經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)電子教案 3.7一元線性回歸分析

經(jīng)濟(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)課題一元線性回歸分析模型（2學(xué)時(shí)）時(shí)間年月日教學(xué)目標(biāo)1.理解一元線性回歸方程的概念。2.理解并掌握最小二乘法求一元線性回歸方程。3.理解并掌握一元線性回歸方程顯著性檢驗(yàn)。重點(diǎn)理解一元線性回歸方程的概念。難點(diǎn)會(huì)求一元線性回歸方程。教學(xué)方法手段講授為主，理論聯(lián)系實(shí)際。主要內(nèi)容時(shí)間分配引例5分鐘一、一元線性回歸方程10分鐘二、最小二乘法20分鐘例110分鐘三、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)15分鐘例215分鐘練習(xí)10分鐘小結(jié)5分鐘作業(yè)備注【引例】為了研究某物流快遞公司每月的總運(yùn)輸量（單位：萬(wàn)噸）對(duì)總成本（單位：萬(wàn)元）的影響，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：為了研究這些數(shù)據(jù)之間的規(guī)律性，將總運(yùn)輸量作為橫坐標(biāo)，總成本作為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中描繪出來．從圖中可以看出，雖然這些點(diǎn)是散亂的，但大體上散布在某一條直線附近，即總運(yùn)輸量與總成本之間大致成線性關(guān)系，這些點(diǎn)與直線的偏離是由于測(cè)試過程中隨機(jī)因素影響的結(jié)果。【主要內(nèi)容】一、一元線性回歸方程一般地，如果隨機(jī)變量與變量之間呈現(xiàn)某種線性關(guān)系，則與之間一元線性回歸模型為（1）也稱為變量對(duì)變量的一元線性回歸方程，，稱為回歸系數(shù)．根據(jù)樣本值確定方程中系數(shù)，．設(shè)在一次試驗(yàn)中，取得對(duì)數(shù)據(jù)（），這對(duì)數(shù)據(jù)就是一組樣本值，根據(jù)這一組樣本值可以尋求一對(duì)系數(shù)，．但由于是一個(gè)隨機(jī)變量，所以如果通過另一組試驗(yàn)又可得到一對(duì)，的值．也就是說，我們通過一組數(shù)據(jù)所得到的是系數(shù)，的估計(jì)值，記作，，通過一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)所求出的回歸方程為，（2）稱為經(jīng)驗(yàn)回歸方程．又稱為經(jīng)驗(yàn)公式，，叫做經(jīng)驗(yàn)回歸系數(shù)．二、最小二乘法設(shè)在一次試驗(yàn)中，取得對(duì)數(shù)據(jù)，其中是隨機(jī)變量對(duì)應(yīng)于的試驗(yàn)值，圖中的直線是根據(jù)這對(duì)數(shù)據(jù)描繪的回歸直線，其中是試驗(yàn)值的回歸值．每一個(gè)試驗(yàn)值與回歸值之間的差，在圖中表示為兩個(gè)縱坐標(biāo)之差，這個(gè)差有正有負(fù)，其絕對(duì)值為．顯然，我們要找的直線應(yīng)該是使所有這些距離之和為最小的一條直線，即最?。捎诮^對(duì)值在處理上比較麻煩，所以代之以平方和．這個(gè)平方和是隨著回歸系數(shù)，而變的，因此它是，的一個(gè)二元函數(shù)，其中為常數(shù)．根據(jù)二元函數(shù)求極值的方法，求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零，得整理后得到解出回歸系數(shù)，為（3）其中，．（3）式或?qū)懗桑?）式中的，，即為的最小值點(diǎn)，使得達(dá)到最?。?，為回歸系數(shù)的直線方程，就是我們所要求的回歸方程．它最能代表這些點(diǎn)的散布狀態(tài)．由于在求系數(shù)，時(shí)，是使平方和最小，故稱這種方法為最小二乘法．如果令（5）則公式（5）可寫成（6）將求得的，代入，就得到一元線性回歸方程的具體表達(dá)式．【例1】寫出引例中總成本對(duì)運(yùn)量的回歸方程．為了方便起見，借助計(jì)算機(jī)，將計(jì)算列成表格.由表可得：；；；；；；；；代入數(shù)據(jù)得，，，所以，，故總成本對(duì)運(yùn)量的回歸方程為．從中可知固定成本為萬(wàn)元，可變成本為萬(wàn)元．結(jié)合例子我們求出了一元線性回歸方程，下面歸納一下具體步驟：（1）由題中經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，列出回歸方程計(jì)算表；（2）由公式計(jì)算回歸系數(shù)，；把，的值代入，即得回歸方程．三、回歸方程的顯著性檢驗(yàn)1.相關(guān)系數(shù)由，對(duì)進(jìn)行恒等變形，得令，則，而，，所以，從而．因?yàn)?，?dāng)變量與的樣本值（）確定以后，只有的值決定的變化，的值越接近于1，則的值越小，變量與之間的線性關(guān)系也就越顯著；反之，若的值越接近于0，則的值越大，變量與之間的線性關(guān)系也就不顯著；用回歸直線來表示變量與之間關(guān)系就越不準(zhǔn)確．的值可以表示變量與之間具有線性關(guān)系的相對(duì)程度．稱（）為變量與的相關(guān)系數(shù)．當(dāng)時(shí)，，則所有的樣本值（）都落在直線上，稱變量與完全相關(guān)；當(dāng)時(shí)，的值最大，說明變量與不相關(guān)或是非線性相關(guān)關(guān)系．在實(shí)際中，的值要達(dá)到什么水平，才能認(rèn)為變量與之間的線性關(guān)系是顯著的，回歸方程具有實(shí)用價(jià)值，這要根據(jù)具體情況對(duì)檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的要求不同而定．2.線性相關(guān)的顯著性水平檢驗(yàn)方法一般地，按照以下步驟對(duì)線性相關(guān)的顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)．（1）提出原假設(shè)：與的線性關(guān)系不顯著，記．這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)，回歸直線是一條平行于軸的直線，無論如何變化，的值均為常數(shù)．顯然，不可能有顯著的線性關(guān)系．（2）選用統(tǒng)計(jì)量,并根據(jù)樣本值計(jì)算的值；（3）按給出的顯著性檢驗(yàn)水平和自由度，查附表6的相關(guān)系數(shù)臨界值表，得臨界值；（4）作出判斷：當(dāng)時(shí)，則拒絕原假設(shè)，說明變量與的線性關(guān)系顯著；當(dāng)時(shí)，則接受原假設(shè)，說明變量與的線性關(guān)系不顯著．【例2】某建材實(shí)驗(yàn)室做陶?；炷翆?shí)驗(yàn)時(shí)，考察每立方米混凝土的水泥用量對(duì)混凝土抗壓強(qiáng)度的影響，測(cè)得下列數(shù)據(jù)：求：（1）求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（2）檢驗(yàn)一元線性回歸的顯著性．解（1）列表如下：由表可得，；；；；；；；；代入數(shù)據(jù)得，，，所以，，故經(jīng)驗(yàn)回歸方程為．（2）提出假設(shè)：；由給定的顯著性水平，自由度查表，得臨界值，因?yàn)?，所以拒絕原假設(shè)：，即