2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(知識(shí)梳理+真題自測(cè)+考點(diǎn)突破+分層檢測(cè))專(zhuān)題14函數(shù)模型及其應(yīng)用(新高考專(zhuān)用)(原卷版+解析)

專(zhuān)題14函數(shù)模型及其應(yīng)用（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 4【考點(diǎn)1】利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的變化過(guò)程 4【考點(diǎn)2】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 7【考點(diǎn)3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 9【分層檢測(cè)】 11【基礎(chǔ)篇】 11【能力篇】 14【培優(yōu)篇】 16考試要求：1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.2.通過(guò)收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax2.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)1.“直線(xiàn)上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越來(lái)越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2020·全國(guó)·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名2．（2020·山東·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿(mǎn)足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天二、多選題3．（2023·全國(guó)·高考真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．三、填空題4．（2019·北京·高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為．四、解答題5．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線(xiàn)型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線(xiàn)型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線(xiàn)段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線(xiàn)l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的變化過(guò)程一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線(xiàn)的距離y與點(diǎn)P走過(guò)的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（

）A． B．C． D．2．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊、與運(yùn)動(dòng)，記，將的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，則（

）

A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，二、多選題3．（2021·福建廈門(mén)·一模）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開(kāi)發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn)．據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)C．注射該藥物小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為時(shí)4．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢B．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢C．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢D．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢三、填空題5．（21-22高二下·江蘇南通·期中）根據(jù)疫情防控要求，學(xué)校教室內(nèi)每日需要進(jìn)行噴灑藥物消毒．若從噴灑藥物開(kāi)始，教室內(nèi)空氣中的藥物濃度（毫克/立方米）與時(shí)間（分鐘）的關(guān)系為：，根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定該藥物濃度達(dá)到不超過(guò)毫克/立方米時(shí)，學(xué)生可以進(jìn)入教室，則從開(kāi)始消毒至少分鐘后，學(xué)生可進(jìn)教室正常學(xué)習(xí)；研究表明當(dāng)空氣中該藥物濃度超過(guò)毫克/立方米持續(xù)8分鐘以上時(shí)，才能起到消毒效果，則本次消毒效果（填：有或沒(méi)有）.6．（2020·江西南昌·三模）如圖，有一塊半徑為的半圓形廣場(chǎng)，為的中點(diǎn)．現(xiàn)要在該廣場(chǎng)內(nèi)以為中軸線(xiàn)劃出一塊扇形區(qū)域，并在扇形區(qū)域內(nèi)建兩個(gè)圓形花圃（圓和圓），使得圓內(nèi)切于扇形，圓與扇形的兩條半徑相切，且與圓外切．記，則圓的半徑可表示成的函數(shù)式為，圓的半徑的最大值為．反思提升：判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況.【考點(diǎn)2】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題一、單選題1．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①浮萍每個(gè)月增長(zhǎng)的面積都相等；②浮萍蔓延4個(gè)月后，面積超過(guò)30平方米；③浮萍面積每個(gè)月的增長(zhǎng)率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則．A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門(mén)，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線(xiàn)上距離邊線(xiàn)米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線(xiàn)的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門(mén)，為獲得最佳的射門(mén)角度（即最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）若物體原來(lái)的溫度為（單位:），環(huán)境溫度為（單位:），物體的溫度冷卻到，單位:）與需用時(shí)間（單位:分鐘）滿(mǎn)足為正常數(shù).現(xiàn)有一杯開(kāi)水放在室溫為的房間里，根據(jù)函數(shù)關(guān)系研究這杯開(kāi)水冷卻的情況（，則（

）A．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)10分鐘，這杯水的溫度大約為B．當(dāng)時(shí)，這杯開(kāi)水冷卻到大約需要14分鐘C．若，則D．這杯水從冷卻到所需時(shí)間比從冷卻到所需時(shí)間短4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時(shí)間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個(gè)具有時(shí)間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時(shí)間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（

）物質(zhì)τ的量綱單位τ的值鈾234萬(wàn)年35.58鈾235億年10.2鈾238億年64.75A． B．與成正比例關(guān)系C． D．三、填空題5．（2023·上海長(zhǎng)寧·一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo).其值（單位：）定義為.其中為聲場(chǎng)中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為為基準(zhǔn)值.若，則其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為.6．（2007·湖北·高考真題）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）．根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．反思提升：1.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn).(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).【考點(diǎn)3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題一、單選題1．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿(mǎn)足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當(dāng)不變，比原來(lái)提高時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若不變，則比原來(lái)提高不超過(guò)B．若不變，則比原來(lái)提高超過(guò)C．為使不變，則比原來(lái)降低不超過(guò)D．為使不變，則比原來(lái)降低超過(guò)2．（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生制作一個(gè)矩形框架的工藝品．要求將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為10cm和20cm的矩形零件的四個(gè)頂點(diǎn)分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為．由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度（單位：）與排氣時(shí)間（單位：分鐘）之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)了，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．排氣12分鐘后濃度為D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在四川成都舉行，大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”備受人們歡迎．某大型超市舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，推出“單次消費(fèi)滿(mǎn)1000元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為若干個(gè)大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”．抽獎(jiǎng)結(jié)果分為五個(gè)等級(jí)，等級(jí)與獲得“蓉寶”的個(gè)數(shù)的關(guān)系式為，已知三等獎(jiǎng)比四等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多2個(gè)，比五等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多3個(gè)，且三等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)是五等獎(jiǎng)的2倍，則（

）A． B．C． D．二等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)為10三、填空題5．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個(gè)長(zhǎng)度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過(guò)的時(shí)間為s．（注意：位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，重力加速度?。?．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車(chē)2023年運(yùn)營(yíng)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費(fèi)s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費(fèi)a（元）0.70.70.7出租車(chē)空駛率；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車(chē)的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）反思提升：(1)在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.②建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題.(2)通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·云南·二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格：一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價(jià)格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件2．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場(chǎng)活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來(lái)，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為，若銀行希望實(shí)際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（

）A．46.49萬(wàn)元 B．53.56萬(wàn)元 C．64.43萬(wàn)元 D．71.12萬(wàn)元3．（2024·北京昌平·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來(lái)近似地刻畫(huà)茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．4．（22-23高三下·云南·階段練習(xí)）近年來(lái)，天然氣表觀(guān)消費(fèi)量從2006年的不到m3激增到2021年的m3.從2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記k表示從2000年開(kāi)始的第幾年，，.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀(guān)消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費(fèi)量，是2000年的天然氣消費(fèi)量，是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為m3，2018年的天然氣消費(fèi)量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，A．m3 B．m3C．m3 D．m3二、多選題5．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知大氣壓強(qiáng)隨高度的變化滿(mǎn)足關(guān)系式是海平面大氣壓強(qiáng)，.我國(guó)陸地地勢(shì)可劃分為三級(jí)階梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一級(jí)階梯第二級(jí)階梯第三級(jí)階梯若用平均海拔的范圍直接代表各級(jí)階梯海拔的范圍，設(shè)在第一、二、三級(jí)階梯某處的壓強(qiáng)分別為，則（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·河南新鄉(xiāng)·期末）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復(fù)合袋．在我們的日常生活中，各類(lèi)大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來(lái)，而且可以達(dá)到防潮、防蟲(chóng)咬、清潔保存的效果．其中抽氣式壓縮袋是通過(guò)外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來(lái)進(jìn)行排氣的．現(xiàn)選用某種抽氣泵對(duì)裝有棉被的壓縮袋進(jìn)行排氣，已知該型號(hào)的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內(nèi)氣體的，則（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來(lái)的，至少要抽5次B．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來(lái)的，至少要抽9次C．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內(nèi)氣體的D．抽3次可以使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來(lái)的7．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）泊松分布適合于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)．如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等等．其概率函數(shù)為，參數(shù)是單位時(shí)間（或單位面積）內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù)．現(xiàn)采用某種紫外線(xiàn)照射大腸桿菌，大腸桿菌的基因組平均產(chǎn)生3個(gè)嘧啶二體．設(shè)大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)為Y，表示經(jīng)該種紫外線(xiàn)照射后產(chǎn)生k個(gè)嘧啶二體的概率．已知Y服從泊松分布，記為，當(dāng)產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)不小于1時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，下列說(shuō)法正確的有（

）（參考數(shù)據(jù)：，恒等式）A．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線(xiàn)照射后，存活的概率約為5%B．設(shè)，則C．如果，那么，X的標(biāo)準(zhǔn)差D．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線(xiàn)照射后，其基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為3三、填空題8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)某種藥劑進(jìn)行稀釋?zhuān)跏紩r(shí)藥劑有，濃度為100%，加入水后，藥劑濃度被稀釋為60%，若每次稀釋都向上一次所得稀釋液中加入水，則要使稀釋液中藥劑濃度低于初始濃度的10%，則要加水次．9．（22-23高二上·廣東深圳·期末）我們可以用下面的方法在線(xiàn)段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段，第1次操作，將該線(xiàn)段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度總和大于，則的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：）10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時(shí)間．在特定劑量范圍內(nèi)，（單位，h）內(nèi)藥物在血液中濃度由（單位，）降低到（單位，），則藥物的半衰期．已知某時(shí)刻測(cè)得藥物甲、乙在血液中濃度分別為和，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再次測(cè)得兩種藥物在血液中濃度都為，設(shè)藥物甲、乙的半衰期分別為，，則．四、解答題11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某種漢堡是某西餐店火爆的快餐品種之一，該店該種漢堡的成本為每個(gè)10元，售價(jià)為每個(gè)15元，若當(dāng)天沒(méi)有售出，則全部銷(xiāo)毀．

(1)若該西餐店某天制作該種漢堡（）個(gè)，求該西餐店當(dāng)天該種漢堡的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；(2)該西餐店某月（按30天算）每天制作該種漢堡90個(gè)，并對(duì)該月該種漢堡的日需求量（單位：個(gè)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析制成條形圖如圖所示，求該西餐店該月這種漢堡的平均日利潤(rùn)．12．（2000·廣東·高考真題）某蔬菜基地種黃瓜，從歷年市場(chǎng)行情可知，從二月一日起的天內(nèi)，黃瓜市場(chǎng)售價(jià)（單位：元/千克）與上市時(shí)間（第天）的關(guān)系可用如圖所示的一條折線(xiàn)表示，黃瓜的種植成本（單位：元/千克）與上市時(shí)間的關(guān)系可用如圖所示的拋物線(xiàn)表示．

(1)寫(xiě)出圖表示的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式及圖表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，則何時(shí)上市能使黃瓜純收益最大？【能力篇】一、單選題1．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．二、多選題2．（2024·遼寧·二模）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開(kāi)始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)，若，則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公式的是（

）A．若是以月為單位，則B．若是以年為單位，則C．若是以月為單位，則D．若是以年為單位，則三、填空題3．（2022·河南安陽(yáng)·二模）某景區(qū)套票原價(jià)300元/人，如果多名游客組團(tuán)購(gòu)買(mǎi)套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價(jià)打9折；若人數(shù)不低于50，則票價(jià)打8折；若人數(shù)不低于100，則票價(jià)打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價(jià)計(jì)算，總金額每滿(mǎn)5000元減1000元.已知一個(gè)旅游團(tuán)有47名游客，若可以?xún)煞N方案搭配使用，則這個(gè)旅游團(tuán)購(gòu)票總費(fèi)用的最小值為元.四、解答題4．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過(guò)全面檢測(cè)后，分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A(yíng)型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A(yíng)型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于B型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失400元；假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率．(1)設(shè)臨界值時(shí)，將2個(gè)不作該指標(biāo)檢測(cè)的Ⅰ級(jí)品芯片直接應(yīng)用于A(yíng)型手機(jī)，求芯片生產(chǎn)商的損失（單位：元）的分布列及期望；(2)設(shè)且，現(xiàn)有足夠多的芯片Ⅰ級(jí)品、Ⅱ級(jí)品，分別應(yīng)用于A(yíng)型手機(jī)、B型手機(jī)各1萬(wàn)部的生產(chǎn)：方案一：將芯片不作該指標(biāo)檢測(cè)，Ⅰ級(jí)品直接應(yīng)用于A(yíng)型手機(jī)，Ⅱ級(jí)品直接應(yīng)用于B型手機(jī)；方案二：重新檢測(cè)該芯片Ⅰ級(jí)品，Ⅱ級(jí)品的該項(xiàng)指標(biāo)，并按規(guī)定正確應(yīng)用于手機(jī)型號(hào)，會(huì)避免方案一的損失費(fèi)用，但檢測(cè)費(fèi)用共需要130萬(wàn)元；請(qǐng)求出按方案一，芯片生產(chǎn)商損失費(fèi)用的估計(jì)值（單位：萬(wàn)元）的表達(dá)式，并從芯片生產(chǎn)商的成本考慮，選擇合理的方案．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）某軍區(qū)紅、藍(lán)兩方進(jìn)行戰(zhàn)斗演習(xí)，假設(shè)雙方兵力（戰(zhàn)斗單位數(shù)）隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：，其中正實(shí)數(shù)，分別為紅、藍(lán)兩方的初始兵力，為戰(zhàn)斗時(shí)間；，分別為紅、藍(lán)兩方時(shí)刻的兵力；正實(shí)數(shù)，分別為紅方對(duì)藍(lán)方、藍(lán)方對(duì)紅方的戰(zhàn)斗效果系數(shù)；和分別為雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)．規(guī)定：當(dāng)紅、藍(lán)兩方任何一方兵力為0時(shí)戰(zhàn)斗演習(xí)結(jié)束，另一方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利，并記戰(zhàn)斗持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為．則下列結(jié)論不正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利D．若，則紅方獲得戰(zhàn)斗演習(xí)勝利二、多選題2．（2023·遼寧大連·三模）甲乙兩隊(duì)進(jìn)行比賽，若雙方實(shí)力隨時(shí)間的變化遵循蘭徹斯特模型：其中正實(shí)數(shù)分別為甲?乙兩方初始實(shí)力，為比賽時(shí)間；分別為甲?乙兩方時(shí)刻的實(shí)力；正實(shí)數(shù)分別為甲對(duì)乙?乙對(duì)甲的比賽效果系數(shù).規(guī)定當(dāng)甲?乙兩方任何一方實(shí)力為0時(shí)比賽結(jié)束，另一方獲得比賽勝利，并記比賽持續(xù)時(shí)長(zhǎng)為.則下列結(jié)論正確的是（

）A．若且，則B．若且，則C．若，則甲比賽勝利D．若，則甲比賽勝利三、填空題3．（2022·北京東城·二模）某公司通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限，勞累程度，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型．已知甲、乙為該公司的員工，給出下列四個(gè)結(jié)論：①甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高；②甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高；③甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)：④甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短．則甲比乙勞累程度弱．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．專(zhuān)題14函數(shù)模型及其應(yīng)用（新高考專(zhuān)用）目錄目錄【知識(shí)梳理】 2【真題自測(cè)】 3【考點(diǎn)突破】 9【考點(diǎn)1】利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的變化過(guò)程 9【考點(diǎn)2】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 15【考點(diǎn)3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題 22【分層檢測(cè)】 27【基礎(chǔ)篇】 27【能力篇】 36【培優(yōu)篇】 40考試要求：1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線(xiàn)上升”等術(shù)語(yǔ)的含義.2.通過(guò)收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際等數(shù)學(xué)模型，會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用.知識(shí)梳理知識(shí)梳理1.指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來(lái)越快越來(lái)越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax2.幾種常見(jiàn)的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)與冪函數(shù)相關(guān)的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0)1.“直線(xiàn)上升”是勻速增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)量固定不變；“指數(shù)增長(zhǎng)”先慢后快，其增長(zhǎng)量成倍增加，常用“指數(shù)爆炸”來(lái)形容；“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”先快后慢，其增長(zhǎng)量越來(lái)越小.2.充分理解題意，并熟練掌握幾種常見(jiàn)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.易忽視實(shí)際問(wèn)題中自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域，必須驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性.真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2020·全國(guó)·高考真題）在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開(kāi)通網(wǎng)上銷(xiāo)售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓.為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作.已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過(guò)1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者（

）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名2．（2020·山東·高考真題）基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：描述累計(jì)感染病例數(shù)I(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與R0，T近似滿(mǎn)足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出R0=3.28，T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（

）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天二、多選題3．（2023·全國(guó)·高考真題）噪聲污染問(wèn)題越來(lái)越受到重視．用聲壓級(jí)來(lái)度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽(tīng)覺(jué)下限閾值，是實(shí)際聲壓．下表為不同聲源的聲壓級(jí)：聲源與聲源的距離聲壓級(jí)燃油汽車(chē)10混合動(dòng)力汽車(chē)10電動(dòng)汽車(chē)1040已知在距離燃油汽車(chē)、混合動(dòng)力汽車(chē)、電動(dòng)汽車(chē)處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為，則（

）．A． B．C． D．三、填空題4．（2019·北京·高考真題）李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷(xiāo)售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷(xiāo)量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷(xiāo)：一次購(gòu)買(mǎi)水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各1盒，需要支付元；②在促銷(xiāo)活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷(xiāo)前總價(jià)的七折，則x的最大值為．四、解答題5．（2019·江蘇·高考真題）如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線(xiàn)型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線(xiàn)型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線(xiàn)段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線(xiàn)l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．參考答案：1．B【分析】算出第二天訂單數(shù)，除以志愿者每天能完成的訂單配貨數(shù)即可.【詳解】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，，故至少需要志愿者名.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．B【分析】根據(jù)題意可得，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，根據(jù)，解得即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以，設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為天，則，所以，所以，所以天.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.3．ACD【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：可得，因?yàn)?，則，即，所以且，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，即，可得，即，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：，且，則，即，可得，且，所以，故D正確；故選：ACD.4．130.15.【分析】由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類(lèi)討論，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題可得的最大值.【詳解】(1),顧客一次購(gòu)買(mǎi)草莓和西瓜各一盒,需要支付元.(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買(mǎi)水果的促銷(xiāo)前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).5．（1）15（百米）；（2）見(jiàn)解析；（3）17+（百米）.【分析】解：解法一：（1）過(guò)A作，垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長(zhǎng)；（2）分類(lèi)討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．解法二：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng)；（2）分類(lèi)討論P(yáng)和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.（3）先討論點(diǎn)P的位置，然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．【詳解】解法一：（1）過(guò)A作，垂足為E.由已知條件得，四邊形ACDE為矩形，.因?yàn)镻B⊥AB，所以.所以.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，由（1）可得E在圓上，則線(xiàn)段BE上的點(diǎn)（除B，E）到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑，所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知，從而，所以∠BAD為銳角.所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此，Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，.此時(shí)，線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)PB⊥AB，點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè)，且CQ=時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為17+（百米）.解法二：（1）如圖，過(guò)O作OH⊥l，垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)OH為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)锽D=12，AC=6，所以O(shè)H=9，直線(xiàn)l的方程為y=9，點(diǎn)A，B的縱坐標(biāo)分別為3，?3.因?yàn)锳B為圓O的直徑，AB=10，所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A（4，3），B（?4，?3），直線(xiàn)AB的斜率為.因?yàn)镻B⊥AB，所以直線(xiàn)PB的斜率為，直線(xiàn)PB的方程為.所以P（?13，9），.因此道路PB的長(zhǎng)為15（百米）.（2）①若P在D處，取線(xiàn)段BD上一點(diǎn)E（?4，0），則EO=4<5，所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.②若Q在D處，連結(jié)AD，由（1）知D（?4，9），又A（4，3），所以線(xiàn)段AD：.在線(xiàn)段AD上取點(diǎn)M（3，），因?yàn)?，所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.綜上，P和Q均不能選在D處.（3）先討論點(diǎn)P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時(shí)，線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑，點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求；當(dāng)∠OBP≥90°時(shí)，對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)F，OF≥OB，即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑，點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.設(shè)為l上一點(diǎn)，且，由（1）知，，此時(shí)；當(dāng)∠OBP>90°時(shí)，在中，.由上可知，d≥15.再討論點(diǎn)Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí)，設(shè)Q（a，9），由，得a=，所以Q（，9），此時(shí)，線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.綜上，當(dāng)P（?13，9），Q（，9）時(shí)，d最小，此時(shí)P，Q兩點(diǎn)間的距離.因此，d最小時(shí)，P，Q兩點(diǎn)間的距離為（百米）.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線(xiàn)與圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查直觀(guān)想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】利用函數(shù)圖象刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的變化過(guò)程一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）在下列四個(gè)圖形中，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓刂荛L(zhǎng)為l的圖形運(yùn)動(dòng)一周，O、P兩點(diǎn)連線(xiàn)的距離y與點(diǎn)P走過(guò)的路程x的函數(shù)關(guān)系如圖，那么點(diǎn)P所走的圖形是（

）A． B．C． D．2．（2022·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)沿著邊、與運(yùn)動(dòng)，記，將的面積表示為關(guān)于的函數(shù)，則（

）

A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．當(dāng)時(shí)，二、多選題3．（2021·福建廈門(mén)·一模）某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開(kāi)發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間的關(guān)系近似滿(mǎn)足如圖所示的曲線(xiàn)．據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則（

）A．B．注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)C．注射該藥物小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為時(shí)4．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）設(shè)，當(dāng)時(shí)，對(duì)這三個(gè)函數(shù)的增長(zhǎng)速度進(jìn)行比較，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢B．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢C．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢D．的增長(zhǎng)速度最快，的增長(zhǎng)速度最慢三、填空題5．（21-22高二下·江蘇南通·期中）根據(jù)疫情防控要求，學(xué)校教室內(nèi)每日需要進(jìn)行噴灑藥物消毒．若從噴灑藥物開(kāi)始，教室內(nèi)空氣中的藥物濃度（毫克/立方米）與時(shí)間（分鐘）的關(guān)系為：，根據(jù)相關(guān)部門(mén)規(guī)定該藥物濃度達(dá)到不超過(guò)毫克/立方米時(shí)，學(xué)生可以進(jìn)入教室，則從開(kāi)始消毒至少分鐘后，學(xué)生可進(jìn)教室正常學(xué)習(xí)；研究表明當(dāng)空氣中該藥物濃度超過(guò)毫克/立方米持續(xù)8分鐘以上時(shí)，才能起到消毒效果，則本次消毒效果（填：有或沒(méi)有）.6．（2020·江西南昌·三模）如圖，有一塊半徑為的半圓形廣場(chǎng)，為的中點(diǎn)．現(xiàn)要在該廣場(chǎng)內(nèi)以為中軸線(xiàn)劃出一塊扇形區(qū)域，并在扇形區(qū)域內(nèi)建兩個(gè)圓形花圃（圓和圓），使得圓內(nèi)切于扇形，圓與扇形的兩條半徑相切，且與圓外切．記，則圓的半徑可表示成的函數(shù)式為，圓的半徑的最大值為．參考答案：1．D【分析】由點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的單調(diào)性可排除A，由圖象的對(duì)稱(chēng)性可排除，由一開(kāi)始與是線(xiàn)性的可排除C，對(duì)于D，當(dāng)圖形是正方形時(shí)，可以驗(yàn)證它滿(mǎn)足題意.【詳解】對(duì)于A(yíng)，點(diǎn)在第一條邊上時(shí)，，但點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是隨的增大先減小（減到最小時(shí)即為三角形的第二條邊上的高的長(zhǎng)度），然后再增大，對(duì)比圖象可知，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，y與x的函數(shù)圖形一定不是對(duì)稱(chēng)的，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，一開(kāi)始與的關(guān)系不是線(xiàn)性的，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)圖象對(duì)稱(chēng)，所以D選項(xiàng)應(yīng)為正方形，不妨設(shè)邊長(zhǎng)為，點(diǎn)在第一條邊上時(shí)（即時(shí)），，點(diǎn)在第二條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，依然單調(diào)遞增，點(diǎn)在第三條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，點(diǎn)在第四條邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)（即時(shí)），，單調(diào)遞減，且已知與的圖象關(guān)于（其中）對(duì)稱(chēng)，D正確.故選：D.2．C【分析】分、、三種情況討論，求出的邊上的高，結(jié)合三角形的面積公式可得出的表達(dá)式.【詳解】，則，易得，，所以，，則.

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線(xiàn)段上（不包括點(diǎn)），則，此時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線(xiàn)段上（不包括點(diǎn)），此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在線(xiàn)段上（不包括點(diǎn)），

此時(shí)，則，則.故選：C.3．AD【分析】利用圖象分別求出兩段函數(shù)解析式，再進(jìn)行逐個(gè)分析，即可解決．【詳解】由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，，故正確，藥物剛好起效的時(shí)間，當(dāng)，即，藥物剛好失效的時(shí)間，解得，故藥物有效時(shí)長(zhǎng)為小時(shí)，藥物的有效時(shí)間不到6個(gè)小時(shí)，故錯(cuò)誤，正確；注射該藥物小時(shí)后每毫升血液含藥量為微克，故錯(cuò)誤，故選：．4．ACD【分析】做出三個(gè)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象，可得三個(gè)函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，函數(shù)增長(zhǎng)速度最快，增長(zhǎng)速度最慢.所以選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)ACD不正確.故選：ACD.

5．30有【分析】由已知只需即可確定幾分鐘之后學(xué)生可進(jìn)教室，計(jì)算出藥物濃度超過(guò)毫克/立方米的時(shí)間段，即可判斷是否有效果.【詳解】由題設(shè)，只需，即，可得分鐘，所以分鐘后藥物濃度不超過(guò)毫克/立方米，故30分鐘后學(xué)生可進(jìn)教室正常學(xué)習(xí)，當(dāng)，則，當(dāng)，則，可得，即第5分鐘到第20分鐘之間藥物濃度超過(guò)毫克/立方米，故分鐘，所以本次消毒有效果.故答案為：30，有.6．【分析】設(shè)圓的半徑為，有幾何關(guān)系可得，消去即可得到圓的半徑與的函數(shù)關(guān)系；令，則，再由二次函數(shù)求出最大值，即可求出結(jié)果．【詳解】設(shè)圓的半徑為，過(guò)作，，垂足分別為、，如下圖所示：在中，可得，即；在中，可得，即；則，則，；令，則，當(dāng)，即時(shí)，．故圓的半徑的最大值為．故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了利用換元法和二次函數(shù)求最值，是中檔題．反思提升：判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問(wèn)題變化過(guò)程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象.(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選出符合實(shí)際的情況.【考點(diǎn)2】已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題一、單選題1．（2024·北京通州·二模）某池塘里原有一塊浮萍，浮萍蔓延后的面積S（單位：平方米）與時(shí)間t（單位：月）的關(guān)系式為（，且），圖象如圖所示．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）①浮萍每個(gè)月增長(zhǎng)的面積都相等；②浮萍蔓延4個(gè)月后，面積超過(guò)30平方米；③浮萍面積每個(gè)月的增長(zhǎng)率均為50%；④若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則．A．0 B．1 C．2 D．32．（2022·黑龍江哈爾濱·三模）如圖為某小區(qū)七人足球場(chǎng)的平面示意圖，為球門(mén)，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊(duì)員甲在中線(xiàn)上距離邊線(xiàn)米的點(diǎn)處接球，此時(shí)，假設(shè)甲沿著平行邊線(xiàn)的方向向前帶球，并準(zhǔn)備在點(diǎn)處射門(mén)，為獲得最佳的射門(mén)角度（即最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）若物體原來(lái)的溫度為（單位:），環(huán)境溫度為（單位:），物體的溫度冷卻到，單位:）與需用時(shí)間（單位:分鐘）滿(mǎn)足為正常數(shù).現(xiàn)有一杯開(kāi)水放在室溫為的房間里，根據(jù)函數(shù)關(guān)系研究這杯開(kāi)水冷卻的情況（，則（

）A．當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)10分鐘，這杯水的溫度大約為B．當(dāng)時(shí)，這杯開(kāi)水冷卻到大約需要14分鐘C．若，則D．這杯水從冷卻到所需時(shí)間比從冷卻到所需時(shí)間短4．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）放射性物質(zhì)在衰變中產(chǎn)生輻射污染逐步引起了人們的關(guān)注，已知放射性物質(zhì)數(shù)量隨時(shí)間的衰變公式，表示物質(zhì)的初始數(shù)量，是一個(gè)具有時(shí)間量綱的數(shù)，研究放射性物質(zhì)常用到半衰期，半衰期指的是放射性物質(zhì)數(shù)量從初始數(shù)量到衰變成一半所需的時(shí)間，已知，右表給出了鈾的三種同位素τ的取值：若鈾234、鈾235和鈾238的半衰期分別為，，，則（

）物質(zhì)τ的量綱單位τ的值鈾234萬(wàn)年35.58鈾235億年10.2鈾238億年64.75A． B．與成正比例關(guān)系C． D．三、填空題5．（2023·上海長(zhǎng)寧·一模）在有聲世界，聲強(qiáng)級(jí)是表示聲強(qiáng)度相對(duì)大小的指標(biāo).其值（單位：）定義為.其中為聲場(chǎng)中某點(diǎn)的聲強(qiáng)度，其單位為為基準(zhǔn)值.若，則其相應(yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為.6．（2007·湖北·高考真題）為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒．已知藥物釋放過(guò)程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，與的函數(shù)關(guān)系式為（為常數(shù)）．根據(jù)圖所提供的信息，回答下列問(wèn)題：

（1）從藥物釋放開(kāi)始，每立方米空氣中的含藥量（毫克）與時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到毫克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么藥物釋放開(kāi)始，至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．參考答案：1．B【分析】由已知可得出，計(jì)算出萍蔓延1月至2月份增長(zhǎng)的面積和2月至3月份增長(zhǎng)的面積，可判斷①的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延4個(gè)月后的面積，可判斷②的正誤；計(jì)算出浮萍蔓延每個(gè)月增長(zhǎng)率，可判斷③的正誤；利用指數(shù)運(yùn)算可判斷④的正誤.【詳解】由已知可得，則.對(duì)于①，浮萍蔓延1月至2月份增長(zhǎng)的面積為（平方米），浮萍蔓延2月至3月份增長(zhǎng)的面積為（平方米），①錯(cuò)；對(duì)于②，浮萍蔓延4個(gè)月后的面積為（平方米），②對(duì)；對(duì)于③，浮萍蔓延第至個(gè)月的增長(zhǎng)率為，所以，浮萍蔓延每個(gè)月增長(zhǎng)率相同，都是，③錯(cuò)；對(duì)于④，若浮萍蔓延到3平方米、4平方米、12平方米所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別是，，，則，，，所以，④錯(cuò).故選：B.2．B【分析】先根據(jù)題意解出長(zhǎng)度，設(shè)，得到，再分析求值域，判斷取等條件即可求解.【詳解】設(shè)，并根據(jù)題意作如下示意圖，由圖和題意得：，，所以，且，所以，又，所以，解得，即，設(shè)，，則，，所以在中，有，令，所以，所以，因?yàn)?，所以，則要使最大，即要取得最小值，即取得最大值，即在取得最大值，令，，所以的對(duì)稱(chēng)軸為：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大，此時(shí)，即，所以，所以，即為獲得最佳的射門(mén)角度（即最大），則射門(mén)時(shí)甲離上方端線(xiàn)的距離為：.故選：B.3．BCD【分析】根據(jù)解析式中各量的意義，代入求解即可.【詳解】為正常數(shù).對(duì)于A(yíng)，，由，得，所以，解得，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，由，得，即，則，故正確；對(duì)于D，設(shè)這杯水從冷卻到所需時(shí)間為分鐘，則，設(shè)這杯水從冷卻到所需時(shí)間為分鐘，則，因?yàn)椋?，故D正確.故選：BCD.4．BD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)半衰期的定義得到，從而得到方程，求出；B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)得到結(jié)論；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可得C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，作商得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得，又，故，兩邊取對(duì)數(shù)得，，，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由A可知，與成正比例關(guān)系，B正確；C選項(xiàng)，由B可知，與成正比例關(guān)系，由于鈾234的值小于鈾235的值，故，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，故，D正確.故選：BD5．130【分析】將題中數(shù)據(jù)直接代入公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以其相?yīng)的聲強(qiáng)級(jí)為.故答案為：130.6．/【分析】（1）當(dāng)時(shí)，可設(shè)，把點(diǎn)代入直線(xiàn)方程求得，得到直線(xiàn)方程；當(dāng)時(shí)，把點(diǎn)代入求得，曲線(xiàn)方程可得．最后綜合可得答案．（2）分析可知只有當(dāng)藥物釋放完畢，室內(nèi)藥量減少到毫克以下時(shí)學(xué)生方可進(jìn)入教室，可出，解此不等式組即可得解.【詳解】解：（1）依題意，當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得，將代入可得，解得.綜上所述，.（2）由題意可得，因?yàn)樗幬镝尫胚^(guò)程中室內(nèi)藥量一直在增加，即使藥量小于毫克，學(xué)生也不能進(jìn)入教室，所以只有當(dāng)藥物釋放完畢，室內(nèi)藥量減少到毫克以下時(shí)學(xué)生方可進(jìn)入教室，即，解得，由題意至少需要經(jīng)過(guò)小時(shí)后，學(xué)生才能回到教室．故答案為：（1）；（2）.反思提升：1.求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)注點(diǎn).(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)；(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).2.利用函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問(wèn)題，并進(jìn)行檢驗(yàn).【考點(diǎn)3】構(gòu)造函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題一、單選題1．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力滿(mǎn)足公式，其中是空氣密度，是該飛行器的迎風(fēng)面積，是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，是空氣阻力系數(shù)（其大小取決于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率.當(dāng)不變，比原來(lái)提高時(shí)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若不變，則比原來(lái)提高不超過(guò)B．若不變，則比原來(lái)提高超過(guò)C．為使不變，則比原來(lái)降低不超過(guò)D．為使不變，則比原來(lái)降低超過(guò)2．（23-24高三上·江蘇南通·期末）某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生制作一個(gè)矩形框架的工藝品．要求將一個(gè)邊長(zhǎng)分別為10cm和20cm的矩形零件的四個(gè)頂點(diǎn)分別焊接在矩形框架的四條邊上，則矩形框架周長(zhǎng)的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某地下車(chē)庫(kù)在排氣扇發(fā)生故障的情況下測(cè)得空氣中一氧化碳含量達(dá)到了危險(xiǎn)狀態(tài)，經(jīng)搶修排氣扇恢復(fù)正常，排氣4分鐘后測(cè)得車(chē)庫(kù)內(nèi)的一氧化碳濃度為，繼續(xù)排氣4分鐘后又測(cè)得濃度為．由檢驗(yàn)知該地下車(chē)庫(kù)一氧化碳濃度（單位：）與排氣時(shí)間（單位：分鐘）之間滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．若空氣中一氧化碳濃度不高于，人就可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)了，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．排氣12分鐘后濃度為D．排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)在四川成都舉行，大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”備受人們歡迎．某大型超市舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，推出“單次消費(fèi)滿(mǎn)1000元可參加抽獎(jiǎng)”的活動(dòng)，獎(jiǎng)品為若干個(gè)大運(yùn)會(huì)吉祥物“蓉寶”．抽獎(jiǎng)結(jié)果分為五個(gè)等級(jí)，等級(jí)與獲得“蓉寶”的個(gè)數(shù)的關(guān)系式為，已知三等獎(jiǎng)比四等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多2個(gè)，比五等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”多3個(gè)，且三等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)是五等獎(jiǎng)的2倍，則（

）A． B．C． D．二等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)為10三、填空題5．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在高度為的豎直墻壁面上有一電子眼，已知到天花板的距離為，電子眼的最大可視半徑為．某人從電子眼正上方的天花板處貼墻面自由釋放一個(gè)長(zhǎng)度為0.2m的木棒（木棒豎直下落且保持與地面垂直），則電子眼A記錄到木棒通過(guò)的時(shí)間為s．（注意：位移與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為，重力加速度?。?．（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）甲、乙、丙三輛出租車(chē)2023年運(yùn)營(yíng)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：甲乙丙接單量t（單）783182258338油費(fèi)s（元）107150110264110376平均每單里程k（公里）151515平均每公里油費(fèi)a（元）0.70.70.7出租車(chē)空駛率；依據(jù)以述數(shù)據(jù)，小明建立了求解三輛車(chē)的空駛率的模型，并求得甲、乙、丙的空駛率分別為，則（精確到0.01）參考答案：1．C【分析】由題意可得，，結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷即可.【詳解】由題意，，所以，，A：當(dāng)，不變，比原來(lái)提高時(shí)，則，所以比原來(lái)提高超過(guò)，故A錯(cuò)誤；B：由選項(xiàng)A的分析知，，所以比原來(lái)提高不超過(guò)，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)，不變，比原來(lái)提高時(shí)，，所以比原來(lái)降低不超過(guò)，故C正確；D：由選項(xiàng)C的分析知，比原來(lái)降低不超過(guò)，故D錯(cuò)誤.故選：C2．D【分析】由已知作圖如圖所示，設(shè)，利用三角函數(shù)表示各邊長(zhǎng)，借助三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，，令，則，則，，則周長(zhǎng)，故選：D．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的定義表示出所求周長(zhǎng)，再利用三角恒等變換即可得解.3．ACD【分析】由題意列式，求出，即可判斷A，B；可得函數(shù)解析式，將代入，即可判斷C；結(jié)合解析式列出不等關(guān)系，求出人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)的排氣時(shí)間，判斷D.【詳解】設(shè)，代入，得,解得，A正確，B錯(cuò)誤．此時(shí)，所以，C正確．當(dāng)時(shí)，即，得，所以，所以排氣32分鐘后，人可以安全進(jìn)入車(chē)庫(kù)，D正確．故選:ACD．4．ABD【分析】依題意，得出關(guān)于的方程組，解方程組得的值，從而得到關(guān)于的方程組，解方程組得的值，即可判斷選項(xiàng)A，B，C是否正確，由的值推出的解析式，求出的值，即可判斷選項(xiàng)D是否正確．【詳解】依題意，得，解得即：對(duì)于選項(xiàng)A，由可得：，（依題意知，，故）得，所以，故A項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因可得：，由選項(xiàng)A結(jié)論可知，所以，所以，解得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C，因可得：，由選項(xiàng)B結(jié)論，有，解得，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由選項(xiàng)A，B，C可得，即，所以，即二等獎(jiǎng)獲得的“蓉寶”數(shù)為10，故D項(xiàng)正確．故選：ABD.5．【分析】由題意中的函數(shù)關(guān)系建立方程組，解之即可求解.【詳解】由已知得，木棒做自由落體運(yùn)動(dòng)，設(shè)從開(kāi)始下落到木棒的下端開(kāi)始進(jìn)入電子眼的視線(xiàn)和木棒的上端開(kāi)始離開(kāi)電子眼的視線(xiàn)所需要的時(shí)間分別為，位移分別為，所以，則，所以電子眼A記錄到木棒通過(guò)的時(shí)間為．故答案為：6．【分析】根據(jù)題意得到出租車(chē)空駛率的模型，檢驗(yàn)甲、乙兩輛出租車(chē)的空駛率，滿(mǎn)足題意，從而利用該模型求得丙的空駛率，從而得解.【詳解】依題意，因?yàn)槌鲎廛?chē)行駛的總里程為，出租車(chē)有載客時(shí)行駛的里程為，所以出租車(chē)空駛率，對(duì)于甲，，滿(mǎn)足題意；對(duì)于乙，，滿(mǎn)足題意；所以上述模型滿(mǎn)足要求，則丙的空駛率為，即.故答案為：.反思提升：(1)在應(yīng)用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)需注意以下四個(gè)步驟：①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇函數(shù)模型.②建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的函數(shù)模型.③解模：求解函數(shù)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.④還原：將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際意義的問(wèn)題.(2)通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法構(gòu)建函數(shù)模型解決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).分層檢測(cè)分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2023·云南·二模）下表是某批發(fā)市場(chǎng)的一種益智玩具的銷(xiāo)售價(jià)格：一次購(gòu)買(mǎi)件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價(jià)格37元32元30元27元25元張師傅準(zhǔn)備用2900元到該批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買(mǎi)這種玩具，贈(zèng)送給一所幼兒園，張師傅最多可買(mǎi)這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件2．（2024高三下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場(chǎng)活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直以來(lái)，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例與小微企業(yè)的年收入（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系為.已知小微企業(yè)的年收入為80萬(wàn)元時(shí)，其實(shí)際還款比例為，若銀行希望實(shí)際還款比例為，則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：，1）（

）A．46.49萬(wàn)元 B．53.56萬(wàn)元 C．64.43萬(wàn)元 D．71.12萬(wàn)元3．（2024·北京昌平·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)tmin后的溫度為，可選擇函數(shù)來(lái)近似地刻畫(huà)茶水溫度隨時(shí)間變化的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：）A． B． C．6min D．4．（22-23高三下·云南·階段練習(xí)）近年來(lái)，天然氣表觀(guān)消費(fèi)量從2006年的不到m3激增到2021年的m3.從2000年開(kāi)始統(tǒng)計(jì)，記k表示從2000年開(kāi)始的第幾年，，.經(jīng)計(jì)算機(jī)擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀(guān)消費(fèi)量隨時(shí)間的變化情況符合，其中是從2000年后第k年天然氣消費(fèi)量，是2000年的天然氣消費(fèi)量，是過(guò)去20年的年復(fù)合增長(zhǎng)率.已知2009年的天然氣消費(fèi)量為m3，2018年的天然氣消費(fèi)量為m3，根據(jù)擬合的模型，可以預(yù)測(cè)2024年的天然氣消費(fèi)量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：，A．m3 B．m3C．m3 D．m3二、多選題5．（23-24高三上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知大氣壓強(qiáng)隨高度的變化滿(mǎn)足關(guān)系式是海平面大氣壓強(qiáng)，.我國(guó)陸地地勢(shì)可劃分為三級(jí)階梯，其平均海拔如下表：平均海拔第一級(jí)階梯第二級(jí)階梯第三級(jí)階梯若用平均海拔的范圍直接代表各級(jí)階梯海拔的范圍，設(shè)在第一、二、三級(jí)階梯某處的壓強(qiáng)分別為，則（

）A． B．C． D．6．（22-23高一上·河南新鄉(xiāng)·期末）壓縮袋（真空壓縮袋）也叫PE拉鏈復(fù)合袋．在我們的日常生活中，各類(lèi)大小的壓縮袋不但能把衣柜解放出來(lái)，而且可以達(dá)到防潮、防蟲(chóng)咬、清潔保存的效果．其中抽氣式壓縮袋是通過(guò)外接抽氣用具如抽氣泵或吸塵器，來(lái)進(jìn)行排氣的．現(xiàn)選用某種抽氣泵對(duì)裝有棉被的壓縮袋進(jìn)行排氣，已知該型號(hào)的抽氣泵每次可以抽出壓縮袋內(nèi)氣體的，則（

）（參考數(shù)據(jù)：?。〢．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來(lái)的，至少要抽5次B．要使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來(lái)的，至少要抽9次C．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內(nèi)氣體的D．抽3次可以使壓縮袋內(nèi)剩余的氣體少于原來(lái)的7．（2022·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）泊松分布適合于描述單位時(shí)間（或空間）內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)．如某一服務(wù)設(shè)施在一定時(shí)間內(nèi)到達(dá)的人數(shù)，顯微鏡下單位分區(qū)內(nèi)的細(xì)菌分布數(shù)等等．其概率函數(shù)為，參數(shù)是單位時(shí)間（或單位面積）內(nèi)隨機(jī)事件的平均發(fā)生次數(shù)．現(xiàn)采用某種紫外線(xiàn)照射大腸桿菌，大腸桿菌的基因組平均產(chǎn)生3個(gè)嘧啶二體．設(shè)大腸桿菌的基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)為Y，表示經(jīng)該種紫外線(xiàn)照射后產(chǎn)生k個(gè)嘧啶二體的概率．已知Y服從泊松分布，記為，當(dāng)產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)不小于1時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，下列說(shuō)法正確的有（

）（參考數(shù)據(jù)：，恒等式）A．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線(xiàn)照射后，存活的概率約為5%B．設(shè)，則C．如果，那么，X的標(biāo)準(zhǔn)差D．大腸桿菌a經(jīng)該種紫外線(xiàn)照射后，其基因組產(chǎn)生的嘧啶二體個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望為3三、填空題8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)某種藥劑進(jìn)行稀釋?zhuān)跏紩r(shí)藥劑有，濃度為100%，加入水后，藥劑濃度被稀釋為60%，若每次稀釋都向上一次所得稀釋液中加入水，則要使稀釋液中藥劑濃度低于初始濃度的10%，則要加水次．9．（22-23高二上·廣東深圳·期末）我們可以用下面的方法在線(xiàn)段上構(gòu)造出一個(gè)特殊的點(diǎn)集：如圖，取一條長(zhǎng)度為1的線(xiàn)段，第1次操作，將該線(xiàn)段三等分，去掉中間一段，留下兩段；第2次操作，將留下的兩段分別三等分，各去掉中間一段，留下四段；按照這種規(guī)律一直操作下去.若經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線(xiàn)段的長(zhǎng)度總和大于，則的最小值為.（參考數(shù)據(jù)：）10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）藥物的半衰期指的是血液中藥物濃度降低到一半所需時(shí)間．在特定劑量范圍內(nèi)，（單位，h）內(nèi)藥物在血液中濃度由（單位，）降低到（單位，），則藥物的半衰期．已知某時(shí)刻測(cè)得藥物甲、乙在血液中濃度分別為和，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后再次測(cè)得兩種藥物在血液中濃度都為，設(shè)藥物甲、乙的半衰期分別為，，則．四、解答題11．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某種漢堡是某西餐店火爆的快餐品種之一，該店該種漢堡的成本為每個(gè)10元，售價(jià)為每個(gè)15元，若當(dāng)天沒(méi)有售出，則全部銷(xiāo)毀．

(1)若該西餐店某天制作該種漢堡（）個(gè)，求該西餐店當(dāng)天該種漢堡的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；(2)該西餐店某月（按30天算）每天制作該種漢堡90個(gè)，并對(duì)該月該種漢堡的日需求量（單位：個(gè)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析制成條形圖如圖所示，求該西餐店該月這種漢堡的平均日利潤(rùn)．12．（2000·廣東·高考真題）某蔬菜基地種黃瓜，從歷年市場(chǎng)行情可知，從二月一日起的天內(nèi)，黃瓜市場(chǎng)售價(jià)（單位：元/千克）與上市時(shí)間（第天）的關(guān)系可用如圖所示的一條折線(xiàn)表示，黃瓜的種植成本（單位：元/千克）與上市時(shí)間的關(guān)系可用如圖所示的拋物線(xiàn)表示．

(1)寫(xiě)出圖表示的市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式及圖表示的種植成本與上市時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，則何時(shí)上市能使黃瓜純收益最大？參考答案：1．C【分析】根據(jù)題意，設(shè)購(gòu)買(mǎi)的件數(shù)為，花費(fèi)為元，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)列出滿(mǎn)足的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時(shí)，求出的最大值即可.【詳解】設(shè)購(gòu)買(mǎi)的件數(shù)為，花費(fèi)為元，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以最多可購(gòu)買(mǎi)這種產(chǎn)品件，故選：C.2．A【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算函數(shù)中參數(shù)的值，然后計(jì)算還款比例為時(shí)的值即可.【詳解】由題意知，化簡(jiǎn)得，故，得.則當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得，得，故當(dāng)實(shí)際還款比例為時(shí)，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬(wàn)元.故選：A3．B【分析】令，則，兩邊同時(shí)取對(duì)將代入即可得出答案.【詳解】由題可知，函數(shù)，令，則，兩邊同時(shí)取對(duì)可得：，即，即.故選：B.4．B【分析】由題意，，，由已知數(shù)據(jù)解出，再由，代入?yún)⒖紨?shù)據(jù)計(jì)算即可.【詳解】據(jù)題意，，兩式相除可得，又因?yàn)?，故選：B．5．ACD【分析】根據(jù)題意，列出不等式，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解對(duì)數(shù)不等式即可求解.【詳解】設(shè)在第一級(jí)階梯某處的海拔為，則，即.因?yàn)椋?，解得A正確；由，得.當(dāng)時(shí)，，即，所以，B錯(cuò)誤；設(shè)在第二級(jí)階梯某處的海拔為，在第三級(jí)階梯某處的海拔為，則兩式相減可得.因?yàn)?，所以，則，即，故均正確.故選:ACD.6．ACD【分析】根據(jù)題意建立函數(shù)模型，利用指對(duì)函數(shù)的性質(zhì)一一計(jì)算即可判定選項(xiàng).【詳解】設(shè)抽氣泵抽了次，若要使壓縮袋內(nèi)的氣體少于原來(lái)的，則，即，則．因?yàn)?，所以至少要?次，A正確，B錯(cuò)誤．抽氣泵第4次抽出了最初壓縮袋內(nèi)氣體的，C正確．，D正確．故選：ACD7．AD【分析】根據(jù)珀松分布的性質(zhì)即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A(yíng);當(dāng)時(shí)，大腸桿菌就會(huì)死亡，當(dāng)時(shí)，大腸桿菌能存活，由知，當(dāng)時(shí)，，故A對(duì)，對(duì)于B;,,，因?yàn)?，的正?fù)無(wú)法確定，故的大小無(wú)法確定，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C；根據(jù)珀松分布的方差可知,但,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D;由珀松分布可知，而，故，故D正確.故選：AD8．14（答案不唯一）【分析】根據(jù)題意利用函數(shù)模型列出不等式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)要加水次，，根據(jù)題意可得，解得，所以要至少加水14次可以使稀釋液中藥劑濃度低于初始濃度的10%．故答案為：14（答案不唯一）9．12【分析】設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為，得到為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，求出，從而得到去掉的所有線(xiàn)段長(zhǎng)度總和為，列出不等式，求出答案.【詳解】設(shè)每次操作留下的長(zhǎng)度為，則，，且每次操作留下的長(zhǎng)度均為上一次操作留下長(zhǎng)度的，所以為等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，故，所以經(jīng)過(guò)次這樣的操作后，去掉的所有線(xiàn)段長(zhǎng)度總和為，故，即，兩邊取對(duì)數(shù)得：，因?yàn)?，所以，則n的最小值為12.故答案為：1210．2【分析】根據(jù)題意代入即可求解.【詳解】由題意得，．故答案為：211．(1)（）(2)（元）【分析】（1）分別寫(xiě)出和時(shí)的利潤(rùn)，表示為分段函數(shù)的形式；（2）由（1）求出的解析式求出利潤(rùn)，再求平均利潤(rùn)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)，當(dāng)時(shí)，日利潤(rùn)，，關(guān)于的函數(shù)解析式為（）.（2）由題及（1）知，日利潤(rùn)為180元的天數(shù)為1，日利潤(rùn)為240元的天數(shù)為3，日利潤(rùn)為300元的天數(shù)為4，日利潤(rùn)為360元的天數(shù)為5，日利潤(rùn)為420元的天數(shù)為6，日利潤(rùn)為450元的天數(shù)為11，該月的平均日利潤(rùn)為（元）.故該西餐店該月這種漢堡的平均日利潤(rùn)為（元）.12．(1)，(2)從二月一日開(kāi)始的第天上市，能使黃瓜純收益最大【分析】（1）采用待定系數(shù)法假設(shè)一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，代入已知點(diǎn)即可求得結(jié)果；（2）收益為，結(jié)合二次函數(shù)最值可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得：，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，解得：，；綜上所述：；設(shè)，，解得：，.（2）設(shè)從二月一日起的第天的純收益為，由題意知：，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最大值；綜上可知：當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，即從二月一日開(kāi)始的第天上市，能使黃瓜純收益最大．【能力篇】一、單選題1．（23-24高三上·福建泉州·期末）函數(shù)的數(shù)據(jù)如下表，則該函數(shù)的解析式可能形如（

）-2-1012352.31.10.71.12.35.949.1A．B．C．D．二、多選題2．（2024·遼寧·二模）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用表示從開(kāi)始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間變化的函數(shù)，若，則下面選項(xiàng)中，符合摩爾定律公式的是（

）A．若是以月為單位，則B．若是以年為單位，則C．若是以月為單位，則D．若是以年為單位，則三、填空題3．（2022·河南安陽(yáng)·二模）某景區(qū)套票原價(jià)300元/人，如果多名游客組團(tuán)購(gòu)買(mǎi)套票，則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10，則票價(jià)打9折；若人數(shù)不低于50，則票價(jià)打8折；若人數(shù)不低于100，則票價(jià)打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價(jià)計(jì)算，總金額每滿(mǎn)5000元減1000元.已知一個(gè)旅游團(tuán)有47名游客，若可以?xún)煞N方案搭配使用，則這個(gè)旅游團(tuán)購(gòu)票總費(fèi)用的最小值為元.四、解答題4．（2024·四川南充·二模）已知某科技公司的某型號(hào)芯片的各項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)過(guò)全面檢測(cè)后，分為Ⅰ級(jí)和Ⅱ級(jí)，兩種品級(jí)芯片的某項(xiàng)指標(biāo)的頻率分布直方圖如圖所示：若只利用該指標(biāo)制定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值K，按規(guī)定須將該指標(biāo)大于K的產(chǎn)品應(yīng)用于A(yíng)型手機(jī)，小于或等于K的產(chǎn)品應(yīng)用于B型手機(jī)．若將Ⅰ級(jí)品中該指標(biāo)小于或等于臨界值K的芯片錯(cuò)誤應(yīng)用于A(yíng)型手機(jī)會(huì)導(dǎo)致芯片生產(chǎn)商每部手機(jī)損失800元；若將Ⅱ級(jí)品中該指標(biāo)大于臨