2025高考數(shù)學專項復(fù)習第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第1節(jié) 兩個計數(shù)原理、排列與組合含答案

2025高考數(shù)學專項復(fù)習第十一章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第一節(jié)兩個計數(shù)原理、排列與組合課標解讀考向預(yù)測1.了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義.2.會用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際問題.3.理解排列、組合的概念；能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.4.能利用排列組合解決簡單的實際問題.在近幾年的高考中，排列與組合考查的頻率較高，常以社會熱點問題為背景，考查考生利用排列組合知識解決問題的能力．預(yù)計2025年高考將會以小題形式單獨考查排列與組合的應(yīng)用問題或與統(tǒng)計概率綜合命題.必備知識——強基礎(chǔ)1．兩個計數(shù)原理(1)分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(01))m＋n種不同的方法．(2)分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝eq\x(\s\up1(02))m×n種不同的方法．2．排列與組合(1)排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素并按照eq\x(\s\up1(03))一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列組合作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(2)排列數(shù)與組合數(shù)①從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有eq\x(\s\up1(04))不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號eq\x(\s\up1(05))Aeq\o\al(m,n)表示．②從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有eq\x(\s\up1(06))不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號eq\x(\s\up1(07))Ceq\o\al(m,n)表示．(3)排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝eq\x(\s\up1(08))n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\x(\s\up1(09))eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n)．特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。絜q\x(\s\up1(10))1；Aeq\o\al(n,n)＝eq\x(\s\up1(11))n?。?2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n)＝eq\x(\s\up1(12))Ceq\o\al(m－1,n－1)＋Ceq\o\al(m,n－1)1．排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)?。璶?。絥·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2．解決排列與組合問題的四大原則(1)特殊優(yōu)先原則：如果問題中有特殊元素或特殊位置，優(yōu)先考慮這些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原則：在既有取出又需要對取出的元素進行排列時，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再進行排列．(3)正難則反原則：當直接求解困難時，采用間接法解決問題．(4)先分組后分配原則：在分配問題中如果被分配的元素多于位置，這時要先進行分組，再進行分配．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成這件事．()(3)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．()(4)若組合數(shù)公式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)某同學逛書店，發(fā)現(xiàn)3本喜歡的書，決定至少買其中的一本，則購買方案有()A．3種 B．6種C．7種 D．9種答案C解析買一本，有3種方案；買兩本，有3種方案；買三本，有1種方案．因此共有3＋3＋1＝7種方案．(2)(人教A選擇性必修第三冊習題6.2T4(2)改編)現(xiàn)從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態(tài)和環(huán)保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數(shù)是()A．20 B．90C．120 D．240答案C解析共有Aeq\o\al(3,6)＝120種不同的選派方案．(3)(人教A選擇性必修第三冊習題6.1T8(2)改編)3個班分別從5處風景點中選擇一處游覽，不同的選法有________種．答案125解析因為第1個班有5種選法，第2個班有5種選法，第3個班有5種選法，所以由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的選法有5×5×5＝125種．(4)(人教A選擇性必修第三冊習題6.2T13改編)某醫(yī)院計劃從3名醫(yī)生和4名護士中任選3人去外地培訓，則至少有1名醫(yī)生被選中的選法共有________種．答案31解析至少有1名醫(yī)生被選中的選法共有Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(3,4)＝31種．考點探究——提素養(yǎng)考點一兩個計數(shù)原理例1(1)若m，n∈N，m>0，n>0，且m＋n≤8，則平面上的點(m，n)共有()A．21個 B．20個C．28個 D．30個答案C解析根據(jù)題意，m可取的值為1，2，3，4，5，6，7，當m＝1時，n可取的值為1，2，3，4，5，6，7，共7種；當m＝2時，n可取的值為1，2，3，4，5，6，共6種；當m＝3時，n可取的值為1，2，3，4，5，共5種；當m＝4時，n可取的值為1，2，3，4，共4種；當m＝5時，n可取的值為1，2，3，共3種；當m＝6時，n可取的值為1，2，共2種；當m＝7時，n可取的值為1，共1種．則平面上的點(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28個．(2)有六名同學報名參加三個智力競賽項目，每項限報一人，且每人至多參加一項，則共有________種不同的報名方法．答案120解析因為每項限報一人，且每人至多參加一項，因此可由項目選人，第一個項目有6種選法，第二個項目有5種選法，第三個項目有4種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×5×4＝120種不同的報名方法．(3)用0，1，2，3，4，5，6這7個數(shù)字可以組成________個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)(用數(shù)字作答)．答案420解析要完成的“一件事”為“組成無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)”，所以千位數(shù)字不能為0，個位數(shù)字必須是偶數(shù)，且組成的四位數(shù)中四個數(shù)字不重復(fù)，因此應(yīng)先分類，再分步．第一類，當千位數(shù)字為奇數(shù)，即取1，3，5中的任意一個時，個位數(shù)字可取0，2，4，6中的任意一個，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3×4×5×4＝240種取法；第二類，當千位數(shù)字為偶數(shù)，即取2，4，6中的任意一個時，個位數(shù)字可以取除首位數(shù)字的任意一個偶數(shù)，百位數(shù)字不能取與這兩個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字，十位數(shù)字不能取與這三個數(shù)字重復(fù)的數(shù)字．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，有3×3×5×4＝180種取法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共可以組成240＋180＝420個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)．(4)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”共有________個．答案36解析在正方體中，每一個表面有四條棱與之垂直，六個表面，共構(gòu)成6×4＝24個“正交線面對”；而正方體的六個對角面中，每個對角面有兩條面對角線與之垂直，共構(gòu)成6×2＝12個“正交線面對”，所以共有24＋12＝36個“正交線面對”．(5)如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案共有________種．答案720解析解法一：依題意，分五步進行．第一步，涂湖北有5種方法；第二步，涂江西有4種方法；第三步，涂安徽有3種方法；第四步，涂湖南有3種方法；第五步，涂陜西有4種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的涂色方案共有5×4×3×3×4＝720種．解法二：依題意，按安徽與陜西涂的顏色相同和不同分成兩類：若安徽與陜西涂同色，先涂陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有1種方法，涂江西有3種方法，最后涂湖南有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂色方案有5×4×1×3×3＝180種；若安徽與陜西涂不同色，先涂陜西有5種方法，再涂湖北有4種方法，涂安徽有3種方法，涂江西、湖南也各有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理得，不同的涂色方案有5×4×3×3×3＝540種．所以由分類加法計數(shù)原理得，不同的涂色方案共有180＋540＝720種．【通性通法】利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么；(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類；(3)弄清分步、分類的標準是什么；(4)利用兩個計數(shù)原理求解．【鞏固遷移】1．設(shè)I＝{1，2，3，4}，A與B是I的子集，若A∩B＝{1，2}，則稱(A，B)為一個“理想配集”．若將(A，B)與(B，A)看成不同的“理想配集”，則符合此條件的“理想配集”有________個．答案9解析對子集A分類討論：當A是二元集{1，2}時，B可以為{1，2，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，{1，2}，共4種情況；當A是三元集{1，2，3}時，B可以為{1，2，4}，{1，2}，共2種情況；當A是三元集{1，2，4}時，B可以為{1，2，3}，{1，2}，共2種情況；當A是四元集{1，2，3，4}時，B取{1，2}，有1種情況．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有4＋2＋2＋1＝9種結(jié)果，即符合此條件的“理想配集”有9個．2．如果一個三位正整數(shù)形如“a1a2a3”滿足a1＜a2，且a2＞a3，則稱這樣的三位數(shù)為凸數(shù)(如120，343，275等)，那么所有凸數(shù)的個數(shù)為________．答案240解析若a2＝2，則百位數(shù)字只能選1，個位數(shù)字可選1或0，凸數(shù)為120與121，共2個；若a2＝3，則百位數(shù)字有兩種選擇，個位數(shù)字有三種選擇，則凸數(shù)有2×3＝6個；若a2＝4，滿足條件的凸數(shù)有3×4＝12個；…；若a2＝9，滿足條件的凸數(shù)有8×9＝72個．所以所有凸數(shù)的個數(shù)為2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240.3.現(xiàn)要將5種不同的花卉種植在如圖所示的5個區(qū)域上，要求相鄰的區(qū)域不能種植同一種花卉，則不同的種植方法有________種．答案420解析由題意，可以種植相同花卉的區(qū)域為2，4和3，5.若都不相同，則有5×4×3×2×1＝120種；若只有2，4相同，則有5×4×3×2＝120種；若只有3，5相同，則有5×4×3×2＝120種；若2，4與3，5分別相同，則有5×4×3＝60種．由分類加法計數(shù)原理知，共有120＋120＋120＋60＝420種不同的種植方法．考點二排列問題例2(1)中國國家滑雪隊將開展自由式滑雪項目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型場地技巧四個項目表演，現(xiàn)安排兩名男隊員和兩名女隊員組隊參演，參演選手每人展示其中一個不同的項目，雪上技巧項目必須由女隊員展示，則所有不同出場順序與項目展示方案種數(shù)為()A．576 B．288C．144 D．48答案B解析根據(jù)題意，雪上技巧項目必須由女隊員展示，有2種情況，剩下3人表演其他3個項目，有Aeq\o\al(3,3)＝6種情況，而4個項目之間的排法有Aeq\o\al(4,4)＝24種順序，則有2×6×24＝288種展示方案．(2)用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可以組成________個無重復(fù)數(shù)字且不大于4310的四位偶數(shù)．答案110解析①當千位上排1或3時，符合題意的數(shù)共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)個；②當千位上排2時，符合題意的數(shù)共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)個；③當千位上排4時，形如40××，42××的偶數(shù)各有Aeq\o\al(1,3)個符合題意，形如41××的偶數(shù)有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)個符合題意，形如43××的偶數(shù)只有4310和4302這兩個數(shù)符合題意．故共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)＋2＝110個數(shù)符合題意．【通性通法】求解排列問題的四種常用方法【鞏固遷移】4．從3，5，7，11這四個質(zhì)數(shù)中，每次取出兩個不同的數(shù)，分別記為a，b，則共可得到eq\f(a,b)的不同值的個數(shù)為()A．6 B．8C．12 D．16答案C解析eq\f(a,b)的值的個數(shù)即為從3，5，7，11這四個數(shù)中任選2個數(shù)的排列數(shù)，即Aeq\o\al(2,4)＝4×3＝12.考點三組合問題例3某市工商局對35種商品進行抽樣檢查，已知其中有15種假貨．現(xiàn)從35種商品中選取3種．(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34種商品中選取2種有Ceq\o\al(2,34)＝561種，所以某一種假貨必須在內(nèi)的不同的取法有561種．(2)從34種可選商品中選取3種有Ceq\o\al(3,34)＝5984種，所以某一種假貨不能在內(nèi)的不同的取法有5984種．(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100種，所以恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種．(4)選取2種假貨有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3種假貨有Ceq\o\al(3,15)種，共有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555種，所以至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種．(5)從35種商品中選取3種有Ceq\o\al(3,35)種，選取3種假貨有Ceq\o\al(3,15)種，因此共有Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090種．所以至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種．【通性通法】組合問題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取．(2)“至少”或“至多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．【鞏固遷移】5．(2023·新課標Ⅰ卷)某學校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有________種(用數(shù)字作答)．答案64解析由題意，可分三類：第一類，體育類選修課和藝術(shù)類選修課各選修1門，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)種方案；第二類，在體育類選修課中選修1門，在藝術(shù)類選修課中選修2門，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)種方案；第三類，在體育類選修課中選修2門，在藝術(shù)類選修課中選修1門，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)種方案．綜上，不同的選課方案共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝64種．考點四排列、組合問題的綜合應(yīng)用(多考向探究)考向1相鄰、不相鄰問題例4某中學為了弘揚我國二十四節(jié)氣文化，特制作出“立春”“驚蟄”“雨水”“春分”“清明”“谷雨”六張知識展板分別放置在六個并排的文化櫥窗里，要求“立春”和“春分”兩塊展板相鄰，且“清明”與“驚蟄”兩塊展板不相鄰，則不同的放置方式種數(shù)為()A．24 B．48C．144 D．244答案C解析根據(jù)題意，先將“立春”和“春分”兩塊展板捆綁在一起，與“雨水”“谷雨”排列，有4個空，然后“清明”與“驚蟄”去插空，所以不同的放置方式有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)＝144種．【通性通法】相鄰與不相鄰問題的解決方法(1)“相鄰”問題：元素相鄰問題，一般用“捆綁法”，先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個元素內(nèi)部全排列．(2)“不相鄰”問題：元素不相鄰問題，一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素．【鞏固遷移】6．三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法總數(shù)是()A．72 B．144C．240 D．288答案D解析首先，選一對夫妻使之相鄰，捆綁在一起看作一個復(fù)合元素A，這對夫妻有2種排法，故有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種排法，則現(xiàn)在共有5個位置，若這對夫妻在左數(shù)第一個位置，共有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝8種情況，若這對夫妻在左數(shù)第二個位置，則共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,2)＝8種情況，若這對夫妻在中間位置共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝16種情況，左數(shù)第四個和第二個情況一樣，第五個和第一個情況一樣，所以三對夫妻站成一排照相，則僅有一對夫妻相鄰的站法有6×(2×8＋2×8＋16)＝288種．故選D.考向2特殊元素(位置)問題例5(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有()A．12種 B．24種C．36種 D．48種答案B解析因為丙、丁要在一起，先把丙、丁捆綁，看作一個元素，連同乙、戊看成三個元素排列，有Aeq\o\al(3,3)種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插入方式；注意到丙、丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有Aeq\o\al(3,3)×2×2＝24種不同的排列方式．故選B.【通性通法】解決特殊元素、特殊位置問題的原則與方法(1)原則：解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時，可以從元素入手也可以從位置入手，原則是誰特殊誰優(yōu)先．(2)方法：從元素入手時，先給特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上，從位置入手時，先安排特殊位置，再安排其他位置．【鞏固遷移】7．從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出，如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi)，那么不同的放法種數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(4,8) B．Ceq\o\al(1,9)Aeq\o\al(5,9)C．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9) D．Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,8)答案C解析先排第1號瓶，從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種，有Ceq\o\al(1,8)種選法，再排剩余的瓶子，有Aeq\o\al(5,9)種方法，故不同的放法共有Ceq\o\al(1,8)Aeq\o\al(5,9)種．故選C.考向3分組、分配問題例6(多選)有6本不同的書，按下列方式進行分配，其中分配種數(shù)正確的是()A．分給甲、乙、丙三人，每人各2本，有90種分配方法B．分給甲、乙、丙三人，一人4本，另兩人各1本，有90種分配方法C．分給甲、乙每人各2本，分給丙、丁每人各1本，有180種分配方法D．分給甲、乙、丙、丁四人，有兩人各2本，另兩人各1本，有2160種分配方法答案ABC解析對于A，先從6本書中分給甲2本，有Ceq\o\al(2,6)種方法；再從其余的4本書中分給乙2本，有Ceq\o\al(2,4)種方法；最后的2本書給丙，有Ceq\o\al(2,2)種方法，所以不同的分配方法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種，A正確；對于B，先把6本書分成3堆：4本、1本、1本，有Ceq\o\al(4,6)種方法；再分給甲、乙、丙三人，所以不同的分配方法有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90種，B正確；對于C，6本不同的書先分給甲、乙每人各2本，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)種方法；其余2本分給丙、丁，有Aeq\o\al(2,2)種方法，所以不同的分配方法有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180種，C正確；對于D，先把6本不同的書分成4堆：2本、2本、1本、1本，有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))·eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))種方法；再分給甲、乙、丙、丁四人，所以不同的分配方法有eq\f(Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4),Aeq\o\al(2,2))·eq\f(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝1080種，D錯誤．【通性通法】解決分組分配問題的策略(1)對于不等分問題，首先要對分配數(shù)量的可能情形進行一一列舉，然后再對每一種情形分類考慮．在每一類的計數(shù)中，又要考慮是分步乘法計數(shù)還是分類加法計數(shù)，是排列問題還是組合問題．(2)對于整體均分，分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．(3)對于部分均分，若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！.【鞏固遷移】8．(2024·岳陽模擬)中國書法歷史悠久，源遠流長，書法作為一門藝術(shù)，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術(shù)，就離不開漢字，漢字是書法藝術(shù)的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨特的藝術(shù)，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為()A．60 B．90C．120 D．150答案D解析滿足條件的分法可分為兩類：第一類，一人三張，另兩人各一張，符合條件的分法有Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)種，即60種；第二類，其中一人一張，另兩人各兩張，符合條件的分法有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)種，即90種．由分類加法計數(shù)原理可得，滿足條件的不同分法種數(shù)為60＋90＝150.9．數(shù)學活動小組由12名同學組成，現(xiàn)將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有()A．eq\f(Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6),Aeq\o\al(3,3))Aeq\o\al(4,4)種 B．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34種C.eq\f(Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6),Aeq\o\al(4,4))43種 D．Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)43種答案B解析解法一：首先將12名同學平均分成四組，有eq\f(Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6),Aeq\o\al(4,4))種分法，然后將這四組同學分配到四個不同的課題組，有Aeq\o\al(4,4)種分法，并在各組中選出1名組長，有34種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，滿足條件的不同分配方案有eq\f(Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6),Aeq\o\al(4,4))·Aeq\o\al(4,4)·34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34種．解法二：根據(jù)題意可知，第一組分3名同學有Ceq\o\al(3,12)種分法，第二組分3名同學有Ceq\o\al(3,9)種分法，第三組分3名同學有Ceq\o\al(3,6)種分法，第四組分3名同學有Ceq\o\al(3,3)種分法．第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，滿足條件的不同分配方案有Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)34＝Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)34種．課時作業(yè)一、單項選擇題1．一個火車站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火車，現(xiàn)需停放4列不同的火車，則不同的停放方法共有()A．84種 B．48種C．Ceq\o\al(4,8)種 D．Aeq\o\al(4,8)種答案D解析因為一個火車站有8股岔道，每股岔道只能停放1列火車，現(xiàn)要停放4列不同的火車，所以有Aeq\o\al(4,8)種不同的停放方法．2．(2023·全國乙卷)甲、乙兩位同學從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A．30種 B．60種C．120種 D．240種答案C解析首先確定相同的讀物，共有Ceq\o\al(1,6)種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當于在剩余的5種讀物中選出2種進行排列，共有Aeq\o\al(2,5)種情況，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有Ceq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,5)＝120種選法．故選C.3．(2023·安徽省五校聯(lián)盟質(zhì)檢)某地環(huán)保部門召集6家企業(yè)的負責人座談，其中甲企業(yè)有2人到會，其余5家企業(yè)各有1人到會，會上任選3人發(fā)言，則發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù)為()A．15 B．30C．35 D．42答案B解析甲企業(yè)有2人，其余5家企業(yè)各有1人，共有7人，所以從7人中任選3人共有Ceq\o\al(3,7)種情況，發(fā)言的3人來自2家企業(yè)的情況有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)種，所以發(fā)言的3人來自3家不同企業(yè)的可能情況共有Ceq\o\al(3,7)－Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,5)＝30種．4．(2024·九省聯(lián)考)甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有()A．20種 B．16種C．12種 D．8種答案B解析因為乙和丙之間恰有2人，所以乙、丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，①當乙、丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙、丙中間，排乙、丙有Aeq\o\al(2,2)種方法，排甲有Aeq\o\al(1,2)種方法，剩余兩個位置兩人全排列有Aeq\o\al(2,2)種排法，所以有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8種方法；②當乙、丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙、丙中間，排乙、丙有Aeq\o\al(2,2)種方法，排甲有Aeq\o\al(1,2)種方法，剩余兩個位置兩人全排列有Aeq\o\al(2,2)種排法，所以有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(1,2)×Aeq\o\al(2,2)＝8種方法．由分類加法計數(shù)原理可知，共有8＋8＝16種排法．故選B.5．(2024·重慶檢測)將5名實習老師安排到高一年級的3個班實習，每班至少1人，至多2人，則不同的安排方法有()A．90種 B．120種C．150種 D．18種答案A解析由題意，先將5名實習老師按1人、2人、2人分為三組，再安排到3個班中，則不同的安排方法有eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝90種．6．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A．144 B．120C．72 D．24答案D解析“插空法”，先排3個空位，形成4個空隙供3人選擇就座，因此任意兩人不相鄰的坐法種數(shù)為Aeq\o\al(3,4)＝4×3×2＝24.7．(2023·浙江十校聯(lián)盟聯(lián)考)源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀獲得了長足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學實驗提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進行科學實驗．在某次太空旅行中，宇航員們負責的科學實驗要經(jīng)過5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有()A．18種 B．36種C．72種 D．108種答案B解析先排A，B兩道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，則在第2，3，4道程序選兩個放A，B，共有Aeq\o\al(2,3)種放法；再排剩余的3道程序，共有Aeq\o\al(3,3)種放法，則共有Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36種放法．8．用1，2，3，4，5這五個數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為()A．96 B．78C．72 D．64答案B解析根據(jù)題意知，要求這個五位數(shù)比20000大，則萬位數(shù)必須是2，3，4，5這4個數(shù)字中的一個，當萬位數(shù)是3時，百位數(shù)不是數(shù)字3，符合要求的五位數(shù)有Aeq\o\al(4,4)＝24個；當萬位數(shù)是2，4，5時，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3，則符合要求的五位數(shù)有3×(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(3,3))＝54個．因此共有54＋24＝78個符合要求的五位數(shù)．二、多項選擇題9．在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門．學生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是()A．若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(2,4)B．若化學必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1答案BD解析若任意選科，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)，A錯誤；若化學必選，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)(Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1)，C錯誤；若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數(shù)為Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1，D正確．10．(2024·重慶八中適應(yīng)性月考)將甲、乙、丙、丁4名志愿者分別安排到A，B，C三個社區(qū)進行暑期社會實踐活動，要求每個社區(qū)至少安排一名志愿者，則下列說法正確的是()A．共有18種安排方法B．若甲、乙被安排在同社區(qū)，則有6種安排方法C．若A社區(qū)需要2名志愿者，則有24種安排方法D．若甲被安排在A社區(qū)，則有12種安排方法答案BD解析對于A，4名志愿者先分為三組，再分配到三個社區(qū)，所以安排方法種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，A錯誤；對于B，甲、乙被安排在同社區(qū)，先從三個社區(qū)中選一個安排甲與乙，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的兩個社區(qū)中，所以安排方法種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＝6，B正確；對于C，A社區(qū)需要2名志愿者，所以先從4名志愿者中選擇2名安排到A社區(qū)，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的兩個社區(qū)中，所以安排方法種數(shù)為Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12，C錯誤；對于D，甲安排在A社區(qū)，分為兩種情況：第一種是A社區(qū)安排了2名志愿者，所以從剩余3名志愿者中選擇1名分到A社區(qū)，再把剩余的2名志愿者分配到剩余的兩個社區(qū)中，安排方法有Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)種；第二種是A社區(qū)只安排了甲志愿者，此時剩余的3名志愿者分為兩組，再分配到剩余的兩個社區(qū)中，此時安排方法有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)種，所以安排方法種數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝12，D正確．11．(2024·江蘇蘇州質(zhì)檢)現(xiàn)有4個小球和4個小盒子，下列結(jié)論正確的是()A．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，則共有24種放法B．若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒的放法共有18種C．若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒的放法共有144種D．若編號為1，2，3，4的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號全不相同的放法共有9種答案BCD解析若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子中，共有44＝256種放法，故A錯誤；若4個相同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有兩個空盒，則一個盒子放3個小球，另一個盒子放1個小球或兩個盒子均放2個小球，共有Ceq\o\al(2,4)(Aeq\o\al(2,2)＋1)＝18種放法，故B正確；若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，且恰有一個空盒，則兩個盒子中各放1個小球，另一個盒子中放2個小球，共有Ceq\o\al(1,4)·eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3),Aeq\o\al(2,2))＝144種放法，故C正確；若(2，1，4，3)代表編號為1，2，3，4的盒子放入的小球編號分別為2，1，4，3，列出所有符合要求的情況有(2，1，4，3)，(4，1，2，3)，(3，1，4，2)，(2，4，1，3)，(3，4，1，2)，(4，3，1，2)，(2，3，4，1)，(3，4，2，1)，(4，3，2，1)，共9種放法，故D正確．三、填空題12．把5張不同的電影票分給4個人，每人至少一張，則不同的分法種數(shù)為________．答案240解析由題意知，其中一人分兩張，先分后排，共有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240種不同的分法．13．宋代學者聶崇義編撰的《三禮圖集注》中描述的周王城：“匠人營國，方九里，旁三門，國中九經(jīng)九緯……”意思是周王城為正方形，邊長為九里，每邊都有左中右三個門，城內(nèi)縱橫各有九條路……，依據(jù)此種描述，畫出周王城的平面圖，則圖中共有________個矩形．答案3025解析要想組成一個矩形，需要找出兩條橫邊、兩條縱邊，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，依題意，所有矩形的個數(shù)為Ceq\o\al(2,11)Ceq\o\al(2,11)＝3025.14.某次燈謎大會共設(shè)置6道不同的謎題，分別藏在如圖所示的6只燈籠里，每只燈籠里僅放一道謎題，并規(guī)定一名參與者每次只能取其中一串最下面的一只燈籠并解答里面的謎題，直到答完全部6道謎題，則一名參與者有________種不同的答題順序．答案60解析將6只燈籠全排，即Aeq\o\al(6,6)，因為每次只能取其中一串最下面的一只燈籠內(nèi)的謎題，所以取謎題的方法有eq\f(Aeq\o\al(6,6),Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2))＝60種．即一名參與者有60種不同的答題順序．15．(多選)(2024·廣東佛山聯(lián)考)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學參加某運動會的志愿者服務(wù)活動，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以安排，則以下說法正確的是()A．若每人都安排一項工作，則不同的安排方法數(shù)為45B．若每項工作至少有1人參加，則不同的安排方法數(shù)為Aeq\o\al(4,5)Ceq\o\al(1,4)C．如果司機工作不安排，其余三項工作至少安排1人，則這5名同學全部被安排的不同方法數(shù)為(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3))Aeq\o\al(3,3)D．每項工作至少有1人參加，甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同的安排方法數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)答案AD解析對于A，若每人都安排一項工作，每人有4種安排方法，則有45種不同的安排方法，A正確；對于B，先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排四項工作，有Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)種不同的安排方法，B錯誤；對于C，先將5人分為3組，有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))＋\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))))種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項工作，有Aeq\o\al(3,3)種情況，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(1,2),Aeq\o\al(2,2))＋\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3),Aeq\o\al(2,2))))Aeq\o\al(3,3)種不同的安排方法，C錯誤；對于D，①從丙、丁、戊中選出1人開車，②從丙、丁、戊中選出2人開車，則有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種不同的安排方法，D正確．故選AD.16.(多選)某人設(shè)計一項單人游戲，規(guī)則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形ABCD(邊長為2個單位)的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行走的單位長度，如果擲出的點數(shù)為i(i＝1，2，…，6)，則棋子就按逆時針方向行走i個單位長度，一直循環(huán)下去．某人拋擲n次骰子后棋子恰好又回到點A處，則()A．若n＝2，則共有3種不同走法B．若n＝2，則共有5種不同走法C．若n＝3，則共有25種不同走法D．若n＝3，則共有27種不同走法答案BD解析由題意知正方形ABCD(邊長為2個單位)的周長是8.當n＝2時，骰子的點數(shù)之和是8，列舉出在點數(shù)中兩個數(shù)字能夠使得和為8的有(2，6)，(3，5)，(4，4)，共3種組合，拋擲骰子是有序的，所以共5種結(jié)果，故A錯誤，B正確；當n＝3時，三次骰子的點數(shù)之和是8，16，列舉出在點數(shù)中三個數(shù)字能夠使得和為8，16的有(1，2，5)，(1，3，4)，(1，1，6)，(2，2，4)，(2，3，3)，(4，6，6)，(5，5，6)，共7種組合，前2種組合(1，2，5)，(1，3，4)，每種情況可以排列出Aeq\o\al(3,3)＝6種結(jié)果，共有2Aeq\o\al(3,3)＝2×6＝12種結(jié)果，其中(1，1，6)，(2，2，4)，(2，3，3)，(4，6，6)，(5，5，6)各可以排列出3種結(jié)果，共有5×3＝15種結(jié)果．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，知共有12＋15＝27種結(jié)果，故C錯誤，D正確．17．(2024·遼寧十校調(diào)研)某34人的班級派5人參觀展覽，班級里有11人喜歡唱，4人喜歡跳，5人喜歡rap，14人喜歡籃球，每個人只喜歡一種.5人站一隊參觀，但是展覽館不希望隊伍中第k，k＋1，k＋2，k＋3個人分別喜歡唱、跳、rap、籃球．當且僅當兩個隊伍中至少有一個位置上的人的喜好不同，兩個隊伍才被認為是不同的，則滿足上述條件的不同的排隊方案數(shù)為________．答案1015解析如果5個人中喜歡的種類有1種，則不同的排隊方案數(shù)為3；如果5個人中喜歡的種類有2種，則不同的排隊方案數(shù)為Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2))＝180；如果5個人中喜歡的種類有3種，則不同的排隊方案數(shù)為Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(3,3)＋\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1),Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)))＝600；如果5個人中喜歡的種類有4種，則不同的排隊方案數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)－8＝232.故不同的排隊方案數(shù)為3＋180＋600＋232＝1015.18．(2024·江浙高三聯(lián)考)第19屆杭州亞運會的吉祥物是一組名為“江南憶”的機器人：“琮琮”代表世界遺產(chǎn)良渚古城遺址，“蓮蓮”代表世界遺產(chǎn)西湖，“宸宸”代表世界遺產(chǎn)京杭大運河．現(xiàn)有6個不同的吉祥物，其中“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”各2個，將這6個吉祥物排成前后兩排，每排3個，且每排相鄰兩個吉祥物名稱不同，則排法種數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案336解析由題意可分兩種情形：①前排含有兩種不同名稱的吉祥物，首先，前排從“琮琮”“蓮蓮”和“宸宸”中取兩種，其中一種選兩個，另一種選一個，有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24種排法；其次，后排有Aeq\o\al(2,2)＝2種排法，故共有24×2＝48種不同的排法．②前排含有三種不同名稱的吉祥物，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)＝48種排法；后排有Aeq\o\al(3,3)＝6種排法，此時共有48×6＝288種排法．因此，共有48＋288＝336種排法．第二節(jié)二項式定理課標解讀考向預(yù)測能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.近幾年的高考中考查了二項展開式的通項的應(yīng)用、二項式定理的正用和逆用，二項式系數(shù)的性質(zhì)與各項的和．預(yù)計2025年高考可能會以二項式、三項式或兩因式乘積的形式呈現(xiàn)，考查特定項或特定項的系數(shù)，難度中檔.必備知識——強基礎(chǔ)1．二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝eq\x(\s\up1(01))Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項：Tk＋1＝eq\x(\s\up1(02))Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第eq\x(\s\up1(03))k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2．二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)eq\x(\s\up1(04))相等．(2)增減性與最大值：當n是偶數(shù)時，中間的一項Ceq\o\al(eq\s\up7(\f(n,2)),n)取得最大值；當n是奇數(shù)時，中間的兩項Ceq\o\al(eq\s\up7(\f(n-1,2)),n)與Ceq\o\al(eq\s\up7(\f(n+1,2)),n)相等，且同時取得最大值．3．各二項式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝eq\x(\s\up1(05))2n．(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝eq\x(\s\up1(06))2n－1．(a＋b)n的展開式形式上的特點：(1)項數(shù)為n＋1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).(5)二項式系數(shù)與項的系數(shù)是完全不同的兩個概念．二項式系數(shù)是指Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，還與a，b的值有關(guān)．(6)(a＋b)n的展開式與(b＋a)n的展開式的項完全相同，但對應(yīng)的項不相同，而且兩個展開式的通項不同．1．概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)Ceq\o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項．()(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．()(3)(a＋b)n的展開式中，某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)一定不同．()(4)(a＋b)n的展開式中每一項的二項式系數(shù)與a，b的值無關(guān)．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)(x－1)10的展開式的第6項的系數(shù)是()A．Ceq\o\al(6,10) B．－Ceq\o\al(6,10)C．Ceq\o\al(5,10) D．－Ceq\o\al(5,10)答案D解析T6＝Ceq\o\al(5,10)x5(－1)5，所以第6項的系數(shù)是－Ceq\o\al(5,10).(2)(人教B選擇性必修第二冊習題3－3AT2改編)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))eq\s\up12(10)的展開式中，x2的系數(shù)為()A．－45 B．－10C．10 D．45答案D解析eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\r(x)))eq\s\up12(10)的展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))eq\s\up12(10－k)·(－eq\r(x))k＝(－1)kCeq\o\al(k,10)xeq\s\up7(\f(3,2)k－10)，令eq\f(3,2)k－10＝2，解得k＝8，所以x2的系數(shù)為(－1)8Ceq\o\al(8,10)＝45.(3)(多選)(2024·江蘇南京寧海中學模擬)關(guān)于eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq\s\up12(6)的展開式，下列結(jié)論正確的是()A．所有項的二項式系數(shù)和為32B．所有項的系數(shù)和為0C．常數(shù)項為－20D．系數(shù)最大的項為第3項答案BC解析所有項的二項式系數(shù)和為26＝64，故A錯誤；令x＝1得所有項的系數(shù)和為0，故B正確；常數(shù)項為Ceq\o\al(3,6)x3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(3)＝－20，故C正確；Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)x6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)，系數(shù)為(－1)kCeq\o\al(k,6)，最大為Ceq\o\al(2,6)或Ceq\o\al(4,6)，為第3項或第5項，故D錯誤．(4)已知Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝243，則Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝()A．31 B．32C．15 D．16答案A解析逆用二項式定理得Ceq\o\al(0,n)＋2Ceq\o\al(1,n)＋22Ceq\o\al(2,n)＋23Ceq\o\al(3,n)＋…＋2nCeq\o\al(n,n)＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝25－1＝31.考點探究——提素養(yǎng)考點一二項展開式的通項及其應(yīng)用(多考向探究)考向1求二項展開式中的特定項(或系數(shù))例1(1)二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))－x2))eq\s\up12(10)的展開式中的常數(shù)項是()A．－45 B．－10C．45 D．65答案C解析由二項式定理得Tk＋1＝Ceq\o\al(k,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq\s\up12(10－k)·(－x2)k＝(－1)kCeq\o\al(k,10)xeq\s\up7(\f(5k,2)-5)，令eq\f(5k,2)－5＝0得k＝2，所以常數(shù)項為(－1)2Ceq\o\al(2,10)＝45.(2)(2023·天津高考)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))eq\s\up12(6)的展開式中，x2的系數(shù)是________．答案60解析解法一：二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))eq\s\up12(6)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2x3)6－keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(k)＝(－1)k26－kCeq\o\al(k,6)x18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系數(shù)為(－1)4×22×Ceq\o\al(4,6)＝60.解法二：將二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))eq\s\up12(6)看成6個多項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x3－\f(1,x)))相乘，要想出現(xiàn)x2項，則先在2個多項式中分別取2x3，然后在余下的多項式中都取－eq\f(1,x)，相乘，即Ceq\o\al(2,6)(2x3)2×Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq\s\up12(4)＝60x2，所以x2的系數(shù)為60.【通性通法】求二項展開式中特定項的步驟【鞏固遷移】1．(2023·江蘇無錫江陰模擬)二項式(1＋2x)2＋(1＋2x)3＋…＋(1＋2x)7的展開式中，含x2項的二項式系數(shù)為()A．84 B．56C．35 D．21答案B解析含x2項的二項式系數(shù)為Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,7)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,7)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,7)＝Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,7)＝Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(2,7)＝Ceq\o\al(3,8)＝56.2．在二項式(eq\r(2)＋x)9的展開式中，常數(shù)項是________；系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________．答案16eq\r(2)5解析由題意，得(eq\r(2)＋x)9的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,9)(eq\r(2))9－k·xk(k＝0，1，2，…，9)．當k＝0時，可得常數(shù)項為T1＝Ceq\o\al(0,9)(eq\r(2))9＝16eq\r(2).若展開式的系數(shù)為有理數(shù)，則k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5個．考向2已知兩個因式之積求其特定項(或系數(shù))例2(1)(2024·湖南益陽質(zhì)量檢測)若(1＋2x)(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，x∈R，則a2的值為()A．－20 B．20C．40 D．60答案B解析因為(1＋2x)(1－2x)5＝(1－2x)5＋2x(1－2x)5，所以展開式中x2的系數(shù)a2＝Ceq\o\al(2,5)(－2)2＋2×Ceq\o\al(1,5)(－2)1＝40－20＝20.(2)(2022·新高考Ⅰ卷)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(y,x)))(x＋y)8的展開式中x2y6的系數(shù)為________(用數(shù)字作答)．答案－28解析展開式中含有x2y6的項為1·Ceq\o\al(6,8)x2y6－eq\f(y,x)·Ceq\o\al(5,8)x3y5＝－28x2y6.【通性通法】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式的特定項(或系數(shù))問題的思路(1)若n，m中一個比較小，可考慮把它展開，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．(2)觀察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.(3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通項，綜合分析解決問題．【鞏固遷移】3．(2024·湖南名校大聯(lián)考)(x3＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2)))eq\s\up12(6)的展開式中的常數(shù)項為()A．80 B．160C．240 D．320答案D解析(x3＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2)))eq\s\up12(6)＝x3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2)))eq\s\up12(6)＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2)))eq\s\up12(6)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x2)))eq\s\up12(6)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(2x)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x2)))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)·26－k·(－1)k·x6－3k，當6－3k＝－3時，k＝3，當6－3k＝0時，k＝2，則原展開式中的常數(shù)項為x3·Ceq\o\al(3,6)23(－1)3x－3＋2Ceq\o\al(2,6)24(－1)2＝－160＋480＝320.考向3已知三項式求其特定項(或系數(shù))例3(1)(2023·佛山模擬)(x－y＋2)5的展開式中，x3y的系數(shù)為()A．80 B．40C．－80 D．－40答案D解析(x－y＋2)5＝[x－(y－2)]5的展開式中含x3的項為Ceq\o\al(2,5)x3(y－2)2，(y－2)2的展開式中含y的項為Ceq\o\al(1,2)y(－2)，所以(x－y＋2)5的展開式中，x3y的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2)(－2)＝－40.(2)(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為________．答案30解析解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的項為T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2，其中(x2＋x)3中含x5的項為Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.解法二：(x2＋x＋y)5表示5個因式(x2＋x＋y)之積．所以x5y2可從兩個因式中取x2，剩余的3個因式中1個取x，其余兩個取y，因此x5y2的系數(shù)為Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,2)＝30.【通性通法】求三項展開式中特定項(系數(shù))的方法【鞏固遷移】4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,x2)＋1))eq\s\up12(6)的展開式中常數(shù)項為()A．－61 B．－59C．－57 D．－55答案B解析將原式看成6個相同的因式相乘，按x的選取個數(shù)分類，得展開式中常數(shù)項為Ceq\o\al(0,6)＋Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(1,4)(－2)＋Ceq\o\al(4,6)Ceq\o\al(2,2)(－2)2＝－59.考點二二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題例4(1)(多選)(2024·鹽城調(diào)研)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為128，則()A．二項式系數(shù)和為64 B．各項系數(shù)和為64C．常數(shù)項為－135 D．常數(shù)項為135答案ABD解析在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(n)的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之和為128，令x＝1，得各項系數(shù)和為2n，二項式系數(shù)和為2n，則2×2n＝128，得n＝6，即二項式系數(shù)和為64，各項系數(shù)和也為64，故A，B正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(6)展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)(3x)6－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(x))))eq\s\up12(k)＝Ceq\o\al(k,6)(－1)k36－k·x6－eq\f(3,2)k，令6－eq\f(3,2)k＝0，得k＝4，因此展開式中的常數(shù)項為T5＝Ceq\o\al(4,6)(－1)4·32＝135，故D正確．(2)(2022·北京高考)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝()A．40 B．41C．－40 D．－41答案B解析令x＝1，則a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，則a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝eq\f(1＋81,2)＝41.故選B.【通性通法】(1)“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法．對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f（1）＋f（－1）,2)，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f（1）－f（－1）,2).【鞏固遷移】5．在二項式(1－2x)n的展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為128，則展開式的中間項的系數(shù)為()A．－960 B．960C．1120 D．1680答案C解析根據(jù)題意，奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和也應(yīng)為128，所以在(1－2x)n的展開式中，二項式系數(shù)之和為256，即2n＝256，解得n＝8，則(1－2x)8的展開式的中間項為第5項，且T5＝Ceq\o\al(4,8)(－2)4x4＝1120x4，即展開式的中間項的系數(shù)為1120.故選C.6．已知－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，則a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是________．答案－2解析記f(x)＝1－Ceq\o\al(1,100)(2－x)＋Ceq\o\al(2,100)(2－x)2－Ceq\o\al(3,100)(2－x)3＋…＋Ceq\o\al(100,100)(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2.考點三二項展開式中的系數(shù)最值問題例5(2023·江蘇南京模擬)若(2＋ax)n(a≠0)的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為512，且第6項的系數(shù)最大，則a的取值范圍為________．答案[2，3]解析2n＝512，n＝9，T6＝Ceq\o\al(5,9)24(ax)5，T5＝Ceq\o\al(4,9)25(ax)4，T7＝Ceq\o\al(6,9)23(ax)6，∵第6項的系數(shù)最大，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(5,9)24a5≥Ceq\o\al(4,9)25a4，,Ceq\o\al(5,9)24a5≥Ceq\o\al(6,9)23a6，))則2≤a≤3.故a的取值范圍為[2，3]．【通性通法】1．二項式系數(shù)最大項的確定方法當n為偶數(shù)時，展開式中第eq\f(n,2)＋1項的二項式系數(shù)最大，最大值為Ceq\f(n,2)n；當n為奇數(shù)時，展開式中第eq\f(n＋1,2)項和第eq\f(n＋3,2)項的二項式系數(shù)最大，最大值為Ceq\f(n－1,2)n或Ceq\f(n＋1,2)n.2．二項展開式系數(shù)最大項的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開