六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第13講：分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)與分拆（教師版）（人教版）

第十三講分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)與分拆1.“裂差”型運(yùn)算將算式中的項(xiàng)進(jìn)行拆分，使拆分后的項(xiàng)可前后抵消，這種拆項(xiàng)計(jì)算稱為裂項(xiàng)法.裂項(xiàng)分為分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)和整數(shù)裂項(xiàng)，常見的裂項(xiàng)方法是將數(shù)字分拆成兩個(gè)或多個(gè)數(shù)字單位的和或差。遇到裂項(xiàng)的計(jì)算題時(shí)，要仔細(xì)的觀察每項(xiàng)的分子和分母，找出每項(xiàng)分子分母之間具有的相同的關(guān)系，找出共有部分，裂項(xiàng)的題目無需復(fù)雜的計(jì)算，一般都是中間部分消去的過程，這樣的話，找到相鄰兩項(xiàng)的相似部分，讓它們消去才是最根本的。①對(duì)于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即形式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即，那么有②對(duì)于分母上為3個(gè)或4個(gè)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，我們有：③對(duì)于分子不是1的情況我們有：2.裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征：①分子全部相同，最簡單形式為都是1的，復(fù)雜形式可為都是x(x為任意自然數(shù))的，但是只要將x提取出來即可轉(zhuǎn)化為分子都是1的運(yùn)算。②分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接”③分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。3.復(fù)雜整數(shù)裂項(xiàng)型運(yùn)算復(fù)雜整數(shù)裂項(xiàng)特點(diǎn)：從公差一定的數(shù)列中依次取出若干個(gè)數(shù)相乘，再把所有的乘積相加。其巧解方法是：先把算式中最后一項(xiàng)向后延續(xù)一個(gè)數(shù)，再把算式中最前面一項(xiàng)向前伸展一個(gè)數(shù)，用它們的差除以公差與因數(shù)個(gè)數(shù)加1的乘積。整數(shù)裂項(xiàng)口訣：等差數(shù)列數(shù)，依次取幾個(gè)。所有積之和，裂項(xiàng)來求作。后延減前伸，差數(shù)除以N。N取什么值，兩數(shù)相乘積。公差要乘以，因個(gè)加上一。需要注意的是：按照公差向前伸展時(shí)，當(dāng)伸展數(shù)小于0時(shí)，可以取負(fù)數(shù)，當(dāng)然是積為負(fù)數(shù)，減負(fù)要加正。對(duì)于小學(xué)生，這時(shí)候通常是把第一項(xiàng)甩出來，按照口訣先算出后面的結(jié)果再加上第一項(xiàng)的結(jié)果。此外，有些算式可以先通過變形，使之符合要求，再利用裂項(xiàng)求解。4.“裂和”型運(yùn)算常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式：①②裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比：裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡化目的。1.復(fù)雜整數(shù)裂項(xiàng)的特點(diǎn)及靈活運(yùn)用2.分子隱蔽的裂和型運(yùn)算。例1：原式例2：計(jì)算：．如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目．但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為2．相比較于2，4，6，……這一公差為2的等差數(shù)列(該數(shù)列的第個(gè)數(shù)恰好為的2倍)，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大3，所以可以先把原式中每一項(xiàng)的分子都分成3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算．原式也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納．根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為，所以，再將每一項(xiàng)的與分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng)．后面的過程與前面的方法相同．例3：原式例4：本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問題。此類問題需要從最簡單的項(xiàng)開始入手，通過公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對(duì)分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有，，……，原式例5：.這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng)：，原式例6：原式＝＝A1.原式2.計(jì)算：本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式：．這個(gè)算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況．所以應(yīng)當(dāng)對(duì)分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危怪D(zhuǎn)化成我們熟悉的形式．觀察可知，，……即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以所以原式．3.計(jì)算：觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會(huì)是5個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù)．即：原式現(xiàn)在進(jìn)行裂項(xiàng)的話無法全部相消，需要對(duì)分子進(jìn)行分拆，考慮到每一項(xiàng)中分子、分母的對(duì)稱性，可以用平方差公式：，，……原式4.原式＝＋＋＋＋…＋＝（）＋（）＋（）＋（）＝5.，，……，，所以原式6.原式B7.計(jì)算：原式8.計(jì)算：．原式9.計(jì)算：．式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?，，，……，，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先將原式乘以4后進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以4就得到原式的值了．原式10.（法1）：可先找通項(xiàng)原式（法2）：原式11.計(jì)算：先找通項(xiàng)公式原式12.先找通項(xiàng)：，原式C13.找通項(xiàng)原式，通過試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項(xiàng)，所以有原式14.原式==15.原式16.計(jì)算：通項(xiàng)公式：，原式17.計(jì)算：本題的通項(xiàng)公式為，沒辦法進(jìn)行裂項(xiàng)之類的處理．注意到分母，可以看出如果把換成的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來，最后單獨(dú)剩下一個(gè)．將項(xiàng)數(shù)和為100的兩項(xiàng)相加，得，所以原式．（或者，可得原式中99項(xiàng)的平均數(shù)為1，所以原式）1.雖然很容易看出＝，＝……可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因?yàn)檫@不象分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)．我們?cè)賮砜春竺娴氖阶?，每一?xiàng)的分母容易讓我們想到公式，于是我們又有．．減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)”呢？ ＝＝ ＝ ＝＝＝＝．2.計(jì)算：原式3.原式4.計(jì)算：原式5.計(jì)算：法一：利用等比數(shù)列求和公式。原式法二：錯(cuò)位相減法．設(shè)則，，整理可得．法三：本題與例3相比，式子中各項(xiàng)都是成等比數(shù)列，但是例3中的分子為3，與公比4差1， 所以可以采用“借來還去”的方法，本題如果也要采用“借來還去”的方法，需要將每一項(xiàng)的分子變得也都與公比差1．由于公比為3，要把分子變?yōu)?，可以先將每一項(xiàng)都乘以2進(jìn)行算，最后再將所得的結(jié)果除以2即得到原式的值．由題設(shè)，，則運(yùn)用“借來還去”的方法可得到，整理得到．1.計(jì)算：原式2.⑴_(tái)_______；⑵________．⑴ 觀察可知31415925和31415927都與31415926相差1，設(shè)，原式⑵ 原式3.計(jì)算：原式 4.計(jì)算：原式 5，．原式 6.計(jì)算：．本題可以直接將兩個(gè)乘積計(jì)算出來再求它們的差，但靈活采用平方差公式能收到更好的效果． 原式 7.計(jì)算：．本題可以直接計(jì)算出各項(xiàng)乘積再求和，也可以采用平方差公式． 原式 其中可以直接計(jì)算，但如果項(xiàng)數(shù)較多，應(yīng)采用公式 進(jìn)行計(jì)算．