三角形四心的向量性質(zhì)和應(yīng)用教師用答案版

...wd......wd......wd...三角形“四心〞的向量性質(zhì)及其應(yīng)用三角形“四心〞的概念介紹(1)重心—三條中線的交點：重心將中線長度分成2：1；(2)外心—三邊中垂線的交點(外接圓的圓心)：外心到三角形各頂點的距離相等；(3)垂心—三條高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；(4)內(nèi)心—三條內(nèi)角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等．工具：為內(nèi)一點，則有：證明：延長交于，如圖必有：，，；---〔*〕由共線，得：進而得：----------------①由共線，得：----------②由①②得：代入〔*〕結(jié)論得消去分母得：證畢.另證：作，如圖：為平行四邊形；由．反方向思考：設(shè)在的內(nèi)部，假設(shè)有正實數(shù)滿足：，必有：．證明：作：，，則，則為的重心，則：.設(shè)為又從而得：．驗證式思考：先證引理：假設(shè)不共線，對，有且，必有證明：假設(shè)必有且，得，與題設(shè)矛盾，故必有再證：設(shè)，，則；由；有對稱性知：，又，不共線，故：必有成立．一、三角形的重心的向量表示及應(yīng)用知識：是的重心(為該平面上任意一點)略證：，得：．變式：分別為的邊的中點．則．二、三角形的外心的向量表示及應(yīng)用知識：是的外心略證：，得：常用結(jié)論：是的外心三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用知識：是的垂心略證：，得：擴展：假設(shè)是的外心，點滿足：，則是的垂心．證明：如圖：為直徑，為垂心，為外心，為中點；有：進而得到：且，即：；又易知：；故：，即：．又：〔為重心〕，故：；故：得到歐拉線：的外心，重心，垂心三點共線(歐拉線)，且．證畢．四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用知識：是的內(nèi)心注：式子中，為任一點．略證：，得之．五．歐拉線：的外心，重心，垂心三點共線(歐拉線)，且．〔前已證〕測試題一．選擇題1．是所在平面上一定點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心2．(03全國理4)是所在平面上一定點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心3．是所在平面上一定點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心4．是所在平面上一定點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心5．是所在平面上一定點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的()．A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心6．是所在平面上一定點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的()．A．內(nèi)心B．垂心C．重心D．AB邊的中點7．是的重心，動點滿足,則點一定為的()A．AB邊中線的中點B．AB邊中線的三等分點(非重心)C．重心D．AB邊的中點8．在中，動點滿足：，則點軌跡一定通過△ABC的()Ａ．外心Ｂ．內(nèi)心C．重心D．垂心9．三個頂點及平面內(nèi)一點，滿足，假設(shè)實數(shù)滿足：，則的值為()A．2B．C．3D．610．設(shè)點是內(nèi)一點，用表示的面積，令，，．定義，假設(shè)則()A．點在內(nèi)B．點在內(nèi)C．點在內(nèi)D．以上皆不對11．假設(shè)的外接圓的圓心為，半徑為1，，則()A．B．0C．1D．12．是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，假設(shè)，則是的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心13．(06陜西)非零向量與滿足且,則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形14．三個頂點，假設(shè)，則為()A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形二．填空題15．的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)m=1．16．中，，為重心，則．17．點在內(nèi)部且滿足，則3．18．點在內(nèi)部且滿足，則4．19．中，，為的內(nèi)心，且，則.20．中，，為的外心，且，則．21．為銳角的外心，，假設(shè)，則．22．在中，，則．三．解答題BCAMNG23．如圖，點是的重心，過作直線與兩邊分別交于兩點，BCAMNG且，，求證：．解：由三點共線，得：--------①又是的重心得：---------②由①②得：，消去得：.24．設(shè)在的內(nèi)部，假設(shè)有正實數(shù)滿足：，求證：．證明：作：，，則，則為的重心，則：.設(shè)為又從而得：25．向量，，滿足條件++=，||=||=||=1，求證：為正三角形．證明：由++=+=平方得：從而得：同理可得：，即為正三角形．26．在中，，求從頂點出發(fā)的兩條中線的夾角的余弦值．解：設(shè)，則且；則故：27．是的垂心，且，試求∠的度數(shù)．解：設(shè)的外接圓半徑為，點是的外心?！呤堑拇剐摹唷?∴∵，∴∵，∴∴而∠為的內(nèi)角，∴從而或∴∠的度數(shù)為或.28．，試寫出△的重心，外心，和垂心的坐標，并證明三點共線．(2002全國)．解：易知；設(shè)，由，且，得，得，即；設(shè)，則由,即.而且：易知：〔又有公共端點〕，故三點共線.29．、分別為不等邊的重心與外心，、且∥，(1)求點的軌跡方程；(2)假設(shè)直線過點(0，1)，并與的軌跡曲線交于、兩點，且滿足(為坐標原點)，求直線的方程．解：〔1〕設(shè)，則，再設(shè)，由，易得：故外心；由