江蘇省南京市2024−2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題含答案

江蘇省南京市2024?2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中學(xué)情調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．下列四組數(shù)據(jù)中，方差最小的是（

）A．5，5，5，5，5，5，5，5 B．4，4，4，5，5，5，6，6C．3，3，4，4，5，6，6，7 D．2，2，2，2，2，5，8，82．已知，則（

）A． B． C． D．3．直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．4．兩條漸近線互相垂直的雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．5．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．6．底面直徑與高相等的圓柱的體積為，則該圓柱的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)，若圓上任意一點(diǎn)都滿足，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．2 D．38．拋物線的準(zhǔn)線為l，M為上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到與到直線的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，記“第一枚硬幣正面朝上”為事件，“第二枚硬幣反面朝上”為事件，則（

）A． B．C．和是互斥事件 D．和是相互獨(dú)立事件10．在矩形ABCD中，.若，則（

）A．B．C．以CE為直徑的圓與直線BF相切D．直線AE與BF的交點(diǎn)在矩形ABCD的外接圓上11．已知橢圓，直線與交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)為上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．當(dāng)時(shí)， B．C．存在點(diǎn)，使得 D．三、填空題（本大題共3小題）12．若直線與垂直，則實(shí)數(shù).13．已知，則.14．歷史上最早系統(tǒng)研究圓錐曲線的是古希臘學(xué)者梅納庫莫斯，大約100年后，阿波羅尼斯更詳盡地研究了圓錐曲線，他的研究涉及圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，其中一條是：如圖（1），從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線交雙曲線右支于點(diǎn)，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．已知圖（2）中，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，直線平分，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，且.則當(dāng)反射光線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求；(2)若，求的面積.16．已知點(diǎn)在拋物線上，直線經(jīng)過點(diǎn)，且在軸上的截距為.(1)求的值和直線的方程；(2)記與的另一個(gè)交點(diǎn)為，求經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的方程.17．在四面體PABC中，M，N分別為PC，BC的中點(diǎn).

(1)證明:平面；(2)若平面，四面體PABC的體積為2，且，求MN與平面PAC所成角的正弦值.18．已知圓，圓，過點(diǎn)作圓的切線，切線的長為2．(1)求圓的方程；(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，且與圓交于A，B兩點(diǎn)，，①求的方程和的值；②若動(dòng)圓與圓外切，且與圓內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心到點(diǎn)距離的最小值.19．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，離心率為.(1)求的方程；(2)直線平行于直線AB，且與交于M，N兩點(diǎn)，①P，Q是直線AB上的兩點(diǎn)，滿足四邊形MNPQ為矩形，且該矩形的面積等于，求的方程；②當(dāng)直線AM，BN斜率存在時(shí)，分別將其記為，證明：為定值.

參考答案1．【答案】A【詳解】設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)，的平均數(shù)為，則方差為，方差反應(yīng)一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，方差越大，波動(dòng)性越大，反之也成立.對于A，這組數(shù)據(jù)都相等，沒有波動(dòng)，故方差為；對于B，這組數(shù)據(jù)分布比較均勻，波動(dòng)較小，故方差較小但大于；對于C，這組數(shù)據(jù)分布比較均勻，波動(dòng)較小，故方差較小但大于；對于D，這組數(shù)據(jù)波動(dòng)較大，故方差較大；故選：A.2．【答案】D【詳解】,故選：D.3．【答案】B【分析】根據(jù)直線斜率與傾斜角關(guān)系即可得到答案.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則直線斜率，因?yàn)?，則，故選：B.4．【答案】B【詳解】設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則漸近線的方程為，由兩條漸近線互相垂直，即，即，又雙曲線的離心率為，故選：B.5．【答案】C【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得，故選:C.6．【答案】B【詳解】

設(shè)圓柱的底面直徑與高為，則圓柱的體積為，解得，則外接球的直徑為，即圓柱的外接球的半徑為，則圓柱的外接球的表面積為，故選：B.7．【答案】C【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，則，整理得，，所以，故選:C.8．【答案】D【詳解】如圖，拋物線的焦點(diǎn)為,根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)到的距離等于,所以點(diǎn)到與到直線的距離之和即為與到直線的距離之和，由圖可知，與到直線的距離之和的最小值為焦點(diǎn)到直線的距離，所以即為所求，故選:D.9．【答案】AD【詳解】由題，樣本空間為{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，{（正，正），（正，反）}，{（正，反），（反，反）}，所以，A正確；{（正，反）}，所以，則B錯(cuò)誤，因?yàn)?，所以和不是互斥事件，C錯(cuò)誤，因?yàn)?所以，所以和是相互獨(dú)立事件，D正確.故選:AD.10．【答案】BCD【詳解】

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，建立平面直角坐標(biāo)系，則,對A，,所以不平行，A錯(cuò)誤；對B，,,所以，B正確；對C，的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以的直線方程為，化為一般式，則點(diǎn)到直線的距離為，又因?yàn)?所以,所以以CE為直徑的圓與直線BF相切，C正確；對D，因?yàn)?所以的直線方程為，聯(lián)立，解得，所以直線AE與BF的交點(diǎn)為，矩形ABCD的外接圓是以2,1為圓心，為半徑的圓，因?yàn)辄c(diǎn)到2,1的距離為，所以直線AE與BF的交點(diǎn)在矩形ABCD的外接圓上，D正確；故選:BCD.11．【答案】ABCD【詳解】設(shè)，則,所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，則，時(shí)，，代入，解得，此時(shí)，A正確；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，B正確；因?yàn)椋?所以,所以，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)為上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，所以存在點(diǎn)或時(shí)，使得，C正確；以下證明，若，則，,所以,所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，D正確；故選：ABCD.2.本題選項(xiàng)D需使用三角形面積的坐標(biāo)表示：若，則.12．【答案】【詳解】由直線與垂直，則，解得，故答案為：.13．【答案】/【詳解】因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，故答案為?14．【答案】9【詳解】延長交于點(diǎn)，因?yàn)橹本€平分，所以，所以，所以，由角平分線可知，為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則由中位線的性質(zhì)可得，，所以，所以.故答案為：9.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，邊化角可得，，即，又因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所?（2）由余弦定理，，所以，即，所以，所以的面積為.16．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以；因?yàn)橹本€在軸上的截距為，所以設(shè)，又因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，所以直線的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立，消去可得，，解得，，則，所以，設(shè)經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓的方程為，則有，解得，，所以圓方程為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）在中，是的中點(diǎn)，所以,又因?yàn)槠矫?平面,所以平面.（2）

因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，且四面體PABC的體積為2，所以，即，所以,所以,過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，則有，因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又因?yàn)槠矫妫云矫?，所以為MN與平面PAC所成角，因?yàn)槠矫?，所以，在中，由等面積法可知，，所以,則,,,所以即為MN與平面PAC所成角的正弦值.18．【答案】(1)(2)①或；②動(dòng)圓圓心到點(diǎn)距離的最小值為.【詳解】（1）

過點(diǎn)作圓的切線，設(shè)切點(diǎn)為,連接，因?yàn)?所以,所以圓.（2）顯然,直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，所以，解得，又因?yàn)?，整理得，，解得或，所以的方程為或；在中?所以.設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則由題意可得，,所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右半支，則有，所以雙曲線方程為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則有，所以，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，所以，此時(shí).19．【答案】(1)(2)①或.②,證明見解析.【詳解】（1）由