2025年高考數學一輪復習講義(知識梳理+真題自測+考點突破+分層檢測)專題10指數與指數函數(新高考專用)(原卷版+解析)

專題10指數與指數函數（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 4【考點1】指數冪的運算 4【考點2】指數函數的圖象及應用 5【考點3】指數函數的性質及應用 7【分層檢測】 9【基礎篇】 9【能力篇】 11【培優(yōu)篇】 12考試要求：1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.2.通過實例，了解指數函數的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫出指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性，特殊點等性質，并能簡單應用.知識梳理知識梳理1.根式的概念及性質(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數.(2)①負數沒有偶次方根.②0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數).⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數).2.分數指數冪規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.3.指數冪的運算性質實數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指數函數及其性質(1)概念：函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.(2)指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數在(－∞，＋∞)上是減函數y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖象關于y軸對稱1.畫指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a>1與0<a<1來研究.3.在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設函數在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國·高考真題）已知函數．記，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（

）A． B．C． D．7．（2023·北京·高考真題）下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B．C． D．8．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．考點突破考點突破【考點1】指數冪的運算一、單選題1．（2022·重慶九龍坡·模擬預測）雷達是利用電磁波探測目標的電子設備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達所能發(fā)現目標的最大直視距離（如圖），其中為雷達天線架設高度，為探測目標高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠大于，．假設某探測目標高度為25m，為保護航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標，并發(fā)出預警，則艦載預警機的巡航高度至少約為（

）（參考數據：）A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m2．（2024·廣東深圳·一模）已知函數是定義域為的偶函數，在區(qū)間上單調遞增，且對任意，均有成立，則下列函數中符合條件的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·云南曲靖·模擬預測）若實數滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（

）A．若且，則，至少有一個大于2B．，C．若，，則D．的最小值為2三、填空題5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·一模）請寫出滿足方程的一組實數對：．6．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知實數，滿足，，則．反思提升：(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.【考點2】指數函數的圖象及應用一、單選題1．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·湖北·階段練習）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．二、多選題3．（20-21高一上·山東濟南·期中）下列四個結論中，正確的結論為（

）A．函數與函數相等B．若函數且的圖象沒有經過第二象限，則C．當時，關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為D．若函數的最大值為，最小值為，則4．（2024·山東臨沂·一模）已知函數，則（

）A．的定義域為B．的值域為C．當時，為奇函數D．當時，三、填空題5．（2024·云南曲靖·一模）如圖，在第一象限內，矩形的三個頂點，分別在函數的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱坐標是2，則D點的坐標是．

6．（2023·上海浦東新·模擬預測）設.若函數的定義域為，則關于的不等式的解集為.反思提升：1.對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.2.有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解.【考點3】指數函數的性質及應用一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（

）（結果取整數，參考數據：）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖北武漢·模擬預測）如果，記為區(qū)間內的所有整數．例如，如果，則；如果，則或3；如果，則不存在．已知，則（

）A．36 B．35 C．34 D．33二、多選題3．（2024·湖南·模擬預測）已知函數是定義域為的偶函數，是定義域為的奇函數，且.函數在上的最小值為，則下列結論正確的是（

）A． B．在實數集單調遞減C． D．或4．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設函數，則下列選項正確的是（

）A．為奇函數B．的圖象關于點對稱C．的最小值為D．若有兩個不等實根，則，且三、填空題5．（2022·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對站內進行消毒工作，設在藥物釋放過程中，站內空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時間（小時）成正比.藥物釋放完畢后，與滿足關系（常數，）.據測定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，乘客方可進站，則地鐵站應安排工作人員至少提前分鐘進行消毒工作.6．（2021·上海松江·一模）從以下七個函數：中選取兩個函數記為和，構成函數，若的圖像如圖所示，則.反思提升：1.比較指數式的大小的方法是：(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大?。?2)不能化成同底數的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化.3.涉及指數函數的綜合問題，首先要掌握指數函數相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.易錯警示在研究指數型函數的單調性時，當底數a與“1”的大小關系不確定時，要分類討論.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）在等差數列中，已知與是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知是定義在上的偶函數，則（

）A．－4 B．0 C．2 D．43．（2024·天津·二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）．A． B． C． D．4．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預測）已知函數，則對任意非零實數x，有（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023·全國·模擬預測）對函數，公共定義域內的任意x，若存在常數，使得恒成立，則稱和是伴侶函數，則下列說法正確的是（

）A．存在常數，使得與是伴侶函數B．存在常數，使得與是伴侶函數C．與是伴侶函數D．若，則存在常數，使得與是伴侶函數6．（2023·廣東廣州·模擬預測）下列是（，，）的必要條件的是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·模擬預測）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2021·山東菏澤·二模）寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數函數①當時，；②為偶函數9．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為.10．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數滿足，當時，.函數，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為.四、解答題11．（2021·四川遂寧·模擬預測）已知函數定義在上有恒成立，且當時，.（1）求的值及函數的解析式；（2）求函數的值域.12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數是指數函數．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍．【能力篇】一、單選題1．（2024·寧夏石嘴山·三模）定義在R上的偶函數滿足，且當時，，若關于x的方程恰有5個實數解，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）若實數，滿足，，，則（

）A．且 B．的最小值為C．的最小值為7 D．三、填空題3．（2023·全國·模擬預測）若，滿足約束條件，則的最大值為．四、解答題4．（23-24高三上·河北保定·階段練習）已知關于x的不等式的解集為．(1)求集合；(2)若，且，，，求的最小值．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024高三下·全國·專題練習）已知函數，，正實數a，b，c滿足，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2023·河北石家莊·模擬預測）下列結論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2021·北京西城·二模）已知函數其中且.給出下列四個結論：①若，則函數的零點是；②若函數無最小值，則的取值范圍為；③若，則在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增；④若關于的方程恰有三個不相等的實數根，則的取值范圍為，且的取值范圍為.其中，所有正確結論的序號是.專題10指數與指數函數（新高考專用）目錄目錄【知識梳理】 2【真題自測】 3【考點突破】 8【考點1】指數冪的運算 8【考點2】指數函數的圖象及應用 12【考點3】指數函數的性質及應用 17【分層檢測】 22【基礎篇】 22【能力篇】 29【培優(yōu)篇】 33考試要求：1.理解有理數指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握指數冪的運算性質.2.通過實例，了解指數函數的實際意義，能用描點法或借助計算工具畫出指數函數的圖象.3.理解指數函數的單調性，特殊點等性質，并能簡單應用.知識梳理知識梳理1.根式的概念及性質(1)概念：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數.(2)①負數沒有偶次方根.②0的任何次方根都是0，記作eq\r(n,0)＝0.③(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1).④eq\r(n,an)＝a(n為大于1的奇數).⑤eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0))(n為大于1的偶數).2.分數指數冪規(guī)定：正數的正分數指數冪的意義是aeq\f(m,n)＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數的負分數指數冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分數指數冪等于0；0的負分數指數冪沒有意義.3.指數冪的運算性質實數指數冪的運算性質：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.4.指數函數及其性質(1)概念：函數y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指數函數，其中指數x是自變量，定義域是R.(2)指數函數的圖象與性質a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質過定點(0，1)，即x＝0時，y＝1當x>0時，y>1；當x<0時，0<y<1當x<0時，y>1；當x>0時，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數在(－∞，＋∞)上是減函數y＝ax與y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))eq\s\up12(x)的圖象關于y軸對稱1.畫指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).2.指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a>1與0<a<1來研究.3.在第一象限內，指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象越高，底數越大.真題自測真題自測一、單選題1．（2023·全國·高考真題）設函數在區(qū)間上單調遞減，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高考真題）已知是偶函數，則（

）A． B． C．1 D．23．（2023·全國·高考真題）已知函數．記，則（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高考真題）設，則（

）A． B． C． D．6．（2021·全國·高考真題）下列函數中最小值為4的是（

）A． B．C． D．7．（2023·北京·高考真題）下列函數中，在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B．C． D．8．（2023·天津·高考真題）設，則的大小關系為（

）A． B．C． D．參考答案：1．D【分析】利用指數型復合函數單調性，判斷列式計算作答.【詳解】函數在R上單調遞增，而函數在區(qū)間上單調遞減，則有函數在區(qū)間上單調遞減，因此，解得，所以的取值范圍是.故選：D2．D【分析】根據偶函數的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數，則，又因為不恒為0，可得，即，則，即，解得.故選：D.3．A【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據指數函數的單調性及二次函數的性質判斷即可.【詳解】令，則開口向下，對稱軸為，因為，而，所以，即由二次函數性質知，因為，而，即，所以，綜上，，又為增函數，故，即.故選：A.4．A【分析】法一：根據指對互化以及對數函數的單調性即可知，再利用基本不等式，換底公式可得，，然后由指數函數的單調性即可解出．【詳解】［方法一］：（指對數函數性質）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構造函數）由，可得．根據的形式構造函數，則，令，解得，由知.在上單調遞增，所以，即，又因為，所以.故選：A.【點評】法一：通過基本不等式和換底公式以及對數函數的單調性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構造函數，根據函數的單調性得出大小關系，簡單明了，是該題的最優(yōu)解．5．C【分析】構造函數，導數判斷其單調性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構造法設，因為，當時，，當時，所以函數在單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設，則,令，，當時，，函數單調遞減，當時，，函數單調遞增，又，所以當時，，所以當時，，函數單調遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調遞增，可得，即，所以在上單調遞增，可得，即，所以故6．C【分析】根據二次函數的性質可判斷選項不符合題意，再根據基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數的性質即可解出．7．C【分析】利用基本初等函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷ABC，舉反例排除D即可.【詳解】對于A，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞減，故A錯誤；對于B，因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞減，故B錯誤；對于C，因為在上單調遞減，在上單調遞減，所以在上單調遞增，故C正確；對于D，因為，，顯然在上不單調，D錯誤.故選：C.8．D【分析】根據對應冪、指數函數的單調性判斷大小關系即可.【詳解】由在R上遞增，則，由在上遞增，則.所以.故選：D考點突破考點突破【考點1】指數冪的運算一、單選題1．（2022·重慶九龍坡·模擬預測）雷達是利用電磁波探測目標的電子設備．電磁波在大氣中大致沿直線傳播．受地球表面曲率的影響，雷達所能發(fā)現目標的最大直視距離（如圖），其中為雷達天線架設高度，為探測目標高度，R為地球半徑．考慮到電磁波的彎曲、折射等因素，R等效取8490km，故R遠大于，．假設某探測目標高度為25m，為保護航母的安全，須在直視距離412km外探測到目標，并發(fā)出預警，則艦載預警機的巡航高度至少約為（

）（參考數據：）A．6400m B．8100m C．9100m D．10000m2．（2024·廣東深圳·一模）已知函數是定義域為的偶函數，在區(qū)間上單調遞增，且對任意，均有成立，則下列函數中符合條件的是（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·云南曲靖·模擬預測）若實數滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．4．（22-23高一上·江蘇蘇州·階段練習）下列說法正確的是（

）A．若且，則，至少有一個大于2B．，C．若，，則D．的最小值為2三、填空題5．（2023·黑龍江齊齊哈爾·一模）請寫出滿足方程的一組實數對：．6．（2023·湖北武漢·模擬預測）已知實數，滿足，，則．參考答案：1．C【分析】根據題意，列出關于的方程，然后求解即可.【詳解】根據題意知，，由因為R遠大于，∴，解得.∴艦載預警機的巡航高度至少約為9100m.故選：C2．D【分析】由指數、對數運算性質結合函數單調性、奇偶性定義逐一判斷每個選項即可求解.【詳解】對于A，，故A錯誤；對于B，，故不是偶函數，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，又定義域為全體實數，它關于原點對稱，且，即函數是定義域為的偶函數，當時，單調遞增，滿足題意.故選：D.3．ABD【分析】對于AD，利用指數函數的性質即可判斷；對于BC，利用指數的運算法則與基本不等式的性質即可判斷.【詳解】由，可得，所以且，故A正確；由，可得，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為9，故C錯誤；因為，則，所以，故D正確.故選：ABD.4．AC【分析】根據逆否命題的真假性即可判斷A，根據冪的運算性質即可判斷B，根據不等式的性質即可判斷C,根據對勾函數的單調性即可判斷D.【詳解】對于A,若，均不大于2，則，則，故，則，至少有一個大于2為真命題，故A正確，對于B,B.，，故B錯誤，對于C,由得，由得，所以，故C正確，對于D，由于，函數在單調遞增，故，D錯誤，故選:AC5．（答案不唯一）【分析】運用對數式與指數式互化、根式與指數冪互化計算即可.【詳解】∵，∴，∴令得：，即：.故答案為：（答案不唯一）.6．1【分析】由可變形為，故考慮構造函數，判斷函數的單調性，利用單調性化簡等式，由此可求.【詳解】因為，化簡得．所以，又，構造函數，因為函數，在上都為增函數，所以函數在上為單調遞增函數，由，∴，解得，，∴．故答案為：.反思提升：(1)指數冪的運算首先將根式、分數指數冪統(tǒng)一為分數指數冪，以便利用法則計算，還應注意：①必須同底數冪相乘，指數才能相加.②運算的先后順序.(2)當底數是負數時，先確定符號，再把底數化為正數.(3)運算結果不能同時含有根號和分數指數，也不能既有分母又含有負指數.【考點2】指數函數的圖象及應用一、單選題1．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·湖北·階段練習）函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（

）A．9 B．8 C． D．二、多選題3．（20-21高一上·山東濟南·期中）下列四個結論中，正確的結論為（

）A．函數與函數相等B．若函數且的圖象沒有經過第二象限，則C．當時，關于的不等式恒成立，則實數的取值范圍為D．若函數的最大值為，最小值為，則4．（2024·山東臨沂·一模）已知函數，則（

）A．的定義域為B．的值域為C．當時，為奇函數D．當時，三、填空題5．（2024·云南曲靖·一模）如圖，在第一象限內，矩形的三個頂點，分別在函數的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱坐標是2，則D點的坐標是．

6．（2023·上海浦東新·模擬預測）設.若函數的定義域為，則關于的不等式的解集為.參考答案：1．A【分析】先判斷函數的奇偶性，再根據特殊值即可得到選項.【詳解】由函數，，令，解得，則其定義域為，關于原點對稱，所以函數在定義內為偶函數，排除C，D選項，因為，觀察選項可知，選A.故選：A2．B【分析】根據指數函數與對數函數性質求得，然后妙用“1”可得.【詳解】當時，，所以，函數過定點，得，所以，，因為，，所以，，當且僅當，即時，等號成立，所以，的最小值為8.故選：B3．BD【解析】根據兩個函數的值域不同可判斷選項A不正確，根據指數函數圖象的特點可判斷選項B，分離參數得，只需，即可判斷選項C，是一個奇函數加常數，奇函數在定義域內最大值與最小值之和等于可判斷選項D，進而可得正確選項.【詳解】對于選項A：函數值域為，函數值域為，所以與函數不是相等函數，故選項A不正確；對于選項B：若函數且的圖象沒有經過第二象限，則，解得：，故選項B正確；對于選項C：當時，關于的不等式恒成立，即，令，則，因為在單調遞減，所以在單調遞增，所以，所以，故選項C不正確；對于選項D：函數，令則，所以是奇函數，所以，因此，故選項D正確，故選：BD【點睛】思路點睛：不等式恒成立問題一般采用分離參數法求參數范圍若不等式（是實參數）恒成立，將轉化為或恒成立，進而轉化為或，求的最值即可.4．ACD【分析】由分母不為零求出函數的定義域，即可判斷A，再分、分別求出函數值的取值范圍，即可得到函數的值域，從而判斷B，根據奇偶性判斷C，根據指數冪的運算判斷D.【詳解】對于函數，令，解得，所以的定義域為，故A正確；因為，當時，所以，當時，所以，綜上可得的值域為，故B錯誤；當時，則，所以為奇函數，故C正確；當時，則，故D正確.故選：ACD5．【分析】根據指對冪函數的圖象及解析式求出A點的橫坐標、點縱坐標，即可得D點的坐標.【詳解】由題意，縱坐標都為2，則點橫坐標為8，即點橫坐標為8，所以A點的橫坐標為，點縱坐標為，由為矩形及題圖知：D點的坐標是.故答案為：6．【分析】由函數的定義域可求得實數的值，可得出函數的解析式，求出的值，然后利用指數函數的單調性可解不等式，即可得其解集.【詳解】若，對任意的，，則函數的定義域為，不合乎題意，所以，，由可得，因為函數的定義域為，所以，，解得，所以，，則，由可得，解得.因此，不等式的解集為.故答案為：.反思提升：1.對于有關指數型函數的圖象問題，一般是從最基本的指數函數的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到.特別地，當底數a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.2.有關指數方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數型函數圖象，數形結合求解.【考點3】指數函數的性質及應用一、單選題1．（2024·黑龍江哈爾濱·一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據國家有關規(guī)定：血液中酒精含量達到的駕駛員即為酒后駕車，及以上認定為醉酒駕車．假設某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（

）（結果取整數，參考數據：）A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·湖北武漢·模擬預測）如果，記為區(qū)間內的所有整數．例如，如果，則；如果，則或3；如果，則不存在．已知，則（

）A．36 B．35 C．34 D．33二、多選題3．（2024·湖南·模擬預測）已知函數是定義域為的偶函數，是定義域為的奇函數，且.函數在上的最小值為，則下列結論正確的是（

）A． B．在實數集單調遞減C． D．或4．（2021·遼寧葫蘆島·二模）設函數，則下列選項正確的是（

）A．為奇函數B．的圖象關于點對稱C．的最小值為D．若有兩個不等實根，則，且三、填空題5．（2022·上海普陀·一模）由于疫情防控需要，某地鐵站每天都對站內進行消毒工作，設在藥物釋放過程中，站內空氣中的含藥量（毫克/每立方米）與時間（小時）成正比.藥物釋放完畢后，與滿足關系（常數，）.據測定，空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時，乘客方可進站，則地鐵站應安排工作人員至少提前分鐘進行消毒工作.6．（2021·上海松江·一模）從以下七個函數：中選取兩個函數記為和，構成函數，若的圖像如圖所示，則.參考答案：1．D【分析】設經過個小時才能駕駛，則，再根據指數函數的性質及對數的運算計算可得.【詳解】設經過個小時才能駕駛，則即.由于在定義域上單調遞減，.他至少經過4小時才能駕駛.故選：D.2．B【分析】根據給定條件，構造函數，利用導數的幾何意義建立不等式，借助裂項相消法求和及指數函數性質求出的范圍即可得解.【詳解】令函數，求導得，則可視為函數在處的切線斜率，設，則直線的斜率，由導數的幾何意義有，因此，而，即有，又，因此，所以.故選：B【點睛】思路點睛：觀察題設中所給和式的結構特征，構造函數，利用導數導數的幾何意義建立不等式是解題的關鍵.3．AC【分析】根據函數的奇偶性可得出關于的方程組，即可得的解析式，從而得選項A；結合函數的單調性，可判斷選項B；根據的解析式，求出的解析式，利用換元法，將所求函數轉化為二次函數的最值問題，結合二次函數的對稱軸和二次函數的定義域，即可求出其最小值，從而解得，即可判斷選項C與選項D.【詳解】A，因為為偶函數，所以，又為奇函數，所以，因為①，所以，即②，由得：，，所以選項A正確；B，因為函數在上均為增函數，故在上單調遞增，所以選項錯誤；C、D，因為，所以，又，當，即時等號成立，，設，對稱軸，當時，函數在上為減函數，在上為增函數，則，解得或（舍）；當時，在上單調遞增，，解得：，不符合題意.綜上，所以選項C正確，錯誤.故選：.4．BD【分析】A由奇偶性定義判斷正誤，B判斷是否成立即可，C應用特殊值法有，即可判斷正誤，D由題設方程有兩個不等實根，令轉化為當時，在上有兩個零點；當時，在上有兩個零點，應用導數研究單調性并確定極值，根據極值的符號求參數范圍.【詳解】A：，錯誤；B：，即的圖象關于點對稱，正確；C：當時，，錯誤；D：由題意有，整理得有兩個不同實根，顯然，令，∴當時，在上與有兩個交點，即有兩個零點，若得，則上，單調遞減；上，單調遞增；又，，故僅需在上有兩個零點，則；當時，在上與有兩個交點，即有兩個零點，若得，則上，單調遞增；上，單調遞減；又，，故僅需在上有兩個零點，則；綜上，有兩個不等實根，則，且，正確.故選：BD【點睛】關鍵點點睛：D選項，將問題轉化為：當時，在上有兩個零點；當時，在上有兩個零點，進而應用導數研究單調性，根據條件成立時極值的符號求參數范圍.5．【分析】當時，求出關于的函數解析式，然后解不等式，即可得解.【詳解】由于函數的圖象過點，則，可得，故當時，，由，可得，解得，此時.故地鐵站應安排工作人員至少提前分鐘進行消毒工作.故答案為：.6．【解析】由函數的定義域排除，，再由的圖象過定點及圖象的變化情況，分析與，或與是否經過得結論．【詳解】由圖象可知，函數的定義域為，故排除，，又由的圖象過定點，由函數圖象，可得當時，且為增函數，當時，大于0與小于0交替出現，若時，此時函數的圖象不過定點，因為過，且當時，，當時，，若包含，當時，，不滿足過點，若包含，此時函數不滿足時，大于0與小于0交替出現，若包含，此時函數不滿足時，大于0與小于0交替出現，所以只有滿足條件．故答案為：．反思提升：1.比較指數式的大小的方法是：(1)能化成同底數的先化成同底數冪，再利用單調性比較大小；(2)不能化成同底數的，一般引入“0或1”等中間量比較大小.2.指數方程(不等式)的求解主要利用指數函數的單調性進行轉化.3.涉及指數函數的綜合問題，首先要掌握指數函數相關性質，其次要明確復合函數的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷.易錯警示在研究指數型函數的單調性時，當底數a與“1”的大小關系不確定時，要分類討論.分層檢測分層檢測【基礎篇】一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）在等差數列中，已知與是方程的兩根，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預測）已知是定義在上的偶函數，則（

）A．－4 B．0 C．2 D．43．（2024·天津·二模）已知函數的部分圖象如圖所示，則的解析式可能為（

）．A． B． C． D．4．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預測）已知函數，則對任意非零實數x，有（

）A． B．C． D．二、多選題5．（2023·全國·模擬預測）對函數，公共定義域內的任意x，若存在常數，使得恒成立，則稱和是伴侶函數，則下列說法正確的是（

）A．存在常數，使得與是伴侶函數B．存在常數，使得與是伴侶函數C．與是伴侶函數D．若，則存在常數，使得與是伴侶函數6．（2023·廣東廣州·模擬預測）下列是（，，）的必要條件的是（

）A． B．C． D．7．（2022·全國·模擬預測）在下列四個圖形中，二次函數與指數函數的圖象可能是（

）A． B．C． D．三、填空題8．（2021·山東菏澤·二模）寫出一個同時滿足下列兩個條件的非常數函數①當時，；②為偶函數9．（23-24高一上·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為.10．（2024·寧夏銀川·一模）已知定義在R上的偶函數滿足，當時，.函數，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為.四、解答題11．（2021·四川遂寧·模擬預測）已知函數定義在上有恒成立，且當時，.（1）求的值及函數的解析式；（2）求函數的值域.12．（21-22高一上·陜西銅川·期末）已知函數是指數函數．(1)求的解析式；(2)若，求的取值范圍．參考答案：1．B【分析】由韋達定理得到，再由等差數列的性質得到的值，結合指數、對數的運算法則可求值.【詳解】因為與是方程的兩根，由韋達定理得，因為數列為等差數列，所以，，所以，故選：B.2．A【分析】利用偶函數和0處函數值列方程求解即可.【詳解】因為是定義在上的偶函數，所以，即，又，所以，聯立，解得，，經檢驗，，滿足要求，故.故選：A.3．D【分析】根據排除A，根據定義域排除B，根據奇偶性排除C，進而可得答案.【詳解】對于A，在處無意義，故A錯誤；對于B：的定義域為，故B錯誤；對于C：的定義域為，且，則為偶函數，故C錯誤；對于D，滿足圖中要求，故D正確.故選：D.4．D【分析】根據給定的函數式，計算及即可判斷作答.【詳解】函數，，則，顯然，且，AB錯誤；，D正確，C錯誤.故選：D5．AD【分析】根據伴侶函數的定義，由對數的運算法則判斷A，根據指數型函數的單調性以及值域可判斷B，求導，判斷的單調性進而可判斷C，根據常函數的性質可判斷D.【詳解】A選項：由題意得，故存在，使得恒成立，故A正確；B選項：由題意得，由于為單調遞增函數，且值域為，因此不存在，使得恒成立，故B錯誤；C選項：由題意得，令函數，則，易知在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，不滿足，故C錯誤；D選項：令，則，所以為常函數，（點撥：若兩個函數的導函數相同，則兩個函數相差一個常數）不妨令，故存在，使得恒成立，故D正確.故選：AD6．CD【分析】AB選項，可舉出反例；CD選項，利用指數函數單調性可進行判斷.【詳解】A選項，若，則A錯誤，B選項，等價為，當時不成立，故B錯誤，C選項，因為在R上單調遞增，而，所以，C正確；D選項，因為在R上單調遞增，而，所以，D正確.故選：CD7．ABD【分析】根據的關系與各圖形一個個檢驗即可判斷．【詳解】當時，A正確；當時，B正確；當時，D正確；當時，無此選項．故選：ABD．8．（，）（答案不唯一）【分析】根據可知為指數函數，將其做相應的變化符合是偶函數即可.【詳解】若滿足①對任意的有成立，則對應的函數為指數函數的形式；若滿足②為偶函數，只需要將加絕對值即可，所以滿足①②兩個條件的函數可以是：（，）.故答案為：（，）（答案不唯一）9．【分析】由題意可知此命題的否定為真命題，從而可求出的取值范圍.【詳解】因為“，”是假命題，所以“，”是真命題，即在上恒成立，因為在上單調遞增，所以，則.故答案為：.10．4【分析】在同一坐標系內作出與的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得與的圖象所有交點的橫坐標之和.【詳解】函數是偶函數，圖象對稱軸為，則函數的圖象有對稱軸，所以函數的圖象有對稱軸，，時，在上單調遞減且，定義在R上的偶函數滿足，則函數有對稱軸，又當時，，在同一坐標系在內作出與的圖象，由圖象可得，與的圖象有4個交點，又與的圖象均有對稱軸，則兩函數所有交點的橫坐標之和為4.故選：B11．（1），（2）【分析】（1）利用奇函數的性質進行計算．（2）利用換元法結合一元二次函數的性質求出當時的取值范圍，再根據奇函數的性質，即可求出函數的值域．【詳解】解：（1）因為函數定義在上有恒成立所以函數為奇函數，又當時，所以．當時，則．所以，因為是定義在上的奇函數，所以，即．所以函數的解析式為．（2）令，當時，，則當時，可寫為，所以．由是定義在上的奇函數，所以當時．即函數的值域為．12．(1)(2)【分析】（1）由指數函數定義可直接構造方程組求得，進而得到所求解析式；（2）將不等式化為，根據對數函數單調性和定義域要求可構造不等式組求得結果.【詳解】（1）為指數函數，，解得：，.（2）由（1）知：，，解得：，的取值范圍為.【能力篇】一、單選題1．（2024·寧夏石嘴山·三模）定義在R上的偶函數滿足，且當時，，若關于x的方程恰有5個實數解，則實數m的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題2．（22-23高三上·江蘇南通·開學考試）若實數，滿足，，，則（

）A．且 B．的最小值為C．的最小值為7 D．三、填空題3．（2023·全國·模擬預測）若，滿足約束條件，則的最大值為．四、解答題4．（23-24高