2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專題59排列與組合(新高考專用)(原卷版+解析)

專題59排列與組合（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】排列問(wèn)題 4【考點(diǎn)2】組合問(wèn)題 5【考點(diǎn)3】排列與組合的綜合問(wèn)題 6【分層檢測(cè)】 7【基礎(chǔ)篇】 7【能力篇】 9考試要求：1.理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示.(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1)1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.2.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種3．（2023·全國(guó)·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種4．（2023·全國(guó)·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．205．（2022·全國(guó)·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．（2022·全國(guó)·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2024·全國(guó)·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．8．（2024·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．9．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．10．（2022·全國(guó)·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】排列問(wèn)題一、單選題1．（2023·遼寧·三模）安排包括甲、乙在內(nèi)的4名大學(xué)生去3所不同的學(xué)校支教，每名大學(xué)生只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（

）A．36種 B．30種 C．24種 D．12種2．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C分別承擔(dān)這5個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（

）A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種二、多選題3．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若m，n為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·遼寧遼陽(yáng)·期末）某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B．若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法C．若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D．若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法三、填空題5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國(guó)拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國(guó)際貴賓們感受中國(guó)飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家?！薄吧呈[牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設(shè)在上菜的過(guò)程中服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為．6．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物，分別取名為“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時(shí)代活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”.現(xiàn)有6個(gè)不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè)，將這6個(gè)吉祥物排成前后兩排，每排3個(gè)，且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有.（用數(shù)字作答）反思提升：排列應(yīng)用問(wèn)題的分類與解法(1)對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法.(2)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法.【考點(diǎn)2】組合問(wèn)題一、單選題1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）將8個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．56 B．84 C．126 D．2102．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·吉林·三模）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若4人中男生女生各選2人，則有18種選法B．若男生甲和女生乙必須在內(nèi)，則有12種選法C．若男生甲和女生乙至少有1人在內(nèi)，則有15種選法D．若4人中既有男生又有女生，則有34種選法4．（2024·河南信陽(yáng)·二模）下列命題中真命題是（

）A．設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則B．將4個(gè)人分到三個(gè)不同的崗位工作，每個(gè)崗位至少1人，有36種不同的方法C．一組數(shù)據(jù)148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數(shù)為158D．已知隨機(jī)變量的分布列為，則三、填空題5．（2024·湖北·二模）已知，且，，，則方程的解的組數(shù)為.6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）將1到10這10個(gè)正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個(gè)正整數(shù)，且甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小1，則不同的平分方法共有種.反思提升：組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.【考點(diǎn)3】排列與組合的綜合問(wèn)題一、單選題1．（22-23高三下·湖北·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對(duì)其進(jìn)行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（

）種不同的放置與上色方式A．11232 B．10483 C．10368 D．5616二、多選題3．（21-22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（

）A．全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法B．放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C．將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，共有種放法D．全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有種不同的放法三、填空題4．（2024·廣東佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)下車，且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車，從同一公交站點(diǎn)下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是．5．（2023·廣東汕頭·三模）現(xiàn)在有5人通過(guò)3個(gè)不同的閘機(jī)進(jìn)站乘車，每個(gè)閘機(jī)每次只能過(guò)1人，要求每個(gè)閘機(jī)都要有入經(jīng)過(guò)，則有種不同的進(jìn)站方式（用數(shù)字作答）反思提升：(1)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法.(2)對(duì)于分堆與分配問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)①處理分配問(wèn)題要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆時(shí)要注意是否均勻.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·貴州·三模）2023年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來(lái)自某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法有（

）種.A．48 B．64 C．72 D．1202．（2024·廣東深圳·二模）已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（

）A．72種 B．96種 C．144種 D．288種3．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．20 D．60．4．（2024·山東煙臺(tái)·一模）將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．10 D．15二、多選題5．（23-24高三上·福建廈門·期中）以下結(jié)論中,正確的是（

）A．若復(fù)數(shù),則B．若復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為C．已知復(fù)數(shù),其中,,則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為D．五名學(xué)生按任意次序站成一排,則和站兩端的概率為6．（2023·湖北武漢·一模）已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其中，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．時(shí)，C．時(shí)，隨著的增大而增大 D．時(shí)，隨著的增大而減小7．（2024·山東青島·一模）袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（

）A．事件與是互斥事件 B．事件與是對(duì)立事件C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨(dú)立三、填空題8．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）校運(yùn)會(huì)期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，學(xué)生會(huì)將從6名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有種．9．（2024·廣西·二模）智慧農(nóng)機(jī)是指配備先進(jìn)的信息技術(shù)，傳感器?自動(dòng)化和機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)，對(duì)農(nóng)業(yè)機(jī)械進(jìn)行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動(dòng)育秧機(jī)和自動(dòng)插秧機(jī).正值春耕備耕時(shí)節(jié)，某智慧農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃新購(gòu)2臺(tái)自動(dòng)育秧機(jī)和3臺(tái)自動(dòng)插秧機(jī)，現(xiàn)有6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)和5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)可供選擇，則共有種不同的選擇方案.10．（2024·河南鄭州·一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會(huì)在鄭州國(guó)際會(huì)展中心拉開帷幕．世界5G大會(huì)是全球5G領(lǐng)域國(guó)際性盛會(huì)，也是首次在豫舉辦．本次大會(huì)以“5G變革共繪未來(lái)”為主題，以持續(xù)推動(dòng)5G不斷演進(jìn)創(chuàng)新為目標(biāo)．現(xiàn)場(chǎng)邀請(qǐng)全球有影響力的科學(xué)家、企業(yè)家、國(guó)際組織負(fù)責(zé)人等參會(huì)，并進(jìn)行高層次、高水平交流研討．為確保大會(huì)順利進(jìn)行，面向社會(huì)招聘優(yōu)秀志愿者，參與大會(huì)各項(xiàng)服務(wù)保障工作．現(xiàn)從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務(wù)組”、“物料組”、“機(jī)動(dòng)組”四個(gè)不同的崗位工作，每人去一個(gè)組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種．（用數(shù)字作答）四、解答題11．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）有個(gè)型號(hào)和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品隨機(jī)地逐一檢測(cè).(1)求檢測(cè)過(guò)程中兩件次品不相鄰的概率；(2)設(shè)檢測(cè)完后兩件次品中間相隔正品的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.12．（2024·遼寧·二模）小明從4雙鞋中，隨機(jī)一次取出2只，(1)求取出的2只鞋都不來(lái)自同一雙的概率；(2)若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，【能力篇】一、單選題1．（2024·河南·三模）有除顏色外大小相同的9個(gè)小球，其中有2個(gè)紅球，3個(gè)白球，4個(gè)黑球，同色球不加區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列，要求2個(gè)紅球相鄰，3個(gè)白球兩兩互不相鄰，不同的排列種數(shù)為（

）A．100 B．120 C．10800 D．21600二、多選題2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若，為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．三、填空題3．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）春暖花開季節(jié)，小王?小李?小張?小劉四人計(jì)劃“五?一”去踏青，現(xiàn)有三個(gè)出游的景點(diǎn)：南湖?凈月?蓮花山，假設(shè)每人隨機(jī)選擇一處景點(diǎn)，在至少有兩人去南湖的條件下有人去凈月的概率為.四、解答題4．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）遠(yuǎn)程桌面連接是一種常見的遠(yuǎn)程操作電腦的方法，除了windows系統(tǒng)中可以使用內(nèi)置的應(yīng)用程序，通過(guò)輸入IP地址等連接到他人電腦，也可以通過(guò)向日葵，anyviewer等遠(yuǎn)程桌面軟件，雙方一起打開軟件，通過(guò)軟件隨機(jī)產(chǎn)生的對(duì)接碼，安全的遠(yuǎn)程訪問(wèn)和控制另一臺(tái)電腦.某遠(yuǎn)程桌面軟件的對(duì)接碼是一個(gè)由“1，2，3”這3個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)，每個(gè)數(shù)字至少出現(xiàn)一次.(1)求滿足條件的對(duì)接碼的個(gè)數(shù)；(2)若對(duì)接碼中數(shù)字1出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群552511468也可聯(lián)系微信fjshuxue加入百度網(wǎng)盤群1.5T一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存自動(dòng)更新永不過(guò)期專題59排列與組合（新高考專用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 8【考點(diǎn)1】排列問(wèn)題 8【考點(diǎn)2】組合問(wèn)題 12【考點(diǎn)3】排列與組合的綜合問(wèn)題 15【分層檢測(cè)】 19【基礎(chǔ)篇】 19【能力篇】 26考試要求：1.理解排列、組合的概念；能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.2.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列組合作為一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示.(2)從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(r,n)＝Ceq\o\al(r－1,n－1)＋Ceq\o\al(r,n－1)1.解受條件限制的排列、組合題，通常有直接法(合理分類)和間接法(排除法).分類時(shí)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，避免出現(xiàn)重復(fù)或遺漏.2.對(duì)于分配問(wèn)題，一般先分組、再分配，注意平均分組與不平均分組的區(qū)別，避免重復(fù)或遺漏.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高考真題）甲、乙、丙、丁四人排成一列，則丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（

）A． B． C． D．2．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種3．（2023·全國(guó)·高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種4．（2023·全國(guó)·高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．205．（2022·全國(guó)·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種6．（2022·全國(guó)·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．二、填空題7．（2024·全國(guó)·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．8．（2024·全國(guó)·高考真題）有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中無(wú)放回地隨機(jī)取3次，每次取1個(gè)球.記為前兩次取出的球上數(shù)字的平均值，為取出的三個(gè)球上數(shù)字的平均值，則與之差的絕對(duì)值不大于的概率為．9．（2023·全國(guó)·高考真題）某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．10．（2022·全國(guó)·高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．參考答案：題號(hào)123456答案BDCBBD1．B【分析】解法一：畫出樹狀圖，結(jié)合古典概型概率公式即可求解.解法二：分類討論甲乙的位置，結(jié)合得到符合條件的情況，然后根據(jù)古典概型計(jì)算公式進(jìn)行求解.【詳解】解法一：畫出樹狀圖，如圖，由樹狀圖可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24種排法，其中丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排法共有8種，故所求概率.解法二：當(dāng)甲排在排尾，乙排第一位，丙有種排法，丁就種，共種；當(dāng)甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有種排法，丁就種，共種；于是甲排在排尾共種方法，同理乙排在排尾共種方法，于是共種排法符合題意；基本事件總數(shù)顯然是，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，丙不在排頭，甲或乙在排尾的概率為.故選：B2．D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.3．C【分析】相同讀物有6種情況，剩余兩種讀物的選擇再進(jìn)行排列，最后根據(jù)分步乘法公式即可得到答案.【詳解】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.4．B【分析】利用分類加法原理，分類討論五名志愿者連續(xù)參加兩天公益活動(dòng)的情況，即可得解.【詳解】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.故選：B.5．B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B6．D【分析】由古典概型概率公式結(jié)合組合、列舉法即可得解.【詳解】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.7．24112【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個(gè)方格，每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則第一列有4個(gè)方格可選，第二列有3個(gè)方格可選，第三列有2個(gè)方格可選，第四列有1個(gè)方格可選，所以共有種選法；每種選法可標(biāo)記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個(gè)數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個(gè)方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.8．【分析】根據(jù)排列可求基本事件的總數(shù)，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，就的不同取值分類討論后可求隨機(jī)事件的概率.【詳解】從6個(gè)不同的球中不放回地抽取3次，共有種，設(shè)前兩個(gè)球的號(hào)碼為，第三個(gè)球的號(hào)碼為，則，故，故，故，若，則，則為：，故有2種，若，則，則為：，，故有10種，當(dāng)，則，則為：，，故有16種，當(dāng)，則，同理有16種，當(dāng)，則，同理有10種，當(dāng)，則，同理有2種，共與的差的絕對(duì)值不超過(guò)12時(shí)不同的抽取方法總數(shù)為，故所求概率為.故答案為：9．64【分析】分類討論選修2門或3門課，對(duì)選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.10．/0.3【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可【詳解】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分別為甲，乙，1,2,3，從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名，有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10種選法；其中，甲、乙都入選的選法有3種，故所求概率.故答案為：.解法二：從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】排列問(wèn)題一、單選題1．（2023·遼寧·三模）安排包括甲、乙在內(nèi)的4名大學(xué)生去3所不同的學(xué)校支教，每名大學(xué)生只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少去1名，甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有（

）A．36種 B．30種 C．24種 D．12種2．（23-24高三上·山西運(yùn)城·期末）第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C分別承擔(dān)這5個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（

）A．150種 B．300種 C．720種 D．1008種二、多選題3．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）若m，n為正整數(shù)且，則（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·遼寧遼陽(yáng)·期末）某班星期一上午要安排語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理4節(jié)課，且該天上午總共4節(jié)課，下列結(jié)論正確的是（

）A．若數(shù)學(xué)課不安排在第一節(jié)，則有18種不同的安排方法B．若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課必須相鄰，且語(yǔ)文課排在數(shù)學(xué)課前面，則有6種不同的安排方法C．若語(yǔ)文課和數(shù)學(xué)課不能相鄰，則有12種不同的安排方法D．若語(yǔ)文課、數(shù)學(xué)課、英語(yǔ)課按從前到后的順序安排，則有3種不同的安排方法三、填空題5．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國(guó)拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國(guó)際貴賓們感受中國(guó)飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家?！薄吧呈[牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設(shè)在上菜的過(guò)程中服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為．6．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）第19屆杭州亞運(yùn)會(huì)的吉祥物，分別取名為“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”，是一組承載深厚底蘊(yùn)和充滿時(shí)代活力的機(jī)器人，組合名為“江南憶”.現(xiàn)有6個(gè)不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個(gè)，將這6個(gè)吉祥物排成前后兩排，每排3個(gè)，且每排相鄰兩個(gè)吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)共有.（用數(shù)字作答）參考答案：題號(hào)1234答案BAADABC1．B【分析】利用間接法，先求所有的可能情況，再排除甲、乙安排在同一所學(xué)校的可能情況.【詳解】若每名大學(xué)生只去一個(gè)學(xué)校，每個(gè)學(xué)校至少去1名，則不同的安排方法有種，若甲、乙安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有種，所以甲、乙不能安排在同一所學(xué)校，則不同的安排方法有種.故選：B.2．A【分析】分和兩種情況，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，綜上，不同的安排方法有種.故選：A3．AD【分析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的計(jì)算公式和性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一計(jì)算即可判斷.【詳解】對(duì)A：由組合數(shù)性質(zhì)：可知，A正確；對(duì)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：，，左右兩邊不相等，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：，故D正確.故選：AD4．ABC【分析】選項(xiàng)A將數(shù)學(xué)排在后三節(jié)，再將其余3個(gè)科目全排列即可；選項(xiàng)B采用捆綁法進(jìn)行求解；選項(xiàng)C采用插空法進(jìn)行求解；選項(xiàng)D根據(jù)除序法進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)于A，有種排法，故A正確；對(duì)于B，采用捆綁法，有種排法，故B正確；對(duì)于C，采用插空法，有種排法，故C正確；對(duì)于D，有種排法，故D錯(cuò)誤．故選：ABC5．/0.25【分析】根據(jù)元素相鄰關(guān)系進(jìn)行捆綁并結(jié)合排列問(wèn)題得出結(jié)果.【詳解】服務(wù)員隨機(jī)上這八道菜有種排法，“沙蔥牛肉”，“北京烤鴨”相鄰有種排法，所以所求概率．故答案為：.6．336【分析】分兩種情況，前排含有兩種不同名稱的吉祥物和前排含有三種不同名稱的吉祥物，結(jié)合排列組合知識(shí)進(jìn)行求解.【詳解】由題意可分兩種情形：①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，有種情況，從選出的兩種吉祥物中，其中一種取兩個(gè)，另一種選一個(gè)，有種排法，選出的三個(gè)吉祥物進(jìn)行排列，選一個(gè)的一定放中間，名字相同的放兩邊，由于屬于不同的吉祥物，故有種排法，綜上，有種排法；其次，后排剩余兩個(gè)相同名字的吉祥物和另一個(gè)名字不同的吉祥物，故有種排法，故共有種不同的排法；②前排含有三種不同名稱的吉祥物，先從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各二選一，有種選法，再進(jìn)行全排列，故有種排法；同理后排有種排法，此時(shí)共有種排法；因此，共有種排法，故答案為：336.反思提升：排列應(yīng)用問(wèn)題的分類與解法(1)對(duì)于有限制條件的排列問(wèn)題，分析問(wèn)題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對(duì)于分類過(guò)多的問(wèn)題可以采用間接法.(2)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法.【考點(diǎn)2】組合問(wèn)題一、單選題1．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）將8個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個(gè)名額，則不同的分配方案種數(shù)為（

）A．56 B．84 C．126 D．2102．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）若，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·吉林·三模）從4名男生和3名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若4人中男生女生各選2人，則有18種選法B．若男生甲和女生乙必須在內(nèi)，則有12種選法C．若男生甲和女生乙至少有1人在內(nèi)，則有15種選法D．若4人中既有男生又有女生，則有34種選法4．（2024·河南信陽(yáng)·二模）下列命題中真命題是（

）A．設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則B．將4個(gè)人分到三個(gè)不同的崗位工作，每個(gè)崗位至少1人，有36種不同的方法C．一組數(shù)據(jù)148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位數(shù)為158D．已知隨機(jī)變量的分布列為，則三、填空題5．（2024·湖北·二模）已知，且，，，則方程的解的組數(shù)為.6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）將1到10這10個(gè)正整數(shù)平均分成甲、乙兩組，每組5個(gè)正整數(shù)，且甲組的中位數(shù)比乙組的中位數(shù)小1，則不同的平分方法共有種.參考答案：題號(hào)1234答案BCADABC1．B【分析】將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)換為將10個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額的分法，利用隔板法即可求解.【詳解】將8個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，其中甲、乙兩班至少各有1個(gè)名額的分法，等價(jià)于將10個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽名額全部分給4個(gè)不同的班，每個(gè)班至少有1個(gè)名額的分法.用3個(gè)隔板插入10個(gè)小球中間的空隙中，將球分成4堆，由于10個(gè)小球中間共有9個(gè)空隙，因此共有種不同的分法.故選：B.2．C【分析】利用組合數(shù)公式可得，再求和并結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求出，然后賦值即得.【詳解】依題意，，則，所以.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正確掌握并運(yùn)用組合數(shù)公式及階乘的運(yùn)算性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.3．AD【分析】選項(xiàng)A、B根據(jù)組合及分步計(jì)數(shù)原理的知識(shí)可列出表達(dá)式，進(jìn)行計(jì)算可得結(jié)果；選項(xiàng)C、D可采用間接的方法，先計(jì)算出反面一共有多少種，然后用總的種數(shù)減去反面的種數(shù)即可得到結(jié)果．【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,依題意，根據(jù)組合及分步計(jì)數(shù)原理，可知一共有種．所以該選項(xiàng)正確；對(duì)選項(xiàng)B,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，而甲乙必須在內(nèi)，則相當(dāng)于從5名同學(xué)中選取2人，一共有種．所以該選項(xiàng)不正確；對(duì)選項(xiàng)C,依題意，要從7名同學(xué)中選取4人，一共有種，而甲乙都不在內(nèi)一共有種，甲與乙至少要有1人在內(nèi)有種．所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D,依題意，假設(shè)全是男生一共有種，全是女生的情況沒(méi)有，既有男生又有女生一共有種．所以該選項(xiàng)正確.故選：AD4．ABC【分析】對(duì)于A，由方差公式平均數(shù)公式化簡(jiǎn)即可；對(duì)于B，由先分組再分配即可；對(duì)于C，由百分位數(shù)的定義求解即可；對(duì)于D，由所以概率之和為1，裂項(xiàng)求和即可判斷.【詳解】對(duì)于A，由方差定義可得，所以，A正確；對(duì)于B，先把4個(gè)人分成3組，每組至少一個(gè)人，有種分法，再把三族人分配到三個(gè)不同的工作崗位，有種分配方法，所以共有種不同的方法，故B正確；對(duì)于C，，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為158，故C正確；對(duì)于D，，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.5．15【分析】問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，利用隔板法求解即可.【詳解】由題意，原問(wèn)題等價(jià)于將7個(gè)相同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子中至少放入1個(gè)小球的方法個(gè)數(shù)，在7個(gè)相同的小球之間形成的6個(gè)空中，任選2個(gè)放入兩個(gè)隔板，共有種方法，即方程的解的組數(shù)為15.故答案為：156．36【分析】首先確定甲和乙的中位數(shù)，再?gòu)钠渌臄?shù)字分組，利用組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】依題意，甲組的中位數(shù)必為5，乙組的中位數(shù)必為6，所以甲組另外四個(gè)數(shù)，可從1，2，3，4和7，8，9，10這兩組數(shù)各取2個(gè)，共有.故答案為：反思提升：組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理.【考點(diǎn)3】排列與組合的綜合問(wèn)題一、單選題1．（22-23高三下·湖北·階段練習(xí)）甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．2．（22-23高三下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）將六枚棋子A，B，C，D，E，F(xiàn)放置在2×3的棋盤中，并用紅、黃、藍(lán)三種顏色的油漆對(duì)其進(jìn)行上色（顏色不必全部選用），要求相鄰棋子的顏色不能相同，且棋子A，B的顏色必須相同，則一共有（

）種不同的放置與上色方式A．11232 B．10483 C．10368 D．5616二、多選題3．（21-22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）帶有編號(hào)1、2、3、4、5的五個(gè)球，則（

）A．全部投入4個(gè)不同的盒子里，共有種放法B．放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，共有種放法C．將其中的4個(gè)球投入4個(gè)盒子里的一個(gè)(另一個(gè)球不投入)，共有種放法D．全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，共有種不同的放法三、填空題4．（2024·廣東佛山·二模）甲、乙、丙3人在公交總站上了同一輛公交車，已知3人都將在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)下車，且在每一個(gè)公交站點(diǎn)最多只有兩人同時(shí)下車，從同一公交站點(diǎn)下車的兩人不區(qū)分下車的順序，則甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是．5．（2023·廣東汕頭·三模）現(xiàn)在有5人通過(guò)3個(gè)不同的閘機(jī)進(jìn)站乘車，每個(gè)閘機(jī)每次只能過(guò)1人，要求每個(gè)閘機(jī)都要有入經(jīng)過(guò)，則有種不同的進(jìn)站方式（用數(shù)字作答）參考答案：題號(hào)123答案BCACD1．B【分析】根據(jù)題意，先求得所有情況數(shù)，然后求得甲去的情況數(shù)，從而得到甲不去小區(qū)的情況數(shù)，再結(jié)合概率公式，即可得到結(jié)果.【詳解】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有種情況，再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為;當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計(jì)種，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計(jì)種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.2．C【分析】進(jìn)行顏色分配，然后利用分類原理的相加和分步相乘的原理進(jìn)行分析即可.【詳解】①3個(gè)1，3個(gè)2，0個(gè)3如表：121212只用兩種顏色，并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，②1個(gè)1，2個(gè)2，3個(gè)3如表：132323選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在拐角），并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，或313232選用三種顏色（1+2+3，且只用一次的顏色放在中間），并選取兩個(gè)位置放AB,此時(shí)有：種，③2個(gè)1，2個(gè)2，2個(gè)3如表：3223選用三種顏色（2+2+2），并選取兩個(gè)位置放AB，此時(shí)有：種，或2323選用三種顏色（2+2+2）,并選取兩個(gè)位置放AB，此時(shí)有：種，所以不同的放置與上色方式有：.故選：C.3．ACD【分析】對(duì)A：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)B：分類討論一共用了幾個(gè)球，再結(jié)合捆綁法運(yùn)算求解；對(duì)C：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理運(yùn)算求解；對(duì)D：利用捆綁法運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)于A：每個(gè)球都可以放入4個(gè)不同的盒子，則共有種放法，A正確；對(duì)于B：放進(jìn)不同的4個(gè)盒子里，每盒至少一個(gè)，則有：全部投入4個(gè)不同的盒子里，每盒至少一個(gè)，相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：先選擇4個(gè)球，有種，再選擇一個(gè)盒子，有種，故共有種放法，C正確；對(duì)于D：全部投入4個(gè)不同的盒子里，沒(méi)有空盒，則相當(dāng)于把其中的2個(gè)球捆綁成一個(gè)球，再進(jìn)行排列，共有種放法，D正確；故選：ACD.4．120【分析】分3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車和3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，另人在另外一公交站點(diǎn)下車，兩種情況討論即可，【詳解】由題意，3人都在第4站至第8站的某一公交站點(diǎn)1人獨(dú)自出下車，共有種，3人中有2人在同一公交站點(diǎn)下車，另1人在另外一公交站點(diǎn)下車，共有種，故甲、乙、丙3人下車的不同方法總數(shù)是種.故答案為：120.5．720【分析】考慮和兩種情況，結(jié)合同一閘機(jī)的不同人的順序，計(jì)算相加得到答案.【詳解】將5人分為3組，有和兩種情況：當(dāng)分組為時(shí)：共有；當(dāng)分組為時(shí)：共有；綜上所述：共有種不同的進(jìn)站方式.故答案為：.反思提升：(1)對(duì)相鄰問(wèn)題采用捆綁法、不相鄰問(wèn)題采用插空法、定序問(wèn)題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問(wèn)題的常用方法.(2)對(duì)于分堆與分配問(wèn)題應(yīng)注意三點(diǎn)①處理分配問(wèn)題要注意先分堆再分配.②被分配的元素是不同的.③分堆時(shí)要注意是否均勻.分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2024·貴州·三模）2023年全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽（決賽）于2023年11月26日至12月3日在湖北省武漢市武鋼三中舉行，賽后來(lái)自某所學(xué)校的3名同學(xué)和2名老師站成一排合影，若兩名老師之間至少有一名同學(xué)，則不同的站法有（

）種.A．48 B．64 C．72 D．1202．（2024·廣東深圳·二模）已知某六名同學(xué)在CMO競(jìng)賽中獲得前六名（無(wú)并列情況），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，則這六名同學(xué)獲得的名次情況可能有（

）A．72種 B．96種 C．144種 D．288種3．（2024·河北邯鄲·二模）某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（

）A．12 B．18 C．20 D．60．4．（2024·山東煙臺(tái)·一模）將8個(gè)大小形狀完全相同的小球放入3個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子中至少放2個(gè)小球，則不同放法的種數(shù)為（

）A．3 B．6 C．10 D．15二、多選題5．（23-24高三上·福建廈門·期中）以下結(jié)論中,正確的是（

）A．若復(fù)數(shù),則B．若復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為C．已知復(fù)數(shù),其中,,則復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為D．五名學(xué)生按任意次序站成一排,則和站兩端的概率為6．（2023·湖北武漢·一模）已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，其中，記為奇數(shù)的概率為，為偶數(shù)的概率為，則下列說(shuō)法中正確的有（

）A． B．時(shí)，C．時(shí)，隨著的增大而增大 D．時(shí)，隨著的增大而減小7．（2024·山東青島·一模）袋子中有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中隨機(jī)取出兩個(gè)球，設(shè)事件“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則（

）A．事件與是互斥事件 B．事件與是對(duì)立事件C．事件與是互斥事件 D．事件與相互獨(dú)立三、填空題8．（23-24高三上·甘肅蘭州·階段練習(xí)）校運(yùn)會(huì)期間，需要學(xué)生志愿者輔助裁判老師進(jìn)行記錄工作，學(xué)生會(huì)將從6名志愿者中任意選派3名同學(xué)分別承擔(dān)鉛球記錄、跳高記錄、跳遠(yuǎn)記錄工作，其中甲、乙2人不承擔(dān)鉛球記錄工作，則不同的安排方法共有種．9．（2024·廣西·二模）智慧農(nóng)機(jī)是指配備先進(jìn)的信息技術(shù)，傳感器?自動(dòng)化和機(jī)器學(xué)習(xí)等技術(shù)，對(duì)農(nóng)業(yè)機(jī)械進(jìn)行數(shù)字化和智能化改造的農(nóng)業(yè)裝備，例如：自動(dòng)育秧機(jī)和自動(dòng)插秧機(jī).正值春耕備耕時(shí)節(jié)，某智慧農(nóng)場(chǎng)計(jì)劃新購(gòu)2臺(tái)自動(dòng)育秧機(jī)和3臺(tái)自動(dòng)插秧機(jī)，現(xiàn)有6臺(tái)不同的自動(dòng)育秧機(jī)和5臺(tái)不同的自動(dòng)插秧機(jī)可供選擇，則共有種不同的選擇方案.10．（2024·河南鄭州·一模）2023年12月6日上午，2023世界5G大會(huì)在鄭州國(guó)際會(huì)展中心拉開帷幕．世界5G大會(huì)是全球5G領(lǐng)域國(guó)際性盛會(huì)，也是首次在豫舉辦．本次大會(huì)以“5G變革共繪未來(lái)”為主題，以持續(xù)推動(dòng)5G不斷演進(jìn)創(chuàng)新為目標(biāo)．現(xiàn)場(chǎng)邀請(qǐng)全球有影響力的科學(xué)家、企業(yè)家、國(guó)際組織負(fù)責(zé)人等參會(huì)，并進(jìn)行高層次、高水平交流研討．為確保大會(huì)順利進(jìn)行，面向社會(huì)招聘優(yōu)秀志愿者，參與大會(huì)各項(xiàng)服務(wù)保障工作．現(xiàn)從包含甲、乙的6人中選派4人參與“簽到組”、“服務(wù)組”、“物料組”、“機(jī)動(dòng)組”四個(gè)不同的崗位工作，每人去一個(gè)組，其中甲、乙至少有一人參加且甲不去“簽到組”的選派方法共有種．（用數(shù)字作答）四、解答題11．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）有個(gè)型號(hào)和形狀完全相同的納米芯片，已知其中有兩件是次品，現(xiàn)對(duì)產(chǎn)品隨機(jī)地逐一檢測(cè).(1)求檢測(cè)過(guò)程中兩件次品不相鄰的概率；(2)設(shè)檢測(cè)完后兩件次品中間相隔正品的個(gè)數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.12．（2024·遼寧·二模）小明從4雙鞋中，隨機(jī)一次取出2只，(1)求取出的2只鞋都不來(lái)自同一雙的概率；(2)若這4雙鞋中，恰有一雙是小明的，記取出的2只鞋中含有小明的鞋的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望，參考答案：題號(hào)1234567答案CCCBBCABCAB1．C【分析】利用插空法和分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】根據(jù)題意，分兩步進(jìn)行：第一步：安排3名同學(xué)站成一排合影，不同的站法共種；第二步：安排2名老師，采用插空法，不同的站法共種；由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的站法共種.故選：C2．C【分析】根據(jù)題意分別求出甲是第一，乙是第一的可能情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意，丙可能是4，5，6名，有3種情況，若甲是第一名，則獲得的名次情況可能是種，若乙是第一名，則獲得的名次情況可能是種，所以所有符合條件的可能是種.故選：C.3．C【分析】根據(jù)題意，分為當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)和新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)，結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可分為兩類：①當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)時(shí)，有種方法；②當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)時(shí)，有種方法，由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的差法.故選：C.4．B【分析】對(duì)每個(gè)盒子放入2個(gè)球，再看余下2個(gè)球的去向即可得解.【詳解】依題意，每個(gè)盒子放入2個(gè)球，余下2個(gè)球可以放入一個(gè)盒子有種方法，放入兩個(gè)盒子有種方法，所以不同放法的種數(shù)為.故選：B5．BC【分析】對(duì)于A根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算即可判斷;對(duì)于B根據(jù)復(fù)數(shù)的模的幾何意義可得復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓即可判斷;對(duì)于C由題意得,根據(jù)已知符合題意的有組即可求解;對(duì)于D先把和排兩端再排其他學(xué)生,即根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】對(duì)于A,由,得,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,可以看作復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到的距離為,故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為以點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓,故當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到與軸的交點(diǎn),且向上的位置時(shí),此時(shí)最大,最大值為,故B正確;

對(duì)于C,在中,,,因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù),所以,此時(shí)有共組,所以復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的概率為,故C正確;對(duì)于D,首先將和排兩端共有種情況,再將其余三人全排列共有種情況,所以共有種情況,因?yàn)槲迕麑W(xué)生按任意次序站成一排,共有種情況,故和站兩端的概率為,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:BC.6．ABC【分析】選項(xiàng)A利用概率的基本性質(zhì)即可，B選項(xiàng)由條件可知滿足二項(xiàng)分布，利用二項(xiàng)分布進(jìn)行分析，選項(xiàng)C，D根據(jù)題意把的表達(dá)式寫出，然后利用單調(diào)性分析即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由概率的基本性質(zhì)可知，，故A正確，對(duì)于B選項(xiàng)，由時(shí)，離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，所以，，所以，故