2024北京八十中高一（上）期中數(shù)學（教師版）

第1頁/共1頁2024北京八十中高一（上）期中數(shù)學2024年10月（考試時間120分鐘滿分150分）提示：試卷答案請一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色簽字筆作答.一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A. B.C. D.3.已知，且，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.5.若奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為5，則它在區(qū)間上是（）A.增函數(shù)且有最大值 B.增函數(shù)且有最小值C.減函數(shù)且有最大值 D.減函數(shù)且有最小值6.隨著我國經(jīng)濟的不斷發(fā)展，2023年年底某地區(qū)農(nóng)民人均年收入為7000元，預計該地區(qū)今后農(nóng)民的人均年收入將以每年6％的年平均增長率增長，那么2030年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為（）A.元 B.元C.元 D.元7.已知，則的最小值為（）A. B.3 C.4 D.58.如圖，已知全集，集合，，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.9.“”是“關(guān)于x的不等式對恒成立”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.11.函數(shù)的值域為（）A. B.C. D.12.由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學危機一直延續(xù)到世紀，直到年，德國數(shù)學家戴德金提出了“戴德金分割”才結(jié)束了持續(xù)多年的數(shù)學史上的第一次大危機.所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割.試判斷，對于任一戴金德分割，下列選項中一定不成立的是（）A.沒有最大元素，有一個最小元素B.沒有最大元素，也沒有最小元素C.有一個最大元素，有一個最小元素D.有一個最大元素，沒有最小元素二、填空題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）13.函數(shù)的定義域為______.14.關(guān)于的不等式的解集是______.15.計算：______.16.命題“?x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是______．17.已知，當時，函數(shù)的最小值是______，最大值是______.18.如圖是一份紙制作的矩形的宣傳單，其排版面積（矩形）為P，兩邊都留有寬為a的空白，頂部和底部都留有寬為的空白.若，，則當______時，才能使紙的用量最少，最少的紙的用量是______.19.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.20.函數(shù)的值域是______.21.已知函數(shù)，，若對任意，總存在，使成立，則實數(shù)m的取值范圍為______.22.已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的m個交點為，則的值是______.三、解答題：本大題有5小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.23.記全集，集合，.（1）若，求，；（2）若，求a的取值范圍；（3）若，求a的取值范圍.24.已知函數(shù)（1）當，的最大值為3，求實數(shù)m的值.（2）當時，若不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.25.為了保護水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如下表：每戶每月用水量水價不超過12的部分3元/超過12但不超過18的部分6元/超過18的部分9元/（1）求出每月用水量和水費之間的函數(shù)關(guān)系；（2）若某戶居民某月交納的水費為54元，則此月此戶居民的用水量為多少？26.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式以及零點.（2）判斷并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在-1,0的單調(diào)性.（3）根據(jù)前面所得的結(jié)論在所給出的平面直角坐標系上，作出在定義域R上的準確示意圖.27.設(shè)集合為非空數(shù)集，定義，．（1）若，寫出集合、；（2）若，，且，求證：；（3）若，且，求集合元素個數(shù)的最大值．

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1.【答案】A【分析】首先求解集合，再根據(jù)補集的定義即可得出答案.【詳解】因為，，所以.故選：A.2.【答案】B【分析】根據(jù)奇偶性的定義對各個選項逐一判斷即可得出答案.【詳解】解：對于A，因為函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，所函數(shù)不具有奇偶性，故A不符題意；對于B，函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故B符合題意；對于C，函數(shù)的定義域為，，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故C不符題意；對于D，函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故D不符題意.故選：B.3.【答案】C【分析】根據(jù)特值法可排除，，，根據(jù)在上單調(diào)遞增，可判斷項.【詳解】當時，，故錯誤；當，時，，故錯誤；因為在上單調(diào)遞增，且，所以，故正確；當，時，，故錯誤.綜上，正確的為.故選：.4.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的值域，以及指數(shù)函數(shù)的圖象特征，即可判斷選項.【詳解】，所以，排除AC，且，排除D.故選：B5.【答案】A【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)直接得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最小值5，所以，又為奇函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且有最大值.故選：A6.【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)增長模型計算即可.【詳解】設(shè)經(jīng)過x年，該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為y元，根據(jù)題意可得，從2023年年底到2030年年底共經(jīng)過了7年，所以2030年年底該地區(qū)的農(nóng)民人均年收入為元．故選：B.7.【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式求解即可.【詳解】因為，根據(jù)基本不等式可得，當且僅當，即時，等號成立；所以的最小值為5，故選：D.8.【答案】C【分析】解不等式化簡集合A，再結(jié)合韋恩圖求出陰影部分表示的集合.【詳解】依題意，集合或，而，則或，由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為.故選：C.9.【答案】A【分析】首先求不等式恒成立時的取值范圍，再根據(jù)集合的關(guān)系，即可判斷.【詳解】不等式對恒成立,當時，恒成立，當時，，得，所以，所以“”是“關(guān)于x的不等式對恒成立”的充分不必要條件.故選：A10.【答案】D【分析】由題意可知函數(shù)在R上遞減，結(jié)合分段函數(shù)單調(diào)性列式求解即可.【詳解】因為函數(shù)滿足對任意實數(shù)，都有成立，不妨假設(shè)，則，可得，即，可知函數(shù)在R上遞減，則，解得：，所以的取值范圍是.故選：D.11.【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得到函數(shù)的值域【詳解】當時，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以；當時，，所以，的值域為.故選：B.12.【答案】C【分析】本題目考察對新概念的理解，舉具體的實例證明成立即可，A,B,D都能舉出特定的例子，排除法則說明C選項錯誤【詳解】若，；則沒有最大元素，有一個最小元素；故A正確；若，；則沒有最大元素，也沒有最小元素；故B正確；若，；有一個最大元素，沒有最小元素，故D正確；有一個最大元素，有一個最小元素不可能，故C不正確.故選：C二、填空題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分）13.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的形式，列不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域需滿足2x-1≠02-x>0，得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：14.【答案】【分析】因式分解后，即可求解不等式.【詳解】，得，所以不等式的解集為.故答案為：15.【答案】【分析】根據(jù)對數(shù)公式和指數(shù)運算公式，即可求解.【詳解】.故答案為：16.【答案】?x0＞0，x02+2x0-3≤0【分析】根據(jù)含有量詞的命題的否定即可得到結(jié)論．【詳解】命題為全稱命題，則命題“?x＞0，x2+2x-3＞0”的否定是為?x0＞0，x02+2x0-3≤0，故答案為?x0＞0，x02+2x0-3≤0．【點睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．17.【答案】①.##0.4②.2【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求最值.【詳解】，且，，因為，，所以，所以，即，所以在上為減函數(shù)，則，故答案為：，.18.【答案】①.②.【分析】首先設(shè)，再根據(jù)條件，用表示用紙的用量，列式后再用基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，紙的用量為，則，所以，，當時，即，所以當時，最少的紙的用量為.故答案為：；19.【答案】和【分析】首先去絕對值，將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式，再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】，當時，，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，當時，，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和.故答案為：和20.【答案】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的值域可得，再利用不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為函數(shù)定義域為，又，所以，所以，即，故答案為：.21.【答案】【分析】由題意可得兩個函數(shù)的值域的包含關(guān)系，進而可列關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】因為對任意，總存在，使成立，即成立，設(shè)，因為，所以，當時，，不符合題意；當時，可得，則，解得；當時，可得，則，解得；綜上所述，實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.22.【答案】【分析】首先判斷兩個函數(shù)的對稱性，再根據(jù)對稱性，確定交點的對稱性，即可求解.【詳解】由條件得，，所以關(guān)于點對稱，關(guān)于點對稱，所以函數(shù)與圖象的m個交點有對關(guān)于點對稱，所以，，所以.故答案為：三、解答題：本大題有5小題，共74分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.23.【答案】（1），（2）（3）或【分析】（1）根據(jù)交集和補集的運算即可求解；（2）根據(jù)題意可得到有關(guān)的一個方程組，求解即可；（3）分和兩種情況求解即可.【小問1詳解】若，則，又或，則，；【小問2詳解】集合，或，，所以，解得，所以a的取值范圍為；【小問3詳解】因為，則，，或，當時，，解得；當時，或，解得或，綜上,若，求a的取值范圍為或.24.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分情況討論即可；（2）先根據(jù)不等式得到在上恒成立，令，分析該函數(shù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，只需讓區(qū)間上最小值大于零即可.【小問1詳解】已知，當時，函數(shù)在上遞增，所以，解得；當時，函數(shù)在上遞減，所以，矛盾；當時，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以或，解得，均不符合題意；綜上；【小問2詳解】當時，若不等式恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，該函數(shù)對稱軸為，①當，即時，函數(shù)在上遞減，只需讓即可，則，解得，即；②當，即時，此時，解得，即；③當，即時，函數(shù)在上遞增，此時，解得，即；綜上m的取值范圍為.25.【答案】（1）（2）15【分析】（1）先分別求出每一段的函數(shù)解析式，再寫成分段函數(shù)的形式即可；（2）由（1）分，，三種情況討論即可的解．【小問1詳解】解：當時，，當時，，當時，，關(guān)于的函數(shù)解析式為：；【小問2詳解】解：當時，，解得舍去，當時，，解得，當時，，解得舍去，綜上所述，若某戶居民某月交納的水費為54元，則此月此戶居民的用水量為15.26.【答案】（1），零點為0（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見詳解；（3）圖象見詳解.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)和可解得，的值，即可得函數(shù)的解析式；令可解得函數(shù)的零點；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)的圖象即可.【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，解得，又，即，解得，所以，令得，解得，即函數(shù)的零點為0；【小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減；證明：設(shè)，則，因為，所以，，x12+1x所以fx1-f所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；【小問3詳解】函數(shù)的圖像如下：27.【答案】（1），（2）證明見解析（3）1348【分析】（1）根據(jù)定義，，直接求解即可，（2）由題意利用集合中的元素間的關(guān)系及可證明，（3）由題意建立集合間的關(guān)系，并列出不等式