大學數學課件 1、1初等函數

模塊一函數、極限與連續(xù)

1.1初等函數

1.2數列的極限

1.3函數的極限

1.4無窮小與無窮大量模塊一函數、極限與連續(xù)

1.5極限的運算

1.6函數的連續(xù)性（一）

1.7函數的連續(xù)性（二）

1.8第一模塊習題授課說明授課班級11級機械類日期2011年9月日授課題目1.1初等函數授課內容1.函數的定義2.分段函數、顯函數、隱函數、反函數的定義3.函數的性質4.初等函數教學形式多媒體講授目的要求熟練掌握函數的定義、定義域、對應法則，了解分段函數、顯函數、隱函數、反函數的概念，熟練掌握函數的單調性、有界性、奇偶性、周期性。重點難點函數定義域的求法，判斷函數的四大特性復合函數的復合過程作業(yè)布置課后作業(yè)書1.1初等函數

一、案例

二、知識要點

三、應用

一、案例案例1[距離與時間的關系]在自由落體運動中，物體下落的時間t與距離s之間存在下列依賴關系：，其中g是重力加速度。假定物體著地的時刻為t=T，則對每一個t∈[0,T]，由上式可知，s都有一個確定的數值與其對應。

我們知道，一天的氣溫隨著時間的變化而變化。如何準確地表示氣溫與時間之間的變化關系呢？案例2[氣溫與時間的關系]

案例3[圓面積公式]圓的面積A與半徑r的函數關系為二、知識要點（1.1.1）函數概念

函數常用的表示法有三種：解析法、列表法和圖形法．設x和y

是兩個變量，D是一個給定的非空數集。如果對于每一個數x∈D

，按照一定的法則，變量y總有確定的數值與之對應，則稱y

是x

的函數，記作y=f(x)，其中x為自變量，y為因變量。

1、函數的定義2、鄰域所謂點a的δ鄰域，是指以a為中心的開區(qū)間(a-δ,a+δ)．也就是說，設a，δ為兩個實數，δ＞0，則稱滿足不等式的實數的全體為點a的δ鄰域．點a為該鄰域的中心，δ為該鄰域的半徑．例如：5的0.2鄰域區(qū)間形式：（5-0.2，5+0.2）絕對值不等式形式：,或5-0.2<x<5+0.2,數軸表示：

55+0.25-0.2去心鄰域若把鄰域(a-δ,a+δ)中的中心點a去掉，稱為點a的去心δ鄰域，可表示為(a-δ，a)∪(a,a+δ)，或．為了方便，有時把開區(qū)間(a-δ,a)稱為點的左鄰域，把開區(qū)間(a,a+δ)稱為點的右鄰域．例如：5的0.2去心鄰域：區(qū)間形式：（5-0.2，5）∪（5，5+0.2）絕對值不等式形式：,

或5-0.2<x<5∪

5<x<5+0.2,數軸表示：

55+0.25-0.23、分段函數對于自變量的不同取值范圍，有不完全相同的對應法則的函數，稱為分段函數。例如：，都是分段函數．注意：

①分段函數是一個函數，而不是幾個函數；

②分段函數的定義域是各段定義域的并集．4、顯函數和隱函數若函數中的因變量用自變量的表達式直接表示出來，這樣的函數稱為顯函數。例如：，一般地，若兩個變量x,y的函數關系用方程F(x,y)=0的形式來表示，即x,y的函數關系隱藏在方程里，這樣的函數叫做隱函數。例如：，注意：有的隱函數，可以從方程中解出來化為顯函數，這個過程稱為隱函數的顯化。例如：=>但有的隱函數化為顯函數比較困難，甚至是不可能的．例如由方程確定的隱函數就不能化為顯函數。5、反函數設函數y=f(x)，x∈D，y

∈Z.若對于任何一個y

∈Z，D中都存在唯一的x，使得f(x)=y，這時，x是以Z為定義域的y的函數，稱它為y=f(x)的反函數，記作在函數中，y

是自變量，x是因變量。按照習慣，對調x

，y

，將其改寫為注意：①函數y=f(x)，x∈D與互為反函數，它們的定義域與值域互換。②在同一直角坐標系下，互為反函數的兩個函數y=f(x)，x∈D與的圖形關于直線y=x對稱。例題1【定理1】反函數存在定理

單調函數必有反函數，且單調增加(減少)的函數的反函數也是單調增加(減少)的．求函數的反函數可以按以下步驟進行：⑴、從方程y=f(x)中解出唯一的x，并寫成；⑵、將中的字母對調，得到函數，這就是所求的函數的反函數。（1.1.2）函數性質

設有函數,若對任意兩點時，總有：(1)則稱函數f(x)在(a,b)上是單調增加的，區(qū)間(a,b)稱為單調增加區(qū)間；(2)則稱函數f(x)在(a,b)上是單調減少的，區(qū)間(a,b)稱為單調減少區(qū)間．單調增加的函數和單調減少的函數統(tǒng)稱為單調函數，單調增加區(qū)間和單調減少區(qū)間統(tǒng)稱為單調區(qū)間。

1、單調性設函數，如果存在M>0，使得對任意x∈D,均有成立，則稱函數f(x)在D內是有界的；如果這樣的M不存在，則稱函數f(x)在D內是無界的．例如：y=sinx是有界函數，其中對任意的均有；而是無界函數，因在上僅有下界。2、有界性

設函數y=f(x)的定義域關于原點對稱，如果對于定義域內的每一x都有(1)、f(-x)=-f(x),則稱函數f(x)為奇函數；(2)、f(-x)=f(x),則稱函數f(x)為偶函數．奇函數的圖像關于原點對稱；偶函數的圖像關于y軸對稱．如果函數f(x)既不是奇函數也不是偶函數，稱為非奇非偶函數．例如，是奇函數；是偶函數。

3、奇偶性設函數，如果存在常數，對任意，恒成立，則稱函數為周期函數；使上式成立的最小正數T，稱為函數的最小正周期，簡稱周期．例如，的周期；的周期；正弦型曲線函數的周期為．

4、周期性基本初等函數為以下六類函數：y=C，C

是常數(1.1.3)、基本初等函數(1)常函數(3)指數函數(4)對數函數(a是常數且)(a是常數且)(2)冪函數，是常數正弦函數余弦函數正切函數余切函數(5)三角函數，，，，，，，，，，反正弦函數反余弦函數反正切函數反余切函數(6)反三角函數由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次的復合所構成并且可以用一個解析式子表示的函數，稱為初等函數。(1.1.4)、初等函數如等都是初等函數，，三、應用

練習1[波形函數]在電子科學中，有大量波形函數，如下圖為周期為T的一鋸齒形波的圖象．此函數在一個周期上可用解析法表示為

練習2[股票曲線]

股票在某天的價格隨時間的變化關系常用圖形表示，如下圖所示為某一股票在某天的走勢圖。從股票曲線，我們可以看出這只股票在當天的價格和成交量波動情況。

練習3[物理實驗]

設某一物理現象的數學關系為，用實驗測得ti時刻的值，見下表所示…………

練習4[個人所得稅]

我國于2007年12月29日發(fā)布了《關于修改〈中華人民共和國個人所得稅法〉的決定》（第五次修正）將個稅免征額將從1600元／月上調至2000元／月，個人所得稅稅率表（工資、薪金所得適用）——級數全月應納稅所得額稅率（％）

1不超過500元的52超過500元至2000元的部分103超過2000元至5000元的部分154超過5000元至20000元的部分205超過20000元至40000元的部分256超過40000元至60000元的部分307超過60000元至80000元的部分358超過80000元至100000元的部分409超過100000元的部分45若某單位所有人的月收入都不超多4200元，請建立月收入與納稅金額之間的函數關系。解：設月收入為x元，納稅金額為y元，依題意，月收入與納稅金額之間的函數關系式為：某工廠生產計算機的日生產能力為0到100臺，工廠維持生產的日固定費用為4萬元，生產一臺計算機的直接費用(含材料費和勞務費)是4250元．試建立該廠日生產臺計算機的總費用函數，并指出其定義域．練習5

[生產費用]解設該廠日生產x臺計算機的總費用為y（單位：元），則y為日固定費用和生產x臺計算機所需總費用之和，即

由于該廠每天最多能生產100臺計算機，所以