專項(xiàng)04 切線的判定

專項(xiàng)04切線的判定類型一有切點(diǎn)，連半徑，證垂直1.(2023遼寧鐵嶺中考)如圖，AB是☉O的直徑，點(diǎn)C，E在☉O上，∠CAB=2∠EAB，點(diǎn)F在線段AB的延長線上，且∠AFE=∠ABC.(1)求證：EF與☉O相切；(2)若BF=1，sin∠AFE=45，2.(2022湖南衡陽中考)如圖，AB為☉O的直徑，過圓上一點(diǎn)D作☉O的切線CD交BA的延長線于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OE∥AD交直線CD于點(diǎn)E，連結(jié)BE.(1)直線BE與☉O相切嗎?并說明理由；(2)若CA=2，CD=4，求DE的長.類型二無切點(diǎn)，作垂直，證半徑3.(2022浙江臺州椒江一模)如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB與☉O相切于點(diǎn)D.求證：AC是☉O的切線.4.(2023廣西中考)如圖，PO平分∠APD，PA與☉O相切于點(diǎn)A，延長AO交PD于點(diǎn)C，過點(diǎn)O作OB⊥PD，垂足為B.(1)求證：PB是☉O的切線；(2)若☉O的半徑為4，OC=5，求PA的長.

專項(xiàng)04切線的判定答案全解全析1.解析(1)證明：如圖，連結(jié)OE，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE，∵∠CAB=2∠EAB，∴∠CAB=∠FOE，∵∠AFE=∠ABC，∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠AFE，∴∠ACB=∠OEF，∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠OEF=90°，即OE⊥EF，∵OE是☉O的半徑，∴EF是☉O的切線.(2)設(shè)半徑為r，即OE=OB=r，則OF=r+1，在Rt△EOF中，sin∠AFE=45=OEOF=rr+1，∴r=4，∴AB=2r=8，在Rt△ABC中，sin∠ABC=ACAB=sin∠AFE=45，∴AC=45×8=322.解析(1)直線BE與☉O相切.理由如下：如圖，連結(jié)OD，∵CD與☉O相切于點(diǎn)D，∴∠ODE=90°，∵AD∥OE，∴∠ADO=∠DOE，∠DAO=∠EOB，∵OD=OA，∴∠ADO=∠DAO，∴∠DOE=∠EOB，∵OD=OB，OE=OE，∴△DOE≌△BOE，∴∠OBE=∠ODE=90°，即OB⊥BE，∵OB是☉O的半徑，∴直線BE與☉O相切.(2)(解法1：構(gòu)建方程)設(shè)☉O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，∴r=3，∴AB=2r=6，∴BC=AC+AB=2+6=8，由(1)得△DOE≌△BOE，∴DE=BE，在Rt△BCE中，BC2+BE2=CE2，∴82+BE2=(4+DE)2，∴64+DE2=(4+DE)2，∴DE=6.(解法2：平行線分線段成比例定理)設(shè)☉O的半徑為r，在Rt△ODC中，OD2+DC2=OC2，∴r2+42=(r+2)2，∴r=3，∴OA=3，∵AD∥OE，∴CAAO=CD∴23=4DE3.證明如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連結(jié)OD，OA，∵AB與☉O相切于點(diǎn)D，∴AB⊥OD，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO是∠BAC的平分線，∴OE=OD，即OE是☉O的半徑，∵AC經(jīng)過☉O的半徑OE的外端點(diǎn)且垂直于OE，∴AC是☉O的切線.4.解析(1)證明：∵PA與☉O相切于點(diǎn)A，且OA是☉O的半徑，∴PA⊥OA，∵PO平分∠APD，OB⊥PD于點(diǎn)B，∴OB=OA，∴點(diǎn)B在☉O上，∵OB是☉O的半徑，且PB⊥OB，∴PB是☉O的切線.(2)∵OA=O