六年級數(shù)學上冊 第5講：遞推與歸納（教師版）（人教版）

第五講遞推與歸納有時，我們會遇上一些具有規(guī)律性的數(shù)學問題，這就需要我們在解題時根據(jù)已知條件盡快地去發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并利用這一規(guī)律去解決問題。例如：按規(guī)律填數(shù)：1，4，9，16，25，（），49，64；分析：要在括號填上適當?shù)臄?shù)，就要正確判斷出題目所呈現(xiàn)出的規(guī)律。若你仔細地觀察這一數(shù)列，就會發(fā)現(xiàn)這些數(shù)之間的規(guī)律：⑴先考慮相鄰兩個數(shù)之間的差，依次是3，5，7，9，……，15；可以看到相鄰兩數(shù)的差從3開始呈現(xiàn)遞增2的規(guī)律，所以括號里的數(shù)應(yīng)是25+11=36，再看36+13=49得到驗證。⑵如果我們換一個角度去考慮，那么我們還可以發(fā)現(xiàn)，這數(shù)列的第一項是1的平方，第二項是2的平方，第三項是3的平方，……，從這些事實中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是第n項是n的平方。那么所求的是第六項是62=36。我們把相鄰數(shù)之間的關(guān)系稱為遞歸關(guān)系，有了遞歸關(guān)系可以利用前面的數(shù)求出后面的未知數(shù)。像這種解題方法稱為遞推法。1.理解遞推法的概念。2.會用遞推法解題10個910個9例1：10個910個9分析：我們可以從最簡單的9×9的乘積中有幾個奇數(shù)著手尋找規(guī)律。9×9=81，有1個奇數(shù)；99×99=99×（100-1）=9900-99=9801，有2個奇數(shù)；999×999=999（1000-1）=999000-999=998001，有3個奇數(shù)；……10個910個910個910個9Aa1a2Aa1a2a3a4a5a6a7a8B分析：先從AB之間只有一個點開始，在逐步增加AB之間的點數(shù)，找出點和線段之間的規(guī)律。我們可以采用列表的方法清楚的表示出點和線段數(shù)之間的規(guī)律。AB之間只有1個點：線段有1+2=3條。AB之間只有2個點：線段有1+2+3=6條。AB之間只有3個點：線段有1+2+3+4=10條。AB之間只有4個點：線段有1+2+3+4+5=15條?！浑y發(fā)現(xiàn)，當AB之間有8個點時，線段有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45條。若再進一步研究可得出這樣得規(guī)律，線段數(shù)=點數(shù)×（點數(shù)-1）÷2。例3：計算13+23+33+43+53+63+73+83+93+103得值。分析：這是一道特殊的計算題，當然我們可以采用分別求出每個數(shù)的立方是多少再求和計算出這題的結(jié)果。這樣的計算工作量比較大，是否可以采用其它較簡便的方法計算呢？下面我們就來研究這個問題。13+23=（1+2）2；13+23+33=（1+2+3）2；13+23+33+43=（1+2+3+4）2；……這樣我們可以容易地得到13+23+33+43+53+63+73+83+93+103=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）2=552=3025通過這個例題我們可以得到13+23+33++……+n3=（1+2+3+…+n）2例4：2000個學生排成一行，依次從左到右編上1～2000號，然后從右到左按一、二報數(shù)，報一的離開隊伍，剩下的人繼續(xù)按一、二報數(shù)，報一的人離開隊伍，……按這個規(guī)律如此下去，直至當隊伍只剩下一人為止。問：最后留下的這個人原來的號碼是多少？分析“我們通過前幾次留在隊伍中的學生的編號找出規(guī)律。第一次留下的學生編號是：2，4，6，8，10，……；都是2的倍數(shù)。即21的倍數(shù)；第二次留下的學生編號是：4，8，12，16，20，……；都是4的倍數(shù)，即22的倍數(shù)；第一次留下的學生編號是：8，16，24，32，40，……；都是8的倍數(shù)。即23的倍數(shù)；……由于210=1024＜2000＜211=2048；這樣可知，最后留下學生的號碼一定是1024。例5：圓周上兩個點將圓周分為兩半，在這兩點上寫上數(shù)1；然后將兩段半圓弧對分，在兩個分點上寫上相鄰兩點上的數(shù)之和；再把4段圓弧等分，在分點上寫上相鄰兩點上的數(shù)之和，如此繼續(xù)下去，問第6步后，圓周上所有點上的之和是多少？分析：先可以采用作圖嘗試尋找規(guī)律。第一步，圓周上有兩個點，第二步有四個點，第三步有八個點，第四步有十六個點，…，第六步有32個點。111112211223333因為問題是求圓周上所有數(shù)的和，所以我們不必去考慮每一步具體增加了哪些數(shù)，只須知道每一步增加數(shù)的總和是多少。第一步：圓周上有兩個點，兩個數(shù)的和是1+1=2；第二步：圓周上有四個點，四個數(shù)的和是1+1+2+2=6；增加數(shù)之和恰好是第一步圓周上所有數(shù)之和的2倍。第三步：圓周上有八個點，八個數(shù)的和是1+1+2+2+3+3+3+3=18，增加數(shù)之和恰好是第二步數(shù)圓周上所有數(shù)之和的2倍。第四步：1+1+2+2+3+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5=54，增加數(shù)之和恰好是第三步數(shù)圓周上所有數(shù)之和的2倍?！@樣我們可以知道，圓周上所有數(shù)之和是前一步圓周上所有數(shù)之和的3倍。用遞推法關(guān)系表示。設(shè)an為第n步后得出的圓周上所有數(shù)之和，則an=3×an－1利用此式可以得到：an=3×an－1=3×3an－2=3×3×3an－3=……=3×3×……×3a1（n－1）個3因為a1=2，所以：（n－1）個3（n－1）個3an=3×3×……×3a1=3（6-1）×2=486。（n－1）個3例6：4個人進行籃球訓練，互相傳球接球，要求每個人接球后馬上傳給別人，開始由甲發(fā)球，并作為第一次傳球，第五次傳球后，球又回到甲手中，問有多少種傳球方式？（n－1）個3分析：設(shè)第n次傳球后，球又回到甲手中的傳球方式有an種。可以想象前n-1次傳球，如果每一次傳球都任選其他三人中的一人進行傳球，即每次傳球都有3種可能，由乘法原理，共有3×3×……×3=3（種）傳球方法。（n－1）個3（n－1）個3這些傳球方式并不是符合要求的，它們可以分為兩類，一類是第n-1次恰好傳到甲手中，這有an-1傳法，它們不符合要求，因為這樣第n次無法再把球傳給甲；另一類是第n-1次傳球，球不在甲手中，第n次持球人再將球傳給甲，有an傳法。根據(jù)加法原理，有an-1+an=3×3×……×3=3n-1。（n－1）個3由于甲是發(fā)球者，一次傳球后球又回到甲手中的傳球方式是不存在的，所以a1=0。利用遞推關(guān)系可以得到a2=3-0=3，a3=3×3-3=6，a4=3×3×3-6=21，a4=3×3×3×3-21=60。這說明經(jīng)過5次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法有60種。當然這題也可以利用列表法求解。我們可以這樣想，第n次傳球后，球不在甲手中的傳球方法，第n+1次傳球后球就可能回到甲手中，所以只需求出第四次傳球后，球不在甲手中的傳法共有多少種。從圖中可以看出經(jīng)過四次傳球后，球仍回到甲手中的傳球方法共有60種。A1.100條直線最多能把一個平面分成_____個部分。答案：50512.熊大叔是一個賣燒餅的師傅,他用一個平底鍋煎餅,他是這樣煎餅的:每次只能放兩個餅,每個餅正反面都要煎,煎每一面都要1分鐘,問他煎10個這樣的餅需要_____分鐘。答案：103.上一段11階樓梯,規(guī)定每一步只能上一級或兩級,那么要登上第11級臺階有_____種不同的走法。答案：1444.請先計算11×11,111×111,1111×1111,你能根據(jù)以上結(jié)果,不經(jīng)過計算而直接寫出11111111×11111111=________。答案：1234567876543215.我們知道三角形的內(nèi)角和是180度,長方形的內(nèi)角和是360度,那么正十邊形的內(nèi)角和是_____度。答案：1440B6.有一列數(shù),第一個數(shù)是0.第二個數(shù)是100,從第三個數(shù)開始,每個數(shù)都是前兩個數(shù)的平均數(shù),問第2005個數(shù)的整數(shù)部分是_____。答案：667.小華過生日,邀請了班上的16名同學參加他的生日聚會,小華買了一個單層的大蛋糕,要保證每個人都能吃到蛋糕,問至少要切_____刀。答案：58.一對剛出生的雌雄小兔,在喂養(yǎng)兩個月后就生下一對雌雄小兔,并且以后每個月都能生一對雌雄小兔,張大伯現(xiàn)在喂養(yǎng)一對雌雄小兔,一年后一共有_____對小兔。答案：1449.兩個自然數(shù)的差是5，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差是203，則這兩個數(shù)的和是_____。答案：2910.兩個自然數(shù)它們的最小公倍數(shù)是60。那么它們的差有_____種可能。答案：23C11.一只獵狗正在追趕前方20米處的兔子，已知狗一跳前進3米，兔子一跳前進2.1米，狗跳3次的時間兔子跳4次。兔子跑出_____米遠將被獵狗追上。答案：28012.甲、乙二人分別從A，B兩地同時出發(fā)，兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；兩人相向而行，6分鐘可相遇。已知乙每分鐘行50米，求A，B兩地的距離是_____米。答案：78013.小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時、48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地、面包車從乙地同時相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。問：甲、乙兩地相距_____千米遠。答案：27014.A、B兩輛汽車同時從甲、乙兩站相對開出，兩車第一次在距甲站32千米處相遇，相遇后兩車繼續(xù)行駛，各自到達乙、甲兩站后，立即沿原路返回，第二次在距甲站64千米處相遇，甲、乙兩站間相距_____千米。答案：8015.AB兩地相距98千米，甲從A地出發(fā)汽車速度為30千米/時，乙從B地出發(fā)開車速度為40千米/時，問甲乙第三次迎面相遇距離A地_____米遠。答案：141.平面上有10條直線，這10條直線最多有多少個交點？答案：452.小明有5塊水果糖，媽媽規(guī)定：每天只能吃一塊或兩塊，小明吃完這5塊糖有多少種不同方法？答案：83.小蜜蜂通過蜂巢房間，規(guī)定：只能從小號房間進入大號房間，問小蜜蜂由1號房間走到8號房間有多少種方法？（2007年東直門中學試題）113572468答案：214.（21012）3=（）10答案：1945.11（a2＋b2）=求=（）答案：8036.求1×2×3×4×……×50末尾有多少個連續(xù)的零？答案：121.下列數(shù)是按一定規(guī)律排列的。3、8、15、24、35、48、63、……，那么，它的第36個數(shù)是（）。答案：這列數(shù)規(guī)律是第n個數(shù)是（n+1）2－1。所以第36個數(shù)是（36+1）2－1=1368。2.圖中最上面的空格中應(yīng)填（）。答案：613.333…33×333…33的乘積中有幾個數(shù)字是奇數(shù)？10個310個3答案：10個4.把一張長16厘米、寬8厘米的長方形紙對折后裁成兩半，再把其中的一張對折并裁成兩半，…，繼續(xù)這樣裁下去，直到得到兩個邊長為1厘米的正方形紙片為止。一共需要裁（）次。答案：每次裁一次面積減少一半，16×8=27，所以需要裁7次。5.如圖，從A點到B點，最短路線共有多少條？答案：如圖，共有10條最短路線。6.將一根繩子連續(xù)對折3次，然后每隔一定長度剪一刀，共剪了6刀。這樣原來的繩子被剪成（）段。答案：考慮繩子被對折后形成的彎。①繩子對折3次，繩子共折成8段，其中彎有7個彎。②繩子被剪6刀，即每段繩子被剪成7段，這樣繩子共被剪成56段，由于有7個彎，把兩段繩子連在一起，所以原來的繩子被剪成56－7=49段。7.在一張四邊形紙上共有10個點，如果把四邊形的頂點算在一起，則一共有14個點。已知這些點中的任意三個點都不在同一直線上。按照下面規(guī)定把這張紙片剪成一些三角形：⑴每個三角形的頂點都是這14個點中的3個；⑵每個三角形內(nèi)都不再有這些點。那么，這張四邊形的紙最多可以剪出（）個三角形。答案：在10個點中任意取一點，與四邊形的四個頂點構(gòu)成4個三角形。再在剩下的9個點中任意取一點，它必定落在某一個三角形中，只能與三角形的三個頂點構(gòu)成三個三角形，即增加2個三角形。以后各點情況都與此相同。除了第一點增加4個三角形外，其余各點都只增加2個三角形。所以共可以剪出4+（10－1）×2=22（個）三角形。8.某公共汽車線路上共有15個車站（包括起點站和終點站）。在每個站上車的人中，恰好在以后各站下去一個。要使行駛過程中每位乘