新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)大題優(yōu)練12 導(dǎo)數(shù)研究根的個數(shù)問題（教師版）

導(dǎo)數(shù)研究根的個數(shù)問題導(dǎo)數(shù)研究根的個數(shù)問題大題優(yōu)練12優(yōu)選例題優(yōu)選例題例1．已知函數(shù)SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）．（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點，求SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．（2）令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的切線，設(shè)切點為SKIPIF1<0，則切線斜率SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切線斜率SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0有兩個零點，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個不同的交點，如下圖所示：由圖象可知：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有兩個不同的交點，即若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．例2．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個零點，求m的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；②若SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在R上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．（2）由題意知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個零點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個零點；②若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個零點，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．把SKIPIF1<0代入上式可知SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．綜上，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且只有一個零點．例3．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，一次函數(shù)SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的表達(dá)式；（2）討論關(guān)于x的方程SKIPIF1<0解的個數(shù)．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）見解析．【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0，可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0取得最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上SKIPIF1<0．（2）由方程SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又由SKIPIF1<0，所以此時函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個零點，即方程只有一個零點；②當(dāng)SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．（i）當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0單調(diào)遞增，又由SKIPIF1<0，所以此時函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上只有一個零點，即方程只有一個零點；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，此時SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0有兩解，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0取得極大值SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0取得極小值SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一的解．因為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有一根，所以可得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有三根，綜上可得，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0恰有一根；當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0恰有三根．

模擬優(yōu)練模擬優(yōu)練1．已知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值．（1）求實數(shù)SKIPIF1<0的值；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有零點，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．經(jīng)驗證SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極值．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0極值點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)的取值列表如下：SKIPIF1<00SKIPIF1<01SKIPIF1<02SKIPIF1<0/-0+/SKIPIF1<0SKIPIF1<0極小值SKIPIF1<0SKIPIF1<0由此可得，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)有零點，只需SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．2．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不同的解，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以切線SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積SKIPIF1<0．（2）方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以分離參數(shù)得SKIPIF1<0．記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，而SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且僅有一個零點SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意，原方程在SKIPIF1<0上有兩個不同的解，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不同的解，即直線SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象有兩個不同的交點，數(shù)形結(jié)合可得實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．3．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；（2）設(shè)SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)t的取值范圍．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）由題意，函數(shù)定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所求切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個不同的零點，等價于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個不同的實根，等價于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恰有兩個不同的實根，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．4．已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．（1）若SKIPIF1<0存在唯一極值點，且極值為0，求SKIPIF1<0的值；（2）討論SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點個數(shù)．【答案】（1）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（2）答案見解析．【解析】（1）由已知，可得SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，與SKIPIF1<0存在極值點矛盾；②若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0存在唯一極小值點SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（i）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴由零點存在性定理，知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個零點；②當(dāng)SKIPIF1<0時，∵當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0．（i）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個零點；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無零點；（iii）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（a）當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個零點；（b）當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個零點；③當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個零點，綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上無零點；當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有1個零點；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2個零點．5．已知函數(shù)SKIPIF1<0．（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的零點的個數(shù)．（附：對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．）【答案】（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；（2）存在三個零點．【解析】（1）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；②當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF