新高考數(shù)學二輪復習 易錯點10不等式（解析版）

易錯點10不等式易錯點1：線性規(guī)劃求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.易錯點2：基本不等式均值不等式SKIPIF1<0（當僅當a=b時取等號）注意：①一正二定三相等；②變形：SKIPIF1<0（當僅當a=b時取等號）易錯點3：絕對值不等式(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：①求零點；②劃區(qū)間、去絕對值號；③分別解去掉絕對值的不等式；④取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值．(2)用圖象法、數(shù)形結合可以求解含有絕對值的不等式，使得代數(shù)問題幾何化，既通俗易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法．易錯點4：柯西不等式(1)使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明．(2)利用柯西不等式求最值的一般結構為(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))(eq\f(1,a\o\al(2,1))＋eq\f(1,a\o\al(2,2))＋…＋eq\f(1,a\o\al(2,n)))≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應注意等號成立的條件．題組1線性規(guī)劃1．（2021浙江卷）若實數(shù)SKIPIF1<0滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）. A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】如圖，畫出可行域，顯然過點SKIPIF1<0時，取到最小值，即SKIPIF1<0，故選B．2．（2021年全國乙卷文）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足約束條件SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最小值為A．18B．10C．6D．4【答案】C【解析】由約束條件可得可行域如圖所示，當直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取最小值為6，故選C．3．（2021上海卷）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________．【答案】4【解析】畫出可行域易得最優(yōu)解為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<04.（2020?全國1卷）若x，y滿足約束條件SKIPIF1<0則z＝x＋7y的最大值為______【答案】1.【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：SKIPIF1<0，可得點A的坐標為：SKIPIF1<0，據此可知目標函數(shù)的最大值為：SKIPIF1<0.故答案為：1．題組2基本不等式5．（2021年全國乙卷文）下列函數(shù)最小值為4的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意可知A的最小值為3，B的等號成立條件不成立，D無最小值．6．（2020年新全國1山東）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】對于A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故A正確；對于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故C不正確；對于D，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故D正確；故選：ABD7.（2020年天津卷）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_____．【答案】4【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0＝4時取等號，結合SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0時，等號成立.故答案為：SKIPIF1<08.（2020年江蘇卷）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是_______．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時取等號.∴SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.題組3含絕對值不等式9.（2021年全國甲卷）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.畫出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖像.若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】見解析【解析】易知SKIPIF1<0則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的圖像為由（1）中的圖可知，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0左右平移SKIPIF1<0個單位得到的結果，向右平移不合題意，向左平移至SKIPIF1<0的右支過點曲線，SKIPIF1<0上的SKIPIF1<0點為臨界狀態(tài)，此時SKIPIF1<0右支的解析式為SKIPIF1<0，由點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若要滿足題意，則SKIPIF1<0要再向左平移，則SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<010.（2021年全國乙卷）已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）當SKIPIF1<0時，求不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0的解集；（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0.綜上，原不等式的解集為SKIPIF1<0.（2）若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0≥SKIPIF1<0SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0時，等號成立），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.11．（2020全國Ⅰ文理22）已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）畫出SKIPIF1<0的圖像；（2）求不等式SKIPIF1<0的解集．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，作出圖像，如圖所示：（2）將函數(shù)SKIPIF1<0的圖像向左平移SKIPIF1<0個單位，可得函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，如圖所示：由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴不等式的解集為SKIPIF1<0．12．（2020江蘇23）設SKIPIF1<0，解不等式SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴解集為SKIPIF1<0．題組4格西不等式13．（2021年浙江卷）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．記平面向量SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向上的投影分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【解析】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，取得等號）．14．（2019全國I文理23）已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc=1．證明：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析．【解析】（1）因為，又，故有，∴．（2）因為為正數(shù)且，故有=24．∴．1.下列不等式恒成立的是（）A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0【解析】B2．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則一定有A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由不等式性質知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<03．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．20 B．24 C．25 D．28【解析】由題意SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時等號成立．故選：C．4．若實數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足不等式組SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】如圖，繪出不等式組SKIPIF1<0表示的平面區(qū)域，然后通過平移直線SKIPIF1<0即可得出過點SKIPIF1<0時SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，無最大值，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0，故選：C.5．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是A．[–3,0]B．[–3,2]C．[0,2]D．[0,3]【解析】不等式組的可行域如圖，目標函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點SKIPIF1<0處取得最小值SKIPIF1<0.在點SKIPIF1<0處取得最大值SKIPIF1<0，選B．6.（多選題）已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，則（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】對于A，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故A正確；對于B，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故C不正確；對于D，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，故D正確；故選：ABD7.若SKIPIF1<0滿足約束條件SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為____________.【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分，將SKIPIF1<0化為SKIPIF1<0，則數(shù)形結合可得，當直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<08.設，，，則的最小值為__________.【解析】，，，

而.

由基本