初中數(shù)學(xué)教案2.6利用三角函數(shù)測高

2.6利用三角函數(shù)測高

教學(xué)內(nèi)容：

教育出版社?五四學(xué)制初中數(shù)學(xué)，九年級(jí)上冊(cè)第51頁一53頁。

教學(xué)目標(biāo)：

1.會(huì)利用三角函數(shù)的知識(shí)測量物體的高度.

2.在制作儀器、設(shè)計(jì)方案、測量計(jì)算、撰寫報(bào)告的過程中，分析

問題，解決問題，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

3.培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真、細(xì)致、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.

教學(xué)準(zhǔn)備：

學(xué)生自制測傾器，皮尺等測量工具，測量報(bào)告

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)回顧，引入新課

我們學(xué)習(xí)了利用全等三角形測高，利用相似三角形測高，今天我

們來學(xué)習(xí)利用三角函數(shù)測高。

1.仰角、俯角；2.直角三角形邊角間的關(guān)系；3.特殊角的三角函

數(shù)值。

二、探究活動(dòng)

活動(dòng)一：展示自制的測傾器

支桿的中心線、鉛垂線、?？潭染€要重合，否則測出的角度就不

準(zhǔn)確.度盤的頂線尸0與支桿的中心線、鉛垂線、?？潭染€要互相垂

直，并且度盤有一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心是鉛垂線與尸0的交點(diǎn).當(dāng)度盤轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，

鉛垂線始終垂直向下.

活動(dòng)二：測量傾斜角

(1)把測角儀的支桿豎直插入地面，使支桿的中心線、鉛垂線

和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線尸0在水平位置區(qū)記下此

時(shí)鉛垂線指的度數(shù).那么這個(gè)度數(shù)就是較高目標(biāo)"的仰角.

如圖，要測點(diǎn)M的仰角，我們將支桿豎直插入地面，使支桿的中

心線、鉛垂線和度盤的0°刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線留在水平

位置.我們轉(zhuǎn)動(dòng)度盤，使度盤的直徑對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)的此時(shí)鉛垂線指向一

個(gè)度數(shù).即的度數(shù).根據(jù)圖形我們不難發(fā)現(xiàn)N物狀氏90°，

而NBA步/PA廬90°,即N序夕都是N物〃的余角，根據(jù)同角

的余角相等，得N=/必氐因此讀出〃的度數(shù)，也就讀出了

仰角N為少的度數(shù).

活動(dòng)三：測量底部可以到達(dá)的物體的高度.

“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點(diǎn)與

被測物體底部之間的距離.

“'、、、

、、小、

要測旗桿的V的高度，可按下列步驟進(jìn)行：(如下圖)

(1)在測點(diǎn)A處安置測傾器(即測角儀)，測得〃的仰角乙“a.

(2)量出測點(diǎn)/到物體底部N的水平距離力滬

(3)量出測傾器(即測角儀)的高度/ea(即頂線產(chǎn)0成水平

位置時(shí)一，它與地面的距離).根據(jù)測量數(shù)據(jù)，就能求出物體的V的高度.

、

E工----豆，、C

在Rt△也中，ZMC^a,AN-EOX,所以tana=蟠，即

EC

/於tana?EC=1?tana.

又因?yàn)镹E=AC=a,所以MN=ME+EI^1?tana+a.

活動(dòng)四：測量底部不可以到達(dá)的物體的高度.

所為“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不能直接測得測點(diǎn)與被

測物體的底部之間的距離.例如測量一個(gè)山峰的高度.

可按下面的步驟進(jìn)行(如圖所示)：

(1)在測點(diǎn)A處安置測角儀，測得此時(shí)物體/股的頂端"的仰角

NMC及a.

(2)在測點(diǎn)力與物體之間的夕處安置測角儀(爾夕與N都在同

一條直線上)，此時(shí)測得〃的仰角乙喉￡.

(3)量出測角儀的高度AOBD-a,以及測點(diǎn)A,夕之間的距離AB-b

根據(jù)測量的膽的長度，/C、物的高度以及/腔、/加￡的大小，

根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系.即可求出物V的高度.

在RtZU/fiT中，/MC存a,則tana=逛，E(=--,

ECtana

在Rt△板中，乙監(jiān)廬￡則tan￡二也，吩士幺；

EDtan0

根據(jù)84比6,且。心吩8.所以偵-理■=/>,焰，b

tanatan/?_____1

tanatan/?

h

MN=}1+a即為所求物體冊(cè)的高度.

tanatan/?

二、鞏固練習(xí)

1.以測“圍墻內(nèi)東原閣的高度”為例，若測得Na和/￡的度

數(shù)分別人30°和60°,AB的長度為14米，求閣樓的高度MN.

2.如圖，為了測量某建筑物MN的高度，在平地上A處測得建筑

物頂端M的仰角為30°,向N點(diǎn)方向前進(jìn)16m到達(dá)B處，在B處測

得建筑物頂端M的仰角為45°,求建筑物MN的高度.（保留根號(hào)）

題圖

3.變式練習(xí)

將問題分解為：

①我們?cè)诮ㄖ锴胺降臒釟馇駻處，利用所學(xué)知識(shí)說明，需要測

出哪幾個(gè)數(shù)據(jù)，便可計(jì)算出BC高度?

②從熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部的仰

角為45°,看這棟高樓底部的俯角為60°,A處與高樓的水平距離

為60m,這棟高樓有多高？

三、課堂小結(jié)

我們這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？有什么收獲？給同學(xué)分享一下。

引導(dǎo)學(xué)生梳理課堂知識(shí)，整理課堂筆記。

四、拓展作業(yè)

豐富完善測量報(bào)告.

2.6利用三角函數(shù)測高

［學(xué)情分析］

學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：通過前面的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三

角形中量與量之間的三個(gè)關(guān)系：邊與邊的關(guān)系（勾股定理）；角與角

的關(guān)系（直角三角形兩銳角互余）；邊與角的關(guān)系（正弦、余弦、正

切）.并能夠利用這三個(gè)關(guān)系，在直角三角形中進(jìn)行一些簡單計(jì)算，

而且能根據(jù)生活中的一些情景，用所學(xué)知識(shí)解決一些簡單的實(shí)際問

題.

學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)：在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些測量活

動(dòng)，解決了一些簡單的現(xiàn)實(shí)問題，獲得了從事測量活動(dòng)所必須的一些

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)，及在合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)

的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力.并對(duì)用數(shù)學(xué)有相當(dāng)?shù)呐d趣

和積極性.不過學(xué)生探究和解決問題的能力畢竟有限，尚待加強(qiáng).本節(jié)

課主要是在學(xué)生原有認(rèn)知能力的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用銳角三角函數(shù)

解決實(shí)際問題，經(jīng)歷把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程，建立相應(yīng)的

數(shù)學(xué)模型，以提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.

2.6利用三角函數(shù)測高

【效果分析】

本節(jié)課從生活中的實(shí)際問題入手，建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，能把

生活問題數(shù)學(xué)化，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光去分析問題，解決問題.培養(yǎng)學(xué)

生的實(shí)踐能力和應(yīng)用能力。

從實(shí)事求是出發(fā)，本節(jié)課的最初設(shè)計(jì)想法是很好的，讓學(xué)生自己

動(dòng)手做了簡單的測傾器，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)了簡單的測量方案，引導(dǎo)學(xué)

生將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，利用直角三角形的邊角關(guān)系，解直角三角形,

從而測量出底部可到達(dá)和底部不可到達(dá)的物體的高度。課堂上有很多

學(xué)生都能主動(dòng)參與其中，說、測、議、算、結(jié)，處處都能感受到孩子

們思維的躍動(dòng)。學(xué)生興趣較高，教學(xué)效果較好。

但也有不少學(xué)生參與程度上有欠缺，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能

力要差一些。其原因在于對(duì)知識(shí)的理解表面化，知識(shí)基礎(chǔ)不扎實(shí)。

在以后的教學(xué)過程中，我將致力于數(shù)學(xué)活動(dòng)課的研究，廣泛開展

小組教學(xué)，充分發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的興趣和能力。

2.6利用三角函數(shù)測高

【教材分析】

本節(jié)課是第二章第六節(jié)，安排在銳角三角函數(shù)，特殊角的三角函

數(shù)值和解直角三角形之后，是對(duì)直角三角形邊角關(guān)系的綜合運(yùn)用，旨

在引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析解決問題。

一、制作簡單的測傾器，用測傾器測量傾斜角

1.簡單的側(cè)傾器由度盤、鉛錘和支桿組成

2.使用測傾器測量傾斜角的步驟：

①把支桿豎直插入地面，使支架的中心線、鉛錘線和度盤的0°

刻度線重合，這時(shí)度盤的頂線PQ在水平位置。

②轉(zhuǎn)動(dòng)度盤，使度盤的直徑對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)M,記下此時(shí)鉛垂線所指的

讀數(shù)，即為所測目標(biāo)的傾斜角。

二、測量底部可以直接到達(dá)的物體的高度。

所謂“底部可以到達(dá)”，就是在地面上可以無障礙地直接測得測點(diǎn)與

被測物體的底部之間的距離.

三、測量底部不可以直接到達(dá)的物體的高度。

所謂“底部不可以到達(dá)”，就是在地面上不可以直接測得測點(diǎn)與被測

物體之間的距離。

目的在于引導(dǎo)學(xué)生建立直角三角形的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用方程思想，

數(shù)學(xué)形結(jié)合思想分析問題、解決問題。

2.6利用三角函數(shù)測高

【評(píng)測練習(xí)】

1.以測“圍墻內(nèi)東原閣的高度”為例，若測得Na和/￡的度

數(shù)分別人30°和60°,AB的長度為14米，求閣樓的高度MN.

2.如圖，為了測量某建筑物MN的高度，在平地上A處測得建筑

物頂端M的仰角為30°,向N點(diǎn)方向前進(jìn)16m到達(dá)B處，在B處測

得建筑物頂端M的仰角為45°,求建筑物MN的高度.（保留根號(hào)）

題圖

3.變式練習(xí)

將問題分解為：

①我們?cè)诮ㄖ锴胺降臒釟馇駻處，利用所學(xué)知識(shí)說明，需要測

出哪幾個(gè)數(shù)據(jù)，便可計(jì)算出BC高度？

②從熱氣球的探測器顯示，從熱氣球A處看一棟高樓頂部的仰

角為45°,看這棟高樓底部的俯角為60°,A處與高樓的水平距離

為60m,這棟高樓有多高？

2.6利用三角函數(shù)測高

【教學(xué)反思】

數(shù)學(xué)活動(dòng)最大的特點(diǎn)就是實(shí)踐性，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與其中，

從說想法設(shè)計(jì)方案，到依照方案動(dòng)手測量，再到抽象出數(shù)學(xué)圖形分析

計(jì)算，最終解決問題，讓數(shù)學(xué)為生活服務(wù)，這也是數(shù)學(xué)教學(xué)的初衷.

本節(jié)課提前布置了預(yù)習(xí)，學(xué)生設(shè)計(jì)了初步的測量方案，擬定了簡

單的測量報(bào)告，課堂上教師組織學(xué)生匯報(bào)分享自己的方案，在獨(dú)學(xué)、

對(duì)學(xué)、群學(xué)的過程中，交換想法、碰撞思維、質(zhì)疑驗(yàn)證，達(dá)到深化數(shù)

學(xué)知識(shí)，掌握方法，形成技能，解決問題的目的。

反思本節(jié)課的實(shí)際教學(xué)，可以看出，學(xué)生平時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)課上得

很少，課前準(zhǔn)備不足，不能很好地處理教材與實(shí)踐的關(guān)系，不少學(xué)生

無從下手，這些都源于教師的指導(dǎo)不到位，都源于教師平時(shí)只關(guān)注用

數(shù)學(xué)知識(shí)解題，沒關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用。所以讓學(xué)生課堂動(dòng)口說、動(dòng)

腦想、動(dòng)手做、用數(shù)學(xué)的目的沒能達(dá)到預(yù)期，把活動(dòng)課上成純數(shù)學(xué)的

計(jì)算課，實(shí)踐性突出不夠。這是我本節(jié)課最大的收獲，也是我在以后

的教學(xué)過程中必須要引起重視，