2018年北京市高三模擬考試數(shù)學(xué)理科試題分類匯編(含答案)

2018年度北京高三模擬考試數(shù)學(xué)理科分類試題一一集合與簡易邏輯

集合部分：

(2018年朝陽期末)

1.已知集合4={x|x(九-2)<0},B={x|lnx>0},則AI8是(A)

A.{x|l<x<2}B.{A-|0<x<2}

C.{x|x>0}D.{x|x>2}

(2018年東城期末)

(1)若集合A={-2,-I,O,l,2,3},8={x|xv—l或x>2},則AB=(A)

(A){-2,3}(B){-2,-1,2,3}

(C)(0,1)(D){-1,0,1,2)

(2018年西城期末)

1.若集合A={x|O<x<3},B={x\-\<x<1},則AB=(A)

(A){x|-l<x<3}(B){x|-l<x<0}

(C){x|0<x<2}(D){x|2<x<3}

(2018年豐臺期末)

1.已知集合A={-1,0,1},5={x|x2<1},則4U8=(C)

A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{x|-l<X<l}D.{x|x?l}

(2018年石景山期末)

1.已知集合4={-2,—1,0,1,2},8={H(x—l)(x+2)<0},則AI3=(A)

A.{-1,0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2}

(2018年昌平期末)

1.若集合A={x|-2vx<l},B={x|x(x-3)>0),則AB=(D)

A.{x|x<lg5U>3}B.[x\—2<x<\}

C.{x|-2<x<0gJlr>3}D.{x|-2<x<0}

(2018年通州期末)

1.已知集合4={*"|*2_2%<0},集合6={-1,0,1},那么4B等于(D)

A.{-1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}

(2018年房山期末)

(1)若集合/={—1,0,1,2},N=M-l4x<2},則集合MN等于(A)

(A){-1,0,1}(B){-1,0,2}(C){-1,1,2}(D){-1,0,1,2)

(2018年朝陽一模)

1.已知全集為實數(shù)集R,集合4={#2一3了<0},8={巾”>1},則@A)8=(C)

A.(-oo,0][3,+oo)B.(0,1]C.[3,+oo)D.[L+oo)

(2018年東城一模)

(1)若集合A={x|-3vxv1},3={x|xv—1或x>2},則AB=(B)

(A){x|-3<x<2}(B){x|-3<x<-l}

(C){x|-1<x<1}(D){x|l<x<2}

(2018年海淀一模)

(1)已知集合4={0,“},8={犬|且A=貝ija可以是(c)

(A)-1(B)0(C)1(D)2

(2018年西城一模)

1.若集合A={xeR|3x+2>0},B={xeR|x2-2x-3>0},則AB=(D)

2

(A){xeR|x<-l}(B){xeR|-1<x<--}

2

(C){xeR|--<x<3}(D){xeR|x>3}

(2018年豐臺一模)

(1)設(shè)全集U={x|x<5},集合A={x|x—2W0},則Q,A=(C)

(A){x\x<2}(B){x\x>2}(C){x[2<x<5}(D){x|2Wx<5}

(2018年石景山一模)

1.設(shè)集合4={e。+1)*-2)<0},集合8={x|l<x<3},則AB=(A)

A.{x|-l<x<3}B.{x|-1<x<1}C,{x|l<x<2}D,{x|2<x<3}

(2018年昌平一模)

I.若集合A={》|-2<%<1},8={x|x(x-3)>0},則A(D)

A.{x|x<l§JU>3}B.{x|-2<x<l}

C.{X|-2<X<OB￡X>3}D.{X|-2<X<0}

(2018年房山一模)

(1)若集合〃={-1,0,1,2},N={y|y=2x+l,xeM},則集合MN等于(A)

(A){-1,1}(B){1,2}(C){-1,1,3,5}(D){-1,0,1,2}

(2018年朝陽二模)

1.己知集合A={x|log2%>l},8={x|xel},則AB=(D)

A.(1,2]B.(1,+oo)C.(1,2)D.[1,+oo)

(2018年東城二模)

(1)若集合A={x[—1<x<2},B={x|x<-2或x>1},則AB=(B)

(A){x[x<-2或x>l}(B){x[x<-2或x>-l}

(C){x\-2<x<2}(D){x|l<x<2}

(2018年海淀二模)

(1)已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合4={1,2,4},8={1,3,5},則@/)18=(B)

(A){1}(B){3,5}(C){1,6}(D){1,3,5,6)

(2018年西城二模)

1.若集合A={x[0<x<1},B={x|x2-2x<0},則下列結(jié)論中正確的是(C)

(A)AB=0(B)AB=R

(C)A^B(D)BcA

(2018年豐臺二模)

(1)已知A={x|x>l},B={x\x2-2x-3<0},則AB=(D)

(A){x|xv-l或xNl}(B){x|l<x<3}

(C){x|x>3}(D){x\x>-l}

(2018年昌平二模)

1.已知全集。=&集合A={Mxv-1或x>l},則%A=(D)

A.(-oo,-l)U(l,+oo)B.(-oo,-l]U[l,+oo)C.(-1,1)D.[-1,1]

(2018年房山二模)

(1)設(shè)集合4={尤|%42},3={%[0<尢<3},則4B=(B)

(A){xjx<2)(B){x|x<3}

(C){x|2<x<3}(D){x\2<x<3}

(2018年順義二模)

1.設(shè)集合4={村/+3%+2=0},5={-2,-1,0,1,2},則43=(A)

A.{-2,-1}B.{-2,1}C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2}

簡易邏輯

（2018年朝陽期末）

4."sina=—"是"cos2a=0"的(A)

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年東城期末）

（6）設(shè)0,）為非零向量，則“|。+4=,-耳”是“。加0”的（c）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年西城期末）

6.設(shè)°力是非零向量，且不共線.則“|a|=|"”是“|4+2回=|幼+切”的（C）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年海淀期末）

22

（4）設(shè)機是不為零的實數(shù)，貝廣加＞0”是“方程-一匕=1表示雙曲線”的（A）

mm

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年豐臺期末）

2.“x＞l”是“2、＞1”的（A）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年石景山期末）

22

5.“加>10"是"方程-------匚=1表示雙曲線"的（A）

/M-10"2-8

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年昌平期末）

7.設(shè)0<x<Z,則“cosxvP'是"cosxvx”的（A）

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年通州期末）

4.已知aeR,那么“直線丁=以-1與丁=-16+2垂直”是”的（B）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年房山期末）

（5）“a,beR+”是“31^?疝”成立的（A）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年朝陽一模）

4.已知。力為非零向量，則“。萬>0”是“。與b夾角為銳角”的（B）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年東城一模）

（7）設(shè)｛為｝是公差為d的等差數(shù)列，S“為其前〃項和，則“d>0”是“｛S,｝為遞增數(shù)列”的（D）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年海淀一模）

（5）已知a,。為正實數(shù)，則“。>1,〃>1"是“l(fā)ga+lg/?>0"的（A）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年西城一模）

6.設(shè)函數(shù)/（幻=/+法+，.則”/（x）有兩個不同的零點”是“mx°eR,使/5）<0”的

（C）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年豐臺一模）

（2）已知命題p：玉<1,X2<1,則一「為（C）

（A）Vx>1,x2>1（B）*<1,9>1（C）Vx<1,x2>1（D）>1,x2>I

（2018年石景山一模）

7.設(shè)a,AeR,則“a>6”是“44>6網(wǎng)”的（C）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

（2018年昌平一模）

7.設(shè)0<xC則“cosxcf”是“cosxvx”的（A）

2

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年房山一模）

（7）“加3>而”是“關(guān)于x的方程sinx=/7；無解”的（A）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年朝陽二模）

6.已知函數(shù)f（x）=2：'X*"'則“々WO”是“函數(shù)/（x）在［0,+8）上單調(diào)遞增”的（A）

x,x<a

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年東城二模）

（5）設(shè)a,b是非零向量，則”|a+b|=|a|一聞”是ua//bn的（A）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年海淀二模）

2

（5）設(shè)曲線C是雙曲線，則“。的方程為％2一2_=1”是“C的漸近線方程為、=土2%”的（A）

4

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年西城二模）

7.函數(shù)/（x）=Ji^+a.則“。學(xué)0”是使的（A）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年豐臺二模）

（2）設(shè)a,b為非零向量，則“a與〃方向相同”是”的（A）

（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件

（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

（2018年昌平二模）

6.設(shè)%丁€1<,貝1-'爐+》242”是“國41且,區(qū)1”的（B）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

（2018年房山二模）

TT

⑺AA3C的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則“3=一”是“A,8,C成等差數(shù)列”的(C)

3

(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

(2018年順義二模)

5.已知直線。,仇機，其中在平面a內(nèi),則''機_1。,加_1"?！笔?、'帆”的(B)

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2018年北京市各區(qū)高三理科數(shù)學(xué)試題分類匯編一一函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

選擇填空部分：

(2018年朝陽期末)

7.已知函數(shù)/(%)=不,一4的圖象與直線y=—1的公共點不少于兩個，則實數(shù)a的取值范圍是

(B)

A.a<-2B.aW-2C.-2Wa<0D.a>-2

(2018年東城期末)

4X+1

(5)已知函數(shù)貝的(B)

(A)圖象關(guān)于原點對稱，且在［0,+8)上是增函數(shù)

(B)圖象關(guān)于y軸對稱，且在［0,+8)上是增函數(shù)

(C)圖象關(guān)于原點對稱，在［0,+8)上是減函數(shù)

(D)圖象關(guān)于y軸對稱，且在［0,+8)上是減函數(shù)

(14)如圖1,分別以等邊三角形ABC的每個頂點為圓心、以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧,

三段弧圍成的曲邊三角形A3C稱為勒洛三角形A8C,等邊三角形的中心P稱為勒洛三角形的中心.如

圖2,勒洛三角形ABC夾在直線y=0和直線y=2之間，且沿x軸滾動.設(shè)其中心P(x,y)的軌跡方程

2兀

為y=/(x),則/(X)的最小正周期為一y—；y=/(x)的圖象與性質(zhì)有以下描述：

①中心對稱圖形；②軸對稱圖形；③一條直線；④最大值與最小值的和為2.

其中正確結(jié)論的序號為—②④.(注：請寫出所有正確結(jié)論的序號)

圖1圖2

(2018年西城期末)

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,長。)上單調(diào)遞增的是(D)

(A)y=-x+1(B)y=\x-\\(C)y=sinx(D)y=f

7.已知A,3是函數(shù)y=2'的圖象上的相異兩點.若點A,5到直線y=g的距離相等,

則點A,8的橫坐標之和的取值范圍是(B)

(A)(—oo,—1)(B)(—co,—2)(C)(—1,+oo)(D)(—2,+00)

f+1,-2WxWc,

14.已知函數(shù)/(x)=<1若c=0,則/(%)的值域是_[——,4-oo)—:若/(%)的值域是

c<xW3.4

[-；,2],則實數(shù)c的取值范圍是_布]一

(2018年豐臺期末)

fxsinx,0<x<^,

14.己知函數(shù)/(%)=｛廠^(x)=f^x)—kx^kGR).

①當左=1時，函數(shù)g(x)有1個零點;

②若函數(shù)g(x)有三個零點，則攵的取值范圍是.

(2018年石景山期末)

6.給定函數(shù)①y=x"②y=log1(x+l),@y=|x-l|,④丁=2向，其中在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的

2

函數(shù)序號是(C)

A.①④B.①②C.②③D.③④

8.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點B跑到點C,共用時30s,

他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時間為r(s),他與教練間的距離

為y(〃?)，表示y與f的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的(D)

A.點、MB.點NC.點PD.點。

Q

A.是偶函數(shù)，且在(-8,0)上是增函數(shù)B.是奇函數(shù)，且在(-8,0)上是增函數(shù)

C.是偶函數(shù)，且在(50,0)上是減函數(shù)D.是奇函數(shù)，且在(-8,0)上是減函數(shù)

-x+4,x<3,

14.若函數(shù)y(x)=<(。>0且。。1),函數(shù)g(x)=/(x)-k.

logf/x,x>3

①若。=§,函數(shù)g(x)無零點，則實數(shù)%的取值范圍是「1,1)

②若/(X)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是—(1,3].

(2018年房山期末)

(6)下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增的是(C)

(A)f(x)=-X3(B)f(x)=y/x

X

(C)f(x)=x-\—

X

(8)函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，在區(qū)間[。力]上可找到〃(〃N2)個不同的數(shù)%,工2，，土,使得

叢2=盤2==/組，則〃的取值的集合為(C)

%%X.

(A){2,3}(B){3,4}

(C){2,3,4}(D){3,4,5}

(2018年通州期末)

、(2*+。，x<2,

14.已知函數(shù)〃x)=無零點，那么實數(shù)。的取

a-x,x與2

值范圍是_(YO,T][0,2)

(2018年朝陽一模)

(X+1)2+4,x<0,

.TIX

14.已知awR,函數(shù)/(幻=.sin—當x>0時，函數(shù)/(x)的最大值是_萬—；若函

2x>0.

21+2-AI

數(shù)/(x)的圖象上有且只有兩對點關(guān)于y軸對稱，則。的取值范圍是—(-1,；)—.

(2018年東城一模)

(14)單位圓的內(nèi)接正〃(”》3)邊形的面積記為f(〃)，則/(3)=—空____；下面是關(guān)于/(")的

4

描述：

①/(n)=-sin—5②/(〃)的最大值為n；③/(“)</(〃+1)；④/(n)<f(2n)<2/(〃).

2n

其中正確結(jié)論的序號為____①③④_____.(注：請寫出所有正確結(jié)論的序號)

(2018年海淀一模)

(7)下列函數(shù)/(x)中，其圖象上任意一點P(x,y)的坐標都滿足條件的函數(shù)是(D)

(A)/(x)=x3(B)〃幻=4(C)/(x)=ev-l(D)/(x)=ln(x+l)

x,x..a,

(14)己知y(x)=<

x3-3x,x<a.

①若〃無)有兩個零點，則。的取值范圍是(一區(qū)61.

②當4,-2時，則滿足〃x)+/(x-l)>—3的x的取值范圍是x>-l.

(2018年西城一模)

212_4E+]X>0

7.函數(shù)/(x)=匕3：''x<Q則y=f(x)的圖象上關(guān)于原點O對稱的點共有(C)

(A)。對(B)1對

(C)2對(D)3對

(2018年豐臺一模)

(13)函數(shù)y=/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，當xNO時，函數(shù)

A.y-4xB.y=-x3

C.y=log|XD.y=x+—i=1,S=1

2X

-

12.已知函數(shù)/(x)=/,若關(guān)于x的方程/(x)=Z有兩個不同零點，則上的取值范圍是

x3,x<1

(0,1)

(2018年房山一模)

(5)下列函數(shù)中，與函數(shù)>=/的單調(diào)性和奇偶性相同的函數(shù)是(D)

(A)y-4x(B)y=lnx

(C)y=tanx(D)y-ex-ex

(2018年延慶一模)

3.已知函數(shù)/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且/(1)=一2,那么/(一1)+/(0)=

(A)-2(B)0(C)1(D)2

13.已知“X)和g(勾在定義域內(nèi)均為增函數(shù)，但/(x>g(x)不一定是增函數(shù)，例如當/(幻=三

且g(x)=X時，/(x).g(x)不是增函數(shù).

(2018年朝陽二模)

6.已知函數(shù)“x)=j2‘‘X'"’則“aWO"是''函數(shù)f(x)在[0,+8)上單調(diào)遞增”的(A)

X',x<a

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(2018年東城二模)

(7)已知函數(shù)/(x)=log2X,g(x)-2x+a,若存在X],%22],使得/區(qū))=g(*2)，則。的取

值

范圍是(A)

(A)[-5,0](B)(-?,5]?[0,?)(C)(-5,0)(D)(-?,5)?(0,?)

(14)某種物質(zhì)在時刻t(min)的濃度M(mg/L)與t的函數(shù)關(guān)系為例(f)=ar'+24(a,廣為常數(shù)).在t=0

min和t=1min測得該物質(zhì)的濃度分別為124mg/和64mg/L,那么在t=4min時,該物質(zhì)的濃

度為—26.56—mg/L；若該物質(zhì)的濃度小于24.001mg/L,則最小的整數(shù)t的值為13.

(參考數(shù)據(jù)：1g2^0.3010)

(2018年海淀二模)

(6)關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx—xcosx,下列說法錯誤的是(C)

(A)/(%)是奇函數(shù)(B)0不是的極值點

(C)/(x)在(―上有且僅有3個零點(D)/(x)的值域是R

(2018年西城二模)

8.在直角坐標系xOy中，對于點(x,y),定義變換將點(x,y)

變換為點(。,力，使得"tan：其中〃力￡(」,火).這樣變

換b就將坐標系內(nèi)的曲線變換為坐標系次加內(nèi)的曲線.

2x

則四個函數(shù)y=2x(x>0),y2=x(x>0),y3=e(x>0),

y4=Inx(x>1)在坐標系內(nèi)的圖象，變換為坐標系aOb內(nèi)

的四條曲線(如圖)依次是(A)

(A)②，③，①，④(B)③，②，④，①

(C)②，③，④，①(D)③，②，①，④

(2018年豐臺二模)

(6)設(shè)下列函數(shù)的定義域為(0,+oo),則值域為(0,+8)的函數(shù)是([))

(A)y=ex-x(B)>,=e'+Inx

(C)y=x-4x(D)y=ln(x+l)

(12)甲乙兩地相距500km,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度u不能超過120km/h.已知汽車等小時

運輸成本為—V2+360元，則全程運輸成本與速度的函數(shù)關(guān)系是丁=

250-

y=18u+幽見(0<uW120)_,當汽車的行駛速度為」(X)_km/h時，全程運輸成本最小.

V

(2018年昌平二模)

4.設(shè)4=，^=log23.C=2?3,則(c)

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.a>c>b

-x1+lax,x<1,

14.已知函數(shù)/(x)=J41nx

X>1.

、x

①當X<1時，若函數(shù)〃x)有且只有一個極值點，則實數(shù)〃的取值范圍是—?<1

②若函數(shù)/(x)的最大值為1,則。=—-1

(2018年房山二模)

(5)已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，且周期為4,若/(一1)=2,則/(2017)=(C)

(A)2(B)0(C)-2(D)-4

(8)定義：若存在常數(shù)上,使得對定義域。內(nèi)的任意兩個%,々(%。吃)，均有

|/(與)-/(9)歸左區(qū)一百成立，則稱函數(shù)“X)在定義域。上滿足利普希茨條件.若函數(shù)

〃x)=6(x21)滿足利普希茨條件，則常數(shù)攵的最小值為(D)

(A)4(B)3(C)1(D)-

2

(14)已知函數(shù)/(x)=x|2x—?|-1.

①當a=O時，不等式/(x)+l>0的解集為一(0,+8)；

②若函數(shù)/(x)有三個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是—a>20

(2018年順義二模)

8

a-log3—,b=log39.l,c=2°

6.若2,則a，"。的大小關(guān)系為(B)

A.a<b<cb<a<cQta<c<bc<a<b

解答題部分:

(2018年朝陽期末)

18.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)/(x)=xcosx+a,aGR.

冗

(I)求曲線y=/(x)在點x=］處的切線的斜率；

(II)判斷方程/'(x)=O(/'(x)為/(x)的導(dǎo)數(shù))在區(qū)間(0,1)內(nèi)的根的個數(shù)，說明理由；

(III)若函數(shù)尸(x)=xsinx+cosx+辦在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個極值點，求a的取值范圍.

兀

解：(I)f'(x)=cosx-xsinx.k.....3分

2

(II)設(shè)g(x)=/'(x),g'(x)=-sinx-(sinx+xcosx)=-2sinx-xcosx.

當xe(0,1)時，g'(x)<0,則函數(shù)g(x)為減函數(shù).

又因為g(0)=l〉0,g(l)=cosl-sinl<0,

所以有且只有一個x(,e(0,1),使g(x())=0成立.

所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個零點.即方程/'(x)=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個實

數(shù)根........7分

(III)若函數(shù)尸(x)=xsinx+cosx+or在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個極值點，由于尸(x)=/(x),即

/(%)=xcosx+o在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個零點的，且/(%)在占兩側(cè)異號.

因為當xe(0,l)時，函數(shù)g(x)為減函數(shù)，所以在(0,%)上，g(x)>g(x0)=0,即/'(x)>0成

立，函數(shù)/(x)為增函數(shù)；

在(％,1)上，g(x)<g(x0)=0,即/'。)<0成立，函數(shù)/(幻為減函數(shù)，

則函數(shù)/(幻在x=%處取得極大值了(%).

當/(%)=0時，雖然函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個零點小,但/(x)在與兩側(cè)同號，

不滿足2x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有且只有一個極值點的要求.

由于/⑴=a+cos1,/(0)=a,顯然/(1)>/(0).

若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0』)內(nèi)有且只有一個零點玉，且/(x)在為兩側(cè)異號，

則只需滿足：

f/(0)<0，H」a<0，

〈即V

/(I)>0,[cosl+?>0,

解得-cos1<6Z<0.......13分

(2018年東城期末)

(18)(本小題13分)

已知函數(shù)/(x)=xMx

(I)求曲線y=/(x)在點(1,/(I))處的切線方程；

八1

(II)若/(x)va對xl(—")恒成立，求。的最小值.

e

解：(I)/(X)的定義域為(0,+8).

1.12

由已知得了'(為=5/一1nx-3,且/(1)=§.

所以廣⑴=o.

2

所以曲線y=/(幻在點(L/(I))處的切線方程為)，=§.

(II)設(shè)g(x)=f\x),(—<x<e)

e

riIt/、1X"-1

則g(%)=x——=-----.

XX

令g'(x)=0得X=I.

當工變化時，g'(x)符號變化如下表：

X(-,1)1(Le)

e

g'(x)—0+

極小

g(x)JF

則g(x)>g⑴=0,即1(x)N0,當且僅*=1時，/(x)=0.

所以/(x)在(Le)上單調(diào)遞增.

e

又/(e)=一9,

所以〃的最小值為為一一e.

62

(2018年海淀期末)

(19)(本小題14分)

已知函數(shù)/(x)=2ev-ax1-2x-2

(I)求曲線y=/(x)在點(O,7(O))處的切線方程；

(II)當aW()時，求證：函數(shù)/(x)有且只有一個零點；

(III)當a>0時，寫出函數(shù)/(x)的零點的個數(shù).(只需寫出結(jié)論)

(I)因為函數(shù)/(x)=2e'-a?-2x-2

所以/'(x)=2e‘—2℃-2.......2分

故/(0)=0,尸(0)=0.......4分

曲線y=/(x)在x=O處的切線方程為y=0.......5分

(II)當時，令g(x)=/'(x)=2e*-2ax-2,則g'(x)=2e'—2a

.......6分

分

故g(X)是R上的增函數(shù).7

分

由g(0)=0,8

故當x<0時，g(x)<0,當x>0時，g(x)>0.

即當x<0時，/,(x)<0,當x>0時，/'(x)>0.

D分

故/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，在(0,+oo)單調(diào)遞增.-

函數(shù)/(%)的最小值為/(0)

11C1分

由/(0)=0，-

故/(x)有且僅有一個零點.

12分

(III)當0<a<l時，/(x)有兩個零點.二

13分

當。=1時，/(X)有一個零點；一

14分

當4>1時，/(x)有兩個零點.

(2018年西城期末)

18.(本小題滿分13分)

已知函數(shù)=-sinx-l,其中。>0.

(I)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的切線方程;

(H)證明：/(x)在區(qū)間。汨上恰有2個零點.

解：(I)當。=1時，，/(x)=eY-sinx-1,

所以f\x)=e'(sinx+cosx).[2分]

因為r（o）=i,/（o）=-i,[4分]

所以曲線》=/（X）在點（0,/（0））處的切線方程為y=x-l.[5分]

(II)f'(x)=e"'(asinx+cosx).[6分]

由f\x)=0,得asinx+cosx=0.[7分]

jr

因為?>0,所以八/)w0.[8分]

兀7t1

當XG(0,—)(一,兀)時，由tzsinx+cosx=0,得tanx=—.

22a

7T1

所以存在唯一的不￡(一,兀)，使得tanx=--.[9分]

20a

f（x）與/'（%）在區(qū)間（0,九）上的情況如下：

X(O,xo)%（飛,兀）

r（x）+0—

/極大值

所以/（外在區(qū)間（0,玉））上單調(diào)遞增，在區(qū)間（玉）,兀）上單調(diào)遞減.[11分]

an

因為/（X。）>f（~）=屋一1>e。-1=0,[12分]

且/（0）=/（7t）=-l<0,

所以/（%）在區(qū)間［0,兀］上恰有2個零點.[13分]

（2018年豐臺期末）

18.己知函數(shù)/（力=/—依―q2］nx（aeR）.

（I）求函數(shù)〃x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若/（x）20恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

解：（I）函數(shù)/（x）的定義域為（0,+s）,

2。x2-ax-a2(x-a)(2x+a)

xx

由廣（x）=0,可得x=a或尤=一搟，

當a=0時,/（力>0在（0,+8）上恒成立,

所以/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+8）,沒有單調(diào)遞減區(qū)間;

當a>0時，x,，'(x),/(x)的變化情況如下表:

X(0.?)a

0-

、

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a),單調(diào)遞增區(qū)間是(a,+8).

當a<0時，x,/'(x),/(x)的變化情況如下表:

a

X(0.-1)(3,2)

rw0-

/(x)、Z

所以/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［0,單調(diào)遞增區(qū)間是一］,+oo

(II)由(I)知，當。=0時，/(x)=x2>0,符合題意.

當a>0時，/(力的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a),單調(diào)遞增區(qū)間是(a,48),

所以/(x)20恒成立等價于/(x)mm>0,即/(a)20,

所以一/卜。？。，所以0<aWl.

當a<0時，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是單調(diào)遞增區(qū)間是［―宗+00

所以/(元)20恒成立等價于/(Hmm>0,即一

22/X3

所以---1----ci'InI—1^0,所以—2e“<?<0.

42t2)

3

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是-2e\l

(2018年石景山期末)

18.(本小題共13分)

已知函數(shù)/(了)=］(“一0).

x

(I)若a=l,確定函數(shù)/(X)的零點：

(II)若。=一1,證明：函數(shù)/(幻是(0,+8)上的減函數(shù)；

(III)若曲線y=/(x)在點(1,7(1))處的切線與直線x—y=0平行，求a的值.

18.(本小題共13分)

解：(