2025屆福建省福州市羅源縣第一中學(xué)高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆福建省福州市羅源縣第一中學(xué)高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若實(shí)數(shù)滿足不等式組則的最小值等于（）A． B． C． D．2．已知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則的取值范圍是A． B．C． D．3．在中，已知，，，為線段上的一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A． B． C． D．4．《易·系辭上》有“河出圖，洛出書(shū)”之說(shuō)，河圖、洛書(shū)是中華文化，陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如圖，白圈為陽(yáng)數(shù)，黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù)，則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．5．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C． D．6．在中，，，，則在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-37．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，，則（）A． B．3 C． D．48．已知函數(shù)在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，若，則的最小正周期為（）A． B． C． D．9．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A． B． C． D．10．“紋樣”是中國(guó)藝術(shù)寶庫(kù)的瑰寶，“火紋”是常見(jiàn)的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測(cè)算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機(jī)投擲200個(gè)點(diǎn)，己知恰有80個(gè)點(diǎn)落在陰影部分據(jù)此可估計(jì)陰影部分的面積是（）A． B． C．10 D．11．已知的展開(kāi)式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為（）．A． B． C． D．12．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，焦距為分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果函數(shù)（,且,）在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么的最大值為_(kāi)_________．14．若點(diǎn)在直線上，則的值等于______________.15．已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是_________.①是周期函數(shù)；②的對(duì)稱軸方程為，；③在區(qū)間上為增函數(shù)；④方程在區(qū)間有6個(gè)根.16．如圖,已知，，為的中點(diǎn)，為以為直徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.18．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：．（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，為線段的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點(diǎn)，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐的體積．20．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn)，分別將沿折起，沿折起，使得重合于點(diǎn)，連結(jié).（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)召開(kāi)期間，某校舉行了“冰上運(yùn)動(dòng)知識(shí)競(jìng)賽”，為了解本次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)(得分均為整數(shù)，滿分100分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)頻率分布表中所提供的數(shù)據(jù)，解答下列問(wèn)題：（1）求、、的值及隨機(jī)抽取一考生其成績(jī)不低于70分的概率；（2）若從成績(jī)較好的3、4、5組中按分層抽樣的方法抽取5人參加“普及冰雪知識(shí)”志愿活動(dòng)，并指定2名負(fù)責(zé)人，求從第4組抽取的學(xué)生中至少有一名是負(fù)責(zé)人的概率.組號(hào)分組頻數(shù)頻率第1組150.15第2組350.35第3組b0.20第4組20第5組100.1合計(jì)1.00

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

首先畫(huà)出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求的最小值．【詳解】解：作出實(shí)數(shù)，滿足不等式組表示的平面區(qū)域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過(guò)點(diǎn)時(shí)直線在上截距最小，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，求目標(biāo)函數(shù)的最值先畫(huà)出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題．2、B【解析】

方法一：令，則，，當(dāng)，時(shí)，，單調(diào)遞減，∴時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞增，時(shí)，，，且，∴，即在上單調(diào)遞減，∴是函數(shù)的極大值點(diǎn)，∴滿足題意；當(dāng)時(shí)，存在使得，即，又在上單調(diào)遞減，∴時(shí)，，所以，這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾．綜上，．故選B．方法二：依據(jù)極值的定義，要使是函數(shù)的極大值點(diǎn)，須在的左側(cè)附近，，即；在的右側(cè)附近，，即．易知，時(shí)，與相切于原點(diǎn)，所以根據(jù)與的圖象關(guān)系，可得，故選B．3、A【解析】

在中，設(shè)，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和及和角的正弦公式化簡(jiǎn)可求，可得，再由已知條件求得，，，考慮建立以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知條件結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】在中，設(shè)，，，，即，即，，，，，，，，即，又，，，則，所以，，解得，.以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則、、，為線段上的一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)使得，，設(shè)，，則，，，，，消去得，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題是一道構(gòu)思非常巧妙的試題，綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式及基本不等式求解最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解是一個(gè)單位向量，從而可用、表示，建立、與參數(shù)的關(guān)系，解決本題的第二個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于由，發(fā)現(xiàn)為定值，從而考慮利用基本不等式求解最小值，考查計(jì)算能力，屬于難題.4、C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù)，再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況，由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有：種，3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有：，共種，所以目標(biāo)事件的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合，涉及到背景文化知識(shí)，難度一般.求解該類問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析；當(dāng)情況數(shù)較多時(shí)，可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.5、D【解析】

首先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù)，則，所以A選項(xiàng)不正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，所以B選項(xiàng)不正確；，所以C選項(xiàng)不正確；，所以D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想.6、D【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點(diǎn)睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問(wèn)題.7、B【解析】由正弦定理及條件可得，即.，∴，由余弦定理得?！?選B。8、C【解析】

根據(jù)題意，知當(dāng)時(shí)，，由對(duì)稱軸的性質(zhì)可知和，即可求出，即可求出的最小正周期.【詳解】解：由于在區(qū)間有三個(gè)零點(diǎn)，，，當(dāng)時(shí)，，∴由對(duì)稱軸可知，滿足，即.同理，滿足，即，∴，，所以最小正周期為：.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最小正周期，涉及函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.9、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.10、D【解析】

直接根據(jù)幾何概型公式計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)幾何概型：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何概型求面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11、D【解析】因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為．考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和．12、D【解析】

先求出橢圓方程，再利用橢圓的定義得到，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求，從而可得的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，故，故橢圓，因?yàn)辄c(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，故.又，因?yàn)椋?，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，一般地，如果橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)為上的任意一點(diǎn)，則有，我們常用這個(gè)性質(zhì)來(lái)考慮與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的問(wèn)題，本題屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、18【解析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),分一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)區(qū)間的關(guān)系建立不等式,利用基本不等式求解即可.【詳解】解:①當(dāng)時(shí),,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則,即,則.②當(dāng)時(shí),,函數(shù)開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為,因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減,則,因?yàn)?則,整理得,又因?yàn)?則.所以即,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.綜上所述,的最大值為18.故答案為:18【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性和均值不等式.利用均值不等式求解要注意”一定,二正,三相等”.14、【解析】

根據(jù)題意可得，再由，即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，得，又，解得，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、①②④【解析】

由函數(shù)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即得答案.【詳解】函數(shù)，是周期函數(shù)，最小正周期為，故①正確；當(dāng)或時(shí)，有最大值或最小值，此時(shí)或，即或，即.的對(duì)稱軸方程為，，故②正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在區(qū)間上不是增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；作出函數(shù)的部分圖象，如圖所示方程在區(qū)間有6個(gè)根，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.16、【解析】

建立合適的直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得的坐標(biāo)表示,利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出的表達(dá)式,求出其最小值即可.【詳解】建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則點(diǎn),,,設(shè)點(diǎn),所以,由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得,,其中,因?yàn)?所以的最小值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示和利用輔助角公式求最值;考查數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化與化歸能力、運(yùn)算求解能力;建立直角坐標(biāo)系,把表示為關(guān)于角的三角函數(shù),利用輔助角公式求最值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）由已知可得，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，由，可求，時(shí)，由，可證，驗(yàn)證時(shí)，不等式也成立，即可得證.【詳解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）當(dāng)時(shí)，，,當(dāng)時(shí)，，綜上，由可得遞增，，時(shí)；所以，綜上：故.【點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.18、（1）見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）由已知可證明平面，從而得證面面垂直，再由，得線面垂直，從而得，由直角三角形得結(jié)論；（2）以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法示二面角．【詳解】（1）證明：連接，，．，，平面．平面，平面平面．，為的中點(diǎn)，．平面平面，平面．平面，．為斜邊的中點(diǎn)，，（2），由（1）可知，為等腰直角三角形，則．以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，記平面的法向量為由得到，取，可得，則．易知平面的法向量為．記二面角的平面角為，且由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．【點(diǎn)睛】本題考查用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直，從而得線線垂直，考查用空間向量法求二面角．在立體幾何中求異面直線成的角、直線與平面所成的角、二面角等空間角時(shí)，可以建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求解空間角，可避免空間角的作證過(guò)程，通過(guò)計(jì)算求解．19、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)槭钦切?，為線段的中點(diǎn)，所以．因?yàn)槭橇庑?，所以．因?yàn)?，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．則．于是，，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個(gè)法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識(shí)點(diǎn)，考查了學(xué)生空間想象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

利用零點(diǎn)分區(qū)間法，去掉絕對(duì)值符號(hào)分組討論求并集，對(duì)恒成立，則，由三角不等式，得求解【詳解】解：當(dāng)時(shí)，不等式即為，可得或或，解得或或，則原不等式的解集為若對(duì)任意、都有，即為，由，當(dāng)取得等號(hào)，則，由，可得，則的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式解法及利用三角不等式解恒成立問(wèn)題.（1）含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式常用解法可用零點(diǎn)分區(qū)間法去掉絕對(duì)值符號(hào)，將其轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的不含絕對(duì)值符號(hào)的不等式(組)求解（