多媒體信號(hào)處理 課件 第4章 形態(tài)學(xué)圖像處理

第4章形態(tài)學(xué)圖像處理14.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本概念形態(tài)學(xué)：通常指生物學(xué)中對(duì)動(dòng)植物的形狀和結(jié)果進(jìn)行處理的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)(mathematicalmorphology,MM)：是根據(jù)形態(tài)學(xué)概念發(fā)展而來(lái)具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的科學(xué)，并在圖像處理和模式識(shí)別領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。24.1.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的定義和分類基本思想是：用具有一定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去度量和提取圖像中的對(duì)應(yīng)形狀以達(dá)到對(duì)圖像分析和識(shí)別的目的形態(tài)學(xué)圖像處理表現(xiàn)為一種鄰域運(yùn)算形式；一種特殊定義的鄰域稱之為“結(jié)構(gòu)元素”（StructureElement），在每個(gè)像素位置上它與二值圖像對(duì)應(yīng)的區(qū)域進(jìn)行特定的邏輯運(yùn)算，邏輯運(yùn)算的結(jié)果為輸出圖像的相應(yīng)像素。形態(tài)學(xué)運(yùn)算的效果取決于結(jié)構(gòu)元素的大小、內(nèi)容以及邏輯運(yùn)算的性質(zhì)。用途是：簡(jiǎn)化圖像數(shù)據(jù)，保持它們基本的形狀特性，并除去不相干的結(jié)構(gòu)基本的運(yùn)算包括：二值腐蝕和膨脹、二值開閉運(yùn)算MM方法比其他空域或頻域圖像處理方法有一些明顯的優(yōu)勢(shì)：在恢復(fù)處理中，形態(tài)濾波可借助先驗(yàn)的幾何特征信息，利用形態(tài)學(xué)算子有效濾除噪聲，又可保留圖像的原有信息；MM算法易于用并行處理方法有效實(shí)現(xiàn)，且硬件實(shí)現(xiàn)容易；基于MM的邊緣信息提取由于基于微分的提取算法，也不象微分算法對(duì)噪聲那樣敏感，同時(shí)提取的邊緣較光滑；基于MM方法提取的圖像骨架較連續(xù)，斷點(diǎn)少。4.1.1數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的定義和分類4.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念集合論的一些基本概念集合：具有某種性質(zhì)的、確定的、有區(qū)別的事物的全體元素：構(gòu)成集合的每個(gè)事物屬于、不屬于、空集令A(yù)是Z2中的一個(gè)集合，如果a=(a1,a2)是A中的一個(gè)元素，稱a屬于A，并記作：aA,否則，稱a不屬于A，記為：aA，如A中沒(méi)有任何元素，稱A為空集：子集：當(dāng)且僅當(dāng)集合A中的元素都屬于集合B時(shí)，稱A為B的子集，記為AB5二值圖像的邏輯運(yùn)算對(duì)于二值圖像而言，習(xí)慣上認(rèn)為取值為1的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于景物（前景），而取值為0的點(diǎn)構(gòu)成背景三種基本的邏輯運(yùn)算：與、或、非4.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念0000000000000000011110000111100001111000000000001111111111111111100001111000011110000111111111110000000000001110000011100000111000000000000000000000000000001110011111100111111001111000000000000000000000001110000011100000111000000000000000000000000000000000000010000000100000001000000000007邏輯運(yùn)算0000000000000000011110000111100001111000000000000000000000000000011110000111100001111000000000004.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念平移012356412345601235641234566012354123456Ab反射

012341234-5-4-3-2-1-1-2-3

4.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念表3.1形態(tài)學(xué)圖像處理中的集合論基本概念4.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念目標(biāo)和結(jié)構(gòu)元素(structureelement)二值形態(tài)學(xué)中的運(yùn)算對(duì)象是集合。設(shè)A為圖像集合，B為結(jié)構(gòu)元素，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)運(yùn)算是用B對(duì)A進(jìn)行操作結(jié)構(gòu)元素本身也是一個(gè)圖像集合。對(duì)每個(gè)結(jié)構(gòu)元素必須指定一個(gè)原點(diǎn)，它是結(jié)構(gòu)元素參與形態(tài)學(xué)運(yùn)算的參考點(diǎn)在每個(gè)像素位置上,結(jié)構(gòu)元素與二值圖像對(duì)應(yīng)的區(qū)域進(jìn)行特定的邏輯運(yùn)算，邏輯運(yùn)算的結(jié)果為輸出圖像的相應(yīng)像素。形態(tài)學(xué)運(yùn)算的效果取決于結(jié)構(gòu)單元的大小、內(nèi)容以及運(yùn)算的性質(zhì)104.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念目標(biāo)圖像被考察的圖像結(jié)構(gòu)元素收集信息的“探針”小的圖像原點(diǎn)形態(tài)學(xué)運(yùn)算參考點(diǎn)000000000111110001111100011111000111110000000000111111111目標(biāo)圖像A結(jié)構(gòu)元素B114.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念結(jié)構(gòu)元素SE=strel(shape,parameters)12SE=strel(‘diamond’,3)SE=strel('square',3)4.1.2數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的邏輯運(yùn)算和基本概念4.2二值形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算腐蝕(erosion)膨脹(dilation)開和閉(openingandclosing)擊中與否變換(hit-or-miss)定義算法結(jié)構(gòu)元素B掃描圖像的每一個(gè)元素用結(jié)構(gòu)元素與其覆蓋的目標(biāo)圖像做與運(yùn)算B被A包含，原點(diǎn)覆蓋原圖位置1B不被A包含，原點(diǎn)覆蓋原圖位置04.2.1腐蝕14154.2.1腐蝕164.2.1腐蝕174.2.1腐蝕184.2.1腐蝕1111111111110000100（a）目標(biāo)圖像A（b）結(jié)構(gòu)元素B（c）腐蝕運(yùn)算結(jié)果圖像圖腐蝕運(yùn)算實(shí)例

舉例：4.2.1腐蝕腐蝕IM2=imerode(IM,SE)204.2.1腐蝕1111利用腐蝕算法消除物體之間的粘連示例舉例：

4.2.1腐蝕定義算法用結(jié)構(gòu)元素的反射掃描圖像的每一個(gè)元素用結(jié)構(gòu)元素與其覆蓋的二值圖像做并運(yùn)算反射B被A包含，原點(diǎn)覆蓋原圖位置1B不被A包含，原點(diǎn)覆蓋原圖位置0224.2.2膨脹注意：（1）當(dāng)結(jié)構(gòu)元素中原點(diǎn)位置的值是0時(shí)，仍把它看作是0；而不再把它看作是1。（2）當(dāng)結(jié)構(gòu)元素在目標(biāo)圖像上平移時(shí)，允許結(jié)構(gòu)元素中的非原點(diǎn)像素超出目標(biāo)圖像范圍。

算法用結(jié)構(gòu)元素的反射掃描圖像的每一個(gè)元素用結(jié)構(gòu)元素與其覆蓋的二值圖像做與運(yùn)算如果結(jié)果都為0，則結(jié)果圖像對(duì)應(yīng)像素點(diǎn)的值為0，否則為14.2.2膨脹24B的反射的平移與A的交集不為空4.2.2膨脹25膨脹4.2.2膨脹264.2.2膨脹274.2.2膨脹膨脹應(yīng)用：連接圖像中的鄰近目標(biāo)28形態(tài)學(xué)方法對(duì)比低通濾波方法的優(yōu)點(diǎn)：形態(tài)學(xué)方法可以在一幅二值圖像中直接得到結(jié)果4.2.2膨脹膨脹IM2=imdilate(IM,SE)294.2.2膨脹小結(jié)腐蝕和膨脹是對(duì)白色部分（高亮部分）而言的，不是黑色部分膨脹就是圖像中的高亮部分進(jìn)行膨脹，“領(lǐng)域擴(kuò)張”，效果圖擁有比原圖更大的高亮區(qū)域腐蝕就是原圖中的高亮部分被腐蝕，“領(lǐng)域被蠶食”，效果圖擁有比原圖更小的高亮區(qū)域。

膨脹和腐蝕運(yùn)算的對(duì)偶性可分別表示為：也即：對(duì)目標(biāo)圖像的膨脹運(yùn)算，相當(dāng)于對(duì)圖像背景的腐蝕運(yùn)算操作；對(duì)目標(biāo)圖像的腐蝕運(yùn)算，相當(dāng)于對(duì)圖像背景的膨脹運(yùn)算操作。腐蝕運(yùn)算與膨脹運(yùn)算的對(duì)偶性

小結(jié)11111111腐蝕運(yùn)算與膨脹運(yùn)算的對(duì)偶性－實(shí)例驗(yàn)證

(a)目標(biāo)圖像A

(b)結(jié)構(gòu)元素B(c）膨脹結(jié)果(d)腐蝕結(jié)果(e)A的補(bǔ)

(b)B的反射(c）膨脹(d)腐蝕小結(jié)4.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算閉操作（closing）先膨脹、后腐蝕作用填充對(duì)象內(nèi)細(xì)小空洞連接鄰近對(duì)象在不明顯改變面積的前提下，平滑對(duì)象邊緣IM2=imclose(IM,SE)334.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算閉操作34閉操作的幾何解釋354.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算閉操作364.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算37練習(xí)：用圖b中的結(jié)構(gòu)元素（+表示原點(diǎn)位置）對(duì)圖a進(jìn)行閉操作（陰影部分像素值為1，白色部分為0）圖a圖b4.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算閉操作的性質(zhì)A是閉運(yùn)算結(jié)果的子集如C是D的子集，則C與B閉運(yùn)算結(jié)果是D與B閉運(yùn)算結(jié)果的子集對(duì)同樣的A，多次閉運(yùn)算的結(jié)果與一次閉運(yùn)算的結(jié)果是一樣的384.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算開操作（opening）先腐蝕，后膨脹作用消除細(xì)小對(duì)象在細(xì)小粘連處分離對(duì)象在不明顯改變形狀的前提下，平滑對(duì)象的邊緣IM2=imopen(IM,SE)394.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算40開操作的幾何解釋4.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算414.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算開操作424.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算開操作的性質(zhì)開的結(jié)果是A的子集如C是D的子集，則C與B開的結(jié)果是D與B開運(yùn)算結(jié)果的子集對(duì)同樣的A，多次開運(yùn)算的結(jié)果與一次開運(yùn)算的結(jié)果是一樣的434.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算444.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算開閉運(yùn)算的綜合實(shí)例

橋接部分、對(duì)象最右邊兩部分消失；方向向外的角變圓滑了，而方向向內(nèi)的角沒(méi)有影響；結(jié)構(gòu)元素?zé)o法擬合的突出部分被消除掉了。左邊侵入部分在尺寸上明顯減少；方向向內(nèi)的角變圓滑，方向向外的角沒(méi)有受影響。開運(yùn)算閉運(yùn)算4.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算46開操作和閉操作的應(yīng)用：先開操作再閉操作，構(gòu)成噪聲濾波器圖9.11(a)是受噪聲污染的指紋二值圖像，噪聲為黑色背景上的亮元素和亮指紋部分的暗元素(b)為結(jié)構(gòu)元素(c)是使用結(jié)構(gòu)元素對(duì)圖(a)腐蝕的結(jié)果，黑色背景噪聲消除了，指紋中的噪聲尺寸增加(d)是結(jié)構(gòu)元素對(duì)圖(c)膨脹的結(jié)果，包含于指紋中的噪聲分量的尺寸被減小或被完全消除，帶來(lái)的問(wèn)題是：在指紋紋路間產(chǎn)生了新的間斷(e)是對(duì)(d)圖膨脹的結(jié)果，圖(d)的大部分間斷被恢復(fù)，但指紋的紋路變粗了(f)是對(duì)(e)圖腐蝕的結(jié)果，噪聲消除的相當(dāng)干凈，但指紋紋路還有間斷4.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算開運(yùn)算和閉運(yùn)算的對(duì)偶性

4.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算腐蝕、膨脹、開運(yùn)算和閉運(yùn)算都具有單調(diào)性膨脹和閉運(yùn)算具有擴(kuò)展性，而腐蝕和開運(yùn)算具有非擴(kuò)展性484.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算僅膨脹運(yùn)算具有交換性腐蝕和膨脹運(yùn)算均具有結(jié)合性膨脹、腐蝕、開運(yùn)算和閉運(yùn)算均具有平移不變性494.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算相對(duì)于結(jié)構(gòu)元素的平移而言膨脹具有“平移不變性”，但腐蝕不具有這種性質(zhì)開運(yùn)算和閉運(yùn)算具有冪等性504.2.2開運(yùn)算與閉運(yùn)算4.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用形態(tài)學(xué)的組合運(yùn)算邊界提取區(qū)域填充連通分量的提取細(xì)化骨架裁剪51邊界提取邊界提取的方法524.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用邊界的類型內(nèi)邊界外邊界形態(tài)學(xué)邊界534.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用邊界提取541表示為白色，0表示為黑色4.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用區(qū)域填充使用迭代得到區(qū)域填充的結(jié)果條件膨脹如果對(duì)膨脹的結(jié)果不加控制，就會(huì)超過(guò)目標(biāo)邊界，每一步與Ac的交集可將結(jié)果限制在感興趣區(qū)域內(nèi)55當(dāng)Xk=Xk-1時(shí)停止迭代，區(qū)域填充結(jié)果為Xk4.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用561.填充內(nèi)部2.合并邊界4.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用區(qū)域填充區(qū)域填充（imfill）574.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用連通分量的提取令Y表示一個(gè)包含于集合A中的連通分量，并假設(shè)Y中的一個(gè)點(diǎn)p是已知的，可以用下列迭代式生成Y的所有元素58當(dāng)Xk=Xk-1時(shí)停止迭代，Y=Xk4.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用594.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用4.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用連通分量提取的應(yīng)用舉例細(xì)化根據(jù)擊中-擊不中變換定義用結(jié)構(gòu)元素序列定義614.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用細(xì)化624.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用粗化與細(xì)化在形態(tài)學(xué)上是對(duì)偶過(guò)程用結(jié)構(gòu)元素序列定義634.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用粗化64(a)集合A；(b)A的補(bǔ)集；(c)將A的補(bǔ)集進(jìn)行細(xì)化得到的結(jié)果(d)通過(guò)對(duì)(c)求補(bǔ)得到粗化的集合(e)最后的結(jié)果，沒(méi)有斷點(diǎn)4.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用骨架設(shè)D為圖像S中的一個(gè)內(nèi)切圓盤，即至少有2點(diǎn)與圖像邊界相切，如果D不是圖像S內(nèi)部任何其他圓盤的子集，則稱為最大圓盤。骨架可定義為圖像內(nèi)部所有最大圓盤圓心的集合654.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用骨架664.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用骨架Ａ的骨架可以表示為A可以由骨架重構(gòu)得到674.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用684.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用裁剪裁剪是對(duì)細(xì)化和骨架提取算法的補(bǔ)充細(xì)化和骨架提取常會(huì)產(chǎn)生“毛刺”（寄生成分），剪切算法可以去除毛刺手寫字符自動(dòng)識(shí)別小于等于3個(gè)像素的長(zhǎng)度分支被看作寄生成分694.3

二值圖像的形態(tài)學(xué)應(yīng)用二值形態(tài)學(xué)小結(jié)形態(tài)學(xué)圖像處理數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本概念二值形態(tài)學(xué)的基本運(yùn)算膨脹與腐蝕開操作與閉操作擊中或擊不中變換二值形態(tài)學(xué)的組合運(yùn)算邊界提取、區(qū)域填充、連通分量的提取、細(xì)化、骨架、裁剪二值圖像形態(tài)學(xué)處理的應(yīng)用形態(tài)學(xué)噪聲濾波、目標(biāo)檢測(cè)、邊界提取、區(qū)域填充、骨架提取等704.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度形態(tài)學(xué)是二值形態(tài)學(xué)向灰度空間的自然擴(kuò)展，也包括膨脹、腐蝕、開運(yùn)算和閉運(yùn)算等基本操作灰度形態(tài)學(xué)中分別用圖像函數(shù)f(x,y)和b(x,y)表示輸入圖像和結(jié)構(gòu)元素二值形態(tài)學(xué)中用到的求交和求并運(yùn)算在灰度形態(tài)學(xué)種分別用求最大極值和求最小極值的運(yùn)算來(lái)代替描述中有時(shí)使用f和b來(lái)對(duì)f(x,y)和b(x,y)進(jìn)行縮寫表示7172改變?nèi)≈滴恢米畲笾禐V波：取出最大值最小值濾波：取出最小值最值濾波4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度膨脹734.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度膨脹可以將灰度膨脹公式的處理理解成把

b沿著f

進(jìn)行滑行所得的最大值所構(gòu)成的曲線。從概念上講，以

b滑過(guò)函數(shù)f還是以f滑過(guò)b是沒(méi)有區(qū)別的。注意，在每個(gè)結(jié)構(gòu)元素的位置上，這一點(diǎn)的膨脹值是在跨度為

b的區(qū)間內(nèi)

f與

b之和的最大值。通常對(duì)灰度圖像進(jìn)行膨脹處理的結(jié)果是兩方面的：(1)如果所有結(jié)構(gòu)元素的值為正，則輸出圖像會(huì)趨向于比輸入圖像更亮；(2)暗的細(xì)節(jié)部分是減少了還是被消除掉了，取決于膨脹所用的結(jié)構(gòu)元素的值和形狀。744.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算（a）目標(biāo)灰度圖像（b）結(jié)構(gòu)元素灰度膨脹（c）灰度膨脹過(guò)程（d）灰度膨脹結(jié)果4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度膨脹4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算（a）目標(biāo)圖像（b）灰度膨脹灰度腐蝕784.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度腐蝕形式上與二維相關(guān)是相似的，只是用最小值運(yùn)算代替了相關(guān)運(yùn)算，用減法運(yùn)算代替了相關(guān)乘積。腐蝕操作是以在結(jié)構(gòu)元素形狀定義的區(qū)間中選取

的最小值為基礎(chǔ)的。通常對(duì)灰度圖像進(jìn)行腐蝕有兩個(gè)效果：（1）如果所有的結(jié)構(gòu)元素都為正，則輸出圖像會(huì)趨向于比輸入圖像更暗；（2）在輸入圖像中亮的細(xì)節(jié)的面積如果比結(jié)構(gòu)元素的面積小，則亮的效果將被消弱。消弱的程度取決于環(huán)繞于亮細(xì)節(jié)周圍的灰度值和結(jié)構(gòu)元素自身的形狀與幅值。794.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算（a）目標(biāo)灰度圖像（b）結(jié)構(gòu)元素灰度膨脹（c）灰度腐蝕過(guò)程（d）灰度腐蝕結(jié)果4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度腐蝕4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算（a）目標(biāo)圖像（b）灰度腐蝕4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算注意不同圖中亮和暗細(xì)節(jié)的變化4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度圖像膨脹操作兩類效果：若結(jié)構(gòu)元素的值均為正，則輸出圖像會(huì)比輸入圖像亮；若輸入圖像中的暗細(xì)節(jié)尺寸比結(jié)構(gòu)元素小，則其視覺(jué)效果會(huì)被減弱灰度圖像腐蝕操作有兩類效果：若結(jié)構(gòu)元素的值為正，則輸出圖像會(huì)比輸入圖像暗若輸入圖中的亮細(xì)節(jié)尺寸比結(jié)構(gòu)元素小，則其視覺(jué)效果會(huì)被減弱4.4灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度形態(tài)學(xué)基本運(yùn)算灰度開操作開操作先用b對(duì)f進(jìn)行簡(jiǎn)單的腐蝕操作，然后用b對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行膨脹操作?；叶乳]操作開操作先用b對(duì)f進(jìn)行簡(jiǎn)單的膨脹操作，然后用b對(duì)得到的結(jié)果進(jìn)行腐蝕操作?；叶葓D像的開操作和閉操作對(duì)于求補(bǔ)和映射運(yùn)算是對(duì)偶的灰度的開操作和閉操作有時(shí)也稱為開啟運(yùn)算和閉合運(yùn)算。86灰度圖像的開操作和閉操作的幾何解釋假設(shè)在三維透視空間中觀察一個(gè)圖像函數(shù)

f(類似于地形圖)，

x軸和y軸是通常意義上的空間坐標(biāo)，第3個(gè)軸是灰度值。圖中，圖像呈現(xiàn)不連續(xù)曲面的形態(tài)，圖像中任意點(diǎn)

的灰度值是曲面上這個(gè)坐標(biāo)的f

值。假設(shè)使用球形結(jié)構(gòu)元素

對(duì)

進(jìn)行開操作，可以將這個(gè)結(jié)構(gòu)元素視為“滾動(dòng)的”球。用b

對(duì)f

進(jìn)行開操作的原理可以在幾何上解釋為，推動(dòng)球沿著曲面的下側(cè)面滾動(dòng)，以便球體能在曲面的整個(gè)下側(cè)面來(lái)回移動(dòng)。當(dāng)球體滾過(guò)

的整個(gè)下側(cè)面時(shí)，由接觸到曲面的球體的任何部分的最高點(diǎn)就構(gòu)成了開操作

的曲面。用b

對(duì)f

進(jìn)行閉操作的原理與此類似，只是球沿著曲面的上側(cè)面滾動(dòng)并求取最低