2024中考復(fù)習(xí)-圓綜合題

2024中考復(fù)習(xí)圓綜合題

1.如圖，在RtZXABC中，NABO90。，AB=CB,以AB為直徑的。O交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E是AB邊上一

點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，DE的延長線交于點(diǎn)G,DF1DG,且交BC于點(diǎn)F.

(I)求證：AE=BF：

(2)連接GB,EF,求證：GBIEF；

(3)若AE=1,EB=2,求DG的長.

2.如圖，AB為。O的直徑，直線CD切。O于點(diǎn)M,BEJ_CD于點(diǎn)E.

(I)求證：ZBME=ZMAB；

(2)求證：BM2=BE?AB；

(3)若BE」3,sinNBAM=2,求線段AM的長.

55

1

3.我們知道：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條??；平分弧的直徑垂直平分這條

弧所對的弦.你可以利用這一結(jié)論解決問題：

如經(jīng)，點(diǎn)P在以MN(南北方向)為直徑的。0上，MN=8,PQ_LMN交。0于點(diǎn)Q,垂足為H,PQWMN,

弦PC、PD分別交MN于點(diǎn)E、F,且PE=PF.

(I)比較而與而的大小；

(2)若OH=2沈，求證：OP〃CD；

(3)設(shè)直線MN、CD相交所成的銳角為a,試確定cosa=Y3時，點(diǎn)P的位置.

4.如圖，AABC內(nèi)接于。O,BD為。0的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H,AC的延長線與過點(diǎn)B的直線

相交于點(diǎn)E,且NA=NEBC.

(I)求證：BE是。0的切線；

(2)已知CG〃EB,且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G,若BG?BA=48,FG=加，DF=2BF,求AH

的值.

2

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0),A(0,-6),B(8,0)三點(diǎn)在。P上.

(I)求圓的半徑及圓心P的坐標(biāo)；

(2)M為劣弧標(biāo)的中點(diǎn)，求證：AM是NOAB的平分線；

(3)連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N,求N,M點(diǎn)的坐標(biāo).

6.如圖，在。0中，直徑AB垂直弦CD于E,過點(diǎn)A作NDAF二NDAB,過點(diǎn)D作AF的垂線，垂足為

F,交AB的延長線于點(diǎn)P,連接CO并延長交。O于點(diǎn)G,連接EG,已知DE=4,AE=8.

(I)求證：DF是。O的切線；

(2)求證:OC2=OE*OP；

(3)求線段EG的長.

3

9.如圖，在RtaABC中，ZC=90°,以BC為直徑的。O交斜邊AB于點(diǎn)M,若H是AC的中點(diǎn)，連接

MH.

(I)求證：MH為00的切線.

(2)若MH=W,tan/ABC=2,求。0的半徑.

24

(3)在(2)的條件下分別過點(diǎn)A、B作。。的切線，兩切線交于點(diǎn)D,AD與。O相切于N點(diǎn)，過N點(diǎn)

作NQ_LBC,垂足為E,且交。。于Q點(diǎn)，求線段NQ的長度.

10.已知：ZXABC內(nèi)接于。O,D是前h一點(diǎn)，OD_LBC,垂足為H.

(I)如圖1,當(dāng)圓心0在AB邊上時，求證：AC=2OH；

(2)如圖2,當(dāng)圓心。在aABC外部時，連接AD、CD,AD與BC交于點(diǎn)P,求證：ZACD=ZAPB；

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接BD,E為。0上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N,連

接OE,BF為。O的弦，BF±OE「點(diǎn)R交DE「點(diǎn)G,若NACD-ZABD=2ZBDN,AC=5加，BN=3^,

tanZABC=X求BF的長.

2

5

11.如圖，在aABC中，AB=AC,AE是NBAC的平分線，NABC的平分線BM交AE于點(diǎn)M,點(diǎn)0在

AB上，以點(diǎn)0為圓心，0B的長為半徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M,交BC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F.

(I)求證：AE為。O的切線.

(2)當(dāng)BC=8,AC=12時,求。O的半徑.

(3)在(2)的條件下，求線段BG的長.

12.已知，如圖，AB是(DO的直徑，點(diǎn)C為。0上一點(diǎn)，OF_LBC于點(diǎn)F,交。0于點(diǎn)E,AE與BC交

于點(diǎn)H,點(diǎn)D為OE的延長線上一點(diǎn)，且NODB=NAEC.

(I)求證：BD是。O的切線；

(2)求證:CE2=EH*EA；

6

13.己知：AB是。0的直徑，點(diǎn)P在線段AB的延長線上，BP=OB=2,點(diǎn)Q在。。上，連接PQ.

(I)如圖①，線段PQ所在的直線與。O相切，求線段PQ的長；

(2)如圖②，線段PQ與。O還有一個公共點(diǎn)C,且PC=CQ,連接OQ,AC交于點(diǎn)D.

①推斷0Q與AC的位置關(guān)系，并說明理由；

②求線段PQ的長.

14.已知：。。上兩個定點(diǎn)A,B和兩個動點(diǎn)C,D,AC與BD交于點(diǎn)

(I)如圖1,求證：EA?EC=EB?ED；

(2)如圖2,若槍灰，AD是00的直徑，求證：AD*AC=2BD*BC；

(3)如圖3,若AC_LBD,點(diǎn)O到AD的距離為2,求BC的長.

7

15.如圖，在直角坐標(biāo)系中，0M經(jīng)過原點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(加，0)與點(diǎn)B(0,-&)，點(diǎn)D在劣弧

0A±,連接BD交x軸于點(diǎn)C,且NCOD=NCBO.

(I)求。M的半徑；

(2)求證：BD平分/ABO；

(3)在線段BD的延長線上找一點(diǎn)E,使得直線AE恰好為。M的切線，求此時點(diǎn)E的坐標(biāo).

x?

16.如圖，AB是。O的直徑，C、G是。O上兩點(diǎn)，且AC=CG,過點(diǎn)C的直線CDJ_BG于點(diǎn)D,交BA

的延長線于點(diǎn)E,連接BC,交OD于點(diǎn)F.

(I)求證：CD是。O的切線.

(2)若里二2,求NE的度數(shù).

FD3_

(3)連接AD,在(2)的條件下，若CD=JW求AD的長.

8

17.如圖，點(diǎn)A和動點(diǎn)P在直線1上，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為Q,以AQ為邊作RCABQ,使/BAQ=90。,

AQ：AB=3：4,作AARQ的外接圓O.點(diǎn)C在點(diǎn)P右側(cè)，PC=4,過點(diǎn)C作直線mJJ,過點(diǎn)O作OD_L

m于點(diǎn)D,交AB右側(cè)的圓弧于點(diǎn)E.在射線CD上取點(diǎn)F,使DF=^CD,以DE,DF為鄰邊作矩形DEGF.設(shè)

2

AQ=3x.

（I）用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ,DF.

（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A右側(cè)時，若矩形DEGF的面積等于90,求AP的長.

（3）在點(diǎn)P的整個運(yùn)動過程中，

①當(dāng)AP為何值時，矩形DEGF是正方形？

②作直線BG交。。于點(diǎn)N,若BN的弦心距為1,求AP的長（干脆寫出答案）.

18.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C為。O上一點(diǎn)，AE和過點(diǎn)C的切線相互垂直，垂足為E：AE交。O

于點(diǎn)D,直線EC交AB的延長線于點(diǎn)P,連接AC,BC,PB；PC=1：2.

（I）求證：AC平分NBAD；

（2）探究線段PB,AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）若AD=3,求△ABC的面積.

9

19.如圖，AB是。。的直徑，AB=6,過點(diǎn)。作OH_LAB交圓于點(diǎn)H,點(diǎn)C是弧AH上異于A、H的動

點(diǎn)，過點(diǎn)C作CDJ_OA,CE1OH,垂足分別為D、E,過點(diǎn)C的直線交OA的延長線于點(diǎn)G,且NGCD=

ZCED.

(I)求證：GC是。O的切線；

(2)求DE的長；

(3)過點(diǎn)C作CF_LDE于點(diǎn)F,若NCED=30。，求CF的長.

H

20.如圖1,水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上,

AB=BC=6cm,OD=3cm,起先的時候BD=lcm,現(xiàn)在三角板以2cm/s的速度向右移動.

(I)當(dāng)B與O重合的時候，求三角板運(yùn)動的時間；

(2)如圖2,當(dāng)AC與半圓相切時，求AD：

(3)如圖3,當(dāng)AB和DE重合時，求證：CF2=CG?CE.

Do

10

21.OO是aABC的外接網(wǎng)，AB是直徑，過BC的中點(diǎn)P作。0的直徑PG交弦BC于點(diǎn)D,連接AG、

CP、PB.

（I）如圖1,若D是線段OP的中點(diǎn)，求NBAC的度數(shù)；

（2）如圖2,在DG上取一點(diǎn)K,使DK二DP,連接CK,求證：四邊形AGKC是平行四邊形;

（3）如圖3,取CP的中點(diǎn)E,連接ED并延長ED交AB于點(diǎn)H,連接PH,求證：PH1AB.

22.如圖，在4ACE中，CA=CE,NCAE=30。，OO經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的宜徑AB在線段AE上.

（I）試說明CE是。0的切線；

（2）若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。。的直徑AB：

（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上隨意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接0D,當(dāng)LCD+OD的最小值為6時，求。0的直徑

2

AB的長.

11

23.AB,CD是。O的兩條弦，直線AB,CD相互垂直，垂足為點(diǎn)E,連接AD,過點(diǎn)B作BF_LAD,垂

足為點(diǎn)E直線BF交直線CD于點(diǎn)G.

(I)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在。O外時，連接BC,求證：BE平分NGBC：

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在。O內(nèi)時，連接AC,AG,求證：AC=AG；

(3)如圖3,在(2)條件下，連接BO并延長交AD于點(diǎn)H,若BH平分NABF,AG=4,tanZD=-l,求

3

線段AH的長.

24.已知。O是以AB為直徑的Z\ABC的外接圓，OD〃BC交于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,連接AD、BD,

BD交AC于點(diǎn)F.

(I)求證：BD平分NABC：

(2)延長AC到點(diǎn)P,使PF=PB,求證：PB是。O的切線；

(3)假如AB=10,cos/ABC二旦，求AD.

5

12

25.如圖，四邊形ABCD為菱形，對角線AC,BD相交于點(diǎn)E,F是邊BA延長線上一點(diǎn)，連接EF,以

EF為直徑作。O,交DC于D,G兩點(diǎn)，AD分別于EF,GF交于I,H兩點(diǎn).

（I）求NFDE的度數(shù)；

（2）試推斷四邊形FACD的形態(tài)，并證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)G為線段DC的中點(diǎn)時，

①求證：FD=FI：

②設(shè)AC=2m,BD=2n,求。0的面積與菱形ABCD的面積之比.

26.己知，如圖，AB是半圓O的直徑，弦CD〃AB,動點(diǎn)P,Q分別在線段OC,CD上，且DQ=OP,

AP的延長線與射線OQ相交于點(diǎn)E,與弦CD相交于點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C,D不重合），AB=20,cosZAOC=-i,

5

設(shè)OP=x,Z\CPF的面積為y.

<I）求證；AP=OQ；

（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域；

（3）當(dāng)AOPE是直角三角形時，求線段OP的長.

備用尊

13

27.己知Rt^ABC中，AB是。0的弦，斜邊AC交。0于點(diǎn)D,且AD=DC,延長CB交。0于點(diǎn)E.

(I)圖I的A、B、C、D、E五個點(diǎn)中，是否存在某兩點(diǎn)間的距離等于線段CE的長？請說明理由；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作。0的切線，交AC的延長線于點(diǎn)F.

①若CF=CD時，求sinZCAB的值；

②若CF=aCD(a>0)時，試猜想sin/CAB的值.(用含a的代數(shù)式表示，干脆寫出結(jié)果)

28.如圖1,4ABC內(nèi)接于。O,ZBAC的平分線交。O于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E(BE>EC),且BD=2%.過

點(diǎn)D作DF〃BC,交AB的延長線于點(diǎn)F.

(I)求證：DF為。0的切線；

(2)若/BAC=60。，DE=V7>求圖中陰影部分的面積；

(3)若理=1,DF+BF=8,如圖2,求BF的長.

AC3

14

29.在AABC的外接圓OO中，Z^ABC的外角平分線CD交。O于點(diǎn)D,F為益1.?

點(diǎn)，且AF=BC連接DF,并延長DF交BA的延長線于點(diǎn)E.

(I)推斷DB與DA的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(2)求證：△BCD04AFD；

(3)若NACM=120°,OO的半徑為5,DO6,求DE的長.

30.如圖，四邊形ABCD是。O的內(nèi)接正方形，AB=4,PC、PD是。O的兩條切線，C、D為切點(diǎn).

(I)如圖1,求。O的半徑；

(2)如圖1,若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接PE,求PE的長度；

(3)如圖2,若點(diǎn)M是BC邊上隨意一點(diǎn)(不含B、C),以點(diǎn)M為直角頂點(diǎn)，在BC的上方作NAMN=90。,

交直線CP于點(diǎn)N,求證：AM二MN.

15

答案

1.(2024?包頭)如圖，在RiZSABC中，ZABC=90°,AB=CB.以AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)D,點(diǎn)E

是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，DE的延長線交。0于點(diǎn)G,DF1DG,且交BC于點(diǎn)F.

(I)求證：AE=BF；

(2)連接GB,EF,求證：GBIEF；

(3)若AE=1,EB=2,求DG的長.

【分析】(1)連接BD,由三角形ABC為等腰直角三角形，求出NA與NC的度數(shù)，依據(jù)AB為圓的直徑,

利用圓周角定理得到NADB為直角，即BD垂直于AC,利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，

得到AD=DC=BD」AC,進(jìn)而確定出NA=NFBD,再利用同角的余角相等得到一對角相等，利用ASA得

2

到三角形AED與三角形BFD全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；

(2)連接EF,BG,由三角形AED與三角形BFD全等，得至ljED=FD,進(jìn)而得到三角形DEF為等腰直角

三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行即可得

證；

(3)由全等三角形對應(yīng)邊相等得到AE=BF=1,在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的長，利用

銳角三角形函數(shù)定義求出DE的長，利用兩對角相等的三角形相像得到三角形AED與三角形GEB相像，

由相像得比例，求出GE的長，白GE+ED求出GD的長即可.

【解答】(1)證明：連接BD,

在RtZXABC中，ZABC=90°,AB=BC,

/.ZA=ZC=45O,

VAB為圓O的直徑,

???/ADB=90°,即BD_LAC,

.*.AD=DC=BD=-tAC,ZCBD=ZC=45°,

2

AZA=ZFBD,

VDF±DG,

/.ZFDG=90\

AZFDB+ZBDG=90°,

VZEDA+ZBDG=90°,

AZEDA=ZFDB,

在AAED和ABED中，

"A二NFBD

<AD=BD，

ZEDA=ZFDB

AAAED^ABFD(ASA),

.,.AE=BF；

16

(2)證明：連接EF,BG,

???△AED空△BFD,

，DE=DF,

ZEDF=90°,

???△EDF是等腰直角三角形，

ZDEF=45°,

VZG=ZA=45°,

ZG=ZDEF,

???GB〃EF；

(3)VAE=BF,AE=L

ABF=1,

在RtZ\EBF中，ZEBF=90%

???依據(jù)勾股定理得：EF2=EB2+BF2,

VEB=2,BF=1,

??庇=62+[2=的,

:△DEF為等腰直角三角形，ZEDF=90°,

COSZDEF=-5?-,

EF

???EF=M，

：?DE二道義立二蟲

22

VZG=ZA,ZGEB=ZAED,

AAGEB^AAED,

AGE=EBf即GE?ED=AE?EB,

AEED

.,?瓜^?GE=2,即GE=2Z近

25

則GD=GE+ED=^/^.

10

【點(diǎn)評】此題屬于圓綜合題，涉及的學(xué)問有：全等三角形的判定與性質(zhì)，相像三角形的判定與性質(zhì)，勾股

定理，圓周角定理，以及平行線的判定與性質(zhì)，嫻熟駕馭判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

2.(2024?青海)如圖，AB為。0的直徑，直線CD切。O于點(diǎn)M,BE_LCD于點(diǎn)E.

(I)求證：NBME=NMAB；

(2)求證：BM2=BE*AB；

(3)若BE」&,sinNBAM=W求線段AM的長.

55

17

c

E

A

【分析】(1)由切線的性質(zhì)得出/BME+NOMB=9()。，再由直徑得出NAMB=90。，利用同角的余角相等推

斷出結(jié)論；

(2)由(1)得出的結(jié)論和直角，推斷出△BMES/\BAM,即可得出結(jié)論，

(3)先在RtZXBEM中，用三角函數(shù)求出BM,再在RtAABM中，用三角函數(shù)和勾股定理計算即可.

【解答】解：(1)如圖，連接0M,

???直線CD切。0于點(diǎn)M,

???/OMD=90。，

AZBME+ZOMB=90°,

???AB為。0的直徑，

.\ZAMB=90°.

.*.ZAMO+ZOMB=90\

AZBME=ZAMO.

VOA=OM,

AZMAB=ZAMO,

AZBME=ZMAB：

(2)由(1)有，ZBME=ZMAB,

?/BE_LCD,

.\ZBEM=ZAMB=90°,

???△BMES/XBAM,

,?,現(xiàn)二里

??而漏，

/.BM2=BE?AB；

(3)由(1)有，ZBME=ZMAB,

,??$inNBAM=W,

5

，sinNBME=2,

5

在RtZXBEM中，BE=A2,

5

???sinNBME=^=上，

BM5

，BM=6,

在RtZXABM中，sinNBAM=S,

5

???$inNBAM=BM=3.,

AB5

???AB工BM=10,

3

依據(jù)勾股定理得，AM=8.

18

E

【點(diǎn)評】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質(zhì)，直徑所對的圓周角是直徑，相像三角形的性質(zhì)和判

定，三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵是推斷出，△BMES/XBAM.

3.(2024?泉州)我們知道：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩條??；平分弧的直徑

垂直平分這條弧所對的弦.你可以利用這一結(jié)論解決問題：

如圖，點(diǎn)P在以MN(南北方向)為宜徑的。O上，MN=8,PQJ_MN交「點(diǎn)Q,垂足為H,PQKMN,

弦PC、PD分別交MN于點(diǎn)E、F,且PE二PF.

(I)比較而與而的大小；

(2)若OH=2沈，求證：OP〃CD；

(3)設(shè)直線MN、CD相交所成的銳角為a,試確定cosa=Y3時，點(diǎn)P的位置.

【分析】(1)依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由PE=PF,PH_LEF可推斷PH平分NFPE,然后依據(jù)圓周角定理得

到擊而：

(2)連結(jié)CD、OP、OQ,OQ交CD于B,如圖，先計算出PH=2&,則可推斷△OPH為等腰直角三角

形得到NOPQ=45。，再推斷AORQ為等腰直角三角形得到NP()Q=90。，然后依據(jù)垂徑的推理由而=而得到

OQ1CD,

則依據(jù)平行線的判定方法得OP//CD；

(3)直線CD交MN于A,如圖，由特殊角的三角函數(shù)值得Na=3()。，即直線MN、CD相交所成的銳角

為30°,利用OB_LCD得到/AOB=60°,則/POH=60°,然后在RQPOH中利用正弦的定義計算出PH即

可.

【解答】(1)解：???PE=PF,PH1EF,

???PH平分NFPE,

???/DPQ=NCPQ,

.,.CQ=DQ；

(2)證明：連結(jié)CD、OP、OQ,OQ交CD于B,如圖，

,??0H=2近OP=4,

工PH、/祥.(班產(chǎn)2加,

19

???△OPH為等腰直角三角形，

???ZOPQ=45°,

而OP=OQ,

???△OPQ為等腰直角三角形，

/POQ=90。，

AOPXOQ,

VCQ=DQ?

A0Q1CD,

AOP/7CD；

(3)解：直線CD交MN于A,如圖，

Vcosa=^^,

2

/.Za=30°,即直線MN、CD相交所成的銳角為30。,

而OB_LCD,

ZAOB=60°,

VOH1PQ,

???ZPOH=60°,

在RtAPOH中，VsinZPOH二四，

_OP

.??PH=4sin60°=2%,

即點(diǎn)P到MN的距離為2寸不

【點(diǎn)評】本題考查了圓的綜合題：嫻熟駕馭垂徑定理及其推理、圓周角定理；能夠敏捷應(yīng)用等腰直角三角

形的性質(zhì)和三角函數(shù)進(jìn)行幾何計算.

4.(2024?瀘州)如圖，ZXABC內(nèi)接于。O,BD為。O的直徑，BD與AC相交于點(diǎn)H,AC的延長線與過

點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)E,且/A=NEBC.

(I)求證：BE是。O的切線；

(2)已知CG〃EB,且CG與BD、BA分別相交于點(diǎn)F、G,若BG?BA=48,FG=&,DF=2BF,求AH

的值.

20

【分析】(1)欲證明BE是。O的切線，只要證明/EBD=90。.

(2)由△ABCs/^CBG,得BC=AB求出BC,再由△BFCs/^BCD,得BC?=BF?BD求出BF,CF,CG,

BGBC

GB,再通過計算發(fā)覺CG=AG,進(jìn)而可以證明CH=CB,求出AC即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接CD,

???BD是直徑，

.,.ZBCD=90°,即ND+NCBD=90°,

VZA=ZD,ZA=ZEBC,

.,.ZCBD+ZEBC=90°,

ABEIBD,

「.BE是GO切線.

(2)解：?.?CG〃EB,

???/BCG=NEBC,

AZA=ZBCG,

???ZCBG=ZABC

AAABC^ACBG,

??匹二幽即BC2=BG*BA=48,

BGBC

，BC=4%，

VCG/7EB,

，CF_LBD,

/.△BFC^ABCD,

.\BC2=BF*BD,

VDF=2BF,

???BF=4,

在RTZ\BCF中，CF=AyBC2_FB2=472*

???CG=CF+FG=5加，

=22=3,

在RTZ\BFG中，BGA/BF+FG^2

VBG*BA=48,

???BA=8亞艮AG=5加,

/.CG=AG,

.\ZA=ZACG=ZBCG,ZCFH=ZCFB=90°,

/.ZCHF=ZCBF,

，CH=CB=4加，

21

VAABC^ACBG,

.AC_BC

，，CG-BG，

?

AC=BC<G=20V3

.*.AH=AC-CH=-^Z2.

3

【點(diǎn)評】本題考查切線的判定、圓的有關(guān)學(xué)問、相像三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.等腰三角形的判定

和性質(zhì)等學(xué)問，解題的關(guān)鍵是奇妙利用相像三角形的性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題.

5.(2024?赤峰)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中，O(0.0),A(0,-6),B(8,0)三點(diǎn)在G)P上.

(I)求圓的半徑及圓心P的坐標(biāo)；

(2)M為劣弧標(biāo)的中點(diǎn)，求證：AM是NOAB的平分線;

(3)連接BM并延長交y軸于點(diǎn)N,求N,M點(diǎn)的坐標(biāo).

【分析】(1)先利用勾股定理計算出AB=10,再利用圓周角定理的推理可推斷AB為(DP的直徑，則得到

OP的半徑是5,然后利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到P點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)依據(jù)圓周角定理由而二戴，NOAM:NMAB,于是可推斷AM為NOAB的平分線;

(3)連接PM交OB于點(diǎn)Q,如圖，先利用垂徑定理的推論得到PM_LOB,BQ=0Q=AQB=4,再利用勾

股定理計算出PQ=3,則MQ=2,于是可寫出M點(diǎn)坐標(biāo)，接著證明MQ為ABON的中位線得到ON=2MQ=4,

然后寫出N點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：⑴VO(0,0),A(0,-6),B(8,0),

.*.OA=6,OB=8,

AAB=J^2+g2=10,

???ZAOB=90°,

???AB為。P的直徑，

22

J0P的半徑是5

,??點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，

???P（4,-3）；

（2）;M點(diǎn)是劣弧OB的中點(diǎn),

工褊就

/.ZOAM=ZMAB,

JAM為NOAB的平分線；

（3）連接PM交OB于點(diǎn)Q,如圖,

VOFBM，

Z.PM1OB,BQ=OQ=AJOB=4,

2

在RtZXPBQ中，PQ=7PB2-BQ2=7B2-4^3,

???MQ=2,

???M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4,2）；

VMQ/7ON,

而OQ=BQ,

???MQ為ABON的中位線，

AON=2MQ=4,

???N點(diǎn)的坐標(biāo)為（0,4）.

【點(diǎn)評】本題考查了圓的綜合題：嫻熟駕馭垂徑定理和圓周角定理；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，記住線段的

中點(diǎn)坐標(biāo)公式，會利用勾股定理計算線段的長.此類題目通常解由半徑、弦心距和弦的一半所組成的直角

三角形.

6.（2024?恩施州）如圖，在。O中，直徑AB垂直弦CD于E,過點(diǎn)A作NDAF=NDAB,過點(diǎn)D作AF

的垂線，垂足為F,交AB的延長線于點(diǎn)P,連接CO并延長交?O于點(diǎn)G,連接EG,已知DE=4,AE=8.

（I）求證：DF是。O的切線；

（2）求證：OC2=OE*OP：

（3）求線段EG的長.

23

【分析】(1)連接OD,由等腰三角形的性質(zhì)得出NDAB=NADO,再由已知條件得出NADO二NDAF,證

出OD〃AF,由已知DFJ_AF,得出DFJ_OD,即可得出結(jié)論；

(2)由射影定理得出OD2=OE?OP,由OC=OD,即可得出OC2=OE?OP；

(3)由垂徑定理得出DE=CE=4,ZOEC=90%由相交弦定理得出DE2=AEXBE,求出BE=2,得出直徑

CG=AB=AE+BE=IO,半徑OC」CG=5,由三角函數(shù)的定義得出cosC=型=9,在4CEG中，由余弦定理

2OC5

求出EG?,即可得出EG的長.

【辭答】(1)證明：連接OD,如圖所示:

VOA=OD,

AZDAB=ZADO,

VZDAF=ZDAB,

AZADO=ZDAF,

???OD〃AF,

XVDF1AF,

???DF_LOD,

???DF是。O的切線；

(2)證明：由(1)得:DFXOD,

???ZODF=90°,

VAB±CD.

???由射影定理得：OD2=OE?OP,

VOC=OD,

/.OC2=OE*OP；

(3)解：VABICD,

ADE=CE=4,ZOEC=90°,

由相交弦定理得：DE2=AEXBE,

即42=8XBE,

解得:BE=2,

???CG=AB=AE+BE=8+2=10,

??.OC=&G=5,

2

,-.cosC=-^=A,

OC5

22222

在ACEG中，由余弦定理得：EG=CG+CE-2XCGXCEXCOSC=10+4-2X10X4X-l=52,

5

.,.EG=V52=2V13.

【點(diǎn)評】本題是圓的綜合題目，考查了切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、射影定理、相交

弦定理、余弦定理、三角函數(shù)等學(xué)問；本題綜合性強(qiáng)，有肯定難度，特殊是(3)中，須要運(yùn)用相交弦定

理、三角函數(shù)和余弦定理來才能得出結(jié)果.

24

7.（2024?鄂州）如圖,在RtAABC中,ZACB=90°,AO是AABC的角平分線.以O(shè)為圓心，OC為半

徑作。O.

(I)求證：AB是。0的切線.

已知AO交。O于點(diǎn)E,延長AO交。O于點(diǎn)D,tanD;1,求娼的值.

2AC

(3)在（2）的條件下，設(shè)。。的半徑為3,求AB的長.

【分析】（1）由于題目沒有說明直線AB與。O有交點(diǎn)，所以過點(diǎn)O作OF_LAB于點(diǎn)F,然后證明OC=OF

即可；

（2）連接CE,先求證NACE=/ODC,然后可知△ACEs^ADC,所以幽《二^,而tanND=9^=工；

ACCDCD2

（3）由（2）可知，AC2=AE?AD,柳以可求出AE和AC的長度,由（1）可知,AOFB^AABC,所以心、

BCAC

然后利用勾股定理即可求得AB的長度.

【解答】（1）如圖，過點(diǎn)O作OF_LAB于點(diǎn)F,

YAO平分NCAB,

OC±AC,OF_LAB,

.\OC=OF,

JAB是。0的切線；

(2)如圖，連接CE,

〈ED是。。的直徑，

JZECD=90°,

AZECO+ZOCD=90°,

VZACB=90°,

JZACE+ZECO=90°,

.\ZACE=ZOCD,

VOC=OD,

AZOCD=ZODC,.\ZACE=ZODC,

VZCAE=ZCAE,/.AACE^AADC,

.AECE

??瓦F

VtanZD=—,

2

?.*'CE.~1,?，

CD2

.AE.1

?---------:

AC2

25

(3)由(2)可知：幽一工，

AC2

???設(shè)AE=x,AC=2x,

VAACE^AADC,

?AEAC

??記而

AAC2=AE*AD,

(2x)2=x(x+6),

解得：x=2或x=0(不合題意，舍去)，

AAE=2,AC=4,

由(1)可知：AC=AF=4,

ZOFB=ZACB=90°,

VZB=ZB,

/.△OFB^AACB,

?

??BF_―OF,

BCAC

設(shè)BF二a,,?.BO至，

3

/.BO=BC-OC=3-3,

3

在RtaBOF中，

BO2=OF2+BF2,

??.(^.-3)2=32+a2,

3

???解得：a二生或a=0(不合題意，舍去)，

7

AAB=AF+BF=122..

7

【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合問題，解題的關(guān)鍵是證明△ACES^ADC.本題涉及勾股定理，解方程，圓的

切線判定學(xué)問，內(nèi)容比較綜合，須要學(xué)生構(gòu)造協(xié)助線才能解決問題，對學(xué)生綜合實力要求較高.

8.(2024?德州)如圖，。。是△ABC的外接圓，AE平分NBAC交。O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E

做直線1〃BC.

(I)推斷直線1與。O的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若/ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證：BE=EF；

(3)在(2)的條件下，若DE=4,DF=3,求AF的長.

【分析】(1)連接OE、OB、OC.由題意可證明踴二底，于是得到NBOE=NCOE,由等腰三角形三線合

一的性質(zhì)可證明OE_LBC,于是可證明OEJJ,故此可證明直線1與。O相切；

26

（2）先由角平分線的定義可知NABF二NCBF,然后再證明NCBE二NBAF,于是可■得至UNEBF=NEFB,

最終依據(jù)等角對等邊證明BE=EF即可；

（3）先求得BE的長，然后證明△BEDsaAEB,由相像三角形的性質(zhì)可求得AE的長，于是可得到AF

的長.

【解答】解：（1）直線1與。0相切.

理由：如圖1所示：連接OE、OB、OC.

「AE平分NBAC,

AZBAE=ZCAE.

.e.BE=CE.

AZBOE=ZCOE.

XVOB=OC.

AOE±BC.

AOE±1.

???直線1與。O相切.

(2)???BF平分NABC,

???/ABF=NCBF.

XVZCBE=ZCAE=ZBAE,

ZCBE+ZCBF=ZBAE+ZABF.

XVZEFB=ZBAE+ZABF,

AZEBF=ZEFB.

，BE=EF.

(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=7.

VZDBE=ZBAE,ZDEB=ZBEA,

AABED^AAEB.

嗡卷畔長解得;AE邛.

???AF=AE-EF=-^--7二駕.

44

【點(diǎn)評】本題主要考查的是圓的性質(zhì)、相像三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、

切線的判定，證得NEBF二NEFB是解題的關(guān)鍵.

9.（2024?大慶）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,以BC為直徑的。O交斜邊AB于點(diǎn)M,若H是AC

的中點(diǎn)，連接MH.

（I）求證：MH為。O的切線.

（2）若MH=W,tanNABC=2,求。。的半徑.

24

27

(3)在(2)的條件下分別過點(diǎn)A、B作。0的切線，兩切線交于點(diǎn)D,AD與。O相切于N點(diǎn)，過N點(diǎn)

作NQJLBC,垂足為E,且交。0于Q點(diǎn)，求線段NQ的長度.

【分析】(1)連接OH、0M,易證0H是AABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明△COHg/XMOH,

所以NHC0=NHM0=9()。，從而可知MH是。O的切線；

(2)由切線長定理可知：MH=HC,再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)可知AC=3,由tan/ABC=2,所以BC=4,

從而可知。O的半徑為2；

(3)連接CN,AO,CN與A0用交于I,由AC、AN是。0的切線可知AO_LCN,利用等面積可求出可

求得CI的長度，設(shè)CE為x,然后利用勾股定理可求得CE的長度，利用垂徑定理即可求得NQ.

【解答】解：(1)連接OH、OM.

A

???H是AC的中點(diǎn)，O是BC的中點(diǎn)，

JOH是AABC的中位線，

???OH〃AB,

/.ZCOH=ZABC,ZMOH=ZOMB,

又???OB=OM,

???ZOMB=ZMBO,

.,.ZCOH=ZMOH,

在ACOH與△MOH中，

'OC二OM

<NCOH=NMOH，

OH二OH

AACOH^AMOH(SAS),

.,.ZHCO=ZHMO=90%

???MH是00的切線；

(2)?.?MH、AC是00的切線,

???HC=MH4

.*.AC=2HC=3,

28

VtanZABC--5-,

4

?

??AC—.3

BC4

.,.BC=4,

???0O的半徑為2；

(3)連接OA、CN、ON,OA與CN相交于點(diǎn)I,

VAC與AN都是。O的切線，

AAC=AN,AO平分NCAD,

AAO±CN.

VAC=3,OC=2,

???由勾股定理可求得：AO=V13?

TAC?OC,AO?CI,

22

AC1=^/13t

13

???由垂徑定理可求得：CN二三逗,

13

設(shè)OE=x,

由勾股定理可得：CN2-CE2=ON2-OE2,

/.All-(2+x)2=4-X2,

13

?_10

??Av-9

13

?,.OE=W

13

由勾股定理可求得：EN=21,

13

工由垂徑定理可知：NQ=2EN=98.

13

【點(diǎn)評】本題考查圓的綜合問題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定等學(xué)

問內(nèi)容，對學(xué)生的綜合實力要求較高，肯定要留意將所學(xué)學(xué)問貫穿起來.

10.(2024?哈爾濱)已知：ZXABC內(nèi)接于。O,D是標(biāo)上一點(diǎn)，ODJ_BC,垂足為H.

(I)如圖1,當(dāng)圓心O在AB邊上時，求證：AC=2OH：

(2)如圖2,當(dāng)圓心O在AABC外部時，連接AD、CD,AD與BC交于點(diǎn)P,求證：ZACD=ZAPB：

29

(3)在(2)的條件下，如圖3,連接BD,E為。O上一點(diǎn)，連接DE交BC于點(diǎn)Q、交AB于點(diǎn)N,連

接OE,BF為00的弦，BF10E于點(diǎn)R交DE于點(diǎn)G,若NACD-ZABD=2ZBDN,AC=5加，BN=3%,

tanZABC=-,求BF的長.

B

（圉3）

【分析】(1)OD_LBC可知點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，又中位線的性質(zhì)可得AC=2OH；

(2)由垂徑定理可知：麗奇，所以NBAD=NCAD,由因為NABC=NADC,所以NACD=NAPB；

(3)由NACD-NABD=2/BDN可知NAND=90。，由lan/ABC=-L可知NQ和BQ的長度，再由BF_L

2

OE和OD_LBC可知NGBN=NABC,所以BG二BQ,連接AO并延長交。O于點(diǎn)I,連接IC后利用圓周角

定理可求得IC和AI的長度，設(shè)QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的長度，利用垂徑定理可求得ED

的長度，最終利用tanNOED=^^|l可求得RG的長度，最終由垂徑定理可求得BF的長度.

2

【解答】解：(1)VOD±BC.

???由垂徑定理可知：點(diǎn)H是BC的中點(diǎn)，

???點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

???0H是AABC的中位線，

.,.AC=20H；

(2)V0D1BC,

???由垂徑定理可知：而二而，

.\ZBAD=ZCAD,

VAC=AC，

.\ZABC=ZADC,

A180°-ZBAD-ZABC=180°-ZCAD-ZADC,

/.ZACD=ZAPB,

(3)連接AO延長交于。O于點(diǎn)I,連接IC,AB與OD相交于點(diǎn)M,

（圖3）

ZACD-ZABD=2ZBDN,

???ZACD-ZBDN=ZABD+ZBDN,

ZABD+ZBDN=ZAND,

/.ZACD-ZBDN=ZAND,

VZACD+ZABD=180°,

???ZABD+ZBDN=180°-ZAND,

30

.*.ZAND=180°-ZAND,

???ZAND=90°,

VtanZABC=—,BN=3逐，

2

??.NQ=^1,

2

???由勾股定理可求得：BQ上,

2

VZBNQ=ZQHD=90%

.*.ZABC=ZQDH,

VOE=OD,

???/OED=NQDH,

VZERG=90°,

???/OED=NGBN,

???ZGBN=ZABC,

VAB1ED,

???BG=BQ=與GN=NQ=2^t

TAI是GO直徑.

???ZACI=90°,

VtanZA!C=tanZABC=—,

2

?AC_1

??—^—9

IC2

???IC=10追

J由勾股定理可求得:AI=25,

連接OB,

設(shè)QH=x,

VtanZABC=tanNODE」,

2

?QH1

??=—,

HD2

AHD=2x,

.*.OH=OD-HD=-?5.-2X