2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章統(tǒng)計案例3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用學(xué)案含解析新人教A版選修2-31

PAGE第三章統(tǒng)計案例,你坐過火車、乘過飛機(jī)嗎？暈車、暈機(jī)與性別有無關(guān)系？肺癌是人類的一大殺手，吸煙與患肺癌的關(guān)聯(lián)性原委有多大？你了解過你們班同學(xué)的身高與體重嗎，身高與體重是否線性相關(guān)？你統(tǒng)計過你們班同學(xué)的考試成果嗎，物理成果的凹凸與數(shù)學(xué)成果關(guān)聯(lián)度有多大？……這些都是統(tǒng)計學(xué)探討的內(nèi)容．本章我們將要學(xué)習(xí)獨立性檢驗和回來分析的基本思想、方法．學(xué)習(xí)本章要留意學(xué)習(xí)收集、整理、分析數(shù)據(jù)的方法，體會統(tǒng)計分析的基本思想、建模思想和現(xiàn)代計算技術(shù)在統(tǒng)計中的應(yīng)用，體會統(tǒng)計思維和確定性思維的差異．3.1回來分析的基本思想及其初步應(yīng)用自主預(yù)習(xí)·探新知情景引入2024年6月17日四川宜賓發(fā)生6.1級地震，此后40分鐘內(nèi)連發(fā)四次余震，最高震級5.1級，此次地震余震頻繁而且震級還高，你知道地震的震級與地震次數(shù)之間有什么關(guān)系嗎？新知導(dǎo)學(xué)一、回來直線方程1．回來分析是處理兩個變量之間__相關(guān)關(guān)系__的一種統(tǒng)計方法．若兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，則稱相應(yīng)的回來分析為__線性回來分析__．2．回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝__eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))xi－\x\to(x)2)__eq\o(a,\s\up6(^))＝__eq\a\vs4\al(\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x))__，__(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))__稱為樣本點的中心．3．線性相關(guān)關(guān)系強(qiáng)與弱的推斷：用__相關(guān)系數(shù)r__來描述線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱．對于變量x、y隨機(jī)抽取到的n對數(shù)據(jù)(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，其相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2))．當(dāng)r>0時，表明兩個變量__正相關(guān)__；當(dāng)r<0時，表明兩個變量__負(fù)相關(guān)__.r的肯定值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越__強(qiáng)__；r的肯定值接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|大于__0.75__時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．二、線性回來分析1．隨機(jī)誤差(1)隨機(jī)誤差的概念：當(dāng)樣本點散布在某一條直線的旁邊，而不是在一條直線上時，不能用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述兩個變量之間的關(guān)系，而是用線性回來模型__y＝bx＋a＋e__來表示，這里__x__稱為說明變量，__y__稱為預(yù)報變量，__e__稱為隨機(jī)誤差，E(e)＝__0__，D(e)＝__σ2__．(2)隨機(jī)誤差及其產(chǎn)生的緣由從散點圖中我們可以看到，樣本點散布在某一條直線旁邊，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y＝bx＋a來描述它們之間的關(guān)系，我們用下面的線性回來模型來表示：y＝bx＋a＋e，其中a、b為模型的未知數(shù)，e稱為隨機(jī)誤差．產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要緣由有以下3個方面：①用線性回來模型近似真實模型(真實模型是客觀存在的，通常我們并不知道真實模型是什么)所引起的誤差．可能存在非線性的函數(shù)能更好地描述y與x之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù)來表述這種關(guān)系，結(jié)果會產(chǎn)生誤差．這種由模型近似所引起的誤差包含在e中．②忽視了某些因素的影響．影響變量y的因素不只變量x，可能還包括其他很多因素(例如在描述身高和體重關(guān)系的模型中，體重不僅受身高的影響，還會受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等其他因素的影響)，它們的影響都體現(xiàn)在e中．③觀測誤差．由于測量工具等緣由，導(dǎo)致y的觀測值產(chǎn)生誤差(比如一個人的體重是確定的數(shù)，但由于測量工具的影響和測量人技術(shù)的影響可能會得到不同的觀測值，與真實值之間存在誤差)，這樣的誤差也包含在e中．2．殘差對于樣本點(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)，其回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，用eq\o(y,\s\up6(^))作為回來模型eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝bx＋a＋e,Ee＝0，De＝σ2))中bx＋a的估計值，隨機(jī)誤差ei＝y(tǒng)i－bxi－a的估計值eq\o(e,\s\up6(^))i＝__yi－eq\o(b,\s\up6(^))xi－eq\o(a,\s\up6(^))__(i＝1,2，…，n)，稱為相應(yīng)于點(xi，yi)的殘差．3．殘差圖以__殘差__為縱坐標(biāo)，__樣本編號__(或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計值等)為橫坐標(biāo)作出的圖形，稱為殘差圖．4．在線性回來模型中，R2表示說明變量對預(yù)報變量改變的__貢獻(xiàn)率__.R2越接近于1，表示說明變量和預(yù)報變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)；反之，R2越小，說明隨機(jī)誤差對預(yù)報變量的效應(yīng)越大．相關(guān)指數(shù)R2的計算公式是R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\o(∑,\s\up6(n))\o(,\s\do4(i＝1))yi－\x\to(y)2)．R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果(即回來效果)越__好__．在含有一個說明變量的線性模型中，R2恰好等于__相關(guān)系數(shù)r__的平方．預(yù)習(xí)自測1．在對兩個變量x，y進(jìn)行線性回來分析時，有下列步驟：①對所求出的回來直線方程作出說明；②收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；③求線性回來方程；④求相關(guān)系數(shù)；⑤依據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖．假如依據(jù)可行性要求能夠作出變量x，y具有線性相關(guān)的結(jié)論，則在下列操作依次中正確的是(D)A．①②⑤③④ B．③②④⑤①C．②④③①⑤ D．②⑤④③①[解析]對兩個變量進(jìn)行回來分析時，首先收集數(shù)據(jù)(xi，yi)，i＝1,2，…，n；依據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖．視察散點圖的形態(tài)，推斷線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，求相關(guān)系數(shù)，寫出線性回來方程，最終依據(jù)所求出的回來直線方程作出說明；故正確依次是②⑤④③①，故選D．2．(2024·南充模擬)已知變量x與變量y之間具有相關(guān)關(guān)系，并測得如下一組數(shù)據(jù)：x651012y6532則變量x與y之間的線性回來直線方程可能為(B)A．eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x－2.3 B．eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3C．eq\o(y,\s\up6(^))＝－10.3x＋0.7 D．eq\o(y,\s\up6(^))＝10.3x－0.7[解析]依據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)(6＋5＋10＋12)＝eq\f(33,4)，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)(6＋5＋3＋2)＝4，且變量y隨變量x的增大而減小，是負(fù)相關(guān)，所以，驗證eq\x\to(x)＝eq\f(33,4)時，eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7×eq\f(33,4)＋10.3≈4，即回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.7x＋10.3過樣本中心點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．故選B．3．(2024·武漢高二檢測)在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的探討中，探討人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：年齡2327394145495053565860脂肪9.517.821.225.927.526.328.229.631.433.535.2通過計算得到回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.577x－0.448，利用這個方程，我們得到年齡37歲時體內(nèi)脂肪含量為20.90%，那么數(shù)據(jù)20.90%的意義是(D)A．某人年齡37歲，他體內(nèi)脂肪含量為20.90%B．某人年齡37歲，他體內(nèi)脂肪含量為20.90%的概率最大C．某人年齡37歲，他體內(nèi)脂肪含量的期望值為20.90%D．20.90%是對年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量所作出的估計[解析]利用回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.577x－0.448，可得x＝37時，eq\o(y,\s\up6(^))＝20.901，即到年齡37歲時體內(nèi)脂肪含量約為20.90%，故20.90%是對年齡為37歲的人群中的大部分人的體內(nèi)脂肪含量所作出的估計，故選D．4．為了考察兩個變量x和y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩位同學(xué)各自獨立地做了100次和150次試驗，并且利用線性回來方法，求得回來直線分別為l1和l2，已知兩個人在試驗中發(fā)覺對變量x的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是s，對變量y的觀測數(shù)據(jù)的平均值都是t，那么下列說法正確的是(A)A．l1和l2有交點(s，t)B．l1與l2相交，但交點不肯定是(s，t)C．l1與l2必定平行D．l1與l2必定重合[解析]由題意知(s，t)是甲、乙兩位同學(xué)所做試驗的樣本點的中心，而線性回來直線恒過樣本點的中心，故選A．5．(2024·全國卷Ⅰ)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為探討某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽試驗，由試驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回來方程類型中最相宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回來方程類型的是(D)A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx[解析]由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象旁邊，因此，最適合作為發(fā)芽率y和溫度x的回來方程類型的是y＝a＋blnx．故選D．互動探究·攻重難互動探究解疑命題方向?變量間的相關(guān)性檢測典例1關(guān)于兩個變量x和y的7組數(shù)據(jù)如下表所示：x21232527293235y711212466115325試推斷y與x是否線性相關(guān)．[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,7)(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5414，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18542．eq\i\su(i＝1,7,y)eq\o\al(2,i)＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124393，∴r＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\r(\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2\i\su(i＝1,7,y)\o\al(2,i)－7\x\to(y)2))＝eq\f(18542－7×27.4×81.3,\r(5414－7×27.42×124393－7×81.32))≈eq\f(2948.66,3520.92)＝0.8639．由于r＝0.8639>0.75，∴x與y具有線性相關(guān)關(guān)系．『規(guī)律總結(jié)』變量間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，可通過散點圖或相關(guān)系數(shù)作出推斷，散點圖只是粗略作出推斷，用相關(guān)系數(shù)能夠較精確的推斷相關(guān)的程度．┃┃跟蹤練習(xí)1__■現(xiàn)隨機(jī)抽取了我校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成果(x)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)成果(y)，數(shù)據(jù)如下表：學(xué)生號12345678910x12010811710410311010410599108y84648468696869465771請問：這10個學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成果是否具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系？[解析]eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)(84＋64＋…＋57＋71)＝68，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116584，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝842＋642＋…＋572＋712＝47384，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝120×84＋108×64＋…＋108×71＝73796，所以，相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(73796－10×107.8×68,\r(116584－10×107.8247384－10×682))≈0.7506，由0.7506>0.75知，兩次數(shù)學(xué)考試成果有顯著的線性相關(guān)關(guān)系．命題方向?求線性回來方程典例2某班5名學(xué)生的數(shù)學(xué)和物理成果如表：學(xué)生學(xué)科成果ABCDE數(shù)學(xué)成果(x)8876736663物理成果(y)7865716461(1)畫出散點圖；(2)求物理成果y對數(shù)學(xué)成果x的線性回來方程；(3)一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成果是96，預(yù)料他的物理成果．[解析](1)散點圖如圖．(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8．eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25054．eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝882＋762＋732＋662＋632＝27174，所以＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈0.625，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)≈67.8－0.625×73.2＝22.05，所以y對x的回來直線方程是＝0.625x＋22.05．(3)當(dāng)x＝96時，＝0.625×96＋22.05≈82，即可以預(yù)料他的物理成果是82．『規(guī)律總結(jié)』1.散點圖是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量基礎(chǔ)上的，對于性質(zhì)不明確的兩組數(shù)據(jù)，可先作散點圖，從圖中看它們有無關(guān)系，關(guān)系的親密程度，再進(jìn)行相關(guān)的回來分析．2．求回來直線方程，首先應(yīng)留意到，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回來直線方程才有實際意義，否則，求出的回來直線方程毫無意義．┃┃跟蹤練習(xí)2__■(2024·湖南郴州質(zhì)檢)為了探究車流量與PM2.5的濃度是否相關(guān)，現(xiàn)采集到北方某城市2024年12月份某星期星期一到星期日某一時間段車流量與PM2.5的數(shù)據(jù)如下表：時間星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日車流量x/萬輛1234567PM2.5的濃度y(微克/立方米)28303541495662(1)由散點圖知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回來方程；(2)①利用(1)所求的回來方程，預(yù)料該市車流量為8萬輛時PM2.5的濃度；②規(guī)定：當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在(0,50]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為優(yōu)；當(dāng)一天內(nèi)PM2.5的濃度平均值在(50,100]內(nèi)，空氣質(zhì)量等級為良．為使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或良，則應(yīng)限制當(dāng)天車流量在多少萬輛以內(nèi)？(結(jié)果以萬輛為單位，保留整數(shù)．)參考公式：回來直線的方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)．[解析](1)由數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝eq\f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq\x\to(y)＝eq\f(1,7)(28＋30＋35＋41＋49＋56＋62)＝43，eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝1372，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝140，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)＝eq\f(1372－1204,140－112)＝6，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝43－6×4＝19，故y關(guān)于x的線性回來方程為eq\x\to(y)＝6x＋19．(2)①當(dāng)車流量為8萬輛，即x＝8時，eq\o(y,\s\up6(^))＝6×8＋19＝67.故當(dāng)車流量為8萬輛時，PM2.5的濃度約為67微克/立方米．②依據(jù)題意得6x＋19≤100，即x≤13.5，故要使該市某日空氣質(zhì)量為優(yōu)或良，應(yīng)限制當(dāng)天車流量在13萬輛以內(nèi)．命題方向?線性回來分析典例3某運動員訓(xùn)練次數(shù)與訓(xùn)練成果之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如下：次數(shù)(x)3033353739444650成果(y)3034373942464851(1)作出散點圖；(2)求出回來方程；(3)作出殘差圖；(4)計算R2，并說明運動員的訓(xùn)練次數(shù)對成果的影響占百分之幾．[解析](1)作出該運動員訓(xùn)練次數(shù)x與成果y的散點圖，如圖所示．由散點圖可知，它們之間具有相關(guān)關(guān)系．(2)eq\x\to(x)＝39.25，eq\x\to(y)＝40.875，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝12656，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝13180，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)xi－\x\to(x)2)≈1.0415，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－0.003875，∴回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.0415x－0.003875．(3)殘差分析：下面的表格列出了運動員訓(xùn)練次數(shù)和成果的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù).xyeq\o(e,\s\up6(^))＝y(tǒng)－eq\o(y,\s\up6(^))3030－1.24113334－0.365635370.551437390.468439421.385444460.177946480.09495051－1.0711作殘差圖如圖所示．由圖可知，殘差點比較勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選擇的模型比較合適．(4)計算相關(guān)指數(shù)R2≈0.9855，說明白該運動員的成果的差異有98.55%是由訓(xùn)練次數(shù)引起的．『規(guī)律總結(jié)』1.解答本類題目應(yīng)先通過散點圖來分析兩個變量間的關(guān)系是否線性相關(guān)，再利用求回來方程的公式求解回來方程，并利用殘差圖或R2來分析函數(shù)模型的擬合效果，在此基礎(chǔ)上，借助回來方程對實際問題進(jìn)行分析．2．“R2、殘差圖”在回來分析中的作用：(1)R2是用來刻畫回來效果的，由R2＝1－eq\f(\i\su(i＝1,n,)yi－\o(y,\s\up6(^))i2,\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2)可知R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果就越好．(2)殘差圖也是用來刻畫回來效果的，推斷依據(jù)是：殘差點比較勻稱地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說明模型擬合精度越高，回來方程預(yù)報精度越高．┃┃跟蹤練習(xí)3__■為探討質(zhì)量x(單位：克)對彈簧長度y(單位：厘米)的影響，對不同質(zhì)量的6個物體進(jìn)行測量，數(shù)據(jù)如表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點圖，并求線性回來方程；(2)求出R2；(3)進(jìn)行殘差分析．[解析](1)散點圖如圖所示．因為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(5＋10＋15＋20＋25＋30)＝17.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)×(7.25＋8.12＋8.95＋9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(2,i)＝2275，eq\i\su(i＝1,6,x)iyi＝1076.2計算得，eq\o(b,\s\up6(^))≈0.183，eq\o(a,\s\up6(^))≈6.285，所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.183x＋6.285．(2)列表如下：yi－eq\o(y,\s\up6(^))i0.050.005－0.08－0.0450.040.025yi－eq\o(y,\s\up6(－))－2.24－1.37－0.540.411.412.31所以eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2≈0.01318，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝14.6784．所以，R2＝1－eq\f(0.01318,14.6784)≈0.9991，回來模型的擬合效果較好．(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個樣本點的殘差比較大，須要確認(rèn)在采集這個數(shù)據(jù)的時候是否有人為的錯誤，假如有的話，須要訂正數(shù)據(jù)，重新建立回來模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點比較勻稱地落在不超過0.15的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說明選用的線性回來模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長度與重量成線性關(guān)系．命題方向?非線性回來問題典例4有一測量水流的試驗裝置——量水堰，測得試驗數(shù)據(jù)如下表：i1234567水高h(yuǎn)(厘米)0.71.12.54.98.110.213.5流量Q(升/分)0.0820.251.811.237.866.5134依據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立Q與h之間的回來方程．[思路分析]作散點圖，視察確定y與x的近似函數(shù)關(guān)系，作變量替換，列出新的對應(yīng)值表求出對應(yīng)的線性回來方程，再作變量替換得回來方程．[解析]依據(jù)測得數(shù)據(jù)作出散點圖，如圖，依據(jù)已有的函數(shù)學(xué)問，可以發(fā)覺樣本點分布在某一條冪函數(shù)型曲線Q＝αhβ(α、β是待定的正常數(shù))①的四周．為此將Q＝αhβ兩邊取對數(shù)，得到lgQ＝βlgh＋lgα②，令lgQ＝y(tǒng)，lgh＝x，于是②式可化為y＝βx＋lgα.這樣y就是x的線性函數(shù)了．可以利用線性回來模型來建立y和x之間的線性回來方程y＝bx＋a(β＝b，lgα＝a)了．ihiQixi＝lghiyi＝lgQixeq\o\al(2,i)xiyi10.70.082－0.1549－1.08620.0240.168321.10.250.0414－0.60210.0017－0.024932.51.80.39790.25530.15830.101644.911.20.69021.04920.47640.724258.137.80.90851.57400.82541.4300610.266.51.00861.82281.01731.8385713.51341.13032.12711.27762.4043∑eq\i\su(i＝1,7,)xi＝4.022eq\i\su(i＝1,7,)yi＝5.1401eq\i\su(i＝1,7,)xeq\o\al(2,i)＝3.7807eq\i\su(i＝1,7,)xiyi＝6.642先作出上面數(shù)據(jù)表，由表得到β≈2.5097，lgα≈－0.7077，則α≈0.1960.于是所得的回來方程為Q＝0.193h2.5097．『規(guī)律總結(jié)』1.在建立閱歷公式時，選擇合適的函數(shù)類型是特別重要的．通常是依據(jù)試驗數(shù)據(jù)，畫出散點圖，從中視察其改變規(guī)律，并與已知函數(shù)的圖象對比，看接近于什么函數(shù)，依據(jù)實踐閱歷來確定選取公式的類型，所選的類型是否符合實際，還須要通過實踐來檢驗．有時候還須要選擇不同的模擬函數(shù)作比較．2．假如視察散點圖，發(fā)覺點的分布不呈條狀分布，而是與某種曲線相近，這時可選擇這條曲線對應(yīng)的函數(shù)作為擬合函數(shù)，作恰當(dāng)變換，轉(zhuǎn)化為線性函數(shù)，用線性回來模型求解．例如：①反比例函數(shù)y＝a＋eq\f(b,x)可作變換t＝eq\f(1,x)，得y＝a＋bt．②冪函數(shù)型y＝axb(a>0)可作變換Y＝lny，m＝lna，t＝lnx，則有Y＝m＋bt．③指數(shù)型函數(shù)y＝kabx(a>0且a≠1，k>0)可作變換Y＝lny，m＝lnk，則有：Y＝m＋(blna)x┃┃跟蹤練習(xí)4__■為了探討某種細(xì)菌隨時間x的改變繁殖個數(shù)y的改變，收集數(shù)據(jù)如下：時間x/天123456繁殖個數(shù)y612254995190(1)將天數(shù)作說明變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量，作出這些數(shù)據(jù)的散點圖；(2)描述說明變量與預(yù)報變量之間的關(guān)系；(3)計算殘差、相關(guān)指數(shù)R2．[解析](1)由表中數(shù)據(jù)作散點圖如下圖所示．(2)由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)y＝c1ec2x的圖象的四周，其中c1和c2是待定系數(shù)．于是令z＝lny，則z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)，因此變換后的樣本點應(yīng)當(dāng)分布在直線z＝bx＋a的四周，因此可以用線性回來模型來擬合z與x的關(guān)系，則變換后的樣本數(shù)據(jù)如下表：x123456z1.792.483.223.894.555.25由表中數(shù)據(jù)得到線性回來方程eq\o(z,\s\up6(^))＝0.69x＋1.115．因此細(xì)菌繁殖個數(shù)關(guān)于時間的回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.69x＋1.115．(3)列出殘差表：編號i123456eq\o(y,\s\up6(^))i6.0812.1224.1748.1896.06191.52yi612254995190eq\o(e,\s\up6(^))i－0.08－0.120.830.82－1.06－1.52eq\i\su(i＝1,6,)eq\o(e,\s\up6(^))eq\o\al(2,i)＝eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2＝4.8161，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝24630.1，R2＝1－eq\f(4.8161,24630.1)≈0.9998．故說明變量天數(shù)對預(yù)報變量繁殖個數(shù)說明白99.98%，說明該回來模型擬合效果特別好．學(xué)科核心素養(yǎng)利用線性回來方程進(jìn)行預(yù)報變量的估計(規(guī)律方法)利用線性回來方程可以進(jìn)行預(yù)報，線性回來方程將部分觀測值所反映的規(guī)律進(jìn)行延長，是我們對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行分析和限制的依據(jù)．典例5(2024·福州模擬)對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，測得一組數(shù)據(jù)如下表：x24568y2040607980依據(jù)上表，利用最小二乘法得它們的回來直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，據(jù)此模型來預(yù)料當(dāng)x＝20時，y的估計值為(C)A．210 B．210.5C．211.5 D．212.5[解析]由已知得eq\x\to(x)＝5，eq\x\to(y)＝54，則(5,54)滿意回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝1.5.因此eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋1.5，當(dāng)x＝20時，eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5×20＋1.5＝211.5.故選C．『規(guī)律總結(jié)』已知變量的某個值去預(yù)料相應(yīng)預(yù)報變量的某個值時，先求出其所滿意的回來直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，把已知x取某一個值代入回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，從而可求出y的估計值．┃┃跟蹤練習(xí)5__■某車間為了規(guī)定工時定額，須要確定加工零件所花費的時間，為此做了4次試驗，得到數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求y關(guān)于x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)試預(yù)料加工10個零件須要的時間．參考公式：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up6(^))＝\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2),\o(a,\s\up6(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up6(^))\x\to(x)))[解析](1)散點圖如圖所示：(2)由題中表格數(shù)據(jù)得eq\x\to(x)＝3.5，eq\x\to(y)＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,)(xi－eq\x\to(x))2＝5．由公式計算得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,4,)xi－\x\to(x)2)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)，所以所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝0.7x＋1.05．(3)當(dāng)x＝10時，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))＝0.7×10＋1.05＝8.05，所以預(yù)料加工10個零件須要8.05小時．易混易錯警示求回來方程典例6在一化學(xué)反應(yīng)過程中，某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速度y(g/min)與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了如表所示的8組數(shù)據(jù)，則y與x的回來方程是__eq\o(y,\s\up6(^))＝e0.1812x－0.8485__.催化劑是x(g)1518212427303336化學(xué)物質(zhì)反應(yīng)速度y(g/min)6830277020565350[錯解]由表中數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x)＝25.5，eq\x\to(y)＝95.125，eq\i\su(i＝1,8,x)eq\o\al(2,i)＝5580，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝24297，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,x)iyi－8\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,8,x)\o\al(2,i)－8\x\to(x)2)≈12.94，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－234.845.所以回來方程式為eq\o(y,\s\up6(^))＝－234.845＋12.94x．[辨析]錯誤