第三章 函數(shù)（考點(diǎn)串講）-人教B版2019必修第一冊(cè)高一數(shù)學(xué)考點(diǎn)總結(jié)

人教B版(2019)必修第一冊(cè)數(shù)學(xué)

期中考點(diǎn)大串講串講03函數(shù)考場(chǎng)練兵典例剖析010203目

錄考點(diǎn)透視01考點(diǎn)透視考點(diǎn)1.函數(shù)的概念,函數(shù)的定義域和值域1．函數(shù)的概念一般地，給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集A與B，以及對(duì)應(yīng)關(guān)系f，如果對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B(集合B一般默認(rèn)為實(shí)數(shù)集R，因此常常略去不寫(xiě)．)中都有唯一確定的實(shí)數(shù)y＝f(x)與x對(duì)應(yīng)，則稱f為定義在集合A上的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A.2．函數(shù)的定義域和值域函數(shù)y＝f(x)中x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個(gè)函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域．考點(diǎn)2.同一函數(shù)

一般地，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同(即對(duì)自變量的每一個(gè)值，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都相等)，則稱這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù)．考點(diǎn)3.函數(shù)的表示方法

數(shù)學(xué)表達(dá)式圖象表格考點(diǎn)4.分段函數(shù)

如果一個(gè)函數(shù)，在其定義域內(nèi)，對(duì)于自變量的不同取值區(qū)間，有不同的對(duì)應(yīng)方式，則稱其為分段函數(shù)．考點(diǎn)5.定義域?yàn)锳的函數(shù)f(x)的單調(diào)性

f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)增函數(shù)減函數(shù)考點(diǎn)6.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間M上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)________，區(qū)間M叫做y＝f(x)的________．單調(diào)性單調(diào)區(qū)間考點(diǎn)7.函數(shù)的最值

考點(diǎn)8.直線的斜率,函數(shù)的平均變化率

x1＝x2＞＜平均變化率考點(diǎn)9.二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的單調(diào)性

(1)當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)在____________上單調(diào)遞減，在______________上單調(diào)遞增，函數(shù)沒(méi)有最大值，但有最小值________________；(2)當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在____________________上單調(diào)遞增，在____________________上單調(diào)遞減，函數(shù)沒(méi)有最小值，但有最大值____________________.

考點(diǎn)10.偶、奇函數(shù)

1．偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，則稱y＝f(x)為偶函數(shù)．2．奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x，都有________，且___________，則稱y＝f(x)為奇函數(shù)．3．奇、偶函數(shù)的圖像特征(1)奇函數(shù)的圖像關(guān)于________成中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)．(2)偶函數(shù)的圖像關(guān)于________對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)．－x∈Df(－x)＝－f(x)原點(diǎn)y軸考點(diǎn)11.函數(shù)的零點(diǎn)

1．零點(diǎn)的定義一般地，如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的函數(shù)值等于零，即f(α)＝0，則稱α為函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．2．方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系交點(diǎn)的橫坐標(biāo)零點(diǎn)考點(diǎn)12.二次函數(shù)的零點(diǎn)及其與對(duì)應(yīng)方程、不等式解集之間的關(guān)系

判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集____________________Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集______________________________{x|x<x1或x>x2}

{x|x1<x<x2}??考點(diǎn)13.幾類(lèi)常見(jiàn)函數(shù)模型

名稱解析式條件一次函數(shù)模型y＝kx＋bk≠0反比例函數(shù)模型y＝＋bk≠0二次函數(shù)模型一般式：y＝ax2＋bx＋c頂點(diǎn)式：y＝a＋a≠0考點(diǎn)14.函數(shù)模型

知識(shí)點(diǎn)(1)一次函數(shù)模型解析式：________．(2)二次函數(shù)模型①一般式：__________．②頂點(diǎn)式：_____________，其中頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．(3)分段函數(shù)模型有些實(shí)際問(wèn)題，在事物的某個(gè)階段對(duì)應(yīng)的變化規(guī)律不盡相同，此時(shí)我們可以選擇利用分段函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)它，由于分段函數(shù)在不同的區(qū)間中具有不同的解析式，因此分段函數(shù)在研究條件變化的實(shí)際問(wèn)題中，或者在某一特定條件下的實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用．y＝kx＋by＝ax2＋bx＋cy＝a(x－h(huán))2＋k(h，k)02典例透析考點(diǎn)1.函數(shù)的定義【例題1】(1)設(shè)M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有(

)(1)①x∈[0，1]取不到[1，2].③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范圍．④可取一個(gè)x值，y有2個(gè)對(duì)應(yīng)，不符合題意．

(2)關(guān)鍵是否符合函數(shù)定義．答案：(1)B

(2)①是函數(shù)②不是函數(shù)考點(diǎn)1.函數(shù)的定義解析：(1)圖號(hào)正誤原因

①×x＝2時(shí)，在N中無(wú)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足任意性②√同時(shí)滿足任意性與唯一性③×x＝2時(shí)，對(duì)應(yīng)元素y＝3?N，不滿足任意性④×x＝1時(shí)，在N中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，不滿足唯一性

考點(diǎn)2.求函數(shù)的定義域

考點(diǎn)2.求函數(shù)的定義域

考點(diǎn)3.同一函數(shù)

判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，要看三要素是否對(duì)應(yīng)相同．函數(shù)的值域可由定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定，因而只要判斷定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否對(duì)應(yīng)相同即可．考點(diǎn)3.同一函數(shù)

解析：序號(hào)是否相同原因(1)不同定義域不同，f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，g(x)的定義域?yàn)镽(2)不同對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，f(x)＝，g(x)＝(3)不同定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同(4)相同定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同考點(diǎn)4.求函數(shù)值域

考點(diǎn)4.求函數(shù)值域

考點(diǎn)5.函數(shù)的表示方法

【例題5】某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x(x為正整數(shù))與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來(lái)．解析：(1)列表法：x/臺(tái)12345678910y/元30006000900012000150001800021000240002700030000(2)圖像法：如圖所示．(3)解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．考點(diǎn)6.求函數(shù)的解析式

【例題6】(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，則f(x)的解析式為_(kāi)_______________；(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝4x－1，則f(x)＝_____________.(1)換元法設(shè)x2＋2＝t.(2)待定系數(shù)法設(shè)f(x)＝ax＋b.f(x)＝x2－4(x≥2)

考點(diǎn)7.求分段函數(shù)的函數(shù)值

解析：∵－1<0，∴f(－1)＝0，∴f(f(－1))＝f(0)＝π，∴f(f(f(－1)))＝f(π)＝π＋1.考點(diǎn)8.函數(shù)圖像

【例題8】作出下列函數(shù)的圖像：(2)先求對(duì)稱軸及頂點(diǎn)，再注意x的取值(部分圖像)．(1)y＝－x＋1，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3，0≤x＜3；(3)關(guān)鍵是根據(jù)x的取值去絕對(duì)值．(3)y＝|1－x|.考點(diǎn)8.函數(shù)圖像

考點(diǎn)9.利用函數(shù)圖像求單調(diào)區(qū)間

【例題9】函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則(

)

A．函數(shù)f(x)在[－1，2]上是增函數(shù)B．函數(shù)f(x)在[－1，2]上是減函數(shù)C．函數(shù)f(x)在[－1，4]上是減函數(shù)D．函數(shù)f(x)在[2，4]上是增函數(shù)圖像上升或下降趨勢(shì)判斷．答案：A解析：函數(shù)單調(diào)性反映在函數(shù)圖像上就是圖像上升對(duì)應(yīng)增函數(shù)，圖像下降對(duì)應(yīng)減函數(shù)，故選A.考點(diǎn)10.函數(shù)的單調(diào)性判斷與證明

考點(diǎn)11.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值．

考點(diǎn)12.由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍

【例題12】已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】

∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2

＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的減區(qū)間是(－∞，1－a].∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)，∴對(duì)稱軸x＝1－a必須在直線x＝4的右側(cè)或與其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范圍為(－∞，－3].考點(diǎn)13.三點(diǎn)共線問(wèn)題

【例題13】(1)已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，4)和點(diǎn)B(1，2)，則直線AB的斜率為(

)A．3

B．－2C．2D．不存在(2)求證：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三點(diǎn)共線．答案：(1)B

(2)見(jiàn)解析

考點(diǎn)14.求函數(shù)的平均變化率

【例題14】函數(shù)f(x)＝－2x2＋5在區(qū)間[2，2＋Δx]上的平均變化率為_(kāi)_______．－8－2Δx

考點(diǎn)15.用函數(shù)的平均變化率判斷單調(diào)性

考點(diǎn)16.函數(shù)奇偶性的判斷

先求函數(shù)定義域，再根據(jù)函數(shù)奇偶性定義判斷．考點(diǎn)16.函數(shù)奇偶性的判斷

考點(diǎn)17.函數(shù)奇偶性的圖像特征【例題17】如圖，給出了偶函數(shù)y＝f(x)的局部圖像，試比較f(1)與f(3)的大?。椒ㄒ焕门己瘮?shù)補(bǔ)全圖像，再比較f(1)與f(3)的大小；方法二f(1)＝f(－1)，f(3)＝f(－3)，觀察圖像判斷大?。键c(diǎn)17.函數(shù)奇偶性的圖像特征解析：方法一因函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，補(bǔ)全圖如圖．由圖像可知f(1)<f(3)．方法二由圖像可知f(－1)<f(－3)．又函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，所以f(－1)＝f(1)，f(－3)＝f(3)，故f(1)<f(3)．考點(diǎn)18.利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)【例題18】(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－2，2a]，則a＝________，b＝________；(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________．(1)函數(shù)具有奇偶性，定義域必須關(guān)于(0，0)對(duì)稱．(2)f(0)＝0？

00考點(diǎn)18.利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)

考點(diǎn)19.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用【例題19】(1)已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1，1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，若f(1－a2)＋f(1－a)＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．(2)定義在[－2，2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)＜f(m)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．考點(diǎn)19.函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)1函數(shù)零點(diǎn)的概念及求法

跟蹤訓(xùn)練1

若函數(shù)f(x)＝x2＋x－a的一個(gè)零點(diǎn)是－3，求實(shí)數(shù)a的值，并求函數(shù)f(x)其余的零點(diǎn)．由函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是－3，得f(－3)＝0，求a.解析：由題意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6.所以f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.所以函數(shù)f(x)其余的零點(diǎn)是2.考點(diǎn)20.確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

答案：(1)B

(2)一個(gè)考點(diǎn)20.確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

考點(diǎn)21.判斷函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間【例題21】函數(shù)f(x)＝2x－1＋x－5的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(

)A.(0，1)

B．(1，2)C．(2，3)

D．(3，4)利用f(a)·f(b)＜0求零點(diǎn)區(qū)間．答案：C解析：f(2)＝22－1＋2－5＜0，f(3)＝23－1＋3－5＞0，故f(2)·f(3)＜0，又f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝2x－1＋x－5只有一個(gè)零點(diǎn)，且零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2，3)．考點(diǎn)22.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

【例題22】

已知關(guān)于x的方程|x2－4x＋3|－a＝0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值是________．1解析：如圖，由圖像知直線y＝1與y＝|x2－4x＋3|的圖像有三個(gè)交點(diǎn)，則方程|x2－4x＋3|＝1有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此a＝1.考點(diǎn)22.函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用

3．某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷(xiāo)售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē)，則能獲得的最大利潤(rùn)為(

)A．45.606萬(wàn)元

B．45.6萬(wàn)元C．45.56萬(wàn)元

D．45.51萬(wàn)元答案：B

考點(diǎn)23.一次、二次函數(shù)模型

【例題23】某列火車(chē)從北京西站開(kāi)往石家莊，全程277km.火車(chē)出發(fā)10min開(kāi)出13km，之后以120km/h的速度勻速行駛．試寫(xiě)出火車(chē)行駛的總路程s與勻速行駛的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求離開(kāi)北京2h時(shí)火車(chē)行駛的路程．求出火車(chē)勻速行駛的總時(shí)間，可得定義域，再建立總路程關(guān)于時(shí)間的函數(shù)模型．

考點(diǎn)24.分段函數(shù)

【例題24】為了迎接世博會(huì)，某旅游區(qū)提倡低碳生活，在景區(qū)提供自行車(chē)出租．該景區(qū)有50輛自行車(chē)供游客租賃使用，管理這些自行車(chē)的費(fèi)用是每日115元．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛自行車(chē)的日租金不超過(guò)6元，則自行車(chē)可以全部租出；若超過(guò)6元，則每超過(guò)1元，租不出的自行車(chē)就增加3輛．為了便于結(jié)算，每輛自行車(chē)的日租金x(元)只取整數(shù)，并且要求出租自行車(chē)一日的總收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y(元)表示出租自行車(chē)的日凈收入(日凈收入＝一日出租自行車(chē)的總收入－管理費(fèi)用)．(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式及其定義域．(2)試問(wèn)當(dāng)每輛自行車(chē)的日租金定為多少元時(shí)，才能使日凈收入最多？(1)利用函數(shù)關(guān)系建立各個(gè)取值范圍內(nèi)的凈收入與日租金的關(guān)系式，寫(xiě)出分段函數(shù)，注意實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍．(2)利用一次函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)分別求分段函數(shù)各段上的最大值，取其最大的即可．考點(diǎn)24.分段函數(shù)

考點(diǎn)25.一次函數(shù)模型的應(yīng)用

【例題25】若一根蠟燭長(zhǎng)20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(h)的函數(shù)關(guān)系用圖像表示為圖中的(

)答案：B解析：蠟燭剩下的長(zhǎng)度隨時(shí)間增加而縮短，根據(jù)實(shí)際意義不可能是D項(xiàng)，更不可能是A、C兩項(xiàng)．故選B項(xiàng)．考點(diǎn)26.二次函數(shù)模型的應(yīng)用

【例題26】有A，B兩城相距100km，在A，B兩城之間距A城xkm的D地建一核電站給這兩城供電．為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10km.已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城供電量為10億度/月．(1)把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)時(shí)，才能使供電費(fèi)用最?。靠键c(diǎn)26.二次函數(shù)模型的應(yīng)用

考點(diǎn)27.分段函數(shù)模型的應(yīng)用

考點(diǎn)27.分段函數(shù)模型的應(yīng)用

考點(diǎn)27.分段函數(shù)模型的應(yīng)用

03考場(chǎng)練兵

答案：D

答案：A

3．已知函數(shù)f(2x＋1)＝6x＋5，則f(x)的解析式是(

)A．3x＋2B．3x＋1C．3x－1D．3x＋4答案：A

4．函數(shù)f(x)＝x3－x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(

)A．0B．1C．2D．3答案：D解析：f(x)＝x(x－1)(x＋1)，令x(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝0，x＝1，x＝－1，即函數(shù)的零點(diǎn)為－1，0，1，共3個(gè)．5．某生產(chǎn)廠家的生產(chǎn)總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(件)之間的關(guān)系式為y＝x2－80x，若每件產(chǎn)品的售價(jià)為25萬(wàn)元，則該廠獲得最大利潤(rùn)時(shí)，生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)為(

)A．52B．52.5