2020年高考考前最后一課-數(shù)學(xué)（正式版）

2020年高考考前最后一課.數(shù)學(xué)（正式版）

目錄

考前預(yù)測(cè)篇

【考前預(yù)測(cè)篇11熱點(diǎn)試題精做...................................................01

【考前預(yù)測(cè)篇2】命題專家押題....................................................18

命題猜慈篇

【高考命題猜想11與圓相關(guān)的最值...............................................24

【高考命題猜想2】幾何體與球切、接的問題.......................................30

【高考命題猜想31數(shù)列中的最值問題.............................................43

考前技巧篇

【考前技能篇1］高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)解題方法與策略.................................50

【考前技能篇2】高考數(shù)學(xué)三種題型的答題技巧.....................................56

【考前技能篇3］數(shù)學(xué)解答題的“偷分”技巧..........................................61

考前提醒篇

【考場(chǎng)注意篇11高考數(shù)學(xué)臨場(chǎng)解題策略...........................................64

【考場(chǎng)注意篇2】高考數(shù)學(xué)閱卷和答題卡的注意事項(xiàng).................................67

考后心理篇

【考后調(diào)整篇】高考考后那些事...................................................74

終極押題

2020年高考數(shù)學(xué)（理）終極押題卷（試卷）........................................81

2020年高考數(shù)學(xué)（文）終極押題卷（試卷）........................................86

2020年高考數(shù)學(xué)（理）終極押題卷（全解全析）....................................92

2020年高考數(shù)學(xué)（文）終極押題卷（全解全析）...................................102

考瑞披惻篇

【考前預(yù)測(cè)篇1］熱點(diǎn)試題精做

預(yù)測(cè)?21.【2020屆廣東省汕頭市金山中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試

?:題】已知集合4={0,1,2,3,4}6=和卜=h+eA,

??7?則A8等于

A.{1,3,5}B.{3}

C.{5,7,9}D.{1,3}

【答案】D

【解析】由題意可得:5={1,3,5,7,9},則A8={1,3}.故選D.

2.12020屆山西省大同市第一中學(xué)高三2月模擬(一)數(shù)學(xué)試題】已知命題p：L>,，命題

a4

ax2+ax+l>0,則。成立是成立的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】求解不等式上/得。<"4,

對(duì)于命題4,當(dāng)〃=0時(shí)，命題明顯成立;

a>0

當(dāng)〃w0時(shí)，有：<A=解得:0<〃<4,即命題0為真時(shí)0?。<4,

故，成立是4成立的充分不必要條件.故選:A.

3.【重慶市南開中學(xué)2020屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)/(%)對(duì)VxeR滿足

/(x+2)=/(—x),/(x+l)=/(x)-/(x+2),且/(%)>0,若/(1)=4,貝4/(?)甄()=

35

A.-B.2C.一D.4

42

【答案】A

【解析】因?yàn)?■(x+l)=/(x)"(x+2),/(x+2)=/(x+l)―/(x+3),又〃x)>0,

1

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍,不破樓蘭終不還.

故"，+3）=卡p

即/（x+6）=/（x）,所以函數(shù)的周期為6,

由已知可得當(dāng)x=0時(shí)，/（2）=/（0）,/（1）=/（0）-/（2）,又/（力＞0,

所以"2）="0）=2,并且/⑶=3"（4）=："⑸⑹=2,

113

所以/（2019）+/（2020）=〃3）+〃4）=5+Z="故選A-

”、e*+l

4.【2020屆河南省鶴壁市高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期模擬數(shù)學(xué)試題】函數(shù)/（乃=/一五（其中e為自然對(duì)數(shù)

x（^e-1J

的底數(shù)）的圖象大致為

【解析】由題意得函數(shù)八刈的定義域?yàn)椋?8,0）（0,+8）,可排除2、C,

?,、ex+11+elex+1，/、

?；/（-x）=T_n=_.=.（=.??函數(shù)/（尤）為偶函數(shù)，可排除選項(xiàng)A.

xIeLIx11eI%|e11

故選：D.

5.【湖北省武漢市部分學(xué)校2020屆高三上學(xué)期起點(diǎn)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題】已知a=41n3%人=31n4"，

c=4111^3,則a,b,。的大小關(guān)系是

A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c

【答案】B

【解析】對(duì)于。力的大?。篴=41n3"=ln34"=%ln81，0=31n4"=ln43"=；rln64，明顯a>。；

2

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

對(duì)于a，c的大?。簶?gòu)造函數(shù)f(x)=更，則/''(刈=匕坐，

XX

當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/'0)>0,/(幻在(0,6)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe(e,+oo)時(shí)，/'(x)<0,/(%)在(e,+co)上

單調(diào)遞減，

11Q

7T>3>e,:.f(7r)</(3),即^^<^—,二31n?<〃ln3,:.ln?3<山3",二<3":.a>c;

713

對(duì)于dC的大?。喝?3in4"=ln64"，c=41n^3=ln[(^)4]3,64^<[(^r)4]3，c>b,

故選：B.

6.【黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題】定義在R上的偶函數(shù)7'(x)滿

足了(%—1)=/。+1)，且當(dāng)尤e[—1,0]時(shí)，/(%)=/，函數(shù)g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)了>0時(shí)，

g(x)=1gx,則函數(shù)h(x)=/(x)-g(x)的零點(diǎn)的的個(gè)數(shù)是

A.9B.10C.11D.12

【答案】C

【解析】由于"X—l)=/(x+l),所以函數(shù)y=/(x)的周期為2,且函數(shù)丁=/(尤)為偶函數(shù)，

由〃(尤)=0,得出/(x)=g(x),問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/(%)與函數(shù)y=g(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函

數(shù)y=/(%)與函數(shù)y=g(x)的圖象如下圖所示，

由圖象可知，0W/(x)Wl,當(dāng)％>10時(shí),g(x)=lgx>l,

則函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)在(10,七?)上沒有交點(diǎn),

結(jié)合圖像可知，函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=g(x)圖象共有11個(gè)交點(diǎn)，故選C.

7.【黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題】如圖，是民航部門統(tǒng)計(jì)的某

年春運(yùn)期間12個(gè)城市出售的往返機(jī)票的平均價(jià)格以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表，根據(jù)圖表,

下面敘述不正確的是

3

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

12個(gè)■南?年往送機(jī)?平州馀一

I000M元

7.3OH

5.00M250元

230K

0H1W0元

W50M

-5.00H730元

-7.3OH

>10OOH.

"-■價(jià)格―?―??

A.深圳的變化幅度最小，北京的平均價(jià)格最高

B.深圳和廈門的平均價(jià)格同去年相比有所下降

C.平均價(jià)格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州

D.平均價(jià)格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門

【答案】D

【解析】由圖可知，選項(xiàng)A、8、C都正確，對(duì)于D,因?yàn)橐袛酀q幅從高到低，而不是判斷變化幅度,

所以錯(cuò)誤.故選D.

8.【山東省青島市2019屆高考模擬檢測(cè)(二模)數(shù)學(xué)試題】已知平面向量°,5的夾角為等，且卜|=3,

忖=2,則a.(a-26)=

A.3B.9C.12D.15

【答案】D

1

［解析］a-［a-lb^-a-2a-b-1?|"-2|tz|-|&|cos<a,b>-9-12x15,本題正確選項(xiàng)：D.

9.12020屆湖南省株洲市第二中學(xué)高三下學(xué)期線上自主測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試題】如圖，CD,助分別是邊長(zhǎng)為4

的等邊△ABC的中線，圓。是△ABC的內(nèi)切圓，線段03與圓。交于點(diǎn)尸.在八18。中隨機(jī)取一點(diǎn)，

則此點(diǎn)取自圖中陰影部分的概率是

4

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

A6兀R以「布兀不兀

?------------D?-?---------------\n-J,------------

541827108

【答案】A

【解析】在△50。中，NODB=90。，NOBD=30。,因?yàn)?所以

一2

OD=2tan30°=2叵，即圓。的半徑為冬8,由此可得圖中陰影部分的面積等于

33

gxyrxj竽j=g,△ABC的面積為4石，故所求概率P=祝充后=券.故選A.

10.［四川省宜賓市第四中學(xué)校2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)/(x)=J-ax,

X

xe(0,+s),當(dāng)9>Xi時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為

e

A.(-co,e]B.(-co,e)C.—00—D.

2一哈

【答案】D

【解析】xe(0,+QO),，%/(%)<x2f(%),即函數(shù)g(x)=W(x)=e*-ax?在xe(0,+oo)時(shí)是單調(diào)

增函數(shù).則g'(x)="-2ax20恒成立.2a<—.^m(x)=《，則m'(x)=

(X—上二xe(0,l)時(shí),

XXX

m^x)<。，根(%)單調(diào)遞減,xe(l,+oo)時(shí)mr(x)>0,根(%)單調(diào)遞增.

/.2a<m(%).=m(l)=G，Q<"I".故選:D.

11.【2020屆遼寧省大連市第二十四中學(xué)高三4月模擬考試數(shù)學(xué)試題】如圖所示，邊長(zhǎng)為。的空間四邊形

A8CQ中，ZBCD=90°,平面A3。，平面BCD則異面直線與5C所成角的大小為

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

5

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍,不破樓蘭終不還.

【解析】由題意得8C=C。=a,ZBCD=9Q°,:.BD=插入-\ZBAD=9Q0,

取8。中點(diǎn)O,連結(jié)AO,CO,'：AB=BC=CD=DA=a,J.AOLBD,CO±BD,S.AO=BO=OD=

OC=Y￡￡,又：平面A3。_L平面BCD,平面Agon平面BC￡）=2￡）,AOLBD,，AO_L平面BCD,

2

延長(zhǎng)CO至點(diǎn)E,使CO=OE,連結(jié)E。，EA,EB,則四邊形BCDE為正方形，即有BC〃DE,

/.ZADE（或其補(bǔ)角）即為異面直線AD與BC所成角，

由題意得AE=a,瓦＞=a,.?.△AEZ）為正三角形，.?./AZ）E=6C）。，.?.異面直線AD與BC所成角的大

小為60。.故選C.

22

12.【2020屆湖北名師聯(lián)盟高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題】設(shè)尸為雙曲線E：二—二=1（。力〉0）

ab

的右焦點(diǎn)，過E的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與E的漸近線相交于A,8兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形。4月3

為菱形，圓V+y2=c2卜2=￡+人2）與E在第一象限的交點(diǎn)是p,且|PF|=J7—1,則雙曲線E的

方程是

222222

2

A.2L_r=1B,2L_r=1c,±-y2=lD.X-^=1

622633

【答案】D

r2y2b

【解析】由題意，雙曲線及0—%=1的漸近線方程為y=±,x,

由過E的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與E的漸近線相交于A,2兩點(diǎn)，且四邊形。4/咽為菱形，則對(duì)角線互

相平分，所以C=2a,-=73,所以結(jié)合選項(xiàng)可知，只有。滿足，

a

（22

土-上=1萬3

由，a2b2，解得了從=---a，yA=~a,

x2+y2=c2=4a222

6

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍,不破樓蘭終不還.

因?yàn)閨PF|=S'-1,所以（業(yè)a—2a）2+（，）2=（?—1）2,解得a=l，則b=JL

故雙曲線方程為x2-二=1,故選D.

3

13.【山西省臨汾市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練（二）數(shù)學(xué)試題】在平面直角坐標(biāo)系xOy

中，產(chǎn)是拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)，/在C上，直線與x軸平行且交y軸于點(diǎn)N.若NONM的角

平分線恰好過的中點(diǎn)，貝U眼目=

A.1B.72C.2D.4

【答案】C

【解析】由題知焦點(diǎn)尸。,0）,設(shè)九田的中點(diǎn)為P,過p作y軸的垂線，垂足為Q,設(shè)則由

拋物線定義可知：=t—=歸口=；（|“叫+［0同）=；,又樣為/0自拉的角平分線，

所以［NP］=t,在△Mf1中，由余弦定理得：［；］=—1）2+j—2（f—1）Zcos45,

解得：t=2,所以I"同=2.故選：C.

14.【湖北省武漢市部分學(xué)校2020屆高三上學(xué)期起點(diǎn)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題】若直線、=辰+6是曲線y=lnx

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

的切線，也是曲線y=e￡-2的切線，則左=.

【答案】1或2

e

【解析】設(shè)>=履+。與y=lnx和y=e"2的切點(diǎn)分別為(%，--，(/，足々)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可

得左=J,曲線在y=，-2在點(diǎn)處的切線方程為y—--2=e』-2(x—再)，即

A|-212

y=ex+(l-x1)e-'-,曲線y=lnx在點(diǎn)(々，比％)處的切線方程為V-也々(x-x2),即

X2

1eX1~2=-］

丁=-x+Inx2-1,則<x2,解得％2=1，或々=e,所以左二1或一.

2=ln%2-1e

15.【2020屆陜西省興平市高三上學(xué)期第一次模擬考試】若函數(shù)/(X)=2sin(5+0)(G>O,O<0<7)

的圖像經(jīng)過點(diǎn)］彳,2］,且相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為5，則/的值為.

【答案】V3

TT177-2冗27r

【解析】由相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為一，所以一T=—，即7=萬，所以。=—=——=2,又函數(shù)

222T71

/(%)=25皿。%+0)(0>0,0<0<%)的圖像經(jīng)過點(diǎn)]彳,2],所以2511112*2+9]=2,則

/TT",)/

—+(p=—+lk7i(keZ),即0=不+2左〃(左eZ),又因?yàn)椤?lt;。<萬,所以當(dāng)左=0時(shí),°=石■，故

/(￡)=251《2》+￡；所以/[?]=251《2*(+個(gè)]=25皿|^=6,故答案為：6

2v(x2+zn),0<x<1

16.12019屆湖南省湘潭市高三第三次模擬數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)/(x)=''若在區(qū)

2x+I-x2-m,-l<x<0

間［-LU上方程/(x)=l只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

【答案】［〃2|-1<〃2<-3或加=1}

8

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

【解析】當(dāng)OWxWl時(shí)，由/。)=1,得2［必+m)=1,即=%2+m；當(dāng)一1<l<0時(shí)，由

|flT0<x<l

/(x)=E得2*—/—m=1，即2，+i—1=必+%令函數(shù)8(乃=(2卜一一，則問題轉(zhuǎn)化

2x+I-l,-l<x<0

|flYo<x<l

為函數(shù)g(x)='一"與函數(shù)/處=必+根的圖像在區(qū)間［-1,1］上有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

2x+1-l,-l<x<0

在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g(x)=<［2］'0<X<1與y+m在區(qū)間函數(shù)上的大

2%+1-l,-l<x<0

致圖象如下圖所示：

結(jié)合圖象可知：當(dāng)公。)=1,即機(jī)=1時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；

f〃⑴<g⑴，1

當(dāng)41<——時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象也只有一個(gè)交點(diǎn)，故所求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是

\-\<m<-g或加=ij.

17.【2020屆湖南省郴州市高三下學(xué)期第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題】已知在三棱錐A-BCD中，AB=6,

AD=2A/6>CB=CD=2A/10?BD=2A/15.且平面ABD_L平面BCD，則三棱錐A-BCD外接球

的表面積為?

【答案】64兀

【解析】=AE)2+AB2,AA3D是以為斜邊的直角三角形，

9

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還。

故AADB的外心為斜邊的中點(diǎn)M，設(shè)ADBC的外心為。，

過M作面AD3的垂線，過。作面5。。的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心.

:面A3。，面。BC,二。即為球心，△0BC的外接圓半徑即為球半徑H，

由題，得等腰三角形。5c底邊上的高為〃=回=1?=5,

/.(h-R)2+15^R2,解得火=4，

則三棱錐A—BCD外接球的表面積為5=4萬尺2=64萬.故答案為：647r

18.[2019-2020屆寧夏銀川唐徐回民中學(xué)高三上學(xué)期月考】在ZkABC中，角A,5c的對(duì)邊分別是a,b,c,

設(shè)S為ZkABC的面積，且滿足5=火(/+02一〃)，若b=6則3=

取值范圍是.

【答案】2(3-6,2血]

則sin3=6/+Lf一McosB,即tan5=6，即3=f；

2ac3

nch

由正弦定理-----=-----=-----,貝ijQ=2sinA,c=2sinC,

sinAsinCsinB

則(V^-l)a+2c=2(6—1卜inA+4sinC=-ijsinA+4sin(-^--A)=

2'\/§(sinA+cosA)=2"\Z^sin(A+?),又Ae,則人十]《'

則2nsin(A+^)e(3-A2#],即(6—l)a+2c的取值范圍是(3—6,2遙],

故答案為：(3-V3,2A/6].

19.12020屆寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題】已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為

10

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

Sn,%+4=82,5,41—S9.

(1)求數(shù)列｛%J的通項(xiàng)公式;

(2)求S”的最大值.

【解析】(1)由題，因?yàn)榈炔顢?shù)列{%},4+。8=82,所以26+8d=82

4]x409x8

又5*41=Sg,所以S41—Sg—41。]H-----——d—(9〃]H———d)—0,

解得囚=49,d=-2

所以a“=%+(n-l)d-51-2n

(2)由(1)可得：S"="J；/)=_"2+50“=_25)2+625,

可得當(dāng)?=25時(shí)，Sn取最大值為625.

20.【2020屆湖南省衡陽市高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題】已知A3C的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊

分別為。、b、c,>asin(A+C)=Z?sinfA+y1.

(1)求角A的大小;

(2)若三邊〃，a,c的長(zhǎng)成等比數(shù)列，△ABC的面積為有，求"c的長(zhǎng).

【解析】(1)asin(A+C)=bsin[A+g)=>asinB=Z?sin(A+y711=>sinA=sinfA+y711,

33

sinA=逝cosA=>tanA=6，

_..7C

,?*0<A<7T,**?A=—.

3

(2)由△ABC的面積為不得Z?c=4,又M=兒=4,：.a=2,

由余弦定理知：a2=b2+c2—2Z?ccos—/.b2+c2=8，

3

22

(b-c)2=b+c-2bc=0=>b=c,

所以力=c=2.

21.【廣東省江門市2019-2020學(xué)年高三下學(xué)期4月模擬數(shù)學(xué)試題】如圖，四棱錐。-A3CQ的底面是邊長(zhǎng)

11

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還?

為1的菱形，。4=2,ZABC=60°,OAmABCD,M、N分別是。4、8C的中點(diǎn).

（1）求證：直線朋rN〃平面OCZ）；

（2）求點(diǎn)M到平面OCD的距離.

【解析】（1）證明：取。。的中點(diǎn)尸，連接尸C、PM,

'：M,N分別是。4、BC的中點(diǎn)，...PA/〃A。，且NC//AD,且NC=^A。,

22

C.PM//NC,且PM=NC,則PMNC是平行四邊形，得MN〃PC,

：PCu平面OCD,MNC平面OCD,

直線MN〃平面OCD；

（2）解：連接ON、ND,設(shè)點(diǎn)M到平面OCZ）的距離為d,

由（1）得，點(diǎn)N到平面OCD的距離為d,

設(shè)三棱錐。-CDN的體積為匕則V=g*=^xSOCDxd,

依題意，S^-xCDxCNxsin^BCD=—,

CrnDNN28

\'AC=AD=CD=1,：.OC=OD=小,則S

由J_x走x2=^x邊9xd，得點(diǎn)M到平面。8的距離d=巨.

383419

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍,不破樓蘭終不還.

22.【東北三省三校(遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)、東北師大附中、哈師大附中)2019屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題】

如圖四棱錐P-A6CD中，外，底面48。。，41。。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且/止=8。=，5,

24=2,點(diǎn)M是棱PC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：平面PAC_L平面PBD；

(2)當(dāng)線段MB最小時(shí)，求直線MB與平面PBD所成角的正弦值.

【解析】(1)證明：；底面ABCD，9匚底面人^⑦…：/力,瓦).

取AC的中點(diǎn)。，連接03,8,

???△ACD是等邊三角形，AB=BC,

：.ACA.OB,ACLOD,

.?.點(diǎn)0,5,Q共線，從而得ACLB。，

又上4AC=A,

3D，平面PAC,

,/瓦)<=平面尸3￡),

，平面PAC_L平面PBD.

(2)解：取CP中點(diǎn)E，連接0E,則OE〃9，

EO，底面ABCD,：.OC,OD,OE兩兩垂直.

以。為原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系。盯z,則3(0,-1,0),。(1,0,0),。(0,君,0),。(-1,0,2),

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

=（0,73+1,0）,^=（-1,1,2）,

n-BD=（43+l\y=0fy=0

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z),由，\'，得1c

nBP=-x+y+2z=Q[x=2z

令z=l，得〃=（2,0,1）.

設(shè)Of=4CP（0V；lVl）,則5M=5C+OW=（1—241,22）,

I-------------------------I~

\BM\=J（1R+f+（22）2mJ+2'

當(dāng);i=_L時(shí)，有最小值，且忸M,此時(shí)5M=R,i，

411IImin2122

設(shè)直線MB與平面PBD所成角為3，

1+1l

.Ii\BM-n\1+V30

mi]sina6=\cos<BM,n>\=------=-廣2—=---

11\BM\\n\『xT?10

?,?直線MB與平面PBD所成角的正弦值為-一.

10

23.【甘肅省白銀市會(huì)寧縣第一中學(xué)2019-2020學(xué)年高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題】已知函數(shù)

/(x)=4Z|lnx+—|--^y(x＞0).

IX)X

⑴若函數(shù)/(可在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)%，%(再＜%2)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，求證：玉+々＜21114.

12)產(chǎn)(％-2)

【解析】⑴/'(%)=〃（0<x<2）

xX2X3

（2-x）（ex-tzx

x3

由題可知再，/是y=e”-依在(0,2)上的兩個(gè)零點(diǎn)

令/z（x）=e*-<xr（0<x<2）

hf^x）=ex-a

14

龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

0<x<2,l<ex<e2

①若〃<1,"(x)>0,Mx)在(0,2)上遞增，至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意

②若[2/,〃(力<0,可可在(0,2)上遞減，至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意

③若1<QV/,/z(x)在(0,Ina)遞減,(Ina,2)遞增，

ffij/z(0)=l>0,h(2^=e2-2a,"向口二人(山。)=々(1_m。)

l<a<e2

/\e1

「.<a(1—Ina)<0=>?<〃<一.

e2-2a>02

(2)由(1)知0<演<lna<%2<2

e1

e<a<—,...l<lnQ<2—In2

2

要證玉+W<21no,只需證芯<21na-%2

-2V-X2<—Inci

21na-%2￡(21na-2,lna)o(0,Ind)又因?yàn)橛馿(0,Ina)

而/z(x)在(0,Ina)遞減從而只需證/z(x1)>/z(21n(7-x2),又h(xi)=h[x2)

「?只需證人(％2)>力(21n〃一%2)，x2GQna,2)

令F(x)=h(x)~h(2Ina-x),XG(Ina,2)

r2taflx

F\x)=(e-A)-(e-'-fl)x(-1)=/+a-e--2a>2必—2a=0

斤(x)為(Ina,2)遞增

F(x)>F(lna)=0,即有/z(x)>//(21na-x)

+x2<2Ina.

24.【2020屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三上學(xué)期月考試卷(一)數(shù)學(xué)試題】從拋物線V=36%上任意一點(diǎn)

尸向無軸作垂線段，垂足為。，點(diǎn)M是線段PQ上的一點(diǎn)，且滿足PM=2MQ.

(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程；

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龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還?

（2）設(shè)直線x=9y+10neR）與軌跡c交于48兩點(diǎn)，T為C上異于A8的任意一點(diǎn)，直線AT,

分別與直線x=-1交于DE兩點(diǎn)，以O(shè)E為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出符合

條件的定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

【解析】（1）設(shè)/（尤,y）,。（不，為），則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（九o，°）?

x=x,

因?yàn)镻M=2MQ,所以（》-而,》-%）=2（%-%,-》），即＜0

,o=3y.

因?yàn)辄c(diǎn)尸在拋物線/=36%上，所以y=36%，即（3y）2=36x.

所以點(diǎn)〃的軌跡C的方程為/=4%.

（2）

（2）解法1：設(shè)直線x=my+l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為Aq，乂，B號(hào)，％，

I47I什7

x=my+l,,

由＜21z#y~-4my-4=0.

〔y=4x,

由韋達(dá)定理得弘+y2=4m,%%=-4.

（2Ak=X-%=4

設(shè)點(diǎn)T+，為，則”yL_y^%+%?

I4）

44

4(2、

所以直線AT的方程為y-%=-----I--X--—4J

令x=—1,得點(diǎn)。的坐標(biāo)為-1,也二

I%+yJ

同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為-4

I%+%）

如果以DE為直徑的圓過x軸某一定點(diǎn)N（w,（））,則滿足ND?NE=O.

%%-4="+”)2?%為1；-4%(%+%)+16

因?yàn)镹D?NE=-l-n,y°y'~?--h

%+K)I

所以+―4*T6my°+"=0,即(1+“『一4=0,解得〃=1或〃=—3.

%+4加%—4

故以O(shè)E為直徑的圓過x軸上的定點(diǎn)（1,0）和（—3,0）.

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龍門魚躍戰(zhàn)難關(guān)，黃沙百戰(zhàn)穿金甲，

壯志凌云礪寶劍，不破樓蘭終不還.

解法2：直線x=l與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A(l,2),9(1,—2),

若取T'(O,O),則AT',37,與直線x=—1的交點(diǎn)坐標(biāo)為。'(—L—2),￡'(—1,2),

所以以。'石'為直徑的圓的方程為(％++/=4.

該圓與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)和(—3,0).

所以符合題意的定點(diǎn)只能是N](1,0)或?(—3,0).

設(shè)直線％=沖+1與曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為A3,x，B號(hào),%，

I4JI4

,[x=my+l,z,

由《2得_4my-4=0.

〔y=4x,

由韋達(dá)定理得%+%=4瓶,%%=-4

小、女二Wo=4

設(shè)點(diǎn)T十為，貝K寸為+%?

14JT-T

./2、

所以直線AT的方程為y—%=---------x—4.

%%I4)

令x=—1,得點(diǎn)。的坐標(biāo)為-1,.?一.

I%+yJ

同理可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為T%%一.

若點(diǎn)N(l,o)滿足要求，則滿足N]D?N]E=0.

因?yàn)镹Q?NiE=一2,%)-4?-華―4