2024屆廣東省增城市第一中學高三4月教學質(zhì)量檢測試題（二模）數(shù)學試題（文+理）試題

2023屆廣東省增城市第一中學高三4月教學質(zhì)量檢測試題（二模）數(shù)學試題（文+理）試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元2．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．3．已知函數(shù)，且)，則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)在上可導且恒成立，則下列不等式中一定成立的是（）A．、B．、C．、D．、6．已知集合，集合，若，則（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，為圖象的對稱中心，若圖象上相鄰兩個極值點，滿足，則下列區(qū)間中存在極值點的是（）A． B． C． D．8．已知集合A={x|y=lg（4﹣x2）}，B={y|y=3x，x＞0}時，A∩B=（）A．{x|x＞﹣2}B．{x|1＜x＜2}C．{x|1≤x≤2}D．?9．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．10．已知在中，角的對邊分別為，若函數(shù)存在極值，則角的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，過點的動直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題：①在拋物線上滿足條件的點僅有一個；②若是拋物線準線上一動點，則的最小值為；③無論過點的直線在什么位置，總有；④若點在拋物線準線上的射影為，則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．412．函數(shù)（或）的圖象大致是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_______．14．若，則_________.15．若，，則___________．16．已知函數(shù)，則關于的不等式的解集為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.(1)求的值；(2)令在上最小值為，證明：.18．（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項均由構(gòu)成且其中有個，有個，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項，則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.19．（12分）設橢圓的左右焦點分別為，離心率，右準線為，是上的兩個動點，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）證明：當取最小值時，與共線．20．（12分）如圖，在中，已知，，，為線段的中點，是由繞直線旋轉(zhuǎn)而成，記二面角的大小為.（1）當平面平面時，求的值；（2）當時，求二面角的余弦值.21．（12分）已知橢圓過點且橢圓的左、右焦點與短軸的端點構(gòu)成的四邊形的面積為.（1）求橢圓C的標準方程：（2）設A是橢圓的左頂點，過右焦點F的直線，與橢圓交于P，Q，直線AP，AQ與直線交于M，N，線段MN的中點為E.①求證：；②記，，的面積分別為、、，求證：為定值.22．（10分）設函數(shù).（1）求的值；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎題.2．D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作．3．C【解析】

先求出復合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件，再看其和的包含關系，利用集合間包含關系與充要條件之間的關系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域為或，（且）令，其在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，在上是單調(diào)函數(shù)，其充要條件為即.故選：C.【點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.4．D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故選D.5．A【解析】

設，利用導數(shù)和題設條件，得到，得出函數(shù)在R上單調(diào)遞增，得到，進而變形即可求解.【詳解】由題意，設，則，又由，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則，即，變形可得.故選：A.【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應用，以及利用單調(diào)性比較大小，其中解答中根據(jù)題意合理構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性求解是解答的關鍵，著重考查了構(gòu)造思想，以及推理與計算能力，屬于中檔試題.6．A【解析】

根據(jù)或，驗證交集后求得的值.【詳解】因為，所以或.當時，，不符合題意，當時，.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算，屬于基礎題.7．A【解析】

結(jié)合已知可知，可求，進而可求，代入，結(jié)合，可求，即可判斷．【詳解】圖象上相鄰兩個極值點，滿足，即，，，且，，，，，，當時，為函數(shù)的一個極小值點，而．故選：．【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應用，解題的關鍵是性質(zhì)的靈活應用．8．B【解析】試題分析：由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2)，得到4-x2>0，解得：-2<x<2，∴集合A={x|-2<x<2}，由集合B中的函數(shù)考點：交集及其運算．9．D【解析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.10．C【解析】

求出導函數(shù)，由有不等的兩實根，即可得不等關系，然后由余弦定理可及余弦函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】，.若存在極值，則，又.又．故選：C．【點睛】本題考查導數(shù)與極值，考查余弦定理．掌握極值存在的條件是解題關鍵．11．C【解析】

①：由拋物線的定義可知，從而可求的坐標；②：做關于準線的對稱點為，通過分析可知當三點共線時取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值；③：設出直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理，可知焦點坐標的關系，進而可求，從而可判斷出的關系；④：計算直線的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解：對于①，設，由拋物線的方程得，則，故，所以或，所以滿足條件的點有二個，故①不正確；對于②，不妨設，則關于準線的對稱點為，故，當且僅當三點共線時等號成立，故②正確；對于③，由題意知，，且的斜率不為0，則設方程為：，設與拋物線的交點坐標為，聯(lián)立直線與拋物線的方程為，，整理得，則，所以，則.故的傾斜角互補，所以，故③正確.對于④，由題意知，由③知，則，由，知，即三點在同一條直線上，故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質(zhì)，考查了直線方程，考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結(jié)合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.12．A【解析】

確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個選項，再求時的函數(shù)值，再排除一個，得正確選項．【詳解】分析知，函數(shù)（或）為偶函數(shù)，所以圖象關于軸對稱，排除B，C，當時，，排除D，故選：A．【點睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，解題時可通過研究函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、對稱性等，研究特殊的函數(shù)的值、函數(shù)值的正負，以及函數(shù)值的變化趨勢，排除錯誤選項，得正確結(jié)論．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設為球心，連接，則平面，取的中點，連接，，過做于點，易知四邊形為矩形，連接，，設，.連接，則，，三點共線，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.14．【解析】

因為，所以.因為，所以，又，所以，所以..15．【解析】

因為，所以，又，所以，則，所以．16．【解析】

判斷的奇偶性和單調(diào)性，原不等式轉(zhuǎn)化為，運用單調(diào)性，可得到所求解集．【詳解】令，易知函數(shù)為奇函數(shù)，在R上單調(diào)遞增，，即，∴∴，即x＞故答案為：【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運用：解不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(1)；(2)見解析．【解析】

(1)將轉(zhuǎn)化為對任意恒成立，令，故只需，即可求出的值；(2)由(1)知，可得，令，可證，使得，從而可確定在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進而可得，即，即可證出．【詳解】函數(shù)的定義域為，因為對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，當時，，故在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，不符合題意；當時，令得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以要使在時恒成立，則只需，即，令，，所以，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，又，所以，故滿足條件的的值只有(2)由(1)知，所以，令，則，當，時，即在上單調(diào)遞增；又，，所以，使得，當時，；當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且所以，即，所以，即．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)法求函數(shù)的最值及恒成立問題處理方法，第(2)問通過最值問題深化對函數(shù)的單調(diào)性的考查，同時考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．18．（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當時根據(jù)題意有,共個；當時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解：（1）三個數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項共有種,根據(jù)古典概型有：,再根據(jù)組合數(shù)的計算公式能得到：,時,應滿足,,共個,時,應滿足,視為常數(shù),可解得,,根據(jù)可知,,,,根據(jù)可知,,（否則）,下設,則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),,,化簡上式關系式可以知道：,均為偶數(shù),設,則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,,．檢驗：符合題意,共有個,綜上所述：共有個數(shù)對符合題意．【點睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時也考查了組合數(shù)的運算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意19．（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析．【解析】由與，得，，的方程為．設，則，由得．①（Ⅰ）由，得，②，③由①、②、③三式，消去，并求得，故．（Ⅱ），當且僅當或時，取最小值，此時，，故與共線．20．(1);(2).【解析】

(1)平面平面,建立坐標系，根據(jù)法向量互相垂直求得;(2)求兩個平面的法向量的夾角.【詳解】(1)如圖，以為原點，在平面內(nèi)垂直于的直線為軸所在的直線分別為軸,軸，建立空間直角坐標系，則，設為平面的一個法向量,由得,取,則因為平面的一個法向量為由平面平面，得所以即.(2)設二面角的大小為，當平面的一個法向量為,綜上,二面角的余弦值為.【點睛】本題考查用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,難度一般.21．（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】

（1）解方程即可；（2）①設直線，，，將點的坐標用表示，證明即可；②分別用表示，，的面積即可.【詳解】（1）解之得