中考數(shù)學專題復習全等三角形之輔助線倍長中線法

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁中考數(shù)學專題復習全等三角形（輔助線倍長中線法）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________評卷人得分一、單選題1．如圖，己知AD是△ABC中BC邊上的中線，AB＝5，AC＝3，則AD的取值范圍是（）A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤82．在中，，中線，則邊的取值范圍（

）A． B． C． D．3．如圖，在四邊形中，，，，，，點是的中點，則的長為（

）．A．2 B． C． D．34．如圖，在中，為的中點，若．則的長不可能是（

）A．5 B．7 C．8 D．9評卷人得分二、填空題5．如圖，在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是________．6．如圖，平行四邊形ABCD，點F是BC上的一點，連接AF，∠FAD＝60°，AE平分∠FAD，交CD于點E，且點E是CD的中點，連接EF，已知AD＝5，CF＝3，則EF＝__．評卷人得分三、解答題7．已知：多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．8．如圖，O為四邊形ABCD內(nèi)一點，E為AB的中點，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝．（1）若∠BOE＝∠BAO，AB＝，求OB的長；（2）用等式表示線段OE和CD之間的關(guān)系，并證明．9．數(shù)學興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，，，D是BC的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．【閱讀理解】小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：（1）如圖1，延長AD到E點，使，連接BE．根據(jù)______可以判定______，得出______．這樣就能把線段AB、AC、集中在中．利用三角形三邊的關(guān)系，即可得出中線AD的取值范圍是．【方法感悟】當條件中出現(xiàn)“中點”、“中線”等條件時，可以考慮做“輔助線”——把中線延長一倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中，這種做輔助線的方法稱為“中線加倍”法．【問題解決】（2）如圖2，在中，，D是BC邊的中點，，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：．【問題拓展】（3）如圖3，中，，，AD是的中線，，，且．直接寫出AE的長＝______．10．某數(shù)學興趣小組在一次活動中進行了探究試驗活動，請你來加入．【探究與發(fā)現(xiàn)】如圖1，延長△ABC的邊BC到D，使DC＝BC，過D作DE∥AB交AC延長線于點E，求證：△ABC≌△EDC．【理解與應用】如圖2，已知在△ABC中，點E在邊BC上且∠CAE＝∠B，點E是CD的中點，若AD平分∠BAE．（1）求證：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范圍．11．如圖，中，，E是的中點，求證：．12．如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．13．已知中，（1）如圖1，點E為的中點，連并延長到點F，使，則與的數(shù)量關(guān)系是________．（2）如圖2，若，點E為邊一點，過點C作的垂線交的延長線于點D，連接，若，求證：．（3）如圖3，點D在內(nèi)部，且滿足，，點M在的延長線上，連交的延長線于點N，若點N為的中點，求證：．14．如圖1，在中，是邊的中線，交延長線于點，．（1）求證；（2）如圖2，平分交于點，交于點，若，，求的值．15．如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．16．（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．17．（1）如圖1，△ABC中，AD為中線，求證：AB+AC＞2AD；（2）如圖2，△ABC中，D為BC的中點，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求證：BE+CF＞EF．18．定義：如果三角形三邊的長a、b、c滿足，那么我們就把這樣的三角形叫做“勻稱三角形”．如：三邊長分別為1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“勻稱三角形”．（1）已知“勻稱三角形”的兩邊長分別為4和6，則第三邊長為．（2）如圖，ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DF⊥AC，垂足為F，交AB的延長線于E，求證：EF是⊙O的切線；（3）在（2）的條件下，若，判斷AEF是否為“勻稱三角形”？請說明理由．19．課堂上，老師出示了這樣一個問題：如圖1，點是邊的中點，，，求的取值范圍．（1）小明的想法是，過點作交的延長線于點，如圖2，從而通過構(gòu)造全等解決問題，請你按照小明的想法解決此問題；（2）請按照上述提示，解決下面問題：在等腰中，，，點邊延長線上一點，連接，過點作于點，過點作，且，連接交于點，連接，求證．20．（1）方法學習：數(shù)學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），①延長AD到M，使得DM＝AD；②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉(zhuǎn)化在△ABM中；③利用三角形的三邊關(guān)系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是；方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．（2）請你寫出圖2中AC與BM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明．（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結(jié)論，試判斷線段AD與EF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．21．如圖，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，點D為AB的中點，連接DC，若DC⊥BC，求AB的長．22．如圖，中，，，為中線，求中線的取值范圍．23．（1）方法呈現(xiàn)：如圖①：在中，若，，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使，再連接BE，可證，從而把AB、AC，集中在中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在中，點D是BC的中點，于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷與EF的大小關(guān)系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是的角平分線．試探究線段AB，AF，CF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．24．在等腰Rt△ABC中∠ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中∠CDE＝90°，DE＝DC，連接AD，點F是線段AD的中點．（1）如圖1，連接BF，當點D和點E分別在BC邊和AC邊上時，若AB＝3，CE＝2，求BF的長．（2）如圖2，連接BE、BD、EF，當∠DBE＝45°時，求證：EF＝ED．25．在通過構(gòu)造全等三角形解決的問題中，有一種典型的方法是倍延中線．（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍．我們可以延長到點，使，連接，易證，所以．接下來，在中利用三角形的三邊關(guān)系可求得的取值范圍，從而得到中線的取值范圍是；（2）如圖2，是的中線，點在邊上，交于點且，求證：；（3）如圖3，在四邊形中，，點是的中點，連接，且，試猜想線段之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．26．已知：在矩形中，連接，過點作，交于點，交于點．（1）如圖1，若．①求證：；②連接，求證：．（2）如圖2，若，求的值．27．閱讀下面材料：數(shù)學課上，老師給出了如下問題：如圖，AD為△ABC中線，點E在AC上，BE交AD于點F，AE＝EF．求證：AC＝BF．經(jīng)過討論，同學們得到以下思路：如圖①，添加輔助線后依據(jù)SAS可證得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以進一步證得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，從而證明結(jié)論．完成下面問題：（1）這一思路的輔助線的作法是：．（2）請你給出一種不同于以上思路的證明方法（要求：寫出輔助線的作法，畫出相應的圖形，并寫出證明過程）．28．如圖，在△ABC中，AD是高，E、F分別是AB、AC的中點，AB＝8，AC＝6．（1）求四邊形AEDF的周長；（2）若∠BAC＝90°，求四邊形AEDF的面積．29．【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到點，使，請根據(jù)小明的方法思考：（1）由已知和作圖能得到≌的理由是______．（2）求得的取值范圍是______．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖2，在中，點是的中點，點在邊上，點在邊上，若，求證：．30．在與中，，，，連接，點為的中點，連接，繞著點旋轉(zhuǎn)．（1）如圖1，當點落在的延長線上時，與的數(shù)量關(guān)系是：__________；（2）如圖2，當旋轉(zhuǎn)到點落在的延長線上時，與是否仍有具有（1）中的數(shù)量關(guān)系，如果具有，請給予證明；如果沒有，請說明理由；（3）旋轉(zhuǎn)過程中，若當時，直接寫出的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．B【解析】【分析】如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，先證，得，再由三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍．【詳解】如圖所示，延長AD到E，使，連接CE，AD是△ABC中BC邊上的中線，，在與中，，，，在中，由三角形三邊關(guān)系得：，，，，．【點睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，做輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．C【解析】【分析】延長AD至E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AB=CE，再利用三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊求出CE的取值范圍，即為AB的取值范圍．【詳解】解：如圖，延長AD至E，使DE=AD，∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB=CE，∵AD=7，∴AE=7+7=14，∵14+5=19，14-5=9，∴9＜CE＜19，即9＜AB＜19．故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊，“遇中線，加倍延”構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．3．C【解析】【分析】延長BE交CD延長線于P，可證△AEB≌△CEP，求出DP，根據(jù)勾股定理求出BP的長，從而求出BM的長．【詳解】解：延長BE交CD延長線于P，∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴∴BE＝BP＝．故選：C．【點睛】考查了全等三角形的判定和性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是得恰當作輔助線構(gòu)造全等，依據(jù)勾股定理求出BP．4．A【解析】【分析】延長AD到E，使AD=DE，證明△ADC≌△EDB，然后利用三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．【詳解】解：延長AD到E，使AD=DE=4，連接BE，∵D是BC的中點，∴BD=CD又∠BDE=∠CDA∴△ADC≌△EDB，∴BE=AC=3由三角形三邊關(guān)系得，即：故選：A【點睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．5．【解析】【分析】延長AD至點E，使DE=AD，證明,由全等性質(zhì)求出相關(guān)的線段長度，在中，由，代入數(shù)值即可得到答案．【詳解】解：延長AD至點E，使DE=AD，如下圖：∵D是BC的中點∴BD=CD在和中：∴∴∵AD=5∴AE=10在中，由得：即：故答案為：【點睛】本題考查三角形的全等判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，牢記相關(guān)知識點并靈活應用是解題關(guān)鍵．6．4【解析】【分析】延長AE，BC交于點G，判定△ADE≌△GCE，即可得出CG＝AD＝5，AE＝GE，再根據(jù)三線合一即可得到FE⊥AG，進而得出Rt△AEF中，EF＝AF＝4．【詳解】解：如圖，延長AE，BC交于點G，∵點E是CD的中點，∴DE＝CE，∵平行四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠D＝∠ECG，又∵∠AED＝∠GEC，∴△ADE≌△GCE，∴CG＝AD＝5，AE＝GE，又∵AE平分∠FAD，AD∥BC，∴∠FAE＝∠DAE＝∠G＝∠DAF＝30°，∴AF＝GF＝3+5＝8，又∵E是AG的中點，∴FE⊥AG，在Rt△AEF中，∠FAE＝30°，∴EF＝AF＝4，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)的綜合運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等進行推算．7．(1)，(2)2<CD<8【解析】【分析】（1）把展開，然后根據(jù)多項式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長CD至點H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，∴10-6<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應用，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（1）2；（2），理由見解析【解析】【分析】（1）由已知條件∠BOE＝∠BAO，且公共角，證明△OBE∽△ABO，進而列出比例式，代入數(shù)值即可求得；（2）延長OE到點F，使得，連接AF，F(xiàn)B，證明△AOF≌△DOC，進而可得，即【詳解】（1）解：∵∠BOE＝∠BAO，，∴△OBE∽△ABO，∴，∵AB＝，E為AB的中點，∴∴，∴（舍負）.（2）線段OE和CD的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下，證明：如圖，延長OE到點F，使得，連接AF，F(xiàn)B.∵∴四邊形AFBO是平行四邊形，∴，，∴，∵∠AOB+∠COD＝，∴，∵OB＝OC，∴，在△AOF和△DOC中，，∴△AOF≌△ODC，∴∴.【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，第（2）小問中，根據(jù)題意正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．9．（1）；；；；（2）見解析；（3）7．【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形全等的判定方法和全等三角形的性質(zhì)以及三角形三邊的關(guān)系求解即可；（2）延長ED使DG=ED，連接FG，GC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，然后利用SAS證明，得到，，進而得到,最后根據(jù)勾股定理證明即可；（3）延長AD交EC的延長線于點F，根據(jù)ASA證明，然后根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）在和中，∴，∴．∵，∴，即，∴，∴，解得：；故答案為：；；；；（2）如圖所示，延長ED使DG=ED，連接FG，GC，∵，∴，在和中，∴，∴，，∴，∴，∴在中，，∴；（3）如圖所示，延長AD交EC的延長線于點F，∵，，在和中，，∴，，∵，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，三角形的三邊關(guān)系，“中線加倍”法的運用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造全等三角形．10．[探究與發(fā)現(xiàn)]見解析；[理解與應用]（1）見解析；（2）1＜x＜4【解析】【分析】[探究與發(fā)現(xiàn)]由ASA證明△ABC≌△EDC即可；[理解與應用]（1）延長AE到F，使EF=EA，連接DF，證△DEF≌△CEA（SAS），得AC=FD，再證△ABD≌△AFD（AAS），得BD=FD，即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)得AB=AF=2x，再由三角形的三邊關(guān)系得AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【詳解】解：[探究與發(fā)現(xiàn)]證明：∵DE∥AB，∴∠B=∠D，又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD，∴△ABC≌△EDC（ASA）；[理解與應用]（1）證明：如圖2中，延長AE到F，使EF=EA，連接DF，∵點E是CD的中點，∴ED=EC，在△DEF與△CEA中，，∴△DEF≌△CEA（SAS），∴AC=FD，∴∠AFD=∠CAE，∵∠CAE=∠B，∴∠AFD=∠B，∵AD平分∠BAE，∴∠BAD=∠FAD，在△ABD與△AFD中，，∴△ABD≌△AFD（AAS），∴BD=FD，∴AC=BD；（2）解：由（1）得：AF=2AE=2x，△ABD≌△AFD，∴AB=AF=2x，∵BD=3，AD=5，在△ABD中，由三角形的三邊關(guān)系得：AD-BD＜AB＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，解得：1＜x＜4，即x的取值范圍是1＜x＜4．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線定義以及三角形的三邊關(guān)系等知識，本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．見解析【解析】【分析】利用中線加倍證（），可得，，由，可得進而可證.，再證（）即可．【詳解】證明：延長到F，使，連結(jié)，∵E是中點，∴，∴在和中，，∴（），∴，，∵，∴，又∵，，∴，在和中，，∴（），∴．【點睛】本題考查中線加倍構(gòu)圖，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，掌握中線加倍構(gòu)圖，三角形全等判定與性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12．（1）①見解析；②；（3）MN=2BD，理由見解析【解析】【分析】（1）①只需要利用SAS證明△CED≌△ABD即可；②根據(jù)△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三邊的關(guān)系可得即則，再由，可得；（2），延長BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后證明∠BAE=∠MBN，則可證△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【詳解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中線，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案為：；（2）MN=2BD，理由如下：如圖所示，延長BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，∵BC=BN，∴AE=BN，∵∠ABM=∠NBC=90°，∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，∴∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=∠MBN，又∵AB=BM，∴△BAE≌△MBN（SAS），∴MN=BE，∵BE=BD+ED=2BD，∴MN=2BD．【點睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握倍長中線法證明兩個三角形全等．13．（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）通過證明，即可求解；（2）過點A引交于點F，通過得到，再通過即可求解；（3）過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，利用全等三角形的性質(zhì)證明、，即可解決．【詳解】證明：（1）由題意可得：在和中∴∴（2）過點A引交于點F，如下圖：由題意可得：，且則又∵∴平分，∴∴在和中∴∴在和中∴∴（3）證明：過點作交的延長線于點，，在上取一點，使得，連接，如下圖：∵∴∵，∴∴，∵∴∵∴∴∴∵∴∵∴∵∴又∵∴∴∴∴∴∵∴【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．14．（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）延長至點，使，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，根據(jù)題目已知，可證，由全等三角形的性質(zhì)從而得出，等量代換即可得出答案；（2）如圖所示，作，可證，由全等三角形的性質(zhì)相等角從而得出，進而得出，故可證等量轉(zhuǎn)化即可求出的值．【詳解】（1）如圖1所示，延長至點，使，在與中，，，，，，在與中，,，，；（2）如圖所示，，，平分，，，，，，作，在與中，，，，，在與中，，，，，，設，，，．【點睛】本題考查全等三角形的綜合應用，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（1），（2）【解析】【分析】（1）延長至，使，連接，然后再證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，利用等量代換可得；（2）把，代入（1）的結(jié)論里，再解不等式即可．【詳解】（1）證明：如圖延長至，使，連接，∵為中邊上的中線，∴，在和中：，∴，∴（全等三角形的對應邊相等），在中，由三角形的三邊關(guān)系可得，即；（2）解：∵，，由（1）可得，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，利用倍長中線的方式構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．16．（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【解析】【分析】（1）利用“倍長中線”法，延長AD，然后通過全等以及三角形的三邊關(guān)系證明即可；（2）取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，通過“倍長中線”思想全等證明，進而得到AB=CQ，AD=EQ，然后結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論；（3）同（2）處理方式一樣，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，結(jié)合“倍長中線”思想證明全等后，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系建立不等式證明即可得出結(jié)論．【詳解】證：（1）如圖所示，延長AD至P點，使得AD=PD，連接CP，∵AD是△ABC的中線，∴D為BC的中點，BD=CD，在△ABD與△PCD中，∴△ABD≌△PCD(SAS)，∴AB=CP，在△APC中，由三邊關(guān)系可得AC+PC＞AP，∴；（2）如圖所示，取DE中點H，連接AH并延長至Q點，使得AH=QH，連接QE和QC，∵H為DE中點，D、E為BC三等分點，∴DH=EH，BD=DE=CE，∴DH=CH，在△ABH和△QCH中，∴△ABH≌△QCH(SAS)，同理可得：△ADH≌△QEH，∴AB=CQ，AD=EQ，此時，延長AE，交CQ于K點，∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，∴AC+CQ＞AK+QK，又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，∴AK+QK＞AE+QE，∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，∵AB=CQ，AD=EQ，∴；（3）如圖所示，取DE中點M，連接AM并延長至N點，使得AM=NM，連接NE，CE，∵M為DE中點，∴DM=EM，∵BD=CE，∴BM=CM，在△ABM和△NCM中，∴△ABM≌△NCM(SAS)，同理可證△ADM≌△NEM，∴AB=NC，AD=NE，此時，延長AE，交CN于T點，∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，∴AC+CN＞AT+NT，又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，∴AT+NT＞AE+NE，∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，∵AB=NC，AD=NE，∴．【點睛】本題考查全等三角形證明問題中輔助線的添加，掌握“倍長中線”的基本思想，以及熟練運用三角形的三邊關(guān)系是解題關(guān)鍵．17．（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）延長至點E，使．由AD為中線可知，即易證，得出．利用三角形三邊關(guān)系可知，即可證明．（2）延長至點G，使，連接CG，EG．由AD為中線可知．即易證，得出．由題意可得，即易證，得出．利用三角形三邊關(guān)系可知，即可證明．【詳解】（1）如圖，延長至點E，使．∵AD為中線，∴．∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．（2）如圖，延長至點G，使，連接CG，EG．∵AD為中線，∴．∴在和中，，∴，∴．∵，∴，∴在和中，，∴，∴．∵在中，，∴．【點睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系．作出常用的輔助線是解答本題的關(guān)鍵．18．（1）5或8；（2）見解析；（3）AEF是“勻稱三角形”，見解析【解析】【分析】（1）設第三邊長為，利用“勻稱三角形”的定義，列出方程，但是由于等式中，4，6，均有可能為等式右邊的“”，所以需要分三類討論，最終確定下來的三邊長必須滿足“三角形兩邊之和大于第三邊”，故最終答案為5或8；（2）要證明為切線，連接，由于是半徑，只需要證明，又由于，所以只需要證明，又由于為中點，只需要證明為的中點，因為是直徑，所以，又因為，所以為的中點，即可證明；（3）因為為的中點，仿照“中線倍長”模型，過作于，如圖2，或者在上截取，構(gòu)造，所以，將轉(zhuǎn)化成，因為，所以，可以得到，設，則，利用勾股定理求出，滿足定義，即可證明．【詳解】解：（1）解：設第三邊長為，①當時，解得，②當是，解得，③當時，解得，，當三邊長為2，4，6時，不能構(gòu)成三角形，所以③舍去，故答案為：5或8；（2）證明：如圖1，連接，，是直徑，，，為的中點，即，為中點，，，，，，，，是半徑，是的切線；（3）解：是“勻稱三角形”，理由如下：如圖2，過作于，，在和中，，，，，，，，，設，則，，，，是“勻稱三角形”．【點睛】本題是一道圓的綜合題，由新定義的結(jié)論，要注意分類討論和根據(jù)三角形三邊關(guān)系對答案進行取舍，在幾何證明中，要注意利用相似轉(zhuǎn)化線段比的思想，比如本題中“”的轉(zhuǎn)化．19．（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)已知證明，進而求得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可求得的取值范圍；（2）過點作交的延長線于，證明，得，再證明，進而證明，即可證明【詳解】（1），即（2）如圖，過點作交的延長線于，,,,,即，又,【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．20．（1）1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，證明見解析；（3）EF＝2AD，證明見解析．【解析】【分析】（1）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，根據(jù)題意證明△MDB≌△ADC，可知BM＝AC，在△ABM中，根據(jù)AB﹣BM＜AM＜AB+BM，即可求的；（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，可知∠M＝∠CAD，AC＝BM，進而可知AC∥BM；（3）延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）（2）的結(jié)論以及已知條件證明△ABM≌△EAF，進而可得AM＝2AD，由AM＝EF，即可求得AD與EF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，在△MDB和△ADC中，，∴△MDB≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝6，在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，∴1＜AD＜7，故答案為：1＜AD＜7；（2）AC∥BM，且AC＝BM，理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，∴AC∥BM；（3）EF＝2AD，理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），∴BM＝AC，∵AC＝AF，∴BM＝AF，由（2）知：AC∥BM，∴∠BAC+∠ABM＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABM＝∠EAF，在△ABM和△EAF中，，∴△ABM≌△EAF（SAS），∴AM＝EF，∵AD＝DM，∴AM＝2AD，∵AM＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形全等的性質(zhì)與判定，利用倍長中線輔助線方法是解題的關(guān)鍵．21．【解析】【分析】延長CD到點E，使DE=CD，連接AE，證明得，再證明是等腰直角三角形得出EC=6，DE=3，運用勾股定理得AD=，從而可得結(jié)論．【詳解】解：延長CD到點E，使DE=CD，連接AE，如圖，∵D是AB的中點，∴AD=BD在△ADE和△BDC中，∴∴∠E=∠BCD，AE=BC=6∵DC⊥BC，∴∠E=∠BCD=90°，∴∴∴是等腰直角三角形，∴AE=CE=BC=6∴在Rt△AED中，又D為AB的中點，∴【點睛】此題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．22．【解析】【分析】延長至點，使，連接，證明，得到，然后根據(jù)三角形三條邊的關(guān)系求解即可．【詳解】解：延長至點，使，連接，是中線，，在和中，，，，在中，，，，．【點睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關(guān)鍵．23．（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，證明見解析；（3）AF+CF＝AB，證明見解析．【解析】【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，據(jù)此可得答案；（2）延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；（3）如圖③，延長AE，DF交于點G，根據(jù)平行和角平分線可證AF＝FG，易證△ABE≌△GEC，據(jù)此知AB＝CG，繼而得出答案．【詳解】解：（1）延長AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案為：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；證明：延長FD至點M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如圖③，延長AE，DF交于點G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分線，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識；本題綜合性強，有一定難度，通過作輔助線證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．24．（1）；（2）見詳解；【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形DEC，求解CD，然后勾股定理求解AD，最后直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，即可；（2）如圖，延長EF到N，使得FN=EF，連接BN，延長DE交AB于M；利用△AFN≌△DEF，可求DM∥AN；進而可得∠OMB=∠BAN，∠OMB=∠OCD；可得△BAN≌△BCD，可知NB=BD，再證明△BEN≌△BED，可得DE=EN=2EF；故；【詳解】（1）由題可知：在等腰Rt△DEC中，∠CDE=90°，DE=DC，CE=；∴ED=CD=2；又AB=BC=3；∴BD=1；在Rt△ABD中，；又點F是線段AD的中點，∴；（2）如圖，延長EF到N，使得FN=EF，連接BN，延長DE交AB于M；在△AFN和△DEF中，AF=DF；∠AFN=∠DFE；FN=EF；∴△AFN≌△DEF∴AN=DE=CD，∠FAN=∠FDE∴DM∥AN∴∠OMB=∠BAN；又∠MOB+∠OMB=90°；∠DOC+∠OCD=90°；∠MOB=∠DOC；∴∠BAN=∠BCD；在△BAN和△BCD中，AB=BC；∠BAN=∠BCD；AN=CD；∴△BAN≌△BCD∴∠ABN=∠CBD；BN=BD；∴∠DBN=∠CBA=90°；又∠DBE=45°∴∠EBN=∠EBD；又BE=BE；BN=BD；∴△BEN≌△BED∴DE=EN=2EF；∴．【點睛】本題考查三角形綜合問題，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；難點在于輔助線的添加和三角形全等的構(gòu)造．25．（1）；（2）見解析；（3），證明見解析【解析】【分析】（1）延長到點，使，連接，即可證明，則可得，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到的取值范圍，進而得到中線的取值范圍；（2）延長到點使，連接，由（1）知，則可得，由可知，，由角度關(guān)系即可推出，故，即可得到；（3）延長到，使，連接，即可證明，則可得由，以及角度關(guān)系即可證明點在一條直線上，通過證明≌，即可得到，進而通過線段的和差關(guān)系得到．【詳解】（1）延長到點，使，連接，∵是的中線，∴，在和中，，，，∴，∴，在中，，∴，即，∴；（2）證明:延長到點使,連接，由（1）知，∴，，，，，，，，（3），延長到，使，連接，，，，，，點在一條直線上，，∴，∴在和中，，，，∴≌，，∵，．【點睛】本題考查了三角形中線、全等三角形的證明和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平角的概念、線段的和差關(guān)系等，正確的作出輔助線以及綜合運用以上知識是解答本題的關(guān)鍵．26．（1）①見解析；②見解析；（2）．【解析】【分析】（1）①根據(jù)已知易得，再由可得，即可得，而矩形對邊相等，從而可得；②延長、，交于點．易證B是CG的中點，故中，．再由即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)可得，再由可得，進而由勾股定理可得，繼而得到，再結(jié)合即可解題．【詳解】（1）證明：①如圖，在矩形中，∠DAB=∠ADC=90°，∴∠1+∠EDC=90°，又∵，∴∠2+∠EDC=90°，∴，∵，∴，∴，又∵AB=CD，∴，∴．②證明：如解圖2，延長、，交于點．∵在矩形中，AD//BC,∴，在和中，∴≌，∴，故中，．由（1）可知，∴，∴，（2）∵，，∴，又∵∠ADF=∠DCA，∴，∴，在Rt△ADF中，，∴，∴，又∵在矩形中，AB//CD,∴，∴．【點睛】本題綜合考查了解直角三角形、矩形的判定與性質(zhì)、三角形全等判定和性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)等；本題綜合性強，熟練掌握實數(shù)的運算，利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)換線段比是解題的關(guān)鍵．27．（1）延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；（2）見解析【解析】【分析】（1）延長AD于點G使得DG=AD．利用AE=EF可證得∠G=∠BFG=∠AFE=∠FAE，再依據(jù)AAS可以進一步證得△ADC≌△GDB，從而證明結(jié)論．（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，證明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC=BG，證出∠G=∠BFG，得出BG=BF，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）根據(jù)題意，則作法為：延長AD至點G，使DG＝AD，連接BG；（2）作BG∥AC交AD的延長線于G，如圖②所示：則∠G＝∠CAD，∵AD為△ABC中線，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．28．（1）14；（2）12．【解析】【分析】（1）延長DE到G，使GE＝DE，連接BG，根據(jù)線段中點的定義求出AE＝4，AF＝3，并利用SAS證明△AED≌△BEG，由全等三角形的性質(zhì)并再次利用全等三角形的判定得出△GBD≌△ABD，可證得DE＝AB＝4，同理DF＝AC＝3，即可計算出四邊形的周長；（2）利用SSS可證△AEF≌△DEF，