北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三上學期期中考試數(shù)學試卷（含答案）

北京市朝陽區(qū)2024-2025學年高三上學期期中考試數(shù)學2024.11（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）設(shè)集合，集合,則（A）（B）（C）（D）（2）若函數(shù)在處取得最小值，則（A）（B）（C）（D）（3）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（A）（B）（C）（D）（4）如圖，在中，，則（A）（B）（C）（D）（5）已知單位向量滿足，設(shè)向量，則向量與向量夾角的余弦值是（A）（B）（C）（D）（6）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著,書中有如下的問題:“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何?”意思是:“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，己知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少?”.由此推算，在這5天中，織布超過1尺的天數(shù)共有（A）1天（B）2天（C）3天（D）4天（7）已知均為第二象限的角，則“”是“”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（8）已知函數(shù)若直線與函數(shù)的圖象有且只有一個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（A） （B）（C） （D）（9）在三棱錐中，棱,,兩兩垂直，點在底面內(nèi)，已知點到,,所在直線的距離分別為,,，則線段的長為（A） （B）（C）3 （D）（10）數(shù)學家康托爾創(chuàng)立了集合論，集合論的產(chǎn)生豐富了現(xiàn)代計數(shù)方法.記為集合S的元素個數(shù)，為集合的子集個數(shù)，若集合,,滿足：①；②，則的最大值是（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）計算____.（12）在中，已知，則____；____.（13）已知數(shù)列的前項和為(為常數(shù)),寫出一個有序數(shù)對____,使得數(shù)列是遞增數(shù)列.（14）某種滅活疫苗的有效保存時間(單位:)與儲藏的溫度(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系(為常數(shù)，其中).已知該疫苗在時的有效保存時間是，在時的有效保存時間是,則該疫苗在時的有效保存時間是___.（15）對于無窮數(shù)列,若存在常數(shù),對任意的,都有不等式成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì).給出下列四個結(jié)論：①存在公差不為0的等差數(shù)列具有性質(zhì)；②以1為首項,為公比的等比數(shù)列具有性質(zhì)；③若由數(shù)列的前項和構(gòu)成的數(shù)列具有性質(zhì),則數(shù)列也具有性質(zhì)；④若數(shù)列和均具有性質(zhì),則數(shù)列也具有性質(zhì).其中所有正確結(jié)論的序號是______.三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求及的面積．（17）（本小題15分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求平面與平面的夾角的余弦值；（Ⅲ）記平面與平面的交線為.試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由.（18）（本小題13分）已知函數(shù)().（Ⅰ）若，求的最小值；（Ⅱ）若存在極小值，求的取值范圍.（19）（本小題14分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）若求的值；（Ⅱ）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：當時，取到最小值；條件②：；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞減．注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（20）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）討論在區(qū)間上的零點個數(shù)；（Ⅲ）若，其中，求證：.（21）（本小題15分）若有窮正整數(shù)數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為數(shù)列：①；②對任意的，都存在正整數(shù)，使得．（Ⅰ）判斷數(shù)列和數(shù)列是否為數(shù)列，說明理由；（Ⅱ）已知數(shù)列是數(shù)列．（?。┳C明：對任意的，與不能同時成立；（ⅱ）若為奇數(shù)，求的最大值．（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）C （5）C（6）B （7）C （8）B （9）A (10)B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12） （13）（答案不唯一）（14） （15）②③④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）由，得.所以.由得.又因為，所以．所以．可得． 5分（Ⅱ）因為，所以．又由（Ⅰ）可知，，所以．整理得，即．所以．所以．所以面積為. 13分（17）（本小題15分）解：（Ⅰ）因為平面，所以．又因為，，所以．又因為，所以平面． 5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，則．則.設(shè)平面的一個法向量為．由得所以令，則．又因為平面，所以是平面的一個法向量．設(shè)平面與平面的夾角為，則． 12分（Ⅲ）直線．理由如下：因為，平面，平面，所以平面．又因為平面，平面平面，所以．…………………….15分（18）（本小題13分）解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，當時，，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以當時，取得最小值.…………5分（Ⅱ）.（1）當時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以無極值.（2）當時，令，得.當變化時，與的變化情況如下表：↘極小值↗由上表知，當時，取得極小值.綜上，的取值范圍為.………..13分（19）（本小題14分）解：（Ⅰ）由得.則. 4分（Ⅱ），，選擇條件①：因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，又當時，取到最小值，所以，故．因為，所以．所以，．又因為，所以，得．又因為，所以．選擇條件③：因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，且是函數(shù)的圖象的對稱軸，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故．因為，所以．所以，．又因為，所以，得．又因為，所以． 14分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）由，得且，所以.所以曲線在處的切線方程為：.即. 4分（Ⅱ）①當時，，，所以.所以在區(qū)間上無零點.②當時，，，所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，，所以在區(qū)間上僅有一個零點.綜上,在區(qū)間上的零點個數(shù)為1. 9分（Ⅲ）設(shè)，即，所以.設(shè)，.因為時，，，所以.所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.故，所以.因為，所以，又，所以. 15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）數(shù)列不是數(shù)列，理由如下：對于數(shù)列，因為，，且對任意的正整數(shù)，有，所以數(shù)列不滿足性質(zhì)②．所以數(shù)列不是數(shù)列．數(shù)列是數(shù)列，理由如下：對于數(shù)列,因為，所以數(shù)列滿足性質(zhì)①．又因為，,,,,,，所以數(shù)列滿足性質(zhì)②．所以數(shù)列是數(shù)列．………