǐng)你幫設(shè)計(jì)一種可能贏的投擲方案，并計(jì)算該方案獲勝的概率.(四)超幾何分布14.（2023屆四川省成都市高新區(qū)高三一診）冰墩墩是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物，將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結(jié)合，頭部外殼造型取自冰雪運(yùn)動(dòng)頭盜，裝飾彩色光環(huán)，整體形象酷似航天員，深受廣大民眾的喜愛(ài)，已成為最火爆的商品，“一墩難求”.某調(diào)查機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取400人，對(duì)是否有意向購(gòu)買(mǎi)冰墩墩進(jìn)行調(diào)查，得到以下的2×2列聯(lián)表：有意向購(gòu)買(mǎi)冰墩墩的人數(shù)無(wú)意向購(gòu)買(mǎi)冰墩墩的人數(shù)合計(jì)男生16080240女生12040160合計(jì)280120400(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有95%的把握認(rèn)為購(gòu)買(mǎi)冰墩墩與人的性別有關(guān)？(2)若從隨機(jī)抽取的400人中按男女比例分層抽樣選取5人進(jìn)行采訪(fǎng)，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人贈(zèng)送冰墩墩，記為抽取的2人中男生人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：.15.（2023屆重慶市聯(lián)盟高三上學(xué)期12月調(diào)研）現(xiàn)在養(yǎng)寵物已經(jīng)成為一件再正常不過(guò)的事情了，尤其是對(duì)某些人來(lái)說(shuō)，養(yǎng)寵物是他們生活中非常重要的一件事情，他們還將自己的寵物當(dāng)成是家人．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名養(yǎng)寵物的人，對(duì)他們養(yǎng)寵物的原因進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，得到如下表數(shù)據(jù)：喜歡其他合計(jì)男102030女403070合計(jì)5050100(1)根據(jù)表中調(diào)查數(shù)據(jù)，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否是因?yàn)橄矚g寵物而養(yǎng)寵物與性別有關(guān)？(2)若從這100人中，按性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記抽到的男性人數(shù)為，求的分布列與期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.828三、最新模擬練16．（2023屆浙江省溫州市高三上學(xué)期11月適應(yīng)性考試）一個(gè)袋子中裝有大小相同的5個(gè)小球，其中有3個(gè)白球，2個(gè)紅球，小明從中無(wú)放回地取出3個(gè)小球，摸到一個(gè)白球記1分，摸到一個(gè)紅球記2分，則小明總得分的數(shù)學(xué)期望等于（

）A．3.8分 B．4分 C．4.2分 D．4.4分17.（2023屆浙江省新高考研究高三上學(xué)期測(cè)試）互不相等的正實(shí)數(shù)是的任意順序排列，設(shè)隨機(jī)變量滿(mǎn)足：則（

）A． B．C． D．18.（2023屆山西省英才學(xué)校高中部高三上學(xué)期12月測(cè)試）已知隨機(jī)變量的分布列為：若，則實(shí)數(shù)的值可能是（

）A． B． C． D．19.（多選）（2023屆浙江省91高中聯(lián)盟高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考）已知袋子中有個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球，現(xiàn)從袋子中隨機(jī)摸球，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．每次摸個(gè)球，摸出的球觀(guān)察顏色后不放回，則第次摸到紅球的概率為B．每次摸個(gè)球，摸出的球觀(guān)察顏色后不放回，則第次摸到紅球的條件下，第次摸到紅球的概率為C．每次摸出個(gè)球，摸出的球觀(guān)察顏色后放回，連續(xù)摸次后，摸到紅球的次數(shù)的方差為D．從中不放回摸個(gè)球，摸到紅球的個(gè)數(shù)的概率是20.（2023屆福建省南平市高三上學(xué)期期中）從一批含有6件正品和4件次品的10件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，記隨機(jī)變量X為抽檢結(jié)果中含有的次品件數(shù)，則隨機(jī)變量X的期望________．21.（2023屆山東省濰坊市高三上學(xué)期12月學(xué)科核心素養(yǎng)測(cè)評(píng)）邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD的中心為O，對(duì)A、B、C、D、O這五個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)，以其中一點(diǎn)為起點(diǎn)、另一點(diǎn)為終點(diǎn)作向量，任取其中兩個(gè)向量（不包括“向量和同端點(diǎn)的相反向量”），以它們的數(shù)量積的絕對(duì)值作為隨機(jī)變量X，則其數(shù)學(xué)期望_________．22.（2023屆湖南省長(zhǎng)沙市高三上學(xué)期12月月考）全國(guó)第36屆中國(guó)化學(xué)奧林匹克競(jìng)賽已經(jīng)結(jié)束，我校學(xué)生取得了優(yōu)異成績(jī)，為了方便統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)將學(xué)生成績(jī)轉(zhuǎn)化為百分制，從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(jī)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這批學(xué)生的成績(jī)?nèi)拷橛?0至100之間，將數(shù)據(jù)按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)；(2)在這100名學(xué)生中用分層抽樣的方法從成績(jī)?cè)赱70，80），[80，90），[90，100]的三組中抽取了10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取3人，記為3人中成績(jī)?cè)赱80，90）的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；23.（2023屆西南333高考備考診斷性聯(lián)考）2022年10月1日，女籃世界杯落幕，時(shí)隔28年，中國(guó)隊(duì)再次獲得亞軍，追平歷史最佳成績(jī).為考察某隊(duì)員甲對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)，教練對(duì)近兩年甲參加過(guò)的100場(chǎng)比賽進(jìn)行統(tǒng)計(jì)：甲在前鋒位置出場(chǎng)20次，其中球隊(duì)獲勝14次；中鋒位置出場(chǎng)30次，其中球隊(duì)獲勝21次；后衛(wèi)位置出場(chǎng)50次，其中球隊(duì)獲勝40次.用該樣本的頻率估計(jì)概率，則：(1)甲參加比賽時(shí)，求該球隊(duì)某場(chǎng)比賽獲勝的概率；(2)現(xiàn)有小組賽制如下：小組共6支球隊(duì)，進(jìn)行單循環(huán)比賽，即任意兩支隊(duì)伍均有比賽，規(guī)定至少3場(chǎng)獲勝才可晉級(jí).教練決定每場(chǎng)比賽均派甲上場(chǎng)，已知甲所在球隊(duì)順利晉級(jí)，記其獲勝的場(chǎng)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.24.（2023屆重慶市高三上學(xué)期第四次質(zhì)量檢測(cè)）密室逃脫可以因不同的設(shè)計(jì)思路衍生出不同的主題，從古墓科考到蠻荒探險(xiǎn)，從竊取密電到逃脫監(jiān)籠，玩家可以選擇自己喜好的主題場(chǎng)景在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成任務(wù)，獲取獎(jiǎng)勵(lì)．李華同學(xué)和他的小伙伴們組團(tuán)參加了一次密室逃脫游戲，他們選擇了其中一種模式，該游戲共有三關(guān)，分別記為A，B，C，他們通過(guò)三關(guān)的概率依次為：．若其中某一關(guān)不通過(guò)，則游戲停止，游戲不通過(guò)．只有依次通過(guò)A，B，C三道關(guān)卡才能順利通關(guān)整個(gè)游戲，并拿到最終獎(jiǎng)勵(lì)．現(xiàn)已知參加一次游戲的報(bào)名費(fèi)為150元，最終獎(jiǎng)勵(lì)為400元．為了吸引更多的玩家來(lái)挑戰(zhàn)該游戲，商家推出了一項(xiàng)補(bǔ)救活動(dòng)，可以在闖關(guān)前付費(fèi)購(gòu)買(mǎi)通關(guān)幣．游戲中，若某關(guān)卡不通過(guò)，則自動(dòng)使用一枚通關(guān)幣通過(guò)該關(guān)卡進(jìn)入下一關(guān)．購(gòu)買(mǎi)一枚通關(guān)幣需另付100元，游戲結(jié)束后，剩余的未使用的通關(guān)幣半價(jià)回收．(1)若李華同學(xué)購(gòu)買(mǎi)了一枚通關(guān)幣，求他通過(guò)該游戲的概率．(2)若李華同學(xué)購(gòu)買(mǎi)了兩枚通關(guān)幣，求他最終獲得的收益期望值．（收益等于所得獎(jiǎng)勵(lì)減去報(bào)名費(fèi)與購(gòu)買(mǎi)通關(guān)幣所需費(fèi)用）．四、高考真題練25．(2022高考全國(guó)甲卷)甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽,比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分,負(fù)方得0分,沒(méi)有平局．三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后,總得分高的學(xué)校獲得冠軍．已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立．（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；（2）用X表示乙學(xué)校的總得分,求X的分布列與期望．26．(2021新高考全國(guó)Ⅰ卷)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類(lèi)問(wèn)題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分.

已知小明能正確回答A類(lèi)問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

（1）若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；

（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題?并說(shuō)明理由.五、綜合提升練27.已知，且，記隨機(jī)變量為x，y，z中的最大值，則（

）A． B．C．5 D．28.（2022屆遼寧省高三二輪復(fù)習(xí)聯(lián)考）甲?乙兩人進(jìn)行局羽毛球比賽(無(wú)平局)，每局甲獲勝的概率均為.規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)獲勝局?jǐn)?shù)多