第6章 曲線和曲面

第2章制圖的基本知識第3章點(diǎn)、線、面的投影第4章線面幾何元素間的相對位置第5章投影變換第6章曲線與曲面第7章基本立體第8章平面截切立體第10章

組合體第11章軸測圖第12章建筑形體的表達(dá)方法第13章透視投影第14章標(biāo)高投影第15章計算機(jī)繪圖第1章

緒論

第9章

兩立體相貫第6章曲線與曲面【知識目標(biāo)】

1.掌握曲線、曲面的形成和分類。2.掌握螺旋線、單葉雙曲回轉(zhuǎn)面、雙曲拋物面、螺旋面等形成原理

和基本作圖?！灸芰δ繕?biāo)】

能夠正確求解常見的土木、水利、道路工程中應(yīng)用的各種工程曲面的投影。

第6章曲線與曲面章節(jié)概論6.1曲線

6.1.1曲線的形成和分類

6.1.2曲線的投影

6.1.3圓的投影

6.1.4圓柱螺旋線6.2曲面概述

6.2.1曲面的形成和分類

6.2.2曲面的圖示法

6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面

6.3.1錐面

6.3.2柱面

6.3.3雙曲拋物面

6.3.4正螺旋面返回本章目錄直線族或曲線族的包絡(luò)平面與曲面或曲面與曲面的交線不斷改變方向的點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動的軌跡6.1.1曲線的形成和分類曲線可以看作由以下三種方式形成：

第6章曲線與曲面6.1曲線

曲線分為平面曲線和空間曲線兩大類。（1）平面曲線：曲線上所有點(diǎn)均屬于同一平面

返回本章目錄

（2）空間曲線：曲線上任意四個

連續(xù)的點(diǎn)不在同一平面上6.1曲線第6章曲線與曲面6.1.2曲線的投影返回本章目錄曲線的特性：

(1)一般情況下，曲線的投影仍然是曲線。特殊情況下，當(dāng)平面曲線所在的平面垂直于某投影面時，它在該投影面上的投影為直線段。第6章曲線與曲面6.1曲線6.1.2曲線的投影返回本章目錄曲線的特性：

(2)當(dāng)平面曲線所在的平面與投影面平行時，曲線在該投影面上的投影反映實(shí)形。第6章曲線與曲面6.1曲線6.1.2曲線的投影返回本章目錄曲線的特性：

(3)曲線的切線在某投影面上的投影仍與曲線在該投影面上投影相切，切點(diǎn)是空間切點(diǎn)的投影。（4）二次曲線的投影一般仍為二次曲線。如圓和橢圓的投影一般仍為橢圓。第6章曲線與曲面6.1曲線6.1.3圓的投影圓的投影有以下特性：與投影面垂直的圓，其投影為直線段，長度等于直徑。與投影面傾斜的的圓，其投影為橢圓，橢圓的長軸等于直徑。與投影面平行的圓，其投影反映實(shí)形，為同樣直徑的圓。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.1曲線6.1.4圓柱螺旋線

螺旋線是工程中常見的一種空間曲線。圓柱、圓錐、圓球等回轉(zhuǎn)曲面上都可以形成相應(yīng)的螺旋線，在圓柱表面上形成的螺旋線稱為圓柱螺旋線。

圓柱螺旋線是工程實(shí)際最常用的空間曲線之一。（a）右旋

（b）左旋圓柱螺旋線的形成返回本章目錄第6章曲線與曲面6.1曲線6.1.4圓柱螺旋線1、圓柱螺旋線的形成

當(dāng)一個動點(diǎn)沿著一直線等速運(yùn)動，而該直線同時繞與它平行的一軸線等速旋轉(zhuǎn)時，動點(diǎn)的軌跡就是一條圓柱螺旋線。直線旋轉(zhuǎn)時形成一圓柱面，稱為導(dǎo)圓柱。當(dāng)直線繞軸線旋轉(zhuǎn)一周時，動點(diǎn)沿軸向移動的距離稱為螺旋線的導(dǎo)程（記為Ph）（a）右旋

（b）左旋圓柱螺旋線的形成返回本章目錄第6章曲線與曲面6.1曲線返回本章目錄（1）設(shè)圓柱軸線為鉛垂線，根據(jù)φ=25，Ph=30作出圓柱的V、H兩面投影。

2、圓柱螺旋線的投影

已知導(dǎo)圓柱的直徑φ、螺旋線的導(dǎo)程Ph以及旋向三個要素，就可以畫出圓柱螺旋線的投影圖?！纠?-1】作φ=25，Ph=30的右旋圓柱螺旋線的投影圖。作圖：第6章曲線與曲面6.1曲線返回本章目錄（2）將圓柱的水平投影圓周分為若干等分（如十二等分），根據(jù)旋向，順次標(biāo)出各等分點(diǎn)，1，2，3，…13。

2、圓柱螺旋線的投影【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圓柱螺旋線的投影圖。作圖：第6章曲線與曲面6.1曲線返回本章目錄（3）在正面投影上沿軸向?qū)?dǎo)程也分為相同等分，自下向上依次編號。2、圓柱螺旋線的投影【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圓柱螺旋線的投影圖。作圖：第6章曲線與曲面6.1曲線返回本章目錄（4）在正面投影上沿軸向?qū)?dǎo)程也分為相同等分，自下向上依次編號。2、圓柱螺旋線的投影【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圓柱螺旋線的投影圖。作圖：第6章曲線與曲面6.1曲線返回本章目錄（5）將這些點(diǎn)順次用光滑曲線連接起來，即為圓柱螺旋線的正面投影。圓柱螺旋線的水平投影與導(dǎo)圓柱面的水平投影重合，落在圓周上。

2、圓柱螺旋線的投影【例6-1】作φ=25，Ph=30的右旋圓柱螺旋線的投影圖。作圖：第6章曲線與曲面6.1曲線2、圓柱螺旋線的投影右旋螺線的展開圓柱螺旋線展開后為一直線，它是以圓柱正截面圓周長（L=2πR）為底邊，導(dǎo)程為高的直角三角形的斜邊。λ角稱為螺旋線的升角，β角稱為螺旋角。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.1曲線6.2.1曲面的形成和分類

曲面可看作是由一條線在空間運(yùn)動所形成。運(yùn)動的線稱為母線，曲面上任一位置的母線稱為該曲面的素線。約束母線運(yùn)動的直線或曲線，稱為導(dǎo)線，而約束母線運(yùn)動狀態(tài)的平面稱為導(dǎo)平面。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2曲面概述6.2.1曲面的形成和分類

根據(jù)母線是直線還是曲線，曲面可以分為直紋面和曲線面。

根據(jù)母線運(yùn)動時有無旋轉(zhuǎn)軸，曲面還可分為回轉(zhuǎn)面和非回轉(zhuǎn)面。

曲面中應(yīng)用最廣泛的是回轉(zhuǎn)面，以及非旋轉(zhuǎn)面中的直紋曲面。

返回本章目錄第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2.2曲面的圖示法

表達(dá)曲面一般應(yīng)畫出曲面邊界的投影和曲面的外形輪廓線的投影，對于復(fù)雜的曲面還需畫出一系列的素線的投影。所謂曲面的外形輪廓線是指平行于某個投影方向且與曲面相切的投射線形成的投射柱面與曲面相切的切線。這些輪廓線，可能是曲面的邊界線的投影，也可能是曲面上對投影面的可見性分界線的投影。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的形成單葉雙曲回轉(zhuǎn)面可由一條直母線繞一與之交叉的直線回轉(zhuǎn)而成，也可以由一雙曲線繞其虛軸回轉(zhuǎn)而形成。當(dāng)直母線AB繞與之交叉的O軸旋轉(zhuǎn)時，O軸為鉛垂線時，直線上每一點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都是一個垂直于軸線O而平行于H面的水平緯圓。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面2.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的投影返回本章目錄（1）將軸線O設(shè)為鉛垂線。給出直母線AB和軸線O的兩面投影，第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面2.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的投影返回本章目錄（2）作出過母線兩端點(diǎn)的緯圓。以軸線的H面投影o為圓心，以oa，ob為半經(jīng)作圓，即為所求兩個緯圓的H面投影。其V面投影分別是過a

和b

的水平線段，長度等于緯圓的直徑，第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面2.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的投影返回本章目錄（3）將兩個緯圓分別從點(diǎn)AB開始，分為若干等分（如十二等分）。AB旋轉(zhuǎn)30?（圓周的十二分之一）后，就是素線CD。根據(jù)其H面投影cd作出V面投影c

d

。第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面2.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的投影返回本章目錄（4）順次作出每旋轉(zhuǎn)30?后各素線的水平投影和正面投影。第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面2.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的投影返回本章目錄（5）作出單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的正面各素線的包絡(luò)線投影（轉(zhuǎn)向素線）。引平滑曲線作為包絡(luò)線與各素線的正面投影相切，這是一對雙曲線。曲面各素線的水平投影也有一條包絡(luò)線，它是一個圓。該圓是曲面喉圓的水平投影。每一條素線的水平投影，均與喉圓的水平投影相切。第6章曲線與曲面6.2曲面概述【例6-2】

如圖6-9a所示，已知單葉雙曲回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)M

的正面投影m

和點(diǎn)N的水平投影n，求作m

和n

。分析：在單葉雙曲回轉(zhuǎn)面上取點(diǎn)，可采用緯圓法或素線法。返回本章目錄6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面第6章曲線與曲面6.2曲面概述【例6-2】

如圖6-9a所示，已知單葉雙曲回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)M

的正面投影m

和點(diǎn)N的水平投影n，求作m

和n

。作圖：（1）求m（采用緯圓法）。作出點(diǎn)M所在的緯圓。由（m

）不可見可確定m的位置。返回本章目錄6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面第6章曲線與曲面6.2曲面概述【例6-2】

如圖6-9a所示，已知單葉雙曲回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)M

的正面投影m

和點(diǎn)N的水平投影n，求作m

和n

。作圖：（2）求n

（采用素線法）。在水平投影上過n作任一直素線CD的水平投影cd與喉圓的水平投影相切，并與頂圓及底圓的水平投影相交于c、d。作出直素線的正面投影c

d

后,即可求得點(diǎn)N的正面投影n

，為可見。返回本章目錄6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面第6章曲線與曲面6.2曲面概述3.單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的應(yīng)用由于單葉雙曲回轉(zhuǎn)面是雙曲紋面，因此可用直棒料構(gòu)成它的交織網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)，直棒料相當(dāng)于素線。當(dāng)?shù)谝唤M中的每一條棒料與第二組中的相應(yīng)棒料連接時，就形成一輕巧而結(jié)實(shí)的結(jié)構(gòu)。

圖示熱電發(fā)電廠冷卻塔，也稱為等強(qiáng)度塔，就是單葉雙曲回轉(zhuǎn)面在建筑工程上的應(yīng)用實(shí)例。單葉雙曲回轉(zhuǎn)面的工程應(yīng)用實(shí)例返回本章目錄6.2.3單葉雙曲回轉(zhuǎn)面第6章曲線與曲面6.2曲面概述6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面在工程實(shí)踐中，應(yīng)用較廣的非回轉(zhuǎn)面是由直母線形成的直紋曲面。直紋曲面按曲面是否可以展開分為兩大類：可展直紋曲面：又稱單曲面，曲面上相鄰兩素線是相交的或平行的共面直線。常見的有錐面和柱面。不可展直紋曲面：又稱扭曲面，曲面上相鄰兩素線是交叉直線，這種曲面只能近似展開。常見的扭曲面有錐狀面、柱狀面、雙曲拋物面等。返回本章目錄第6章曲線與曲面第6章曲線與曲面6.3.1錐面

錐面的形成

直母線L沿著一曲導(dǎo)線C移動，并始終通過一定點(diǎn)S所形成的曲面稱為錐面。定點(diǎn)S稱為錐頂。

曲導(dǎo)線C可以是閉合的或不閉合的；可以是平面曲線或空間曲線。錐面上相鄰兩素線是通過錐頂?shù)膬蓷l相交直線。

返回本章目錄6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.1錐面

2.錐面的投影

畫錐面的投影圖，必須畫出錐頂和曲導(dǎo)線的投影，并畫出一定數(shù)量的素線的投影，其中包括不閉合錐面的起始、終止素線，各投影輪廓的素線等。

錐面上取點(diǎn)，可用素線法。已知錐面上點(diǎn)K的水平投影k，欲求其正面投影k

，只需作出錐面上通過點(diǎn)K的一條素線即可。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.1錐面3.錐面的應(yīng)用

錐面在工程中應(yīng)用非常廣泛，在水

利和橋梁工程中，橋臺兩側(cè)或涵洞洞口，常采用斜錐形護(hù)坡與路堤連接。如圖所示的渠道進(jìn)水口邊坡面就是錐面在建筑工程中的應(yīng)用實(shí)例。錐面的工程應(yīng)用實(shí)例返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.2柱面1.柱面的形成

直母線AB沿著一曲導(dǎo)線L1

移動，并始終平行于一直導(dǎo)線L2

所形成的曲面稱為柱面。曲導(dǎo)線可以是閉合的或不閉合的。柱面也是以它的正截交線的形狀來命名。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.2柱面2.柱面的投影

畫柱面的投影圖時，必須畫出曲導(dǎo)線、直導(dǎo)線和一定數(shù)量素線的投影。柱面上相鄰兩素線是平行于直導(dǎo)線的兩平行直線。與錐面上取點(diǎn)類似，柱面上取點(diǎn)也可用素線法求得。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.2柱面3.柱面的應(yīng)用

柱面在工程中應(yīng)用非常廣泛。如圖所示的橋墩就是柱面在橋梁工程中的應(yīng)用實(shí)例。柱面的工程應(yīng)用實(shí)例返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.3雙曲拋物面1.雙曲拋物面的形成

雙曲拋物面是直母線沿著兩交叉直線移動，并始終平行于一個導(dǎo)平面而形成。圖示兩交叉直線AB和CD為導(dǎo)線，鉛垂面P為導(dǎo)平面。直母線AC沿著交叉直導(dǎo)線AB和CD移動，并始終平行于鉛垂導(dǎo)平面P。AC線的軌跡，即為雙曲拋物面，其相鄰兩素線是兩交叉直線。

返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.3雙曲拋物面2.雙曲拋物面的投影

如果給出兩交叉直導(dǎo)線AB、CD及導(dǎo)平面P，畫出一系列素線的投影，即可完成雙曲拋物面的投影圖。

第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面返回本章目錄6.3.3雙曲拋物面2.雙曲拋物面的投影

作圖：

（1）將交叉直導(dǎo)線之一AB分成若干等分（例如五等分），得各分點(diǎn)的投影a、1、2、3、4、b和a

、1

、2

、3

、4

、b

，返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.3雙曲拋物面2.雙曲拋物面的投影

作圖：

（2）求出另一直導(dǎo)線CD線上對應(yīng)各分點(diǎn)的位置。因?yàn)橹蹦妇€AC//P，所以素線的H投影必與P的水平跡線PH平行。因此過ab線上各分點(diǎn)作PH的平行線，與cd的交點(diǎn)11、21、31、41就是直導(dǎo)線CD線上對應(yīng)各分點(diǎn)的位置。再求出這些點(diǎn)的V投影。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.3雙曲拋物面2.雙曲拋物面的投影

作圖：

（3）分別連接AB、CD兩線上的各對應(yīng)點(diǎn)a

c

、1

11

、2

21

、…、b

d

，即完成了素線的投影。第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面返回本章目錄6.3.3雙曲拋物面2.雙曲拋物面的投影

作圖：

（4）作出各素線的正面投影的包絡(luò)線。這是一條拋物線。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面3.雙曲拋物面的應(yīng)用實(shí)例

雙曲拋物面造型流暢優(yōu)美，所以常應(yīng)用于大型建筑物（如體育館、音樂廳）的屋面設(shè)計。如圖所示的廣州星海音樂廳的屋面設(shè)計就是雙曲拋物面在建筑實(shí)踐中的一個應(yīng)用實(shí)例。

雙曲拋物面的應(yīng)用實(shí)例返回本章目錄6.3.3雙曲拋物面

第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.4正螺旋面1.正螺旋面的形成直母線沿一條圓柱螺旋線（曲導(dǎo)線）及該圓柱螺旋線的軸線（直導(dǎo)線）運(yùn)動，并始終平行于軸線垂直的導(dǎo)平面而形成的曲面，稱為正螺旋面。返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面6.3.4正螺旋面2.正螺旋面的投影

如圖a所示，畫正螺旋面的投影時，需先畫出曲導(dǎo)線圓柱螺旋線及其軸線的兩投影，并把圓柱螺旋線分為若干等分。當(dāng)軸線垂直于H面時，可在螺旋線正面投影中過各等分點(diǎn)作水平線交于軸線，即為正螺旋面上各素線的正面投影，并由此可作得各素線的水平投影。

如果螺旋面被一個同軸小圓柱面所截，其投影圖如圖b所示，則小圓柱面與螺旋面的交線，是一條與螺旋曲導(dǎo)線有相等導(dǎo)程的螺旋線。

(a)(b)

正螺旋面的畫法返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面【例6-3】已知螺旋樓梯的內(nèi)導(dǎo)圓柱的直徑D1、外導(dǎo)圓柱的直徑D、導(dǎo)程Ph、右旋旋向、步級數(shù)12、每步高Ph/12，梯板豎向厚度δ，完成螺旋樓梯的正面投影。

螺旋樓梯返回本章目錄第6章曲線與曲面6.3非回轉(zhuǎn)直紋曲面分析：螺旋樓梯是正螺旋面給以一定厚度，在其上設(shè)置步級的一種樓梯形式。螺旋樓梯的每一個步級可想象為由一個完整的螺旋體經(jīng)踢面T1和踏面P1切割而成。而踢面T1和踏面P1的交線位于螺旋體的上一個螺旋面上。因此，可先畫出螺旋體上的表面——正螺