專題0464平面向量的應(yīng)用（643余弦定理正弦定理）

專題04：6.4平面向量的應(yīng)用（6.4.3余弦定理、正弦定理）重點(diǎn)題型解題思路培養(yǎng)題型一：余弦定理核心技巧：在中，內(nèi)角，所對的邊分別是,則：；余弦定理的推論；；①題意中出現(xiàn)多個平方關(guān)系，優(yōu)先想到余弦定理②題意中出現(xiàn)一角和對邊（如題意中已知和）優(yōu)先想到余弦定理③題意中出現(xiàn)，注意到前面是“”號，優(yōu)先想到例題1．（2021·湖南·懷化五中高二期中）在中，若，則=（

）.A． B． C． D．聯(lián)想：注意到前是負(fù)號，聯(lián)想到聯(lián)想：注意到前是負(fù)號，聯(lián)想到由題意中兩邊同除以得：【答案】B【詳解】由，得，由于，所以.故選：B例題2．（2021·江西·雷式中學(xué)高一期中）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則角等于（

）A． B． C． D．聯(lián)想：余弦定理，但是要先化成邊的關(guān)系，所以先利用正弦定理化角為邊由題意中聯(lián)想：余弦定理，但是要先化成邊的關(guān)系，所以先利用正弦定理化角為邊由題意中，題意中出現(xiàn)多個平方關(guān)系左右兩邊同乘得到：兩邊同時(shí)除以【答案】D【詳解】解：利用正弦定理角化邊可得，，即．因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，所以.故選：D.題型二：邊角互化核心技巧：在中，若角、及所對邊的邊長分別為，及，其外接圓半徑為，則，，（可實(shí)現(xiàn)邊到角的轉(zhuǎn)化），，（可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）①有邊有角優(yōu)先想到正弦定理邊角互化（注意邊角互化過程中不可隨意忽略）例題1．（2022·北京石景山·高三期末）在中，若，則（

）A． B． C． D．聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；若是角化邊（可用正弦定理化邊；也可考慮余弦定理化邊）由題意中聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；若是角化邊（可用正弦定理化邊；也可考慮余弦定理化邊）由題意中，有邊有角約去左右兩邊同除以（注意在中，）【答案】C因?yàn)?，由正弦定理可得，由于，即，所以，得，故選：C.例題2．（2022·湖北武昌·高三期末）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；由題意中，有邊有角約去聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；由題意中，有邊有角約去對于，同角不同名，優(yōu)先想到輔助角公式：解題思路【答案】(1)；(1)解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，所以，即，即，，則，所以，，解得．題型三：核心技巧：在中，；①②注意這兩個核心技巧在使用的過程中，正向和逆向的運(yùn)用，如：題意中出現(xiàn)，能想到化簡成；反過來，如果題意中出現(xiàn)有時(shí)候根據(jù)題意需要，能想到化簡成.同樣對于②也要能注意正向和逆向的應(yīng)用，并同時(shí)注意到公式中有個“”號.例題1．（2022·江西·高三期末（理））在中，角，，的對邊分別為a，b，c，，則角的大小為（

）聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；由題意中，有邊有角約去注意到上式化簡后出現(xiàn)角,,,聯(lián)想到：；進(jìn)一步，消去哪個角呢？注意到角的位置，角,關(guān)聯(lián)，所以選擇消去聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；由題意中，有邊有角約去注意到上式化簡后出現(xiàn)角,,,聯(lián)想到：；進(jìn)一步，消去哪個角呢？注意到角的位置，角,關(guān)聯(lián)，所以選擇消去，能簡化計(jì)算.化簡得：，約去得解解題思路【答案】A【詳解】由及正弦定理，得，所以.所以，又，所以，，又，所以.故選：A.例題2．（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（文））的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，求.第（1）問：解題思路聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；聯(lián)想：優(yōu)先邊化角；由題意中，有邊有角注意到上式化簡后出現(xiàn)角,,,聯(lián)想到：；進(jìn)一步，消去哪個角呢？注意到角的位置，角,關(guān)聯(lián)，所以選擇消去，能簡化計(jì)算.化簡得：，從而求解【答案】(1)；(1)因?yàn)?，所以，即，化簡得，所以，又因?yàn)椋?第（2）問：解題思路聯(lián)想：在聯(lián)想：在中，已知一對（一角和對邊）優(yōu)先想到余弦定理.(注意：已知一對，優(yōu)先想到余弦定理，后正弦定理）由（1）知，結(jié)合題意知，代入已知條件：(2)因?yàn)?，所以，整理得，解?例題3．（2020·江西·高三期中（文））在中，角，，的對邊分別是，，，且.求角的大??；解題思路聯(lián)想聯(lián)想：，代入已知條件中化簡由題意中，注意到已知條件中有注意到上式化簡后出現(xiàn)；可化簡為：，代入化簡【答案】；（1）因?yàn)?，所以，所以，得，即，因?yàn)?，所?實(shí)戰(zhàn)演練1．（2022·江西省修水縣英才高級中學(xué)高二期末（文））在中，若，則（

）A．150° B．120° C．60° D．30°【答案】C【詳解】若,則根據(jù)正弦定理得：，即,而，故，故選：C.2．（2021·廣東·深圳市龍崗區(qū)德琳學(xué)校高一期中）內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】,，，.故選：C3．（2021·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（文））在中，，則的形狀是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【詳解】在中，，又由余弦定理知，，兩式相加得：，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立），為的內(nèi)角，，，又，的形狀為等邊△．故選：．4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】D【詳解】因?yàn)?，由余弦定理可得，又由，所以，所以是鈍角三角形.故選：D.5．（2020·四川·廣安二中高一階段練習(xí)（理））在中，角，，所對的邊分別是，，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)?，又所?故選：B.6．（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（文））在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，△ABC外接圓的半徑為6，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?因?yàn)椤鰽BC外接圓的半徑R為6，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，A為銳角，所以，因?yàn)?，所?故選:D7．（2021·河南·社旗縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則的外接圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，結(jié)合正弦定理得,，，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，設(shè)的外接圓的半徑為，則，即，則的外接圓面積為，故選：A.8．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為銳角，．(1)求；(2)若，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).(1)因?yàn)?，由正弦定理得，所以，所以．在中，，所以?2)由（1）知，由，為銳角，得，由余弦定理可知，因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以面積的最大值為．9．（2021·河南省杞縣高中高二階段練習(xí)（文））在中，角A，，所對的邊分別為，，，已知(1)求角的大小，(2)若，求面積的最大值，并求出此時(shí)對應(yīng)，的值．【答案】(1)(2)，(1)由，得所以所以，即因?yàn)椋?2)由余弦定理得：所以所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值10．（2022·陜西安康·高二期末（理））在中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，滿足．(1)求A的大?。?2)若，的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)(1)∵∴由正弦定理，得∴∵，∴，故(2)由（1）知，∵∴∵由余弦定理知，∴，故∴，故∴的周長為．11．（2021·陜西·涇陽縣教育局教學(xué)研究室高三期中（文））已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若的面積為，，求.【答案】(1)(2)(1)依題意，由正弦定理得，，，由于，所以.(2)依題意，由余弦定理得.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在中，分別為角的對邊，且.（1）求；（2）若為銳角三角形，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【詳解】（1）由正弦定理得：，，，，整理可得：，，，，又，；（2）為銳角三角形，，，即，解得：；由正弦定理可得：，，，則，，即的取值范圍為.13．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，.（1）求；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）面積為.【詳解】（1）在中，，即，所以，由題意得.兩邊平方可得，根據(jù)，可整理為，解得，或（舍去），所以.（2）由（1）可知或，由，可知為鈍角，所以，又由，解得，，所以，所以的面積為，綜上所述，的面積為.14．（2021·遼寧沈陽·高三階段練習(xí)）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，且.（1）求；（2）若，的周長為，求的面積.【答案】（1）；（2）.【詳解】解：（1）由，有，又由正弦定理有，，由，，有，有，由，有，有，由，可得，（2）由正弦定理有：，可得，又由及