21一元二次不等式解法及運用（精講）

2.1一元二次不等式解法及運用（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考法一不等式的解法【例1】（1）（2021·全國高三專題練習(xí)）已知集合，，則（） B． C． D．（2）（2021·云南昆明市·昆明一中）設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．（3）（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為（）A．，或 B．，或C．，或 D．，或【答案】（1）B（2）A（3）A【解析】（1）由已知，，所以．故選：B．（2），，因此，.故選：A.（3）原不等式可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)軸標根法可得，或．即不等式的解集為，或．故選：A．【一隅三反】1．（2021·上海高三二模）已知實數(shù)，則“”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】B【解析】等價于，即，化簡得，解得則“”是“”的必要非充分條件故選：B2．（2021·全國高三專題練習(xí)）已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，所以，故選：C．3．（2020·全國高三專題練習(xí)）不等式成立的一個充分不必要條件是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】的解集為或，所給選項中只有為或的真子集.故選:C.4．（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式(1＋x)(1－x2)>0的解集是（）A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<1且x≠－1}【答案】D【解析】由已知得,等價于且即不等式的解集為{x|x<1且x≠－1}故選：D5．（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為（）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】原不等式可化為，即，則，如圖，利用穿針引線法得：或，所以原不等式的解集為：或.故選：C.考法二一元二次方程的根與不等式解的關(guān)系【例2】（1）（2021·全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A． B．C． D．（2）（2021·全國高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集為或，則關(guān)于的不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）由關(guān)于x的不等式的解集是，得且，則關(guān)于x的不等式可化為，即，解得：或，所求不等式的解集為：.故選：A.（2）由題意，則有，∴，解之得，故選：B【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】一元二次方程的根就是相應(yīng)一元二次函數(shù)的零點，也是相應(yīng)一元二次不等式解集的端點值給出一元二次不等式的解集，相當于知道了相應(yīng)二次函數(shù)的開口方向及與x軸的交點，可以利用代入根或根與系數(shù)的關(guān)系求待定系數(shù)【一隅三反】1．（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則不等式的解集為（）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】由題意可知、是關(guān)于的二次方程的兩根，由韋達定理可得，解得，不等式即為，解得或.因此，不等式的解集為或.故選：A.2．（多選）（2021·全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式解集為或，則（）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為或【答案】ABD【解析】因為關(guān)于的不等式解集為或，所以和是方程的兩個實根，且，故正確；所以，，所以，所以不等式可化為，因為，所以，故正確；因為，又，所以，故不正確；不等式可化為，又，所以，即，即，解得或,故正確.故選：ABD3.(2021·福州調(diào)研)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－eq\f(1,2)<x<－eq\f(1,3)}，則不等式x2－bx－a≥0的解集是________.【答案】{x|x≥3或x≤2}【解析】由題意，知－eq\f(1,2)，－eq\f(1,3)是方程ax2－bx－1＝0的兩個根，且a<0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(b,a)，,－\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝\f(－1,a)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝5.))故不等式x2－bx－a≥0為x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.考法三一元二次方程的個數(shù)、大小問題【例3】（1）（2020·全國高三專題練習(xí)）若和分別是一元二次方程的兩根，則的是_____________.（2）（2021·全國高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式有實數(shù)解，則的取值范圍是。（3）（2020·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三）關(guān)于的方程的兩根都大于2，則的取值范圍是（4）（2020·全國高三）方程的一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間內(nèi)，則的取值范圍是（5）（2021·全國高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】（1）由韋達定理：，，.故答案為：.（2）當時，符合題意，當時，，解得，所以（3）∵關(guān)于的方程的兩根都大于2，令，可得，即，求得，（4）令，由二次函數(shù)根的分布性質(zhì)，若一根在區(qū)間內(nèi)，另一根在區(qū)間（3，4）內(nèi)，只需，即，解不等式組可得，即的取值范圍為，（3）因為不等式的解集中恰有個正整數(shù)，即不等式的解集中恰有個正整數(shù)，所以，所以不等式的解集為所以這三個正整數(shù)為，所以，即【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】根的個數(shù)用判別式列式根的正負或大小用韋達定理根與系數(shù)的關(guān)系用韋達定理4.已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．5.解決一元二次方程的根的分布時，常常需考慮：判別式，對稱軸，特殊點的函數(shù)值的正負，所對應(yīng)的二次函數(shù)圖象的開口方向.【一隅三反】1.（2021年廣東汕頭）已知方程有兩個負實根，則實數(shù)的取值范圍是。【答案】【解析】要原方程有兩個負實根，必須：.或∴實數(shù)的取值范圍是.2.（2021年廣東云浮）若是一元二次方程的兩個根，則的值為。【答案】【解析】，故方程必有兩根，又根據(jù)二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，可得，所以.3．（2020·奉新縣第一中學(xué)高三）若一元二次方程的兩個實根都大于，則的取值范圍____【答案】或.【解析】由題意得應(yīng)滿足解得：或.故答案為：或.4．（2020·甘肅省會寧縣第四中學(xué)高三月考）關(guān)于x方程在內(nèi)恰有一解，則a的取值范圍【答案】【解析】當時，，不合題意；∴，令，有，，要使在內(nèi)恰有一個零點，∴即可，則，5．（2021年湖南）若方程只有正根，則m的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥糠匠讨挥姓瑒t當，即時，當時，方程為時，，符合題意；當時，方程為時，不符合題意.故成立；當，解得或，則，解得.綜上得.6．（2021·北京高三專題練習(xí)）若關(guān)于的不等式在區(qū)間(1，4)內(nèi)有解，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】【解析】不等式等價于存在，使成立，即設(shè)當時，所以.考法四一元二次不等式（恒）成立【例4】（1）（2021·全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（2）（2021·四川高三一模）已知命題，若為真命題，則的取值范圍為___________(結(jié)果用區(qū)間表示).（3）（2021·全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍為【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）因為關(guān)于的不等式恒成立，分以下兩種情況討論：（1）當時，可得，合乎題意；（2）當時，則有，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.（2），，則，令，則在上單調(diào)遞增，，，即的取值范圍為.故答案為：.（3）由題意得：關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，等價于不等式在區(qū)間上有解，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以實數(shù)的取值范圍為【方法總結(jié)】【方法總結(jié)】對于不等式有解的問題，常常有以下情況：有解?，有解?2.利用二次不等式在實數(shù)集上恒成立，可以利用以下結(jié)論來求解：設(shè)①在上恒成立，則；②在上恒成立，則；③在上恒成立，則；④在上恒成立，則3.不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．【一隅三反】1．（2021·全國高三專題練習(xí)）不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】當時，不等式顯然恒成立，即，滿足條件．當時，為二次函數(shù)，要恒大于零只有開口向上，．所以，即綜上所述：2．（2020·濟南德潤高級中學(xué)高三期中）若存在實數(shù)，使得關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】時，若，則不等式為，不等式成立，滿足題意，時，在在使得不等式成立，則，∴．綜上，．故答案為：．3．（2021·全國高三專題練習(xí)）“，”為假命題，則實數(shù)a的最小值為________.【答案】1【解析】，”為假命題，即在[1，3]上，恒成立，分離參數(shù)得,令,當時取得最大值1，的最小值為1，故答案為:1.4．（2020·全國高三專題練習(xí)）關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______.【答案】【解析】∵在上為減函數(shù)，且不等式對任意恒成立，則只需，即.故答案為：.5．（2021·遼寧高三二模）若“，使得成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】若“，使得成立”是假命題，則“，使得成立”是真命題，分離，進而.考法五含參一元二次不等式的解法【例5】（1）（2021·全國高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式：()．（2）（2021·全國高三專題練習(xí)）已知關(guān)于的不等式：，當時解不等式.【答案】見解析【解析】（1）原不等式化為，①或時，不等式為，所以不等式的解集為；②當或時，，不等式的解集為；③當或時，，不等式的解集為．綜上所述：當①或時，不等式的解集為；②當或時，不等式的解集為；③當或時，不等式的解集為．（2）原不等式可變形為：，當時，，所以即解集為；當時，，所以即解集為；當時，，令，所以，若時，，所以解集為，若時，，所以解集為，若時，，所以解集為，綜上可知：時解集為；時解集為；時解集為；時解集為.【一隅三反】1．（2021·上海）解關(guān)于x的不等式x2(a+1)x+a<0(其中a為常數(shù)且).【答案】答案見解析【解析】由x2(a+1)x+a<0可得(xa)(x1)<0.當a<1時，解得a<x<1；當a=1時，解集為；當a>1時，解得1<x<a.綜上所述，當a<1時，原不等式的解集為(a，1)；當a=1時，原不等式的解集為；當a>1時，原不等式的解集為(1，a).2．（2021·全國）解關(guān)于x的不等式.【答案】答案見解析.【解析】，不等式的解為；當時，不等式對應(yīng)方程的根為或2，①當時，不等式即的解集為；②當時，不等式的解集為；③當時，不等式的解集為；④當時，不等式的解集為.綜上所述，當時，不等式解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.3．（2021·江蘇高三專題練習(xí)）解關(guān)于的不等式【答案】見解析【解析】原不等式等價于(1)當時，解集為(2)當時，原不等式可化為，因為，所以解集為(3)當時，，解集為(4)當時，原不等式等價于，即，解集為(5)當時，，解集為綜上所述，當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為；當時，解集為考法六不等式的性質(zhì)【例6】（1）（多選）（2021·遼寧高三其他模擬）設(shè)實數(shù)滿足，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．（2）（2021·千陽縣中學(xué)高三）已知，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】（1）BCD（2）C【解析】對于A選項：取a=3，b=1，滿足條件，而a2>b2，A不正確；對于B選項：因，則，又函數(shù)在單調(diào)遞增，即，B正確；對于C選項：因，則，，即，C正確；對于D選項：因，則，，D正確.故選：BCD（2）.設(shè)，所以，解得：，，因為，，所以，因為單調(diào)遞增，所以.故選：C【一隅三反】1．（2021·廣東珠海市·高三二模）已知，滿足，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因，，則a>0，b<0，，A不正確；，則，B不正確；又，即，則，，C正確；由得，D不正確.故選：C2．（2021·北京八十中高三其他模擬）已知非零實數(shù)，滿足，則下列不等式中一定成立