高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶答案）

第第頁PAGE高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（帶答案）試卷共4頁，19小題，滿分150分。考試用時120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無茲。3．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，則A． B． C． D．2．已知集合，則A． B． C． D．3．已知事件互斥,且滿足，則A． B． C． D．4．向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為A． B．C．D．5．已知底面半徑為的圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為平角的扇形，則該圓錐的體積為 A． B． C． D．6．已知橢圓的離心率為，焦點為，一個短軸頂點為則A． B． C． D．7．已知函數(shù)圖象的一個最高點與相鄰的對稱中心之間的距離為則A． B． C． D．8．已知為雙曲線右支上一點，過點分別作C的兩條漸近線的平行線與另外一條漸近線分別交于點則A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．為了弘揚奧運會中我國射擊隊員頑強拼搏的奮斗精神，某校射擊興趣小組組織了校內(nèi)射擊比賽,得到8名同學(xué)的射擊環(huán)數(shù)如下：9，8，6，10，9，7，6，9（單位：環(huán)），則這組樣本數(shù)據(jù)的A．極差為4 B．平均數(shù)是8C．上四分位數(shù)是9 D．方差為410．已知函數(shù)不是常函數(shù)，且圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，記的導(dǎo)函數(shù)為則A．存在和實數(shù)t,使得B．不存在和實數(shù)滿足C．存在和實數(shù)滿足D．若存在實數(shù)t滿足，則只能是指數(shù)函數(shù)11．已知F(l，0)，圓，點P為圓M上一動點，以PF為直徑的圓N交y軸于A，B兩點，設(shè)，則A．當(dāng)點N在y軸上時， B．的取值范圍是C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．小明去超市從4種功能性提神飲料和5種電解質(zhì)飲料中選3瓶進行購買，若每種飲料至多買一瓶，則功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買1瓶的買法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）13．已知正數(shù)滿足則的最小值為.14．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有一個實數(shù)解，則實數(shù).四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）已知的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是且(1)求C；(2)若求外接同的半徑．16．（15分）已知函數(shù)(l)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，證明：17．(15分)已知拋物線的焦點為和C的準線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形．(1)求C的方程；(2)討論過點的直線的交點個數(shù)18．(17分)在三棱錐中，底面分別為的中點，E為線段PA上一點，平面底面ABC．(1)若求二面角的余弦值；(2)求.19．（17分）已知數(shù)列一共有項，成公差不為0的等差數(shù)列,對任意的成等差數(shù)列，且對于不同的其公差為同一個非零常數(shù).(1)若求數(shù)列的各項之和;(2)證明：成等差數(shù)列；(3)從中任取三個數(shù)，記成等差數(shù)列且也成等差數(shù)列的概率為，證明：.參考答案1．【答案】A【解析】由，故故選A．2．【答案】C【解析】，或.故選C．3.【答案】D【解析】由全概率公式可得故選D．4．【答案】B【解析】因為所以在上的投影向量為故選B．5．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的母線長為l，高為h，底面半徑為,由,得故，所以圓錐的體積故選C．6．【答案】D【解析】設(shè)C的中心為O，長軸長、短軸長、焦距分別為2a，2b，2c，則在等腰三角形中，因為C的離心率為，所以在直角三角形中，故.故選D．7．【答案】C【解析】設(shè)的最小正周期為，依題意，得解得所以解得，所以所以故選C．8．【答案】C【解析】設(shè)坐標(biāo)原點為0，易知C的漸近線的方程為聯(lián)立解得不妨取同理可得則=,因為四邊形OADB是平行四邊形，于是由于點D在C上，所以因此故選C．9．【答案】ABC（每選對1個得2分）【解析】將這組數(shù)據(jù)從小到大排序得6，6，7，8，9，9，9，10，對于A，這組數(shù)據(jù)的極差為故A正確；對于B，平均數(shù)為故B正確；對于C，因為所以上四分位數(shù)為故C正確；對于D，方差為故D錯誤，故選ABC.10．【答案】AC（每選對1個得3分）【解析】令則存在實數(shù)使得A正確；存在，故B錯誤；令則C正確；若故D錯誤．故選AC.11．【答案】ACD（每選對1個得2分）【解析】當(dāng)在y軸上時，則，則故A正確；代入得可得N在以坐標(biāo)原點O為圓心為半徑的圓上運動，又圓N交軸于A，B，故故B錯誤；以為直徑的圓N的方程可寫為令可得，即，則分別為方程的兩根由韋達定理得故C正確；要證,即證所以，即故D正確，故選ACD．12．【答案】70【解析】由題意可得功能性提神飲料和電解質(zhì)飲料都至少買1種的買法種數(shù)為13．【答案】【解析】由題意可得,故，故,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.14．【答案】【解析】等號左邊的分子和分母同時除以等號右邊的分子和分母同時除以分離出參數(shù),設(shè)則當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，且時，時且方程有唯一解，故15.解：(1)由題意得（2分）又（4分）（5分）化簡得，（6分）又（7分）(2)在中，由余弦定理得（10分）設(shè)的外接圓半徑為故（12分）外接圓的半徑為2．（13分）【評分細則】第一問在最終求值時，如果未說明角C的取值范圍扣1分．16．(1)解：當(dāng)時（2分）（4分）故曲線在點處的切線方程為（6分）(2)證明：當(dāng)時，（8分）令則，所以在上單調(diào)遞增，（11分）又所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；（12分）當(dāng)時，單調(diào)遞增，（13分）故（15分）【評分細則】第二問用其他方法證明酌情給分．17．解：(1)由題意得焦點準線方程為以焦點和C的準線上的兩點為頂點可以構(gòu)成邊長為的等邊三角形，則其高為2，（3分）即焦點到準線的距離解得（負值舍去），（5分）所以C的方程為.（6分）(2)若直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為由方程組可得（8分）(I)當(dāng)k=0時，解得此時方程只有一個實數(shù)解，l與C只有一個公共點；（9分）(Ⅱ)當(dāng)時，方程的根的判別式為，（10分）(i)由，解得此時方程有兩個相等的實數(shù)解，l與C只有一個公共點；（11分）(ii)由，解得此時方程有兩個不等的實數(shù)解，l與C有兩個公共點；（12分）(iii)由．解得此時方程沒有實數(shù)解，l與C沒有公共點；（13分）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為易知l與C沒有公共點．（14分）綜上，當(dāng)l的方程為的斜率時，l與C的交點個數(shù)為0；當(dāng)l的斜率時,l與C的交點個數(shù)為1；當(dāng)l的斜率時，l與C的交點個數(shù)為2．（15分）【評分細則】第二問如果考生設(shè)的直線方程為其他形式，按步驟酌情給分18．解：(1)因為，故以A為坐標(biāo)原點，AB，AC所在的直線分別為軸，過點A作垂直于平面ABC的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（1分）則（2分）因為平面底面易得平面的一個法向量為（4分）設(shè)平面的法向量為則可得令可得，（6分）設(shè)二面角為則（8分）故二面角的余弦值為（9分）(2)連接AM交BN于點O，則而.（11分）故從而從而又平面底面ABC，平面底面（14分）故平面EBN，故故（17分）【評分細則】其他解法酌情給分．19.首先構(gòu)造如圖的數(shù)表M:a1a2a3…amam+1am+2am+3…a2m……………am(m-1)+1am(m-1)+2am(m-1)+3…(1)解：由題意得又由數(shù)列的定義知則可補全數(shù)表M如圖所示．135357579（3分）則數(shù)列的各項之和為45.（5分）(2)證明：如數(shù)表M所示，即證明左上至右下的對角線（記為l）上的數(shù)成等差數(shù)列由該數(shù)表中的數(shù)的定義可知，該數(shù)表每行均為等差數(shù)列且公差相同，設(shè)公差為每列也為等差數(shù)列且公差相同，設(shè)公差為，那么那么數(shù)列是以為首項為公差的等差數(shù)列．（9分）(3)證明：不妨將數(shù)表M的每個數(shù)看作一個點，若P，Q，R三點共線，且關(guān)于中間的一點中心對稱，則顯然這三個點對應(yīng)的數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列．（11分）在該數(shù)表中，只需要橫